九年级数学正方形练习题(含答案)

九年级上下册数学知识点汇总

鲁教版初四知识点 第一章反比例函数 一、反比例函数 1.定义:一般地,形如 y＝k／x (k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx 此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3 反比例函数的定义中需要注意什么？ (1)常数 k 称为比例系数,k是非零常数； (2)自变量x次数不是1,x 与 y 的积是非零常数； (3)除 k、x 、y三项以外,不含其他项。 反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0) (1)y＝k／x (2)xy=k (3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方) 2.K的几何含义: 反比例函数y＝k／x (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。 二、反比例函数的图象和性质 1.图像: 反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。 2.性质: 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小； 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。 三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： ⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值 ⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中 四、反比例函数的应用： 1.建立反比例函数模型 2.求出反比例函数解析式 3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。 第二章解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 2.sinA=cos(90°-A) cos A=sin(90°-A) tanA=sinA/cosA sin2A＋cos2A＝１

北师大版九年级上册数学[正方形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

新北师大版九年级上册初中数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 正方形（基础） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、正方形的性质 1、（2016?台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（） A．50 B．55 C．70 D．75 【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【答案】C． 【解析】 解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠CEF=90°， ∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°， ∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）． 故选C． 【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键． 举一反三： 【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且 CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．

九年级下册数学概念

人教版数学九年级下册 第二十六章二次函数 (1) 26．1 二次函数及其图像 (1) 26．2 用函数观点看一元二次方程 (6) 26．3 实际问题与二次函数 (6) 第二十七章相似 (6) 27．1 图形的相似 (6) 27．2 相似三角形 (7) 27．3 位似 (7) 第二十八章锐角三角函数 (8) 28．1 锐角三角函数 (8) 28．2 解直角三角形 (10) 第二十九章投影与视图 (12) 29．1 投影 (12) 29．2 三视图 (12) 第二十六章二次函数 26．1二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，

顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ； 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图） 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

初中数学九年级上下册知识点总结

[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 2 2 c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

九年级讲义目录

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

北师版九年级上册数学各阶段精品试题《1.3 第1课时 正方形的性质2》

1.3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 一、填空题 1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°. 2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E ，使CE=CB ，则∠ AEC ＝ °. 3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E= 22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个. 4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°. 6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后， 与△AED重合，则θ值为° 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC 上的点F处，则F、C两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点 P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 . 9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应 点为A'，且C B'=3，则CN= ；AM的长是 . 10、正方形的面积是 3 1，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 第1题图第2题图第3题图第4题

北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习试题

1.3 正方形的性质与判定 一．选择题 1．下列说法错误的是（） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．矩形的对角线相等 C．对角线相等的菱形是正方形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（） A．60°B．65°C．70°D．75° 3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形 ④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（） A．①②B．③④C．①②④D．①②③④ 4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形 B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形 C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形 D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形 5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论： （1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF． 其中正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二．填空题 6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为． 7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．

福建2020-2021年九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形【含答案】

福建2020九年级上册数学第五单元专练：正方形及特殊平行四边形 |夯实基础| 1.下列说法错误的是() A.平行四边形的对边相等 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 2.下列条件不能判断?ABCD是正方形的是() A.∠ABC=90°且AB=AD B.AB=BC且AC⊥BD C.AC⊥BD且AC=BD D.AC=BD且AB=BC 3.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了() A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 4.如图K30-1,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是() 图K30-1 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 5.如图K30-2,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为() 图K30-2 A.60° B.67.5° C.75° D.54° 6.如图K30-3,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()

A. B. C.-1 D. 7.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图K30-4),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD= .(结果保留根号) 图K30-4 8.如图K30-5,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是. 图K30-5 9.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是. 10.如图K30-6,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是. 图K30-6 11.如图K30-7,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM 与BD相交于点F.求证:OE=OF.

人教版九年级下册数学知识点总结

人教版九年级下册数学知识点总结 26 反比例函数 一、反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0 y≠，所以它的图像 x≠，函数值0 与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质 1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围： 3．图像： （1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。越小，图像的弯曲度越大。 （2）图像的位置和性质： 当时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 （3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支。图像关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上。． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

初中数学北师大版九年级上册《13正方形的性质与判定第一课时》教案

正方形的性质和判定教学设计 第一课时：正方形的性质 教材分析: 1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论． 2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力． 4、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。激发学生学习的积极性与主动性。 教学目标： 【知识与技能】 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力 【过程与方法】 1．能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 【情感态度与价值观】 体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化的思想． 教学重难点： 【教学重点】 重点：掌握正方形的性质 【教学难点】 难点：运用综合法证明． 课前准备： 多媒体，搜集身边的矩形（提前布置） 常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。 教学过程： 一．创设情景，导入新课 活动：观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 【设计意图】培养学生从具体数学对象中获得必要的数学要素（数据）以及对素材进行适当的操作的能力。培养学生对于数据进行整理、解析的能力。培养学生从数据中发现、推导结论的能力。（通过对测量数据的分析、发现其中的相同与不同，便可较为自然的引导到本节课。）同时也可以最大程度的满足不同认知能力、信息搜集能力学生的不同认知需求（比如：

实物的同学可以利用手头的测量工具得数据，而善于利用电脑的同学则可以将其搜集到的图片放入合适的软件（如几何画板）中，利用软件的便利来获得数据。）并可以极大程度上增强学生对于度量数据（图形性质）的感受。 二、分组讨论，探究新知 活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形. 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 得出正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 【设计意图】从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了正方形概念的探究过程，自然而然地形成正方形的概念。 活动3：选取一些有代表性的小组，对其得到的的数据或是操作得到的结论进行交流。 活动目的：是为了完成以下任务。 第一任务：①引出“有一组临边相等的矩形叫做正方形”②通过数据的交流自然的回答了“议一议”中的两个问题：（1）正方形是菱形吗?(2）你认为正方形有哪些性质？ 第二任务：通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质、“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”“正方形的对角线互相垂直平分” 第三任务：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴” 活动的注意事项：第一任务：学生对于（1）正方形是菱形吗?这个问题，无论是操作、度量实物还是借助于软件都比较容易得到结论。对于(2）你认为正方形有哪些性质？中的“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论，无论是操作、度量实物还是借助于软件也都比较容易得到，但是对于“正方形的对角线互相垂直平分”这个结论，学生有可能不一定能够发现

九年级数学上下册期末试卷

九年级数学期末检测卷 一、选择题（每小题只有一个正确选项，将正确选项的序号填入题中的括号内，每小题3分，共30分） 1．若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2 y ax bx =+的图象只可能是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 2．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝-2 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝-4 3．如图1，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝（ ） A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 43 4．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.5 4.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A 0．71s B 0．70s C 0．63s D 0．36s 5．以上说法合理的是（ ） A 、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30% B 、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6 C 、某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖 D 、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0．48和0．51 6．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则∠A 等于 （ ） A ．25° B ．30° C ．45° D ．60° 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90o，c=5，a=4，则sinA 的值为 ( ) A 、35 B 、45 C 、34 D 、43 8．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A 、28个 B 、30个 C 、36个 D 、42个 9．在100张奖卷中，有4张中奖，小红从中任抽1张，他中奖的概率是（ ） C E 图 1 C B A

最新北师大版九年级数学上册1.3_正方形的性质与判定教案(教学设计)

1.3 正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点) 2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 阅读教材P20～21，完成下列问题： (一)知识探究 1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形． 2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质． 3．正方形的________相等，都是________，________相等． 4．正方形的对角线________________________． (二)自学反馈 正方形的性质： 1．边：________都相等且________． 2．角：四个角都是________． 3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________． 4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴． 活动1 小组讨论 例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： 如图，延长BE交DF于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.

∴∠BCE＝∠DCF. 又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF. ∴BE＝DF， ∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法． 活动2 跟踪训练 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( ) A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等 2．正方形面积为36，则对角线的长为( ) A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 4．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC＝________°. 5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE.求证：OE＝OF. 活动3 课堂小结

九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

? ? ? ? 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21 章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： ?(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2） 0)；（3） 3.二次根式的乘除： a 2 = = ? (a = 0) ?(a < 0) ?= (a ≥0,b≥0) 计算公式：? ? ? = (a ≥0,b>0) 4.概念：?1.最简二次根式：(1) (2) (3) ? 2.同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算 术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.一元二次方程： 第22 章一元二次方程 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边 是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知 数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ．

(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第3节《正方形的性质与判定》省优质课一等奖教案

第一章特殊平行四边形 3.正方形的性质与判定（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识基础：学生之前已经借助折纸、画图、测量、证明等活动探索过 平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，还在第一课时学习了正方形的性质，本节课主要是对正方形的判定进行推理证明，而前面的探索过程和方法为本节课的推理证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。八年级时学生还学习了“三角形中位线定理”，这些都为本节课探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。 本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎 推理教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会 1/ 14

证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能： 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 过程与方法： 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神。 情感与态度： 通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。 2/ 14

九年级数学上下册知识点汇集—人教版

九年级数学知识点 九年级数学（上册）知识点 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式02=++c bx ax （a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成02=++c bx ax （a ≠0）后，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。 （1）运用开平方法解形如 p a mx =+2）（（n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． 介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （3）一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式02=++c bx ax ， 当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子a ac b b x 242 -±-=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、

北京四中九年级上册数学正方形(基础)知识讲解

正方形（基础） 【学习目标】 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 要点四、特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》教学设计(精品教案)

1.3 正方形的性质与判定 第1课时 【教学目标】 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理. 【教学重难点】 重点:探索正方形的性质定理. 难点:掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容. 【教学过程】 一、探究导入 【显示投影片】 显示内容:展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅). 【活动方略】 教师活动:操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题: 1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 正方形具有哪些性质呢？ 学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过).

实验活动：教师拿出矩形按左图折叠.然后展开， 让学生发现:只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生 发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形. 教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图: 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下： 正方形定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形性质： （1)边的性质:对边平行，四条边都相等. （2)角的性质：四个角都是直角. （3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. (4)对称性:是轴对称图形，有四条对称轴. 【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.

九年级上下册数学培优讲义

一元二次方程㈠ ★知识点精讲 1.一元二次方程的概念 ⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程. ⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 2.一元二次方程的解法 ⑴直接开平方法：针对() ()02 ≥=+an n a m x ⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2 ≥=+n n m x a 注： ① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式； ②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值. ⑶ 公式法：当0≥?时（=? ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法. ⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =. 注： ⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法. ⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程. 典型例题讲解及思维拓展 ●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = . ⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = . 拓展变式练习1 1.关于x 的方程03)3(7 2 =+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________. 2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .

2020九年级数学上册 正方形的性质与判定课时练习 (新版)北师大版

正方形的性质与判定 一．填空题（共6小题） 1．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，F是DE的中点，BE、AF相交于点G，连接DG，若正方形ABCD的面积为36，则BG= ． 2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB． （1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是形； （2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形； （3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形． 3．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为． 4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为． 5．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．

6．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为． 二．选择题（共10小题） 7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④S△CEF=2S△ABE，其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ； ②若AP=AQ=，∠PCQ=36°，则；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=．其中正确的说法有（） A．3个B．2个 C．1个 D．0个 9．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（） A．10° B．12.5° C．15° D．20° 10．下列说法错误的是（） A．平行四边形的内角和与外角和相等 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四条边都相等的四边形是正方形 11．在3×4的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不够成正方形的四个顶点．