函数导数知识点
高考复习资料
指数函数、对数函数与幂函数
知识回顾
Ⅰ、指数函数的概念及运算性质
1n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根
都等于00
2、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈时，n a =
B 、n a ；n 00
a a a a
a ≥?=?
-
3、正数的正分数指数幂的意义：0,,,1)m n
a a m n N n +=>∈> 正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-+=
=
>∈>
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4、指数概念由整数扩充到有理数后，指数的运算性质由5条合并成3条
①(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =?>>∈
Ⅱ、对数的概念及运算性质
1、概念：log ,(0,1)x a y a x y a a =?=>≠，以10为底的对数叫做常用对数：10log lg a a =；以e=2.71828为底的对数叫自然对数：log ln e a a =
2、对数的性质：对数log ,(0,1)a N a a >≠的性质：①0N >；②log 10a =；③log 1a a =
3、对数的运算法则：
①log a M N ?=____________________；②log a
M
N
=____________________；③log n a M =____________________；
④log a =______________；⑤换底公式：log a b =______________；
换底公式推论：log n
m a b =_______________； ⑥倒数公式：log log 1a b b a ?=；⑦对数恒等式：log log 10log 1a b a a a a b ===①②③④log log log a b a b c c ?=
Ⅲ、指数、对数函数的概念
（1）指数函数的概念：函数x y a =叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域为R ； （2）对数函数的概念：函数log a y x =叫做对数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的值域是R 。
Ⅳ、幂函数的概念
形如y x α=的函数称为幂函数（α为常数），重点掌握11
1,2,3,,,123
α=-时的幂函数及其图像。
Ⅴ、幂函数的性质和图像
幂函数的图像分为二大类，三种情况。A 类：当0a >时，a y x =在第一象限内为增函数，A 类分两种情况；
B 类：当0a <时，a y x =在第一象限内为减函数，B 类只有一种情况。
总结：1、所有幂函数在(0,)+∞内有定义，并且过定点(1,1)；
2、当0a >时，幂函数图像过原点，且在第一象限内单调递增；
3、当0a <时，幂函数在第一象限单调递减。 作法：1、标注(1,1)，根据a 的大小确定单调性；
2、根据a 的大小和单调性确定第一象限的图像；
3、根据奇偶，定义域确定图像的其余部分。
Ⅵ、指数、对数函数的图像
函数与方程及函数模型
知识回顾
Ⅰ、函数与方程
1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与一元二次方程系数之间的关系
（1）方程有两个不相等的正实数根： （2）方程有两个不相等的负实数根：
212124000b ac b x x a c x x a ?
??=->?
?
+=->??
?
?=>??
212124000b ac b x x a c x x a ?
??=->?
?
+=-
?
?=>??
0a <
1a > 01a <<
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的区间根问题
研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑： （1）一元二次方程根的判别式；
（2）对应二次函数区间端点函数值的正负； （3）对应二次函数图像——抛物线的对称轴2b
x a
=-
与区间的端点的位置关系。 设12,x x 是实系数二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两实根，则12,x x 的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：
3、函数的零点与方程的根的关系
（1）一般地，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。我们称方程()0f x =的实数根叫做函数()y f x =的零点，函数的零点就是使得函数值为0的自变量的值。
（2）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即方程()0f x =有实数根?函数()y f x =有零点?函数()y f x =的图像与x 轴有交点。
（3）函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图像与函数()y g x =图像交点的横坐标。
（4）函数的零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程()0f x =没有实数根?函数()y f x =没有零点?函数()y f x =的图像与x 轴没有交点。
4、用二分法求方程近似解
用二分法求函数()0f x =近似解的一般步骤：
第一步：确定一个区间(,)a b ，使得()()0f a f b ?<； 第二步：求区间(,)a b 的中点1x ；
①若1()0f x =，则1x 就是函数的零点，计算终止；②若1()()0f a f x ?<，则令1b x =【此时零点01(,)x a x ∈】；③若1()()0f x f b ?<，则令1a x =【此时零点01(,)x x b ∈】
第四步：判断是否达到精度ε：即若a b ε-<，则得到零点近似值；否则重复第二、第三、第四步。
Ⅱ、函数模型及其应用
1、在区间(0,)+∞上，函数(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一档次上；
2、随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，表现为指数爆炸；log (1)a y x a =>的增长速度越来越慢。
3、随着x 的增大，(1)x y a a =>的图像逐渐表现为与y 轴平行，而log (1)a y x a =>的图像逐渐表现为与x 轴平行。
4、总会存在一个0x ，当0x x >时，有log n a x x <
5、(1)x y a a =>的增长速度大于(0)n y x n =>的增长速度大于log (1)a y x a =>的增长速度。
导数的概念及其运算
知识回顾
二、基本初等函数的导数公式
1、若()f x c =，则'()f x =_________；
2、若()n
f x x
=，则'()f x =__________；3、若
()s i n f x x
=，则'()f x =___________；
3、若()c o s f x x
=，则'()f x =_________；5、若
()x
f x a
=，则'
()f x =__________；6、若()x
f x e =，则'()f x =_________；
7、若()log f x x a
=，则'()f x =_________；8、若()ln f x x =，则'()f x =__________； 三、两个函数的四则运算的导数
1、()'''u v u v ±=±
2、()'''uv u v uv =+
3、2
''()'(0)u u v uv v v v -=≠
四、复合函数的导数
'''x u x y y u =? 五、导数的几何意义
函数()y f x =在点0
x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。也就是说，曲线
()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是'0()f x ，相应地，切线方程为'000()()y y f x x x -=-。
导数的应用——函数的单调性
知识回顾
1、函数单调性的充分条件：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果'()0,f x >则()y f x =在这个区间内是单调递增函数；如果'()0,f x <则()y f x =在这个区间内是单调递减函数。
则在该区间内'()0,f x ≥（或0≤）
3、函数的最大值与最小值
（1）如果在函数定义域I 内存在0x ，使得对任意x I ∈，都有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数的最大值，记作max 0()y f x =；如果在函数定义域I 内存在0x ，使得对任意x I ∈，都有0()()f x f x ≥，则称0()f x 为函数的最小值，记作min 0()y f x =。
（2）在闭区间[,]a b 上连续的函数()y f x =，在[,]a b 上一定有最大值与最小值。
（3）求可导函数在闭区间最大值与最小值的步骤：
①求函数()y f x =在[,]a b 内的极值；②讲函数()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
点、线、面解题思想与方法专题
一、点、线、面关系知识网络
??
???公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内平面的基本性质公理二:如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线公理三:经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面平行——公理四:平行于同一直线的两条直线互相平行相交——等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等
异面
空间两条直线异面直线所成????????????
????????定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线角求法：一找二证三计算直线在平面内——判定：公理一________________________________________________线线平行，则线面平行；判定平行面面平行，则线面平行。性质：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行直线与平面直线在平面外判垂直相交11,a l l a l a l αα??????????????????
?????????????????????*?⊥?⊥????定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和平面垂直。一条直线与平面垂直，则直线与平面内的任一直线都垂直。性质：垂直于同一平面的两条直线平行。是在内的射影，判定:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行平行两个平面平行，其中性质:平面与平面90 ????
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一个平面内的直线必平行于另一个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行判定:如果两个平面所成的二面角为，则这两个平面垂直垂直相交性质:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直斜交：二面角求法：垂面法、三垂线法 * (1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
(2)三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
(3)三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
椭圆、双曲线、抛物线
知识回顾
1、定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆； ②到两个定点12,F F 的距离只差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹叫双曲线；
③平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；
2、统一定义：平面内一动点到一定点F 的距离与它到定直线l 的距离的比值等于常数的点的轨迹叫圆锥曲线，
直线与圆
知识回顾
一、直线的倾斜角、斜率和方程
1、直线方程的五种形式：点斜式____________________________；斜截式____________________________；两点式_________________________；截距式_________________________；一般式_________________________；
2、两直线位置关系的判定：（1）设两条直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，倾斜角分别为12,αα，则12//l l 时，12αα=，从而有12//l l ?_____________。这是对于不重合的直线12,l l 而言的，如果12,l l 是否重合不能确定时，12k k =，可以得到________________或________________。 （2）若两条直线都有斜率，且12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12l l ⊥?__________________。若1l 的斜率为0，当12l l ⊥时，2l 的斜率_________________，其倾斜角为__________________。
3、①1l 到2l 的角：设直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且1l 和2l 不垂直，1l 到2l 的角为θ，则有21
21
tan 1k k k k θ-=
+，1l 到
2l 的角θ的取值范围是[0,]π；②1l 与2l 的夹角：设直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且1l 和2l 不垂直，1l 与2l 的夹角
为?，则2121
tan 1k k k k ?-=
+，1l 与2l 的夹角的取值范围是[0,]2π
。
5、直线系方程：具有某种共同性质的所有直线的集合叫直线系方程，常见的直线系方程有：
①平行直线系方程：与0Ax By C ++=平行的所有直线可设其方程为10Ax By C ++=； ②垂直直线系方程：与0Ax By C ++=垂直的所有直线可设其方程为10Bx Ay C -+=； ③共点直线系方程：过一定点00(,)x y 的所有直线方程可表示为00()y y k x x -=-和0x x =；
④交点直线系方程：设1111:0l A x B y C ++=与1222:0l A x B y C ++=是两相交直线，则经过它们的交点00(,)P x y 的直线可表示为：111222()0,A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为参数，该方程不包括2l ）
6、中点公式：已知111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的中点，则
122x x x +=；122
y y
y +=； 7、重心公式：在△ABC 中，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，重心为(,)G x y ，则1233x x x x ++=
；1233
y y y
y ++=。
8、两点间距离公式：已知平面上两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12PP
9、点到直线的距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 。
10、两条平行线的距离公式：两条平行线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离d =。
角的概念与任意角的三角函数
知识回顾
1、弧度制：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad （弧度）的角； 扇形的弧长公式：l r α=?；扇形的面积公式：21122
S lr r α==
2、三角函数线： 当r=1时，三角函数值可用单位圆中特定的有向线段即三角函数线直观表示，如下图，正弦线是有向线段MB ，余弦线是有向线段OM ，正切线是有向线段AT ：
3、三角函数值的符号，根据三角函数线可得三角函数在各个象限内的符号如图所示，可用口诀记忆：
αsin αcos αtan
αsin 上正下负横轴为零；αcos 右正左负纵轴为零；αtan 交叉正负横轴为零，纵轴不存在。
4、由角α所在象限，判定
n
α
或n α所在象限 一般地，求半角或倍角的终边所在的范围的步骤为：
（1）在直角坐标系中，从原点出发作射线，把每个象限分成n 等份；
（2）由x 轴正向起，按逆时针方向将所分割的4n 个区域一次标上1，2，3，
1，2，3
，4……如图；
（
3）若α为第k 象限角，则
n
α
的终边在标号为
k 的区域（k=1，
2，3，
4）
α所在的第k 象限含标号为p ，q ……的区域，则n α的终边在第p ，q 以及它们的分界半轴上（k ，p ，q ……=1，2，3，4）
同角的三角函数的基本关系与诱导公式
知识回顾
1、同角的三角函数的基本关系
①平方关系：22sin cos 1;αα+=②商数关系：sin tan cos α
αα
=
；③倒数关系：tan cot 1αα?= 2、诱导公式
公式记忆：奇变偶不变，符号看象限；（注意：①熟记四个象限三角函数值的符号；②不管α在第几象限，统一看作锐角。）
主要作用：变换三角函数的任意角为锐角： →→
三角函数的图象
知识回顾
1、正弦函数、余弦函数及正切函数的图像及位置特征：三角函数图像的基本作法有几何法（利用正弦线，余弦线），描点法（五点法）。 y x o y x o y
x o + +
+ + + + _ _ _ _ _ _
2、用变换法画函数sin()y A x ω?=+（其中A>0，0ω>）的步骤：
由函数sin y x =的图像得到sin()y A x ω?=+的图像是用三种变换交替进行的，一般有两种变换顺序：
↓
↓
沿x 轴平移?个单位 横坐标伸长或缩短
↓ ↓ 横坐标伸长或缩短 沿x 轴平移
?ω
个单位
纵坐标伸长或缩短 纵坐标伸长或缩短
3、函数sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中A>0, 0ω>）的物理意义。
当函数表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”； 2T π
ω
=表示往复振
动一次所需的时间，称为“周期”； x ω?+称为相位；?是x=0时的相位，称为“初相”。
三角函数的性质
知识回顾
1、周期性是三角函数的重要特征之一，应注意如下几点： ①若T 是函数的周期，则()kT k Z ∈也是函数的周期；
②若()y f x =是以T 为最小正周期的函数，则()y f x ω=也是周期函数，其最小正周期为
T
ω
；
③周期函数未必有最小正周期，如常数函数y c =；
④求三角函数的最小正周期，一般需先把函数解析式化简为sin()y A x ω?=+的形式，然后再利用公式法、定义法
2、三角函数的奇偶性
讨论三角函数的奇偶性，要先考察其定义域是否关于原点对称，然后再判断()()f x f x =±-或()()0f x f x ±-=是否成立；函数的奇偶性表现为其图像的对称性（中心对称或轴对称），三角函数的图像经过伸缩或平移后，仍具有对称的特征。
3、三角函数的对称性与周期性
在三角函数的图像中，①若x a =和x b =为两条对称轴，则2()a b -为该函数的一个周期；②若(,0)a ，(,0)b 为两个对称中心，则2()a b -为该函数的一个周期；③若(,0)a 为对称中心，x b =为对称轴，则4()a b -为该函数一个周期；以上结论不仅对三角函数成立，对任意满足条件的函数都成立。 4、三角函数的单调性
正切函数的定义域为,2
x x k k Z ππ??
≠+∈???
?
，它在每个开区间(,)2
2
k k k Z ππππ-+∈内单调递增，但不能说正切函数
在其定义域内是增函数。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识回顾
1、两角和与两角差公式
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
公式记忆：余弦合角化单角，余弦积减正弦积；正弦合角化单角，正余积加余正积。 主要作用：角的分解与组合变换 2、辅助角公式
形如sin cos a x b x +的函数形式，可以用配凑的方法化为：sin cos ),a x b x x ?+=+其中?满足tan b a
?=
，?的象限由点(,)a b 决定。
3、补充知识：平方关系：①22211tan sec cos x x x +==
；②22
2
11cot csc sin x x x
+==；③常用的几组勾股数组：(3,4,5)；(5,12,13)；(7,24,25)；(8,15,17)；(33,56,65)，求三角函数值和恒等变换时，会很方便。
三角恒等变换
知识回顾 1、常用公式
（1）倍角公式：sin22sin cos ααα=；2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；2
2tan tan 21tan α
αα
=- （2）降幂公式（半角公式）：2
1cos sin 22α
α-=
；21cos cos 22αα+=；sin 1cos tan 21cos sin ααα
αα
-==+
2、三角恒等变换解题思路 （1）“变角找思路，范围保运算”； （2）“降幂—辅助角公式—正弦型函数”； （3）巧用sin cos αα±与sin cos αα?的关系； （4）巧用三角函数线——数形结合。
3、运用半角的三角函数时要注意的问题 （1）倍角和半角都是相对而言的，α是
α
的二倍角，但它又是2α的半角；
（2）运用半角公式求三角函数值时，要特别注意的是，必须根据已知条件判断半角（2
α
）所在的象限，从而确定其三角函数值（sin
2
α
）的符号。
4、三角变换的一般方法
（1）角的变换：一般包括角的分解和角的组合：()ααββ=+-；
(
)42
4
π
π
π
αα+=
--，22
α
α=?
等；
（2）项的分拆：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos αααααα+=++=+；
（3）切弦互化：将三角函数式化成弦（切），减少函数种类，化异名为同名，对齐次三角函数式常作化切处理； （4）升幂与降幂：
21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2
α
α-=
5、一些重要的结论
（1）sin cos )4πααα±=± （2）sin()
tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ
±±=±?=
（3）1sin cos )cos()a b ααα?α?+=+=- （4）2
tan cot sin 2ααα
+=
（5）tan cot 2cot 2ααα-=- （6）2(sin cos )1sin 2ααα±=± 6、三角恒等变换的应用
三角恒等变换一般应用在“化简三角函数式”；“求三角函数值”；“证明三角恒等式”。
正弦定理、余弦定理与解三角形
知识回顾
1、三角形中的三角变换，除了满足三角公式和三角变换方法外，还具有三角形自身的特点，在△ABC 中，A 、B 、C 、为其内角，a 、b 、c 、分别表示A 、B 、C 的对边，如图所示： 三角形的内角和：A B C π++=，
角的变换：因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-；sin()cos 22
A B C
+=。 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为三角形外接圆半径）
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍：2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-。它们的变形有：2sin a R A =，sin sin A a
B b
=，222
cos 2b c a A bc
+-=
。 射影定理：cos cos a b C c B =?+?；cos cos b a C c A =?+?；cos cos c a B c A =?+? 三角形的面积公式：21sin 2sin sin sin 2
S ab C R A B C ==
平面向量的基本定理和数量积
知识回顾
1、向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；
（2）模：向量的大小叫做向量的长度（模），记作AB 或|a |；
（3）零向量：长度（或模）为0的向量叫做零向量，记作0，其方向是任意的； （4）单位向量：长度（或模）为1个单位长度的向量叫单位向量；
（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）； （6）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量； （7）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。 2、实数与向量的积
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λa ；长度与方向规定如下：①|λa |=|λ||a|，②当0λ>时，λa 与a 方向相同；当0λ<时，λa 与a 方向相反；当0λ=时，λa=0。 3、两向量共线的充要条件
向量b 与a （a ≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa. 4、向量的坐标运算
若a =12(,)a a ，b=12(,)b b ，则①a+b =1122(,)a b a b ++，②a-b =1122(,)a b a b --，③λa=12(,)a a λλ，R λ∈，④已知点1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，(AB x =5、两向量平行的坐标表示
设a =11(,)x y ，b=22(,)x y ，则a//b ? 12210x y x y -=；
平面向量的数量积与综合
知识回顾
1、向量数量积的定义
（1）向量a 与b 的夹角：已知两个非零向量a ，b ，作OA =a ，OB =b ，则(0)AOB θθπ∠=<<叫做向量a 与b 的夹角；当2
π
θ=
时，a 与b 垂直，记作a ⊥b ；当0θ=时，a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向。 （2）a 与b 的数量积：已知两个非零向量，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作：a ·b ，即a ·b =|a||b|cos θ，并规定零向量与任一向量的数量积为0。 （3）投影：|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。
说明：当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当180θ=°时投影为b -。 （4）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ的乘积。
A
B1O
设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则：①e·a=a·e=|a|cos θ；②a ⊥b ? a·b=0；③当a 与b 同向时，a·b= |a|·|b|；当a 与b 反向时，a·b= -|a|·|b|；特别地，a·a= 2
a 或a a a =?；④c o s a
b a b
θ?=
?；
⑤a b a b ?≤?；
3、平面向量数量积的坐标表示
（1）1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=+； （2）设(,)a x y
=，则2
22a x y a =+?= （3）垂直的充要条件：若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ⊥b ? a·b=0，即12120x x y y +=
复数
知识回顾
1、复数的概念
（1）复数的代数形式：(,)z a bi a b R =+?，a 称为实部，b 称为虚部；
（2）虚数单位i 满足①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立
（3）复数的分类：(,)z a bi a b R =+?
________(0)________(0,0)________(0)________(0,0)b a b b a b ì=????ì=??í??1í???构????
2、复数的相等
两复数a bi +与(,,,)c di a b c d R +?相等是指他们的实部与虚部分别相等，即,a bi c di a
c b
d +=+?=
3、共轭复数
当两个实数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫共轭复数，(,)z a bi a b R =+?的共轭复数记为(,)z a bi a b R =+? 4、复数的模
对应复数z 的向量OP uu u r
的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+?的模，记为
z 或a bi +，z a bi =+=0b =，那么(,)z a bi a b R =+?是一个实数a ，它的模等于a （就是a 的绝对值）
5、复数的几何意义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i 实轴与虚轴的交点叫原点，原点(0,0)对应复数0，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数(,)z a bi a b R =+?与复平面内的点(,)P a b 及向量OP uu u r
是一一对应的，规定：相等的向量表示同一个复数。 7、复数加减法的几何意义
复数加减法的几何意义就是对应的向量加减法的平行四边形法则或三角形法则。 8、复数的模和共轭复数的性质 （1）1212z z z z = （2）2
z z z ? （3）z z = （4）_________________
1212z z z z =?±
等差数列与等比数列
知识回顾一、
（1）等差数列的通项1(1)n a a n d =+-，n a 是n 的一次函数。 （2）等差数列的前n 项和11()(1)22
n n a a n n n d
S na ++=
=+，n S 是n 的二次函数且缺少常数项。 （3）a ，b ，c 成等差数列2b a c ?=+。
（4）等差数列的性质（设m ，n ，p ，q *N ∈） 1）()n m a a n m d =+-
2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特殊地，当2m n p +=时，2m n p a a a += 3）若等差数列的项数为偶数项2n ，则S S nd -=偶奇；
1
n
n S a S a +=奇偶
； 若等差数列的项数为奇数2n+1，则S S a -=奇偶中间项；1
S n S n
+=
奇偶
4）若{}n a 是等差数列，则数列232,,,n n n n n S S S S S --也成等差数列。
知识回顾二、 （1）等比数列的定义：
1
(0)n n
a q q a +=≠，特殊地1q =时数列为常数数列。 （2）通项公式11n n a a q -=；
（3）前n 项和公式11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
，当1q ≠时n S 的特点：n n S A Bq =+，0A B +=。
（4）若a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，（反之不成立）。 （5）等比数列的性质：（设m 、n 、p 、q *N ∈）
1）n m n m a
q a -=； 2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；
3）若{}n a 成等比数列，则数列232,,,n n n n n S S S S S --也成等比数列。
一元二次不等式及其解法
知识回顾
。 2、二次函数的解析式的三种形式
（1）一般式2()(0);f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠ （3）零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠
函数与导数知识点总结
函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论
2020高考数学函数和导数知识点归纳汇总(含答案解析)
2020年高考数学（理） 函数和导数 知识点归纳汇总
目录 基本初等函数性质及应用 (3) 三角函数图象与性质三角恒等变换 (17) 函数的图象与性质、函数与方程 (43) 导数的简单应用与定积分 (60) 利用导数解决不等式问题 (81) 利用导数解决函数零点问题 (105)
基本初等函数性质及应用 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1 9 ，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1 3 (舍去)，即f (x )＝ 4 231-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在 (－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝? ???? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0， 3x 2 ＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)
最新高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19
(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)
专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知 识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版） 一．导数的定义： 0000000()() ()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =?→?→+?-====?+?-===?1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ?→?=? （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ① '0() C C =为常数；② 1 ()'n n x nx -=； 11( )'()'n n n x nx x ---==- ； 1 ()'m m n n m x x n -== ③ (sin )'cos x x =； ④ (cos )'sin x x =- ⑤ ()'x x e e = ⑥ ()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x = ； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2 ()'()()()'()[ ]'(()0)()[()] f x f x g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，
高考复习文科函数与导数知识点总结
函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 导数 一、导数的概念 1．导数的背景 （1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在 时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2.导数的定义 如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做 在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。 4、导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的 方程是。 特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某 点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； （2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只 有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。 比如： （1）P 在曲线上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ______（答：）； （2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3 或1）； （3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____（答：0 或）； （4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程 （答：①1；②或）。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???. 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，） 导 数 主要内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为： 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； 函数与导数解题方法知识点技巧总结 1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： （1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 （2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 （3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。 （4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '?∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。（若()f x '为二次 函数且I R =，则有0?>）。 （6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 （7）若,()0x I f x ?∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ?∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ?∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ?∈使得0()0f x <，则min ()0f x <. （9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ?∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ?∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ?∈?∈使得 12()()f x g x =成立，则A B ?。 （12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式: ①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”）导数及其应用(知识点总结)
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