(完整版)六年级奥数分数的速算与巧算

第一讲 分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握

裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数

与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨

一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1

a b

?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有

1111()a b b a a b

=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ?+?+，1

(1)(2)(3)

n n n n ?+?+?+形式的，我们有：

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-?+?+?+++

1111

[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11

a b a b a b a b a b b a

+=+=+??? （2）

2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1

(1)(1)3

n n n =

-??+ (2) 1

123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4

n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+

二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数

0.9a =

； 0.99ab =； 0.09910990

ab =?=

； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：

例：

110=11

2020+

=()()11+=()()11+=()()11+=()()

11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==+

+++=11

A B

+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：

11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015

+==+=++++ 本题具体的解有：

1111111111011110126014351530

=+=+=+=+ 例题精讲

模块一、分数裂项

【例 1】

11111

123423453456678978910

+++???++

???????????????

【巩固】 333

(1234234517181920)

+++

?????????

【例 2】 计算：

5719

1232348910

+++=??????L ．

【巩固】 计算：571719

1155234345891091011

?++++????????L （

）

【巩固】 计算：

34512

12452356346710111314

++++

????????????L

【例 3】

12349

223234234523410

+++++

?????????L L

【例 4】

1111

11212312100

++++

++++++L L L

23450

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)

++++

?++?++++?+++++++?++++L L L

234100

1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

++++

?++?++++?++++++?+++L L L

【巩固】 2310

1112(12)(123)(1239)(12310)

-

---

?++?++++++?++++L L L （）

【例 5】

2

22222111111

31517191111131

+++++=------ .

【巩固】 计算：

2

2

22222235715

12233478++++????L 【巩固】 计算：22222222223151711993119951

3151711993119951++++++++++=-----L ．

【巩固】 计算：2222

1235013355799101++++=????L ．

【巩固】 224466881010

133********?????++++

?????

【例 6】 111

3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999

+++

++?++?+??+L L 【巩固】 计算：111

112123122007

+++?

+++++? 【巩固】 1111

33535735721++++

+++++++L L 【例 7】 12123123412350

2232342350++++++++++????

++++++L L L 【例 8】 2222222222222

33333333333

33

1121231234122611212312341226++++++++?+-+-+?-++++++++?+ 【巩固】 2221111112131991??????+?+??+ ? ? ?---??????

L

【例 9】 计算：222

22223992131991

???=---L

【巩固】 计算：222

222129911005000220050009999005000

+++=-+-+-+L

【例 1】 ??? ??+++++++-??? ???++?+??2

2222210211211112120154132124ΛΛΛ

模块二、换元与公式应用

【例 10】 计算：3333333313579111315+++++++

【巩固】 132435911?+?+?+?L

【巩固】 计算：1232343458910??+??+??++??L

【例 11】 计算：23456111111

1333333

++++++

【例 12】 计算：22222222(246100)(13599)

12391098321

+++???+-+++???++++???+++++???+++

【巩固】 ⑴()2

314159263141592531415927-?=________；

⑵2

2

1234876624688766++?=________．

【巩固】 计算：2222222

1234200520062007-+-++-+L

【例 13】 计算：2222222222

12233445200020011223344520002001

+++++++++???+

?????

【例 14】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-?-?÷÷-=???? ．

【巩固】 计算：53574743?-?= ．

【巩固】 计算：1119121813171416?+?+?+?= ． 【巩固】 计算：1992983974951?+?+?++?=L ．

【巩固】 看规律 32

11=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++L

【例 15】 计算：1111111111

(1)()(1)()2424624624

+

+?++-+++?+ 【巩固】 11111111111111

(1)()(1)()23423452345234

+++?+++-++++?++

【巩固】 11

1111111111111111213141213141511121314151213141????????+++?+++-++++?++ ? ? ? ?????????

【巩固】 1111111111111111

())()5791179111357911137911

+++?+++-++++?++（）（

【巩固】 计算

11111111111111111111234523456234562345????????++++?++++-+++++?+++ ? ? ? ?????????

2

123

9123911292391234

1023410223103410????????+++++++++?-++++?+++ ? ? ? ?????????L L L L

21239123911239239()()(1)()23410234102234103410

+++++++++?-+++++?+++L L L L

【巩固】 计算

111121113111431

1412009

2009

++

++

+++

+

++

L L

【巩固】

(7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+)

【巩固】 计算(10.450.56++)?(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)?(0.450.56+)

三、循环小数与分数互化

【例 16】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16&&&，结果保留三位小数．

【巩固】 ⑴ 0.540.36+=&&& ； ⑵

19

1.21.2427????+=

【巩固】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++&&&&&& 【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& （2）0.3300.186

?&&&&

【例 17】 某学生将1.23

&乘以一个数a 时，把1.23&误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?

【巩固】 将循环小数0.027&&与0.179672&&相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一

位小数是多少?

【例 18】 有8个数，0.51&&，23,59,0.51&,2413,4725

是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51&，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?

【例 19】 真分数

7

a

化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?

【巩固】 真分数

7

a

化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？

【巩固】 真分数

7

a

化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？

【例 20】

20022009和1

287

化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.

【巩固】 纯循环小数0.abc &&写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =

【例 21】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

（1）()()()()()()()()

11111111111102020=+=+=+=+=+

； （2）

()()

111

10=-

【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．

()()()()()()1111111

10=--=++

【例 22】

()()()()()()()()()()

11111111111

45=+=-=++=--

【巩固】 110=()()1

1--()1=()()()

111++

【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。

【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。

【例 24】 若

111

2004a b

=+，其中a 、b 都是四位数，且a

【巩固】 如果

111

2009A B

=-，A

B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 课后练习： 练习1.

123456

121231234123451234561234567

+++++

?????????????????????

练习2. 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-?-?-??-?-L

练习3. 计算：3333

13599++++=L ___________．

练习4. 计算：

练习5.

1

111111111112200723200822008232007????????+++?+++-+++?+++ ? ? ? ?????????L L L L

练习6. ⑴ ····110.150.2180.3111??+?? ???

； ⑵ ()

2.2340.98

11-÷&&&& (结果表示成循环小数) 【备选1】计算：2399

3!4!100!+++=L .

【备选2】计算：22222222

1223200420052005200612232004200520052006++++++++

????L 【备选3】计算：333

1232006

1232006

+++???++++???+

【备选4】计算：

621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947????????

++?++-+++?+ ? ? ? ?????????

【备选5】计算200920091199900999909901??-? ???

(结果表示为循环小数)