同步讲义7三角恒等变换提升课

三角恒等变换 方法与技巧

1 三角恒等变换中角的变换的技巧

三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换. 观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角

例1 已知cos ????π6＋α＝3

3，求cos ????5π6－α的值.

二、利用目标中的角表示条件中的角

例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝13

5，则tan 2α＝_______________________.

三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ????π4－x ＝513，0

四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角

例4 求函数f (x )＝1－3

2sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.

2 三角函数化简求值的“主角”

三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角

例1 已知sin α＝1

2，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________.

点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β、α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝1

2[(β＋α)－(β－α)]等.

第二招 复角化单角

例2 化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).

第三招 复角化复角

例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(34π＋β)＝5

13，求sin(α＋β)的值.

3 三角恒等变换的几个技巧

三角题是高考的热点，素以“小而活”著称. 除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧. 一、灵活降幂

例1 3－sin 70°

2－cos 210°

＝________.

点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－1

2sin 22θ，等等.

二、化平方式 例2 化简求值：12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π

2

，2π)).

点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.

三、灵活变角

例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3＋2α)＝________.

四、构造齐次弦式比，由切求弦

例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ

1＋sin 2θ的值是________.

点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ

1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐

次弦式比.

五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －

1α的值 例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

4 聚焦三角函数最值的求解策略

一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解

例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x

2－sin 2x 的最值.

例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合.

点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值.

二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋1

2sin x －1的值域.

例4 求函数y ＝sin x ＋3

cos x －4的值域.

点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b

c cos x ＋

d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求

最值.

三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值

例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.

点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决.

例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.

点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值. 注意以下结论的运用：设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝1

2(t 2－1)；sin x －cos x

＝t ，则sin x cos x ＝1

2(1－t 2).

四、利用函数的单调性求解

例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )

2＋sin x 的最值.

例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的

面积为P ，正方形面积为Q . 求P

Q 的最小值.

点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.

5 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点

一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝

55，sin β＝1010

，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝310

10

， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝

55×31010＋255×1010＝22

. 因为α，β∈????0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π

4.

温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小. 二、忽视条件中隐含的角的范围而致错

例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.

[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：

?

????

tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.

∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝5

4π.

温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.

三、忽略三角形内角间的关系而致错

例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝5

13，求cos C .

[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝12

13，

当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16

65.

当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝56

65.

温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现. 四、忽略三角函数的定义域而致错

例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x

1＋sin x ＋cos x

的奇偶性.

[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x

＝1＋2sin x 2cos x 2－????1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋????2cos 2x 2－1＝2sin x

2????cos x 2＋sin x 22cos x 2????sin x 2＋cos x 2＝tan x

2，

由此得f (－x )＝tan ????－x 2＝－tan x

2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数.

温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错.

五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错

例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ???

?θ＋π

4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ????θ＋π

4＝±2， ∴sin ????θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π

4，k ∈Z .

温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b 2)·sin (x ＋φ)的左端是同角x . 当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式., 例如：函数f (x )＝sin (x ＋θ)＋\r(3)cos (x －θ)(x ∈R )的最大值不是2.

6 平面向量与三角函数的交汇题型大全

平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想. 这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、

模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇

例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.

点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.

二、平面向量垂直与三角函数交汇

例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π

4)＝________.

点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理.

三、平面向量夹角与三角函数交汇

例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π

3，则θ＝________.

点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解.

四、平面向量的模与三角函数交汇

例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________.

点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解.

五、平面向量数量积与三角函数交汇

例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π

3)(－2

B 、

C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →

等于( )

A.－32

B.－16

C.16

D.32

点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.

7 单位圆与三角恒等变换巧结缘

单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.

一、借助单位圆解决问题

例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝1

3，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB

中点的坐标为????x 1＋x 22，????y 1＋y 22)

点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值.

二、单位圆与恒等变换的交会

例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________.

例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C .

(1)若α＝π6，β＝π

3

，求点M 的坐标；

(2)设α＝θ(θ∈????0，π3)，β＝π

3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.

点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.

8 用好辅助角公式

在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝b

a 确定，它在三角函数中应用比较广泛.

一、求最值

例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值.

二、求单调区间

例2 求函数y ＝12cos 2x ＋3

2sin x cos x ＋1的单调区间.

三、求周期

例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( )

A.2π

B.π

C.π2

D.π

4

四、求参数的值

例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π

8

对称，则实数a 的值为( )

A. 2

B.－ 2

C.1

D.－1

9 二倍角公式用法揭秘

从两角和的三角公式推出二倍角的正弦、余弦和正切公式，是化归思想的体现，倍角公式的内涵是：揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律. 一、二倍角公式的正用

例1 已知sin α＋cos α＝1

3，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.

评注 一般情况下，求sin 2α、cos 2α时需先求出sin α、cos α的值，往往需用到平方关系和方程或方程组，解题过程中需注意角α的范围的判定，即cos α符号的判定.

二、二倍角公式的逆用

例2 已知sin ????π4＋x sin ????π4－x ＝16，x ∈????π

2，π，求sin 4x 的值.

评注 一般说来，在题目中有单角、倍角时，应将倍角化为单角，同时应注意2α、2α－π2、α－π

4等

角之间关系的应用.

三、二倍角公式的变形应用

例3求tan 67°30′－tan 22°30′的值.

评注二倍角公式灵活多样，应用广泛，如升幂、降幂等，在具体应用中要根据具体的题目要求，合理选用公式进行相关运算.

四、二倍角公式的构造

例4求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.

评注有些数学问题，可根据本身的特点，相应地构造相“匹配”的另一整体，然后由其相依相伴的关系进行求解，这种思想我们称之为“配对”，三角函数中的sin α、cos α就是一种常见的对偶关系.

三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）

三角恒等变换讲义

《三角恒等变换》 广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班沈荣春 开心哈哈 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。 制胜装备 （1）和与差的三角函数公式 （a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； （b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式； （c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系； （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换； 战前动员 失之毫厘，谬以千里 1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。 在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……” 即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。 古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。

战况分析 扫清障碍 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α αα = -。 3．半角公式 2cos 12 sin αα -± = 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s 1c o s 12t a n +-±= （α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -=+= ） 4．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin = ；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2 αα+=。

九年级历史下册 第7课 疯狂的战车教案 北师大版

第7课疯狂的战车 教学目标 1．以慕尼黑会议为例，说明绥靖政策的实质和恶劣影响。 2．简述德国进攻波兰和苏联、日本偷袭珍珠港等导致第二次世界大战全面爆发和逐步扩大的主要事件。 教学重难点 重点：德国突袭波兰和苏联、日本发动太平洋战争的主要史实。 难点：对绥靖政策的实质和危害的理解。 教学过程 导入新课 大千世界无奇不有，但是炮弹式花瓶你见过吗？下面就请同学们先一睹它的绝妙身姿吧！这款形状特别的花瓶，巧妙地将炸弹和花朵组合在一起，对比战争与和平。 任何时候，虽然总是有更多的人渴望和平的降临，但战争的阴霾并没有远离。1939年9月1日，德军对波兰发动突然进攻。作为波兰的盟国，英法只得对德宣战，第二次世界大战全面爆发。但紧接着出现的局面却让人费解：一方面，德国法西斯以牛刀杀鸡之势，压向波兰；另一方面，在西欧战场的法德边境上，百万英法联军却按兵不动，坐观波兰灭亡。为什么会出现这种奇怪的现象？这背后还有哪些鲜为人知的内幕？我们一起走进今天的历史课堂。推进新课 一、和平到来了吗？ 1．希特勒对捷克斯洛伐克提出领土要求 请同学们阅读教材中的内容，了解书中要求掌握的基本知识点。 （学生快速阅读教材内容） 问题1：希特勒上台后德国吞并的第一个国家是哪个？ （奥地利） 问题2：德国吞并奥地利实际上是向哪一条约的挑战？ （《凡尔赛和约》） 拓展：阅读下列材料，思考问题。（多媒体展示材料） 问题3：德国兵不血刃地吞并了奥地利，各国政府态度如何呢？ （英国、法国、美国这些主要帝国主义强国对德国的侵略行径采取了听之任之的态度，放纵侵略！） 教师总结：1936年，法西斯德国无视《凡尔赛和约》的规定，进军莱茵非武装区；1938年，又兵不血刃地吞并了奥地利。德国的这些扩张举动，竟然没有受到英、法、美的干涉。希特勒便把侵略矛头指向捷克斯洛伐克，要求割占捷克斯洛伐克的苏台德地区。 2．慕尼黑协定的签订（1939年9月）及影响 （多媒体展示图片《慕尼黑会议》） 教师介绍：这就是当年慕尼黑会议上的张伯伦、达拉第、希特勒和墨索里尼，他们无耻地导演了一场丑剧！事后，捷克斯洛伐克的总统哀叹：我们被可耻地出卖了！历史上把这一事件称为“慕尼黑阴谋”。

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】

高三数学解三角形一对一讲义

XX教育，让每个孩子更优秀! XX教育学科教师辅导讲义 组长签字： 一、导入目录 1、必备基础知识 2、不同类型典型例题及应用 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习 梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题 知识点一：三角形中各元素间的关系 1、在直角△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b a 。 2、斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC 知识点二：三角形的面积公式 （1）?S ＝21aha ＝21bhb ＝21 chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21 acsinB ； （3）三角形面积=abc/4R(其中R 是三角形外接圆半径） (4) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] （其中（p=(a+b+c)/2） ） 知识点三：解三角形 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）

2021年九年级历史下册第二单元第7课疯狂的战车同步练习含解析北师大版

2021年九年级历史下册第二单元第7课疯狂的战车同步练习含解析 北师大版 1. 中国人常用“饮鸩止渴”来告诫人们，不要只顾眼前利益，而不顾将来的祸患。历史上“饮鸩止渴”的典型会议是（） A．巴黎和会 B．华盛顿会议 C．慕尼黑会议 D．雅尔塔会议 答案： C 知识点：第二次世界大战的爆发 解析：试题分析：本题考查的是慕尼黑会议。解答的关键是对“饮鸩止渴”进行知识迁移，根据所学知识，绥靖政策也称姑息政策和“饮鸩止渴”的意思非常接近。绥靖政策是一种对侵略不加抵制，姑息纵容，退让屈服，以牺牲别国为代价，同侵略者勾结和妥协的政策。第二次世界大战前，这一政策最积极的推行者是英国、法国、美国等国，1938年9月，在慕尼黑召开了由希特勒、墨索里尼、张伯伦、达拉第参加的德意英法四国首脑会议，决定把苏台德区“转让”给德国。这就是臭名远扬的“慕尼黑协定”。而割让领土的捷克，却没有权利出席会议。后来绥靖政策的执行者最先遭到了法西斯的进攻，A,B,D三项不符合题意，故选C。点评：本题考查的是慕尼黑会议。 2. 二战全面爆发的标志是（） A．斯大林格勒会战 B．德国“闪击”波兰，英法对德宣战

C．德国吞并奥地利 D．德国吞并苏台德区 答案：B 知识点：第二次世界大战的爆发 解析：试题分析: 本题考查的是二战的爆发。1939年9月1日，德军向波兰发动突然袭击。9月3日，英法在向德国提出停止军事行动的照会遭到拒绝后，根据此前同波兰签订的条约先后对德宣战。第二次世界大战全面爆发。因此选B。 点评：本题考查的是二战的爆发。 3. “我不知道你们的国家是否会从慕尼黑做出的决定中得到好处，但肯定无疑的是，我们不会是最后一个受害者。在我们之后，其他人也将遭受同样的命运。”这段话中的“我们”是下列哪一国人（） A．德国 B．波兰 C．捷克斯洛伐克 D．埃塞俄比亚 答案：C 知识点：第二次世界大战的爆发 解析：试题分析：本小题考查的是慕尼黑阴谋。面对法西斯的侵略，英法等西方大国不去加以严厉制裁，反而推行绥靖政策，牺牲弱小国家和民族的利益，企图祸水东流，引向苏联。1938年9月，德、意、英、法四国政府首脑在德国的慕尼黑召开会议，签订慕尼黑协议，在没有捷克代表参加的情况下，不顾捷克的利益，强行把捷克的苏台德等地割让给德国，这一事件被称为慕尼黑阴谋。慕尼黑阴谋再次满足了德国法西斯的侵略要求，把绥靖政策推向顶峰，其影响极其恶劣，使法西斯国家得寸进尺，侵略野心日益膨胀，一步一步把世界推向了战争的威胁。所以题文中的我们应指的是捷克，在它之后更多的国家遭到了法西斯的侵略，特别是法国自食恶果，被法西斯德国灭国，就是最好的证明 点评：本小题考查的是慕尼黑阴谋。 4. 20世纪上半期召开的国际会议中，把纵容法西斯侵略的绥靖政策推向顶峰的是（）A．雅尔塔会议 B．巴黎和会 C．华盛顿会议 D．慕尼黑会议 答案： D 知识点：第二次世界大战的爆发

三角恒等变换(讲义)

三角恒等变换（讲义） ? 知识点睛 一、两角差的余弦公式推导 如图，在平面直角坐标系x O y 内作单位圆O ，以O x 为始边 作角αβ，，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则 (cos sin )OA αα??→=，，(cos sin )OB ββ??→ =，， ∴(cos sin )(cos sin )OA OB ααββ??→??→?==， ，?_____________． （1） （2） 设OA ??→与OB ??→的夹角为θ， 则OA OB ??→??→?=cos OA OB θ??→??→ ?=_____________， ∴______________________________________． 由图1可知，2k αβθ=π++，由图2可知，_____________， 于是αβ-=____________， ∴cos()αβ-=__________________________， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，记作()C αβ-． 二、两角差的其他公式 利用诱导公式可得 ()S αβ-：sin()=sin cos cos sin αβαβαβ-- ()T αβ-：tan tan tan()= 1tan tan αβαβαβ --+ 以β代β-，可得到()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+ ()C αβ+：________________________ ()S αβ+：________________________ ()T αβ+：________________________ ()C αβ+，()S αβ+，()T αβ+这三个公式叫做和角公式； ()C αβ-，()S αβ-，()T αβ-这三个公式叫做差角公式． 三、倍角公式

2019-2020年九年级历史下册第二单元第7课疯狂的战车同步练习含解析北师大版

2019-2020年九年级历史下册第二单元第7课疯狂的战车同步练习含 解析北师大版 1. 中国人常用“饮鸩止渴”来告诫人们，不要只顾眼前利益，而不顾将来的祸患。历史上“饮鸩止渴”的典型会议是（） A．巴黎和会 B．华盛顿会议 C．慕尼黑会议 D．雅尔塔会议 答案： C 知识点：第二次世界大战的爆发 解析：试题分析：本题考查的是慕尼黑会议。解答的关键是对“饮鸩止渴”进行知识迁移，根据所学知识，绥靖政策也称姑息政策和“饮鸩止渴”的意思非常接近。绥靖政策是一种对侵略不加抵制，姑息纵容，退让屈服，以牺牲别国为代价，同侵略者勾结和妥协的政策。第二次世界大战前，这一政策最积极的推行者是英国、法国、美国等国，1938年9月，在慕尼黑召开了由希特勒、墨索里尼、张伯伦、达拉第参加的德意英法四国首脑会议，决定把苏台德区“转让”给德国。这就是臭名远扬的“慕尼黑协定”。而割让领土的捷克，却没有权利出席会议。后来绥靖政策的执行者最先遭到了法西斯的进攻，A,B,D三项不符合题意，故选C。 点评：本题考查的是慕尼黑会议。 2. 二战全面爆发的标志是（） A．斯大林格勒会战 B．德国“闪击”波兰，英法对德宣战 C．德国吞并奥地利 D．德国吞并苏台德区 答案：B 知识点：第二次世界大战的爆发 解析：试题分析: 本题考查的是二战的爆发。1939年9月1日，德军向波兰发动突然袭击。9月3日，英法在向德国提出停止军事行动的照会遭到拒绝后，根据此前同波兰签订的条约先后对德宣战。第二次世界大战全面爆发。因此选B。 点评：本题考查的是二战的爆发。 3. “我不知道你们的国家是否会从慕尼黑做出的决定中得到好处，但肯定无疑的是，我们不会是最后一个受害者。在我们之后，其他人也将遭受同样的命运。”这段话中的“我们”是下列哪一国人（）

三角恒等变换考点典型例题

江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝

角函数讲义适用于高三第一轮复习

角函数讲义适用于高三 第一轮复习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

三 角恒等 变换 知识点睛 1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααα α tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式 4．倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα 5．降幂公式22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+=ααα2sin 2 1 cos sin = 6．幅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22?ω++=x b a ，其中a b =?tan 7．和差化积、积化和差公式（此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±，2 cos 2 sin sin 1α α α±=± 例题精讲 解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα （2）由题意，125cos sin tan -== ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，13 12 cos = α （3）∵0cos <α，∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2= -=αα，815 cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2- =--=αα，8 15 cos sin tan == ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负 符号的确定

疯狂的战车教案

《疯狂的战车》教案 一、教材内容 《疯狂的战车》这节课所涉及的内容是德国、意大利、日本等国走上法西斯道路形成轴心国集团以后，不断侵略扩张的史实。面对法西斯的侵略扩张，西方大国采取了以《慕尼黑协定》为代表的妥协退让的绥靖政策。德国在占领捷克斯洛伐克后，突袭波兰，第二次世界大战全面爆发。德国突然袭击苏联后，第二次世界大战进一步扩大。日本偷袭珍珠港后，第二次世界大战达到最大规模。 二、教学目标 《疯狂的战车》这节课的学习，不仅要让学生掌握和理解基本的历史知识和线索，而且还要加强学生分析历史问题的能力以及加强情感价值观的培养，具体表现在以下三个方面： 1、在知识和技能方面，掌握慕尼黑会议的召开和《慕尼黑协定》的签订及后果，德国闪击波兰，德国闪击苏联，莫斯科保卫战的胜利，珍珠港事件。 2、能力方面要加强学生分析问题方法的培养，主要通过思考，讨论绥靖政策的实质和恶劣影响。概括第二次世界大战全面爆发、进一步扩大和达到最大规模的进程，培养学生对知识的迁移、归纳和说理分析的能力,这既是本课的教学重点，又是教学难点，使学生必须掌握和理解的内容。 3、在情感价值观方面，通过慕尼黑协定认识到帝国主义国家以牺牲小国的利益是一种绥靖政策，最后是自食其果，深受其害。法西斯国家扩张侵略，促使世界反法西斯同盟的形成。它是第二次世界大战走向胜利的重要保证。第二次世界大战初期，徳、意、日法西斯进行的是帝国主义的非正义的战争。理解全世界人民团结战斗的必要性，认识正义的力量只是加强联合，才能有效地战胜邪恶势力。 三、教学设计 导入新课

1、提问：法西斯专政建立后，它们对内进行专治统治，对外进行侵略扩张，犯下了哪些罪行，学生回顾上节课内容，出示表格 学生回答，教师归纳 2、讲述：在徳意日法西斯的侵略行为得到英法美等国的纵容，法西斯国家，尤其是德国的侵略愈发嚣张，得寸进尺，变本加厉。战争的乌云笼罩在整个欧洲的上空。 出示板书课题第7课《疯狂的战车》 检查学生导学案预习情况 学习新课 1、和平到来了吗 ①讲述：英法等国的软弱退让非但没换来和平反而造成了法西 斯的步步进逼。很快吞并了奥地利，又把矛头指向捷克斯洛伐克。1938年9月底，英、法、徳、意四国在慕尼黑举行会议，并签订了《慕尼黑协定》。 出示课件 学生回答 《慕尼黑协定》的签订后，张伯伦拿着一纸空文高兴的回到了英国，并进行了以下广播，出示课件。让学生模仿张伯伦进行广播。 出示课件，进行问题的讨论。 师：对，由于英法大国的绥靖政策，希特勒德国得寸进尺，出示课件，很快占领了捷克斯洛伐克。 影响（出示课件）：希特勒德国占领了捷克斯洛伐克，他的野心并没有得到满足，他想吞并整个欧洲，这就加速了第二次世界大战爆发。 2、闪击波兰

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】

2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.3 第2课时 简单的三角恒等变换

第2课时 简单的三角恒等变换 三角函数式的化简 1．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan ????π4－x sin 2????π4＋x ＝ . 答案 1 2 cos 2x 解析 原式＝1 2 (4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ????π4－x cos ????π 4－x ·cos 2???? π4－x ＝(2cos 2x －1)2 4sin ????π4－x cos ??? ?π4－x ＝cos 22x 2sin ??? ?π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝1 2cos 2x . 2．当π<α<2π时，化简：(1＋sin α＋cos α)????sin α2 －cos α 22＋2cos α＝ . 答案 cos α 解析 原式＝ ? ???2cos 2α2＋2sin α2cos α2???? sin α2－cos α24cos 2 α 2

＝2cos α 2? ???cos α2＋sin α2????sin α2－cos α22????cos α2 ＝cos α 2(－cos α) ??? ?cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α 2<0. ∴原式＝－cos α 2 cos α －cos α2 ＝cos α. 3．化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－1 2cos 2αcos 2β＝ . 答案 12 解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－1 2(2cos 2α－1)(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－1 2 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－1 2 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝1 2 . 方法二(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β????sin 2α＋1 2cos 2α ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝1 2 . 4．化简：sin (2α＋β)sin α －2cos(α＋β)．

完整版简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习、公式体系

(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2

简单的三角恒等变换(讲义)

简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b

三角恒等变换经典练习题

专题五《三角恒等变换》综合检测 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-

【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义

【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义 （学生版） 【重难点知识点网络】： 1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= .ααααcos sin 21)cos (sin 2 ±=± ?由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 3 二倍角公式及降幂公式 sin 22sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα = -. 221cos 21cos 2sin ,cos 22 αα αα-+= = 4 三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T π ω= ； 函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期|| T πω= .

三角函数的图像： 【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值 例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ?-??=（ ） A ． 2 B ． C ． 12 D ．12 - （2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41??+??=（） A ． 1 2 B ．12 - C D ． 【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15 =（ ） A ． 4 B ． 4 C ． 24 + D ． 4 （2）．已知()2tan 5αβ+= ，1tan 44πβ??-= ???，那么tan 4πα? ?+= ?? ?（ ） A ． 1318 B ． 13 22 C ． 322 D ． 518 例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα? ? + = ?? ? （ ） A ．45 - B ． 35 C ． 35 D ． 45

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结及练习

第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++= - ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2 αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα =-． 2６、 2７、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： (１）角的变换:在三角化简,求值，证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角 之间的和差，倍半,互补，互余的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异,使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍;2α是4 α的二倍； ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2 cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-±=+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 22αααααα万能公式+-=+=

三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义 一、【知识梳理】： 1．两角和与差的三角函数公式 2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/ (1＋tan αtan β)． (2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2 . (4)其他常用变形 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α ； 1±sin α＝? ????sin α2 ±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式 a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝????π4＋α－π4＝? ???α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，????π4＋α＋????3π4－α＝π，????π3＋α＋????π6－α＝π2 . (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°. 三、方法归纳总结： 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 2．三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角