2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.关于对称轴，有以下两种说法：①轴对称图形的对称轴有且只有一条；②如果两个图形关于某

直线对称，那么所有各组对应点所连线段的垂直平分线重合．正确的判断是()

A. ①对，②错

B. ①错，②对

C. ①②都对

D. ①②都错

2.2017年5月15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京雁栖湖国际会议中心举行.据报道，

2016年中国与沿线国家贸易总额约为953590000000美元，占中国对外贸易总额的比重达25.7%，将953590000000用科学计数法表示应为

A. 9.5359×1011

B. 95.359×1010

C. 0.95359×1012

D.

9.5×1011

3.一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是()

A. B. C. D.

4.实数a、b在数轴上的位置如图，则|?a|+|a?b|等于()

A. a

B. ?b

C. b?2a

D. 2a?b

5.如图，直线AD//BC，若∠1=42°，∠2=60°，则∠BAC的度数为()

A. 72°

B. 78°

C. 80°

D. 88°

6.如果a?b=1，那么代数式(1?b2

a2)?2a2

a+b

的值是

A. 2

B. ?2

C. 1

D. ?1

7.小明对某校同学校本课程选修情况进行了调查，把所得数据绘制成如图所

示的扇形统计图．已知参加巧手园地的有30人．则参加趣味足球的人数是()人

A. 35

B. 48

C. 52

D. 70

8.如果矩形的面积为8，那么它的长y与宽x的函数关系的大致图象表示为()

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

+√x+2的自变量的取值范围是______．

9.函数y=2x

x?1

10.14.若一个凸多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是___________

11.已知二次函数y=?x2?2x+3的图象上有两点A(?7,y1)，B(?8,y2)，则y1______y2.(用>、<、

=填空)．

12.某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将

运输中损失的水果成本折算到没有损坏的水果售价中(损坏率约为11%).如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润，那么在出售柑橘时，每千克大约定价________元．(结果精确到0.1元)

13.如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB?相交于点D.若CD?=

1

BD?，则∠B=______°.

3

14.如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与

BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形

ABCD的面积是______ ．

15.观察表格

x… 10 20 30 40 50…

y… 50 68 86 104 122…

16.滨海公园成人票10元/张，学生票为6元/张，某一天在这个公园共售出800张门票，共得门票

款6000元，则成人票______张，学生票______张．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）

17. 计算：|?√2|+(1

2)?1?2cos45°．

18. 解不等式组{x ?2(x ?3)≥5,

2x?15

,

并写出不等式组的所有整数解．

19. 用直尺和圆规经过直线AB 外一点P 作AB 的垂线．

20. 已知关于x 的方程(k ?1)x 2?(k ?1)x +1

4=0有两个相等的实数根，求k 的值．

21.如图，已知?ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，

BC交DE于点F，

若AB=BC．

(1)求证：四边形BECD是矩形；

(2)连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长．

22.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接

AC，BC，OP，AC与OP相交于点D．

(1)求证：∠B+∠CPO=90°；

(2)连结BP，若AC=12

5，sin∠CPO=3

5

，求BP的长．

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=?x+1与函数y=k

的图象交于A(?2,a)，B两点．

x

(1)求a，k的值；

(2)已知点P(0,m)，过点P作平行于x轴的直线l，交函数y=k

的图象于点C(x1,y1)，交直线y=

x

?x+1的图象于点D(x2,y2)，若|x1|>|x2|，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

24.如图，⊙O的直径AB=4cm，点C为线段AB上一动点，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，E，

连结AD，AE.设AC的长为xcm，△ADE的面积为ycm2．

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)确定自变量x的取值范围是______；

(2)通过取点、画图、测量、分析，得到了y与x的几组对应值，如下表：

x/cm00.51 1.52 2.53 3.54

y/cm200.7 1.7 2.9______ 4.8 5.2 4.60

(3)如图，建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象；

(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△ADE的面积为4cm2时，AC的长度约为______cm．

25.某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样

调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩(百分制)如下：

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

格，60分以下为体质健康不合格) 分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 得出结论

(1)估计九年级体质健康优秀的学生人数为______；

(2)可以推断出______年级学生的体质健康情况更好一些，理由为______.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)．

26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx ?1

a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位

长度，得到点B ，点B 在抛物线上． (1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(1

2,?1

a

)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值

范围．

27.如图，这一会线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分

别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，连结AC，DE．

(1)当∠APB=30°时，求∠B的度数；

(2)求证：AB2=BC?PB；

(3)在点P的运动过程中，当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，

若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．

28.如图1，直线y=1

3

x+2分别交x、y轴于A、B两点．

(1)求S?△?AOB；

(2)如图2，若点P是直线y=?x?1上的动点，当直线y=?x?1平分∠APB时，求点P的坐标；

(3)若直线y=mx?2m与直线AB交于点M，与x轴交于点N，若∠AMN≤135°，求m的取值范围；

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：

【分析】

本题主要考查的是轴对称的性质的有关知识，由题意利用轴对称的性质进行求解即可．

【解答】

解：①轴对称图形的对称轴不一定有且只有一条，例如圆的对称轴有无数条，故①错误；

②如果两个图形关于某直线对称，那么所有各组对应点所连线段的垂直平分线重合，故②正确．故选B．

2.答案：A

解析：

【分析】

此题考查了科学记数法的知识点，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【解答】

解：953590000000=9.5359×1011．

故选A．

3.答案：B

解析：解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．

故选：B．

根据几何体的侧面展开图可知该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．

本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．

4.答案：C

解析：

【分析】

此题考查的是数轴和绝对值的化简.先根据a、b在数轴上的位置确定符号，再判断a?b的符号，最后按照绝对值的性质化简即可．

【解答】

解：由数轴得：a<0，b>0，

∴a?b<0，?a>0，

∴|?a|+|a?b|

=?a+b?a

=b?2a，

故选C．

5.答案：B

解析：解：∵AD//BC，

∴∠2=∠ABC=60°，

∵∠1=42°，

∴∠BAC=180°?60°?42°=78°，

故选：B．

根据AD//BC，即可得出∠2=∠ABC=60°，依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数．

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

6.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先计算括号内的减法，再计算乘法，继而将a?b=1整体代入计算可得．

【解答】

解：原式=(a+b)(a?b)

a2?2a2 a+b

=2(a?b)，

当a?b=1时，原式=2×1=2，故选A．

7.答案：D

解析：

【分析】

本题考查扇形统计图，其中整个圆的面积表示总数(单位1)，各个扇形面积表示各部分占总数的百分数，属于基础题．

用参加巧手园地的人数除以其所占的百分数得出被调查学生的总数，再用参加趣味足球所占的百分数乘以总人数即可．

【解答】

解：∵被调查的学生总数为30÷15%=200(人)，

∴参加趣味足球的人数是200×35%=70(人)，

故选D．

8.答案：B

解析：

【分析】

本题考查了反比例函数的实际应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．

首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．【解答】

解：由题意得xy=8，

(x>0,y>0)．

∴y=8

x

故选：B．

9.答案：x≥?2且x≠1

解析：

【分析】

本题考查的知识点为函数自变量的取值范围，属于基础题．

根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】

解：根据题意得x+2≥0且x?1≠0，

解得x≥?2且x≠1，

+√x+2的自变量的取值范围是x≥?2且x≠1．

故函数y=2x

x?1

故答案为x≥?2且x≠1．

10.答案：8

解析：

【分析】

根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n?2)?180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

【详解】

解：设这个凸多边形的边数是n，

根据题意得：(n?2)?180°=3×360°，

解得：n=8．

故这个凸多边形的边数是8．

故答案为：8．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．

11.答案：>

解析：解：∵二次函数y=?x2?2x+3的对称轴是x=?1，开口向下，

∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，

∵点A(?7,y1)，B(?8,y2)是二次函数y=?x2?2x+3的图象上的两点，

?7>?8，

∴y1>y2．

故答案为：>．

先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．

解析： 【分析】

本题考查一元一次方程的应用，估计出本次的损坏是难点，找到相应的等量关系是解决问题的关键．根据损坏率约为11%可以估计10 000千克中约有1100千克损坏，通过理解题意可知本题的等量关系，即没有损坏的水果的售价?所有水果的成本=5000元，即可列方程解决． 【解答】

解：根据损坏率约为11%，则没有损坏的有10000(1?11%)=8900千克． 设定价为x 元．由题意可列方程：8900x ?2×10000=5000， 解得x ≈2.8(元)．

答：出售柑橘时，每千克大约定价2.8元． 故答案为2.8．

13.答案：18

解析：解：如图，连接OC ．

∵CD ?=1

3BD ?，AC ?=CD ?， ∴AC

?=14

BC ?， ∴AC ?=15

ACB ?， ∴∠AOC =1

5×180°=36°， ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ， ∵∠AOC =∠B +∠OCB ， ∴∠B =18°， 故答案是：18

如图，连接OC.首先证明AC ?=15ACB ?，即可推出∠AOC =15×180°=36°解决问题； 本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．

解析：

【分析】

先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4(1+x)，又四边形ABCD是正方形，那么

AD//BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF= (BE

)2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+ AD

S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4(1+x)=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．

本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．

【解答】

解：根据题意，设△BEF的面积是x，

∵E是BC中点，

∴S△DBE=S△DCE，

∴S△BCD=2(1+x)，

=4(1+x)，

∴S

正方形

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD//BC，AD=BC，

∴△BEF∽△DAF，

)2，

∴S△BEF：S△DAF=(BE

AD

∵E是BC中点，

∴BE=CE，

∴BE：AD=1：2，

∴S△DAF=4x，

∵S△ABE=S△BED，

∴S△ABF=S△DEF=1，

=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，

∴S

正方形

∴4(1+x)=1+x+4x+1+1+x，

解得x=0.5，

∴S

=4(1+x)=4(1+0.5)=6．

正方形

故答案为6．

15.答案：y =1.8x +32

解析： 【分析】

本题考查了函数关系式，利用待定系数法是解函数解析式的关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．

根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】

解：设函数解析式为y =kx +b ，

将(10,50)，(20,68)代入，得{10k +b =50

20k +b =68，

解得{k =1.8b =32

，

函数解析式为y =1.8x +32，经检验，符合题意； 故答案为：y =1.8x +32．

16.答案：300 500

解析：解：设成人票为x ，

依题意列方程：10x +(800?x)×6=6000 解得：x =300， 则学生票为500．

设成人票为x ，则学生票为800?x ，题目中的相等关系是：人数×票价=票款．根据相等关系列方程，即可求出成人票，计算出学生票．

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

17.答案：解：原式=√2+2?2×√2

2

=√2+2?√2

=2． 故答案为2．

解析：本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．

18.答案：解：解不等式x ?2(x ?3)≥5，得x ≤1．

解不等式

2x?15

<

x+12

，得x >?7．

∴不等式组的解集为?7

∴不等式组的整数解是?6，?5，?4，?3，?2，?1，0，1．

解析：此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．

19.答案：解：如图，PE⊥AB．

解析：本题考查的是作图?基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，交直线l于点C、D；分别以C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E.连结PE，则PE⊥AB．

大于1

2

=0有两个相等的实数根，

20.答案：解：∵关于x的方程(k?1)x2?(k?1)x+1

4

∴△=0，

=0，

∴[?(k?1)]2?4(k?1)×1

4

整理得，k2?3k+2=0，

即(k?1)(k?2)=0，

解得：k=1(不符合一元二次方程的定义，舍去)或k=2．

∴k=2．

解析：根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0?方程有两个相等的实数根；

(3)△<0?方程没有实数根．

21.答案：(1)证明：∵四边形ABED是平行四边形，

∴BE//AD，BE=AD，

∵AD=DC，

∴BE//DC，BE=DC，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴四边形BECD是矩形；

(2)解：∵四边形BECD是矩形，

∴∠ACE=∠BDC=90°，

∵∠BAC=60°，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC=AB=4，∵AD=CD，

∴∠CBD=1

2∠ABC=1

2

×60°=30°，

∴CD=1

2

AC=2，

由勾股定理得：BD=√42?22=2√3，

∴CE=BD=2√3，AC=AB=4，

由勾股定理得：AE=√AC2+CE2=√42+(2√3)2=2√7．

解析：(1)先求出四边形BECD是平行四边形，根据等腰三角形性质求出∠BDC=90°，根据矩形的判定得出即可；

(2)根据矩形的性质求出∠DCE=90°，根据等边三角形的性质和判定求出AC，求出CE，根据勾股定理求出AE即可．

本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

22.答案：(1)证明：连接OC，如图．

∵PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ， ∴OC ⊥PC ，OA ⊥PA ，∠APC =2∠CPO ． ∴∠OCP =∠OAP =90°．

∵∠AOC +∠APC +∠OCP +∠OAP =360°， ∴∠AOC +∠APC =180°． ∵∠AOC =2∠B ， ∴∠B +∠CPO =90°． (2)解：连接BP ，如图． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°． ∴∠ABC +∠BAC =90°． ∵∠ABC +∠CPO =90°， ∴∠BAC =∠CPO =∠APO ． ∵AC =

12

5

，sin∠BAC =3

5， ∴AB =3，OA =3

2． ∵OA =3

2，sin∠APO =3

5， ∴AP =2．

∴PB =√AP 2+AB 2=√13．

解析：(1)连接OC ，如图．根据切线的性质得到OC ⊥PC ，OA ⊥PA ，∠APC =2∠CPO.由垂直的定义得到∠OCP =∠OAP =90°.求得∠AOC +∠APC =180°.于是得到结论；

(2)连接BP ，如图．根据圆周角定理得到∠ACB =90°.推出∠BAC =∠CPO =∠APO.解直角三角形即可得到结论．

本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

23.答案：解：(1)∵直线y =?x +1与函数y =k

x 的图象交于A(?2,a)，

把A(?2,a)代入y =?x +1 解得a =3， ∴A(?2,3)．

把A(?2,3)代入y =k

x ， 解得k =?6； (2)画出函数图象如图

解{y =?

6

x y =?x +1得{x =?2y =3或{x =3y =?2，

∵A(?2,3)， ∴B(3,?2)，

根据图象可得：若|x 1|>|x 2|，则0

解析：(1)将点A(?2,a)代入y =?x +1，得出点A 的坐标，再代入函数y =k

x ，即可求出k 的值； (2)求出点B 的坐标，结合函数的图象即可求解．

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．

24.答案：(1)0≤x ≤4 (2) 4

(3)函数图象如图所示：

(4) 2.0或3.7

解析：解：(1)由题意：0≤x ≤4； 故答案为：0≤x ≤4．

(2)当x =2时，点C 与点O 重合，此时DE 是直径，y =1

2×4×2=4．