角的相关计算和证明(一)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：看到平行想什么？

问题2：看到垂直想什么？

问题3：看到三角形的外角想什么？

问题4：看到三角形的内角想什么？

角的相关计算和证明（一）（人教版）

一、单选题(共7道，每道14分)

1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( )

A.80°

B.107°

C.73°

D.100°

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形的外角

2.如图，直线BD∥EF，AE交BD于点C，若∠B=30°，∠A=75°，则∠E的度数为( )

A.60°

B.75°

C.90°

D.105°

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形的外角

3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AC边上一点，BE交AD于点F．∠ABC=45°，∠BAC=75°，∠BFD=60°，则∠BEC的度数为( )

A.85°

B.105°

C.100°

D.90°

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂直的定义

4.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，则∠E=( )

A.60°

B.75°

C.90°

D.105°

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为E，F，若∠ADE=158°，则∠FEC的度数为( )

A.22°

B.32°

C.44°

D.58°

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂直的定义

6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．若∠A=70°，则∠D的度数为( )

A.110°

B.140°

C.125°

D.135°

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理

7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交BC的延长线于点M．若∠ACB=70°，∠B=40°，则∠M的度数为( )

A.20°

B.15°

C.35°

D.25°

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余

角的相关计算和证明

角的相关计算和证明 一、填空题(共3道，每道3分) 1.已知线段AB=10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C且BC=7cm，则线段DC=____cm． 2.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=____度． 3.如图，一副直角三角板中，∠A=60°，∠D=45°，在同一平面内，将∠A和∠D的顶点重合、边AC和边DF重合，可以得到∠BAE，则∠BAE的度数为____． 二、解答题(共2道，每道6分) 4.如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM=度． （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由． （3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是秒．

5.（点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合，则此时∠MOC=； （2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3的位置，且∠CON=，求∠NOB的 度数．

第一讲线段、角的计算与证明问题

第一讲 线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。 第一部分 真题精讲 【例1】（2018，崇文，一模） 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，° ，，．求AB 的长． 【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,则很轻易发现我们将AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下. 【解析】 作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． DF ∥AE ∴， AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形．

圆中的证明与计算

圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。

【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。

【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。

中考《圆》有关的证明和计算

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.

例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线

七年级下册数学之与角的相关计算和证明(含答案)

角的相关计算和证明（导学案） 知识过关 背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定： ①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质： ①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角： 同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形： 三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________； 三角形的一个外角等于______________________________． 在证明的过程中， 由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________． 精讲精练 1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则 ∠BCE =_________． 2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ， CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________． F E D C B A

3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F AG =45°， ∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________． 4. 如图，点F 是△ABC 边BC 延长线上一点，EF ∥AC ，过 点E 作ED ⊥AB 于点D ，交AC 于点G ．若∠A =35°，则 ∠DEF =______． 5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________． 6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求 证：DA ∥CB ． 证明：如图， ∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180° （__________________________） ∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________） ∴DA ∥CB （__________________________） G F E D C B A 第6题图21F E D C B A 2 1P D B A G F E D C B A G F E D C B A

圆的相关证明及计算 专题训练题

三数学中考复习 圆 专题训练题 1. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别于与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF⊥AC 于点F. (1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径为2，BC ＝22，求DF 的长． 2. 如图，BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO ＝65 cm ，DO ＝15 cm ，当BD 绕点O 旋转90°时，求刮雨刷BD 扫过的面积 3. 如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC＝∠A，连接OE 延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. (1) 求证：BC 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径为6，BC ＝8，求弦BD 的长． 4. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F. (1) 求证：DE 是⊙O 的切线；(2) 若OF ＝2，求AC 的长度．

5. 如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E (1) 求证：BD＝BE；(2) 若DE＝2，BD＝5，求CE的长． 6. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. (1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥A C. 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长． 8. 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线． 9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE. (1) 求证：CE是⊙O的切线；(2) 若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．

人教版八年级数学上册 角的相关计算和证明(习题及答案)

第1页 共8页 角的相关计算和证明（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______． 思路分析 ①读题标注： ②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度 可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B =180°-60°-70°=50°． （思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．） 巩固练习 1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______． A B C D E 2 1 C B A 第1题图 第2题图 2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠ 1+∠2=____________． 3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ） 80° 20° A C E D D E C A

第2页 共8页 A ．120° B ．115° C ．110° D ．105° D A E F E F A 第3题图 第4题图 4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠ D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ． 求证：∠A =2∠BCD ． D C B A 证明：如图， 设∠BCD =α ∵CD ⊥AB （已知） ∴∠BDC =90° （垂直的定义） ∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换） ∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换） ∴∠A=2α （同角的补角相等） 即∠A =2∠BCD 6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ． 求证：AD ∥BC ． A D F 1

线段、角的计算与证明

O D C B A E D C B A 线段、角的计算与证明问题 1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求 AB 的长． 2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长. 3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =， ，E 为DC 中点，4 tan 3 C = ．求AE 的长度 4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长． A B D E

5 、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； 6、已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求 AE AC 的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长． 7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长． A B F E D

P Q N M E D C B A 8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形， 并证明你的结论． 9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5 ABC ∠= ． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5 4 cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. （第9题图）

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1. 如图，在Rt△ABC中，ZABC=90 °，点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E. (1) 求证：MD=ME (2) _______________________________________________ 填空：①若 AB=6，当AD=2DM 时，DE= __________________________ ； ②连接0D，OE，当/A的度数为_____________ 时，四边形ODME是菱形. 2. 如图，CD是GO的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作GO的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若GAPO=30。，试证明CACP是等腰三角形; (2)填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP= _______ cm时，四边形AOBP是正方形.

3?如图，AB是半圆0的直径，点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点，延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接PD, P0. (1)求证：△CDP^△OB; (2)填空： ①若AB = 4，则四边形AOPD的最大面积为__________________ ； ②连接0D，当Z PBA的度数为_______ 时，四边形BPDO是菱形. 4. 如图，在。0中，AB是。0的直径，AC是。0的弦，过点C作。0的切线

交BA 的延长线于点P ,连接BC. (1)求证：/ PCA= ZB; (2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上，从点A 开始以n cm/s 的速度 逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合)，设运动时间为ts. 5. 如图，在 Rt △ABC 中，Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过 点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。 (1)求证:OE//AB; ① 当t= ② 当t= 时，以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大 时，△ABQ 与A ABC 全等。 (2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形 AD=3DE.

圆的有关证明与计算题专题

A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

角的相关计算和证明 习题及答案

角的相关计算和证明（习题） ? 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______． 思路分析 ①读题标注： ②梳理思路： 从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B °-60°-70°=50°． （思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．） ? 巩固练习 1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______． 第1题图 第2题图 2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________． 3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ） A ．120° B ．115° C ．110° D ．105° 第3题图 第4题图 4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ． 求证：∠A =2∠BCD ． 证明：如图， 设∠BCD =α ∵CD ⊥AB （已知） ∴∠BDC =90° （垂直的定义） ∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换） ∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） 80° 20° A C E D B B D E C A

中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)

圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△

△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△

△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．

《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延

角的相关计算和证明(讲义)

角的相关计算和证明（讲义） ? 课前预习 背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定： ①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质： ①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角： 同角（等角）的余角__________；同角（等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形： 三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________； 三角形的外角等于______________________________． ? 知识点睛 在证明的过程中， 由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________． ? 精讲精练 1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则 ∠BCE =_________． F E D C B A 2. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠A =40°，DC 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，则∠EDC =_____．

E D C B A G F E D C B A 第2题图 第3题图 3. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ， AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________． 4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°， ∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________． G F E D C B A G F E D C B A 第4题图 第5题图 5. 如图，ED ⊥AB 于点D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______． 6. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________． 21 P D B A 7. 如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ， ∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ． 1 O E B A

2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.

(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

最新初中数学角的相关计算和证明综合测试卷含答案

初中数学角的相关计算和证明综合测试卷 含答案

初中数学角的相关计算和证明综合测试卷 一、单选题(共7道，每道10分) 1.已知:如图,EF和AB,CD分别相交于点K,H,且EG⊥AB,AB∥CD,∠CHF=60°,则∠E的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 答案：A 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.已知:如图,在△ABC中,AB⊥BC,DE∥BC,BE⊥AC于E.若∠AED=65°,则 ∠ABE的度数为( ) A.45° B.55° C.65° D.50° 答案：C

试题难度：三颗星知识点：平行线的性质 3.已知∠B=30°,∠AOB=105°,CE∥AB,则∠ODC的度数为( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：B 试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理 4.如图,△ABC中,∠A=40°,∠B=70°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,则∠CDF为( ) A.60° B.70° C.75° D.85° 答案：C 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 5.如图,已知:∠ABC=∠ADC,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,BE∥DF,求 证:AD∥BC.

证明: ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC(已知) ∴=2∠3, =2∠1 (角平分线的定义) ∵∠ABC=∠ADC(已知) ∴∠3=∠1 (等式性质) ∵BE∥DF (已知) ∴ ( ) ∴∠2=∠3 (等量代换) ∴AD∥BC ( ) ①∠ADC;②∠ABC;③∠2=∠3;④∠1=∠3;⑤∠1=∠2;⑥同位角相等,两直线平行;⑦内错角相等,两直线平行;⑧两直线平行,同位角相等;⑨两直线平行,内错角相等;⑩等量代换; 在横线上依次填写正确的顺序为( ) A.②①⑤⑥⑦ B.②①⑤⑧⑦ C.②①⑤⑥⑨ D.②①⑤⑧⑨ 答案：B 试题难度：三颗星知识点：平行线的性质 6.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AC⊥BD,垂足为E.若∠BDC=50°,求 ∠BAC的度数. 解: ∵AB∥DC (已知) ∴∠BDC=∠ABD ( ) ∵∠BDC=50°(已知) ∴∠ABD=50°( ) ∵AC⊥BD(已知) ∴∠AEB=90°(垂直的性质) ∴∠BAC+∠ABD=90°( ) ∴∠BAC=90°-50°=40°(等式性质) ①内错角相等,两直线平行;②两直线平行,内错角相等;③等量

圆的证明与计算

以圆为背景的证明、动态探究题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E. （1）求证：MD=ME （2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________； ②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形. 2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B． （1）连接AC，若⊙APO=30°，试证明⊙ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．

3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO． （1）求证：△CDP≌△POB; （2）填空： ①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________; ②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形． 4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线

交BA的延长线于点P，连接BC. （1）求证：∠PCA=∠B; （2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts. ①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。 ②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。 （1）求证：OE∥AB; （2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。 ②当BC=_________时，AD=3DE.

与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，

∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．

角的相关计算和证明过程训练(综合)(一)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：（请书写过程） 已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=120°，求∠2的度数． 问题2：（请书写过程） 已知：如图，点D是△ABC的边AB上的一点，∠B=55°，∠BCD=30°，求∠ADC的度数． 问题3：（请书写过程） 已知：如图，AD与BF相交于点C．若∠D=∠A+∠B，求证：BF∥DE．（利用外角证明） 问题4：拿到一个让书写过程的几何题，我们的操作步骤是什么？ 角的相关计算和证明过程训练（综合）（一）（北 师版） 一、单选题(共6道，每道16分)

已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D． 求证：AC∥DE． 证明：如图， ∵AB∥CD（已知） ∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵∠A=∠D（已知） ___________________________________ 横线处应填写的过程最恰当的是( ) A. ∴∠ACD=∠D（等量代换） ∴AC∥DE（两直线平行，内错角相等） B. ∴∠ACD=∠D（等量代换） ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行） C. ∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行） D. ∴∠ACD=∠D（等量代换） ∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行） 答案：B 解题思路： 第一步： 读题标注，如图 第二步： 从条件出发，看到平行想同位角、内错角和同旁内角．

由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，得∠A=∠ACD； 又∠A=∠D，等量代换，得∠ACD=∠D； 利用内错角相等，两直线平行，得AC∥DE． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：平行线的性质 2. 已知：如图，在四边形ABCD中，F是DC延长线上一点，AB∥CD，∠ECF=∠D，∠CEF=∠F．求证：∠1=∠2． 证明：如图， ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠F（两直线平行，内错角相等） ∵∠ECF=∠D（已知） ∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行） ___________________________________ 横线处应填写的过程最恰当的是( ) A. ∴∠2=∠CEF（两直线平行，同位角相等） ∵∠CEF=∠F（已知） ∴∠1=∠2（等量代换） B. ∴∠2=∠BEA（两直线平行，内错角相等） ∵∠CEF=∠F（已知） ∴∠1=∠2（等量代换） C. ∴∠2=∠CEF（两直线平行，同位角相等） ∴∠1=∠2（等量代换） D. ∵∠CEF=∠F（已知） ∴∠2=∠F（两直线平行，同位角相等） ∴∠1=∠2（等量代换） 答案：A 解题思路： 第一步：