浅析积分不等式的若干证法论文
浅析积分不等式的若干证法
数学学院数学与应用数学（师范）专业 2008级周兴成
指导老师高世泽
摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用.积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强.本文主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明，讨论了利用单调性、Schwarz 不等式、拉格朗日中值定理、Taylor公式、二重积分等知识来证积分不等式的方法.
关键词：积分；不等式；证明
Abstract: Integral inequality is an important kind of calculus inequality, in the mathematical analysis in a wide range of applications. Integral inequality proof method agile diversity, skill and more integrated. This paper studies how to use the calculus knowledge to solve some complex integral inequality proof, discusses the use of monotonicity, the Schwarz inequality, Lagrange mean value theorem, the formula of Taylor, double integral knowledge to license integral inequality.
Key words:integral; inequality; proof
自高斯（C.F.Gauss）、柯西（A.L.Cauchy）时代发展起来的不等式理论，奠定了近似理论的不等式基础.今天，不等式在数学所有分支中占有重要地位，而它本身也提供了十分活跃且有吸引力的方向.
积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强.每种方法都有一定的特色，并且有一定的规律可循.本文我们将会介绍几个常见的积分不等式证法.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本文将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用.
数学中的积分不等式多如牛毛，本文的研究方法也可以用到其他不等式当中去.
1 利用定积分的性质证明积分不等式
在定积分不等式的证明中，定积分有一些基本的不等式，在证明积分不等式时会常用到.
性质[]11.1 [](),b ()0f x a f x ≥若在上可积，且，则
b
()0.a
f x dx ≥?
性质[]1
1.2 [][](),b ()0,c,d ,b f x a f x a ≥∈若在上可积，且，则
c
b b
c
()+()=().a
a
f x dx f x dx f x dx ?
??
性质[]1
1.3 [][](),b ()0,c,d ,b f x a f x a ≥∈若在上可积，且，则
d
b
c
()().a f x dx f x dx ≤?
?
性质[]1
1.4 [](),(),b ()(),
f x
g x a f x g x ≥若在上可积，且则 b
b
()g().a
a f x dx x dx ≥?
?
性质[]1
1.5 [](),b f x a 若在上可积，且.a b ≤则
b
b
()()a
a
f x dx f x dx ≤?
?.
例1.1 []()01,()()f x x y f x f y M x y -<-已知在，上连续，对任意的都有，
求证：
1
11()().2n k n
k M
f x dx f n n
=-≤∑?
证明 ()11
1
()k
n
k n
n
k f x dx f x dx -==∑??
1
11()()n
k n
k f x dx f n =-∑?
=
()1111k
k n
n
k k n n n n
k k k f x dx f dx n --==??
- ???∑∑?? ()11k
n
k n
n k k f x f dx n -=??≤- ???∑?
11k
k n
n k k M x dx n -=≤-∑?
=112k
n k n n k k
M M x dx n
n -=??-= ???∑?.
注 此题主要利用定积分的性质1.5进行分析处理. 例1.2 ()()2
2
00
cos sin sin cos .t dt t dt ππ
≥??试证
分析 此题主要可利用定积分的性质1.4定积分的保不等号性处理. 由此只需证 ()()cos sin sin cos .t t ≥
证明 由定积分的保不等号性，只需证()()cos sin sin cos t t ≥
当0,2t π??∈ ???
时，因042t ππ??<+≤≤ ???，0,2t π??
∈????
所以sin cos 2t t π+<，即sin cos 2t t π->，且0cos sin 2
t t π
<<-
0cos 2t π<<，sin 0,2t π?? ???在是增函数，所以()sin sin sin cos 2t t π??
-≥ ???
即()()cos sin sin cos t t ≥，因而当0,2t π??
∈ ???
时，结论成立.
2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式
定理2.12??
?? 对任意n 个数0,1,2,3,i a i n ≥= 恒有
2
2
21
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，
其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立.
我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz 不等式：若)(),(x g x f 在区间],[b a 上可积，则
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b a
b a
???≤)()())()((222
其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立（,a b 不同时为0）.
例2.1 已知()0f x ≥，在[],a b 上连续，()1b
a f y dy =?，k 为任意实数，证：
()()2
2
()cos ()sin 1.b
b
a
a
f x kxdx f x kxdx
+
≤??
（2.1）
证明 （2.1）式左端第一项应用Schwarz 不等式，得
(
)()2
2
()cos )b
a
a
f x kxdx
kx dx
=?
?
2
()cos ()b
b
a
a
f x kxdx f x dx ≤?
?
2()cos b
a
f x kxdx =?
同理
()
2
2()sin ()sin b
b
a
a
f x kxdx
f x kxdx ≤?
?
∴
()()
2
2
22()cos ()sin ()cos ()sin b
b
b b
a
a
a
a
f x kxdx f x kxdx
f x kxdx f x kxdx +
≤+?
?
??
()b
a
f x dx ≤?1=
例 2.2 求证：1112
2
2
2
2
2
((()()))(())(())b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +≤+???,其中
)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，其中等号当且仅当存在常数,a b ，使得()()af x bg x ≡时成立,,a b 不同时为0.
证明 222(()())()()2()()b
b
b
b
a
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx f x g x dx +=++????
1
12
2
2
2
2
2
()()2(())(())b
b
b
b
a
a
a
a
f x dx
g x dx f x dx g x dx ≤++????
2
11
222
2(())(())b b a a f x dx g x dx ??=+????
??
对上式两边开平方即得要证明的积分不等式，其中等号在,a b 不同时为0时，该积分不等式依然成立。
3 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式
拉格朗日中值定理3??
?? 若函数)(x f 满足下列条件： （1）)(x f 在闭区间],[b a 上连续； （2）)(x f 在开区间),(b a 内可导； 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得a
b a f b f f --=
')
()()(ξ.
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.该方法一般适用于被积函数()()f x g x 中，()f x 与()g x 均连续，且()g x 不变
号情形.
证明思路：（1）b
b
()()()()a
a
f x
g x dx f g x dx ?=??；
（2）一般取g 为具体函数，通过f 做不等式的适当放缩.
例3.14??
?? 求证：当x x x
x
x <+<+>)1ln(1,
0. 分析 所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x
+11 ，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x ，原不等式等价于：
1ln(1)ln1
11(1)1
x x x +-<<++-，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.
证明 构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使
ξ
ξ1
)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，
11
(1)(1)ln(1)ln1ln(1), 1.1f x f x x x ξ
+-=+-=+<<+
1ln(1)11x x x
+∴
<<+. 即
)0(,)1ln(1><+<+x x x x
x
.
4 利用泰勒公式证明积分不等式
定理4.15??
?? 若函数)(x f 满足如下条件：
（1）在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数；
（2）在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数； 则对任何),(b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得:
()2
()()()()()()()()2!!
n n f a f a f x f a f a x a x a x a n '''=+-+-++- （4.1）
（4.1）式揭示了多项式与函数之间的关系.
注 （4.1）式就是泰勒公式的一般形式.
例4.1 设[],?x a b ?∈，()()0,''0f x f x ≥≤，求证()()?-≤b
a dx x f a
b x f 2. 证明 将()x f 在x 处展开成一阶泰勒公式
()()()()()()2
1'''2
f x f t f t x t f x t ξ=+-+
-之间与位于t x ξ, 由于()"0f x ≤
()()()()'f x f t f t x t ∴≤+-
将上式两边在[],a b 上对t 积分得，
()()()()()'b b
a
a
b a f f t dt f t x t dt ξ-≤+-??
即()()()()()()/b b
b a a
a
b a f f t dt x t f t f t dt ξ-≤+-+??
=()()()()()a f a x b f b x dt t f b
a
---+?2
()()()()()()()2b
a
f t dt b a f b x f b x a f a ξ∴≥-+-+-?
()0,0,0>->-≥x b a x x f
()()()?-≥∴b
a
x f a b dx x f 2
即()()?-≤
b
a
dx x f a b x f 2.
5 利用二重积分证明积分不等式
例5.16??
?? 设函数()f x 为[]0,1上的单调减少且大于0的连续函数，
求证：
()()()()1
1
22001
10
xf x dx f x dx
xf x dx
f x dx
≤
???
?. 证明 令()()()()dx x f dx x xf dx x f dx x xf I ????-=1
1
210
210
=()()()()1111
220
xf x dx f y dy xf x dx f y dy -????
=()()()()()11
00
xf y f x f y f x dxdy -?
?
同理I =()()()()()1100
yf x f y f x f y dxdy -?
?
两边相加整理得
2I =()()()()()[]dxdy x f y f y x x f y f --?
?101
，
()[]00,1f x > 且在上单调减少，
()()()[]0≥--∴x f y f y x
0≥∴I 命题得证.
当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明.
6 利用Young 不等式证明积分不等式
定理6.17??
??(Young 不等式) 设f 是在[0,]c (0c >)上的实值连续且严格递增函数.若(0)0f =，[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈，则
10
()()a
b
f x dx f x dx ab -+≥??， (6.1)
其中,1f -是f 的反函数，当且仅当()b f a =时(6.1)取等号成立.
例6.18??
?? 设1p >，1/1/1p q +=，如果()f x ，()g x 为[,]a b 上的p 次可积函数，那么()()f x g x ?在[,]a b 上可积，且
1/1/|()()|(|()|)(|()|)b
b b
p p q q a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ≤?
??，
当且仅当存在常数a ，b 使|()||()|p q a f x b g x =成立时，等号成立.
为证上述问题，先证如下结论.
对任意非负实数，有1/1///p q A B A p B q ?≤+成立.
证明 设()y x =Φ（0x ≥）是严格的连续增函数，且(0)0Φ=，()x y =ψ（0y ≥）是Φ的逆函数.由Young 不等式可知，
()()a
b
x dx x dx ab Φ+ψ≥?
?，
其中，当且仅当()b a =Φ时等号成立.
在上式中取1()p x x -Φ=，1()q y y -ψ=，1/p a A =，1/q b B =，得，
1/1///p q A B A p B q ?≤+. （6.2） 得证.下面证明例6.1
当1/(|()|)b
p p a
f x dx ?，1/(|()|)b
q q a
g x dx ?中至少由一个为零时，不等式显然成立.
不妨设1/(|()|)0b p p a
f x dx >?，1/(|()|)0b
q q a
g x dx >?.
做辅助函数：
1/()()(|()|)
b
p
p
a f x x f x dx Φ=
?，1/()()(|()|)
b
q
q
a g x x g x dx ψ=
?.
令|()|p A x =Φ，|()|q B x =ψ.
可得
|()||()||()()|p q
x x x x p q ΦψΦ?ψ≤+
. （6.3） 因为|()|p x Φ，|()|q x ψ为[,]a b 上的可积函数.由上述不等式知，()()x x Φ?ψ为
[,]a b 上的可积函数，因此()()f x g x ?为[,]a b 上的可积函数.且对（6.3）式两端积
分得，
|()||()||()()|p
q
b
b
b a a a x x x x dx dx dx p q ΦψΦψ≤+???
|()|/|()||()|/|()|b
b
b
b
p
p
q
q a
a
a
a
f x dx p f x dx
g x dx q g x dx =+????
1/1/p q =+
1= (6.4)
而 1/1/|()()||()()|(|()|)(|()|)
b
b
a
b
b
a
p
p
q
q
a
a
f x
g x dx
x x dx f x dx g x dx Φψ=
??
???. (6.5)
将(6.4)和(6.5)代入（6.3）式，得
1/1/|()()|(|()|
)
(|()|)b b
b
p
p
q q a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ≤????.
证毕.
从以上文章分析可见，无论是在函数论还是在代数学中，不等式一直占据着重要的地位.作为不等式家族的一分子，积分不等式的发展对不等式研究有着重要的意义.根据不同积分不等式特征，采取不同的方法.此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用.
参考文献:
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关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序
封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期:
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高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
数学分析中不等式证明方法论文
数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
不等式的证明方法论文
不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法
Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日
2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。 1．证明不等式的基本方法 1．1比较法 比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下： 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 ， 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是：作商——变形——判断。（与1的大小） 例1． 求证： 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥
3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2． 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证： ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ （1）当a b >时， 1a b >，0a b ->所以()1a b a b -> （2）当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> （3）当a b =时不等式取等号。 所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2．综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数） /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号） /3a b c ++≥a b c ==成立） 例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322 a b a b ab +>+
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/1118292925.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/1118292925.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/1118292925.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
导数在不等式证明中的应用开题报告
集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表 设计（论文） 导数在不等式证明中的应用 题目 题目类型其它题目来源指导教师出题面向专业数学教育类 指导教师何晓霞职称副教授学位无从事专业大学数学教学 题目简介： 导数知识是数学中极其重要的部分，它的内容，思想和应用贯穿于整个数学的教学之中，是初等数学和高等数学中的一项重要内容。利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易，迎刃而解。在不等式证明的种种方法中，它占有重要的一席之地，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。 审核意见： 审核人签名： 年月日系（院）意见： 系（院）主任（院长）签名： 年月日 题目类型－－1、为结合科研；2、为结合生产实际；3、为结合大学生科研训练计划； 4、为结合学科竞赛； 5、模拟仿真； 6、其它 题目来源－－A.指导教师出题； B.学生自定、自拟
论文 题目 导数在不等式证明中的应用 年级四专业数学与应用数学学生 姓名 学号 主要内容： 利用导数的定义证明不等式 利用中值定理证明不等式 利用函数的单调性证明不等式 利用导数的几何意义证明不等式 利用函数的最值性(极值性）证明不等式 利用泰勒公式证明不等式 利用函数的凹凸性证明不等式 利用Jensen不等式证明不等式 利用导数的不等性证明不等式 利用偏导数证明不等式 主要任务及基本要求（包括指定的参考资料）： [1]华东师范大学.数学分析[M].高等教育出版社(下册) .156.293(上册) [2]扈志明,韩云端. 高微积分教程[M]. 北京:清华大学出版社, 1998 [3]刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .邯郸师专学报,2000 [4]朱士信.唐烁.宁荣健编.高等数学[M]上册.中国电力出版社,2007 [5]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报2000.03 [6]陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究2009 [7]马德炎.常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究2009 [8]陶伟.高等数学习题集[M].北京国家行政学院出版社2001 [9]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社2006 [10]李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期). 发出任务书日期：完成期限： 指导教师签名：专业主任签名： 年月日
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
证明不等式的种方法
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
数学不等式证明方法论文开题报告
湖北大学 本科毕业论文（设计）开题报告 题目高中数学不等式的证明方法 姓名梁艳平学号2011221104110067 专业年级2011级数学与应用数学 指导教师付应雄职称副教授 2015年03月03日 本课题的研究目的及意义 现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。 不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。 为了突破难点，我认为有必要对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和总结。 已了解的本课题国内外研究现状。 不等式的证明方法在国内外的研究都趋于高深、复杂、多方向化。 不等式的证明方法也大多用于竞赛和考察数学素养。 本课题的研究内容 本课题主要研究不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。 本课题研究的实施方案、进度安排。 首先通过查阅国内外相关文献资料对不等式的证明方法做一个全面的了解，并了解学生对于不等式的证明方法的掌握程度与思考方式，其次，对于每种方法要举出一个典型的例子来帮助读者理解。 2015年1月——2014年2月：搜集、分析资料，确定题目； 2015年3月初：开题报告； 2015年3月初——3月底：撰写论文初稿；3月31日前提交纸质版初稿； 2015年4月中旬前：修改论文，定稿：外文翻译； 2015年4月底：论文答辩。 已查阅的主要参考文献 [1]胡汉明.不等式证明问题的思考方法.数学通讯.2004（11）. [2]韩京俊.初等不等式的证明方法.哈尔滨工业大学出版社. [3]严镇军.不等式.人民教育出版社. [4]王胜林.卫赛民.证明不等式的几种特殊方法，数学通讯.
高一数学一元二次不等式解法经典例题
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1 a a C x a ．＞或＜x a 1 1 选A x ≥3或x ． ?? ?????a b = =-121 2 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+--+-313 2 511 3 12 2x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞ 的解集为5 1x 1 ] x ＝ 0} ] 解法一原不等式的同解不等式组为≠． x -?? 20 故排除A 、C 、D ，选B ． 解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 3 20x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”． 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ]
A a B a C a D a ．＜ ．＞ ．＝ ．＝－ 1212 1 21 2 分析可以先将不等式整理为 ＜，转化为 0()a x x -+-11 1 [(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2} 可知－＜，即＜，且－ ＝，∴＝．a 10a 12a 1112 a - 答 选C ． ≤0} 分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ? 解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*) (1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：