2015年三年高考数学(文)真题精编——专题01 集合与常用逻辑用语
一、选择题
2. 【2013高考北京文第1题】已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B ＝(
)．
A ．{0}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{－1,0,1} 【答案】B 【解析】
试题分析：集合A 中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A ，B 的公共元素为－1,0，故选B.
3. 【2014高考北京文第1题】若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B ?=（ ）
A.{}0,1,2,3,4
B.{}0,4
C.{}1,2
D.{}3 【答案】C
【解析】因为{}1,2A B ?=，所以选C.
考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.
4. 【2014高考北京文第5题】设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分；若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
7. 【2015高考北京，文1】若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则A B = （ ）
A ．{}
32x x -<< B ．{}
52x x -<< C ．{}
33x x -<< D ．{}
53x x -<< 【答案】A
【解析】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，
【考点定位】集合的交集运算.
8. 【2014高考广东卷.文.1】已知集合{}2,3,4M =,{}0,2,3,5N =,则M N = ( )
A .{}0,2
B .{}2,3
C .{}3,4
D .{}3,5 【答案】B
【解析】由题意得{}2,3M N = ,故选B .
【考点定位】本题考查集合的基本运算,属于容易题.
9. 【2013高考广东卷.文.1】设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0,x ∈R },T ＝{x |x 2－2x ＝0,x ∈R },则S ∩T ＝(
).
A .{0}
B .{0,2}
C .{－2,0}
D .{－2,0,2} 【答案】A
【解析】∵S ＝{－2,0},T ＝{0,2},∴S ∩T ＝{0}.故选A . 【考点定位】本题考查集合的运算,属于基础题
11. 【2015高考广东，文1】若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = （ ）
A ．{}0,1-
B ．{}0
C ．{}1
D ．{}1,1- 【答案】C
【解析】{}1M N = ，故选C ． 【考点定位】集合的交集运算．
12. 【2014
高考广东卷.文.7】在ABC ?中,角A .B .C 所对应的变分别为a .b .c ,则a b ≤“”是
sin sin A B ≤“”
的( ) A .充分必要条件 B .充分非必要条件 C .必要非充分条件 D .非充分非必要条件 【答案】A
【考点定位】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定,属于中等题.
14. 【 2014湖南文1】设命题2:,10p x R x ?∈+>，则p ?为（ ）
200.,10A x R x ?∈+> 2
00.,10B x R x ?∈+≤ 200.,10C x R x ?∈+< 2.,10D x R x ?∈+≤
【答案】B
【考点定位】命题否定 全称命题 特称命题
15. 【 2014湖南文2】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B = （ ）
.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<
【答案】C
【解析】由交集的定义可得{}/23A B x x =<
16. 【 2013湖南文2】 “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的(
)．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】∵“1＜x ＜2”能推出“x ＜2”成立，但“x ＜2”不能推出“1＜x ＜2”成立，故选A ．
21. 【2015高考湖南，文3】设x ∈R ，则“x >1”是“2x >1”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由题易知“x >1”可以推得“2x >1”， “2x >1”不一定得到“x >1”，所以“x >1”是“2x >1”
的充分不必要条件，故选A. 【考点定位】充要关系
22. 【2014山东.文2】设集合{}{},41,022≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （ ）
（A ）(]2,0 （B ）()2,1 （C ） [)2,1 （D ）()4,1 【答案】C
【解析】由已知{|02},{|14},A x x B y y =<<=≤≤所以，[1,2),A B ?=选C . 考点：不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算.
23. 【2013山东，文2】已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且
(A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则
A ∩＝( )．
A ．{3}
B ．{4}
C ．{3,4}
D ．
【答案】A
27. 【2015高考山东，文1】 已知集合{}|{|24130}A x x B x x x =<<=--<，（)(），则A B ?= ( )
（A ）1,3（） （B ）1,4（） （C ）（2,3（） （D ）2,4（）） 【答案】C
【解析】因为|13B x x =
<<｛｝,所以{|24}{|13}(2,3)A B x x x x ?=<
28. 【2015高考山东，文5】设m R ∈,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是( )
（A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > (B) 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ (C) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > (D) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D . 【考点定位】命题的四种形式.
29. 【2013山东，文8】给定两个命题p ，q ．若?p 是q 的必要而不充分条件，则p 是?q 的(
)．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
33.
【2013高考陕西版文第1题】设全集为R ，函数f (x )M ，则
R M
为( )．
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞) 【答案】B 【解析】
试题分析：要使f (x )有意义，则须1－x ≥0，即x ≤1，所以M ＝{x |x ≤1}，R M ＝{x |x ＞1}．
考点：补集的运算，容易题.
34. 【2014高考陕西版文第1题】已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N =
（ ）
.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D
【答案】D
考点：集合间的运算.
35. 【2015高考陕西，文1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞ 【答案】A
【解析】由2
{|}{0,1}M x x x M ==?=，{|lg 0}{|01}N x x N x x =≤?=<≤，
所以[0,1]M N = ，故答案选A . 【考点定位】集合间的运算.
37. 【2014高考陕西版文第8题】原命题为“若
1
2
n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命 题，否命题，逆
否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】A 【解析】
试题分析：由
1
2n n n a a a ++<1{}n n n a a a +?
2n n n a a a ++<，所以逆命题为
真；否命题：若12n n n a a a ++≥，n N +∈，则{}n a 不为递减数列；由1
1{}2
n n n n n n a a a a a a +++≥?≤+?不
为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题. 故选A .
考点：命题及命题的真假.
38. 【2014全国2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B = （ ）
A. ?
B. {}2
C. {0}
D. {2}- 【答案】B
【解析】由已知得，{}21B =，-，故{}2A B = ，选B ．
39. 【2013课标全国Ⅱ，文1】已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝(
)．
A ．{－2，－1,0,1}
B ．{－3，－2，－1,0}
C ．{－2，－1,0}
D ．．{－3，－2，－1} 【答案】：C
【解析】：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选C.
40. 【2014全国2，文3】函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，
则（ ）
A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C
45. 【2013四川，文1】设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （ ）
（A ）? （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 【答案】B
【解析】A 、B 两集合中只有一个公共元素2，∴ A B = {2}，选B ． 【考点定位】本题考查用列举法表示的集合的交运算．
46. 【2013四川，文4】设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ?∈，2x B ∈，
则（ ）
（A ）:,2p x A x B ??∈∈ （B ）:,2p x A x B ???∈ （C ）:,2p x A x B ??∈? （D ）:,2p x A x B ???? 【答案】C
【考点定位】本题考查全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”.
47. 【2014四川，文1】已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B ?=（ ）
A ．{1,0}-
B ．{0,1}
C ．{2,1,0,1}--
D ．{1,0,1,2}- 【答案】D 【解析】
试题分析：{|12},{1,0,1,2}A x x A B =-≤≤∴=- ，选D. 【考点定位】集合的基本运算.
48. 【2015高考四川，文1】设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )
(A ){x |－1＜x ＜3} (B ){x |－1＜x ＜1} (C ){x |1＜x ＜2} (D ){x |2＜x ＜3} 【答案】A
【考点定位】本题主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集运算.
49. 【2015高考四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )
(A )充要条件 (B )充分不必要条件 (C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A 【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
51. 【2014全国1，文1】已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N = （ ）
A. )1,2(-
B. )1,1(-
C. )3,1(
D. )3,2(- 【答案】B
【解析】根据集合的运算法则可得：{}|11M N x x =-<< ，即选B ．
55. 【2015高考新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B
中的元素个数为( )
（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】
试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D. 考点：集合运算
56. 【2013课标全国Ⅰ，文1】已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝(
)．
A ．{1,4}
B ．{2,3}
C ．{9,16}
D ．{1,2} 【答案】：A
【解析】：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．
57. 【2013课标全国Ⅰ，文5】已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中
为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．?p ∧q
C ．p ∧?q
D ．?p ∧?q 【答案】：B
59. 【2014年.浙江卷.文1】设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T = （ ）
A. ]5,(-∞
B. ),2[+∞
C. )5,2(
D.]5,2[ 【答案】D 【解析】
试题分析：依题意[2,5]S T = ，故选D. 考点：集合的交运算，容易题.
60. 【2014年.浙江卷.文2】设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”
是“BD AC ⊥”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不成分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
考点：平行四边形、菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题.
61. 【2013年.浙江卷.文】设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝(
)．
A ．[－4，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．[－4,1]
D ．(－2,1] 【答案】：D
【解析】：集合S 与集合T 都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出 来.
，
故S ∩T ＝{x |－2＜x ≤1}，故选D.
62. 【2013年.浙江卷.文3】若α∈R ，则“α＝0”是sin α＜cos α”的(
)．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】：A
【解析】：当α＝0时，sin α＜cos α成立；若sin α＜cos α，α可取π
6
等值，所以“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．故选A.
67. 【2015高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的即不充分也不必要条件.故选D.
【考点定位】1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
68. 【2015高考浙江，文1】已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P = （ ）
A ．[)3,4
B ．(]2,3
C ．()1,2-
D ．(]1,3- 【答案】A
【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q = ，故选A. 【考点定位】1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.
71. 【2013高考重庆文第1题】已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则
U
(A ∪B )＝( )．
A ．{1,3,4}
B ．{3,4}
C ．{3}
D ．{4} 【答案】D
考点：集合的运算
72. 【2013高考重庆文第2题】命题“对任意x ∈R ，都有x 2
≥0”的否定为(
)．
A ．存在x 0∈R ，使得x 02
＜0
B ．对任意x ∈R ，都有x 2
＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x 2＜0 【答案】A 【解析】
试题分析：由全称命题p ：?x ∈D ，p (x )的否定为?p ：?x 0∈D ，?p (x 0)，知选A ． 考点：全程命题的否定.
73. 【2014高考重庆文第6题】已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥； :1q x =是方程20x +=的根,
则下列命题为真命题的是( )
.A p q ∧? .B p q ?∧ .C p q ?∧? .D p q ∧
【答案】A
考点：1、命题；2、充要条件.
74. 【2015高考重庆，文1】已知集合{1,2,3},B {1,3}A ==，则A B = （ ）
(A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3} 【答案】C
【解析】由已知及交集的定义得A B = {1,3}，故选C. 【考点定位】集合的运算.
75. 【2015高考重庆，文2】“x 1=”是“2x 210x -+=”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由“x 1= ”显然能推出“2x 210x -+=”，故条件是充分的，又由“2x 210x -+=”可得
10)1(2=?=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.
【考点定位】充要条件.
76. 【2014，安徽文2】命题“0||,2≥+∈?x x R x ”的否定是（ ）
A ．0||,2<+∈?x x R x
B ． 0||,2≤+∈?x x R x
C ． 0||,2000<+∈?x x R x
D ． 0||,2
000≥+∈?x x R x 【答案】C ． 【解析】
试题分析：对于命题的否定，要将命题中“?”变为“?”，且否定结论，则命题“0||,2
≥+∈?x x R x ”的否定是“0||,2
000<+∈?x x R x ”，故选C ． 考点：1．含全称量词的命题否定．
77. 【2013，安徽文2】已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(
R A )∩B ＝( )
A ．{－2，－1}
B ．{－2}
C ．{－1,0,1}
D ．{0,1}
【答案】A ．
78. 【2013，安徽文4】“()210x x -=”是“0x =”的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B ． 【解析】
试题分析：由()210x x -=，得1
2
x =或0x =．故“()210x x -=”是“0x =”的必要不充分条件． 【考点】充分条件和必要条件．
82. 【2015高考安徽，文2】设全集{}123456U =，，，，
，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B = （ ）
（A ）{}1256，，
， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B
【解析】∵{
}6,5,1=B C U ，∴()U A C B = {}1，∴选B . 【考点定位】本题主要是考查了集合的交集、补集运算.
83. 【2015高考安徽，文3】设p ：x <3，q ：-1 （A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点定位】本题主要考查充分、必要条件的判断. 88．【2013天津，文1】已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 【答案】D 【解析】解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即A ＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故选D. 89. 【2013天津，文4】设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为a2≥0，而(a －b)a2＜0，所以a －b ＜0，即a ＜b ；由a ＜b ，a2≥0，得到(a －b)a2≤0可以为0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b ”的充分而不必要条件． 90. 【2014天津，文1】i 是虚数单位，复数 =++i i 437（ ） B. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 7 25 717+- 【答案】A 【解析】 试题分析：因为 =++i i 437(7)(34)25251,2525i i i i +--==-所以选A. 考点：复数的运算 91. 【2014天津，文3】已知命题为则总有p e x x p x ?>+>?,1)1(,0:（ ） A.1)1(,00 00≤+≤?x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>?x e x x 使得 C.0000,(1)1x x x e ?>+≤总有 D.0000,(1)1x x x e ?≤+≤总有 【答案】B 考点：命题的否定 92. 【2015高考天津，文1】已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合 A U B =（）e（ ） (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B =（）e,故选B. 【考点定位】本题主要考查集合的交集与补集运算. 93. 【2015高考天津，文4】设x R ?,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由2112113x x x - 【考点定位】本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件. 99. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =， {2,3,4}B =，则U B A = e( ) A ．{2} B ．{3,4} C ．{1,4,5} D ．{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】 试题分析：∵ ＝{3,4,5}，B ＝{2,3,4}，故B ∩ ＝{3,4}．故选B. 100. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次． 设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．()p ?∨()q ? B ．p ∨()q ? C ．()p ?∧()q ? D ．p ∨q 【答案】A 【解析】 试题分析：至少有一位学员没有降落在指定范围，即p ∧q 的对立面，即?(p ∧q )＝(?p )∨(?q )，故选A. 101. 【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷1】已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合 }6,5,3,1{=A ，则=A C U （ ） A.}6,5,3,1{ B. }7,3,2{ C. }7,4,2{ D. }7,5,2{ 【答案】C 【解析】 试题分析：依题意，}7,4,2{=A C U ，故选C. 102. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】命题“R ∈?x ，x x ≠2”的否定是（ ） A. R ??x ，x x ≠2 B. R ∈?x ，x x =2 C. R ??x ，x x ≠2 D. R ∈?x ，x x =2 【答案】D 103. 【2015高考湖北，文3】命题“0 (0,)x ?∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ?∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ??+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ?∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ??+∞，ln 1x x =- 【答案】C . 【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ?∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C . 【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 104. 【2014上海,文15】 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ． 【考点】充分必要条件． 105. 【2014上海,文16】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 【答案】D 【考点】集合的相等，解复数方程． 106. 【2013上海,文16】设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则 a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【答案】B 【解析】方法一：代值排除法。当a ＝1时，A ＝R ，符合题意；当a ＝2时，∵B ＝[1，＋∞)，A ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)∴A ∪B ＝R ，符合题意． 综上，选B. 方法二： ∵B ＝[a －1，＋∞)，A ∪B ＝R ，∴A ?(－∞，a －1)． 由(x －1)(x －a )≥0?当a ＝1时，x ∈R ，当a ＝1时符合题意；当a ＞1时x ∈(－∞，1]∪[a ，＋∞)， ?1≥a －1，解得1＜a ≤2；当a ＜1时x ∈(－∞，a ]∪[1，＋∞)?a ≥a －1?a ＜1.综上，a ≤2，选B. 107. 【2013上海,文18】钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】便宜没好货?便宜则不是好货?好货则不便宜，所以“好货”是“不便宜”的充分条件，选A. 110. 【2014福建,文1】若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ?等于 （ ） } { } { } { }{ .34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 【答案】A 考点：集合的运算. 111. 【2014福建,文5】命题“[)30,.0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 （ ） ()()[)[)333 3 000000.,0.0.,0.0.0,.0 .0,.0 A x x x B x x x C x x x D x x x ?∈-∞+ 【答案】C 【解析】 试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)3 0,.0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 [)30000,.0x x x ?∈+∞+<，选C . 考点：全称命题与存在性命题. 112. (2013福建，文2)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A 113. (2013福建，文3)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集个数为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 【答案】C 【解析】由题知A ∩B ＝{1,3}，故它的子集个数为22＝4. 117. 【2015高考福建，文2】若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则M N 等于（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1,2 D {}0,1 【答案】D 【解析】由交集定义得{}0,1M N = ，故选D ． 【考点定位】集合的运算． 二、填空题 1.【2013湖南，文10】已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则( U A )∩B ＝__________. 【答案】{6,8} 【解析】(){}{}{}6,82,6,86,8u C A B ==I I . 2. 【2015高考湖南，文11】已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B e)=_____. 【答案】{1，2，3}. 【解析】由题U B e={2}，所以A (U B e)={1，2，3}. 【考点定位】集合的运算 3. 【2014全国1，文14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 4. 【2014高考重庆文第11题】 已知集合{3,4,5,12,13},{2,3,5,8,13}A B ==，则A B = _______. 【答案】{}3,5,13 考点：集合的运算. 6. 【2013天津，文9】i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 【答案】5－5i 【解析】(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i2＝5－5i. 7. 【2015高考天津，文9】i 是虚数单位,计算12i 2i -+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i -+---===-+++. 【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算.. 11. (2013福建，文16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足： (ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①A ＝N ，B ＝N *； ②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝R . 其中，“保序同构”的集合对的序号是__________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 【答案】①②③ 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便) 《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④ 5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．． 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 （ ） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件 1 高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则 （ ） A ．:,2p x A x B ??∈∈ B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈? D ．:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 ．（2013年高考湖南（文））“1 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是() A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数 B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数 C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数 D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数 【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”． 【答案】 A 2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是() A．0B．1 C．2D．3 【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a ＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C. 【答案】 C 3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是() A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” 【解析】逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a＞0且b＞0”，故选B. 【答案】 B 4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是() A．若x≠3，则x2－2x－3≠0 B．若x＝3，则x2－2x－3≠0 C．若x2－2x－3≠0，则x≠3 D．若x2－2x－3≠0，则x＝3 集合与常用逻辑用语 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知集合A={x|x=2n —l ，n∈Z}，B={x|x 2一4x<0}，则A ∩B=（ ） A ．}1{ B ．}41{< 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 常用逻辑用语 常用逻辑用语 命题及其关系 命题 四种命题 四种命题间的相互关系 充分条件与必要条 件 充分条件与必要条件 充分条件、必要条件的四种类型简单的逻辑连接词 “且”“或”“非” 命题p∨q，p∧q ，?p 的真假判定 全称量词与存在量 词 全称量词与全程命题 存在量词与特称命题 含有一个量词的命题的否定 一、命题及其关系 1．命题 命题定义：能够判断真假的语句，即能够判断对错的陈述句． 真假命题：判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 一般形式：“若p ，则q ”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 例如： 命题：“太阳比地球大”（真命题），“若1x =，则13x +=”．（假命题） 非命题：“打篮球的个子都很高吗？”，“我到河北省来”．（不能判断真假） 2．四种命题 原命题：题目直接给的命题． 逆命题：把原命题反过来说． 否命题：把原命题条件和结论否了（用? p 和? q 表示，读作“非p ”和“非q ”）． 逆否命题：把原命题反过来说，再把条件和结论否了． 例如： 3．四种命题的关系 关系图： 结论： 原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同，即：如果两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． 例如： 原命题：如果1 x=，那么2230 x x +-=（真命题） 逆命题：如果2230 x x +-=，那么1 x=（假命题） 否命题：如果1 x≠，那么2230 x x +-≠（假命题） 逆否命题：如果2230 x x +-≠，那么1 x≠（真命题） 如果两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 例如： 原命题：如果1x =，那么12x +=（真命题） 逆命题：如果12x +=，那么1x =（真命题） 否命题：如果1x ≠，那么12x +≠（真命题） 练习题： 集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集： 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 高中数学新课标典型例题：子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法． 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. §1.1 命题与量词 1.1.1 命 题 学习目标 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假． 知识点 命题的概念 1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． 3．分类 命题? ??? ? 真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句. 1．一般陈述句都是命题．( × ) 2．命题也可以是这样的表达式：“x >5”．( × ) 3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．( √ ) 4．含有变量的语句也可能是命题．( √ ) 5．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × ) 题型一 命题的判断 例1 下列语句为命题的有________．(填序号) ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③220是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}中的元素； ⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′. 答案 ①④ 解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句． 反思感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点 (1)陈述句才可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题． 跟踪训练1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π 3是有理数； (2)3x 2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义 题点 命题的定义 解 (1)“π 3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． (4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 题型二 命题真假的判断 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1集合与常用逻辑用语重要知识点
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