《有理数的加减乘除及乘方运算(教师版)》

有理数的加减乘除及乘方运算

学生姓名年级初一学科数学授课教师日期时段

核心内容有理数的四则运算以及乘方运算课型一对一/一对N

教学目标

1、掌握有理数的加法法则，减法法则，乘法法则，除法法则；

2、灵活运用加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律；

3、正确理解乘方的意义，掌握乘方的符号规律；

4、注意混合运算的顺序。

重、难点

1、有理数的符号问题；

2、有理数的四则运算法则的应用与准确度问题；

3、正确理解乘方的底

数、指数的概念，并合理运算。

课首沟通

1、了解学生最近对所学的内容的掌握程度以及遇到的困难并进行解决。

2、对以前学生计算出现的典型错误再次强调。

3、了解学生的作业的完成情况。

知识导图

课首小测

1、下列运算中，正确的是（）

A.（+6）+（-13）=+7

B.（+6）+（-13）=-19

C.（+9.05）+（-9.05）=18.1

D.0.5+（-2.5）=2

【参考答案】D

2、如果两个数的和是负数，那么（）

A.这两个数都是负数

B.这两个数中，一个为负数，一个为零

C.一个数为正数，一个数为负数，并且负数的绝对值大于正数的绝对值

D.以上三种情形都有可能存在 【参考答案】D

3、把-1+（-2）-（+3）去括号后的结果是（

）

A.-1+2+3

B.-1-1+3

C.-1-2-3

D.-1+2-3

【参考答案】C

4、若家用电冰箱冷藏室的温度是2℃，冷冻室的温度是-6℃，则冷藏室与冷冻室的温度相差（）

A.3℃

B.4℃

C.8℃

D.12℃ 【参考答案】C

5、如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（）

A 、符号相反

B 、符号相反，绝对值相等

C 、符号相反，且负数的绝对值较大

D 、符号相反，且正数的绝对值较大 【参考答案】D

【解析】两个有理数之积小于零，说明两数一正一负，其和大于零，说明正数的绝对值较大。

6、绝对值不大于4的所有整数的积等于（）

A 、24

B 、36

C 、-36

D 、0 【参考答案】D

7、下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）

A 、2

3

32和 B 、()33

33--和C 、()2

222--和 D 、323233

-??

? ??-和

【参考答案】B

8、已知两个数的商是-3，被除数是2

1

2

，则除数是。

【参考答案】65

9、据气象资料显示，某地高度每减少1000m ，气温大约升高6℃，如果现在地面气温是25℃，那么在10000m 的高空，气温大约是℃。 【参考答案】-35

10、某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂1次（由1个分裂为2个）。若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过小时。 【参考答案】2

导学一：

知识点讲解1：有理数的加法

1、加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。 2、加法运算定律 （1）加法交换律：

（2）加法结合律：

补充：（1）相反数结合法，互为相反数的两个数先相加。

①互为相反数的两数相加得零。

②运用加法交换律和结合律把互为相反数数的两数相加。

（2）同号相加法：多个正数和负数相加，可先把符号相同的数相加，再把最后剩下的一个正数和一个负数相加。

（3）同分母结合法：几个分数相加时，可优先将分母相同的几个数相加。 （4）易通分分母结合法

（5）同形结合法：几个数相加，可将整数部分，分数部分分别相加。 （6）凑整法。

例题

1、某村共有10块麦田，2011年的收成与2010年相比情况如下（增产为正，减产为负，单位：千克）：+32，+17，

-39，-11，+15，-13，+8，+3，+11，-21，则2011年小麦的总产量与2010年相比（）

A.增产2千克

B.减产2千克

C.减产12千克

D.减产12千克 【参考答案】A

【解析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：增产记为正，则减产记为负直接求和得出结论即可。

2、根据下列条件，用a 、b 表示b a +. (1)=+b a a ，则＞，＞若0b 0 ; (2)=+b a b a ，则＜，＜若00 ; (3)=+b a a a ，则＞，＜，＞若b 0b 0 ; (4)=+b a a a ，则＞，＞，＜若b 0b 0 。

【参考答案】（1）b a +；（2）)(b a +-；（3）b a -；（4）a b -

【解析】此题主要考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加。对于第一小题，因为a,b 都是大于0，所以只要直接相加就可以了；对于第二小题，因为a ，b 都是小于0，所以a+b 就会等于它们绝对值相加的相反数；对于第三和第四小题，要弄清楚那个绝对值比较大，两者相加就是等于绝对值大的数减去绝对值小的数即可。

【思维对话】学生常见的思维障碍有： （1）不理解绝对值的概念； （2）不能确定有理数计算的符号； （3）对带有字母的参数代数式不理解。 针对以上的情况，建议采取以下的教学策略： 思维障碍点突破方法：

这道题看似很难，其实只是涉及到带有字母的参数以及绝对值的计算这两个方面，首先，在学生还不是很理解的时候，可以建议学生将a 和b 换成具体的数字进行计算，并且去判断计算的符号，再把具体的数字换回字母即可；其次，对于有理数的绝对值的概念需要进行再次加强训练，建议最好分类讨论，针对不同情况可以给出具体的数字进行练习求解。

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1、下列运算中正确的是( )．

A.(＋8)＋(－10)＝－(10－8)＝－2

B.(－3)＋(－2)＝－(3－2)＝－1

C.(－5)＋(＋6)＝＋(6＋5)＝＋11

D.(－6)＋(－2)＝＋(6＋2)＝＋8

【参考答案】A

2、三个数－15，－5，＋10的和，比它们绝对值的和小( )．

A.－20

B.20

C.－40

D.40

【参考答案】D

3、如果两个数的和是正数，那么这两个数一定( )．

A.都是正数

B.有一个正数

C.至少有一个正数

D.不能确定

【参考答案】C

4、计算下列各题

(＋8)＋(－17)＝(－17)＋(－15)＝

(－32.8)＋(＋51.76)＝(－3.07)＋(＋3.07)＝

【参考答案】-9；-32； +18.96；0。

知识点讲解2：有理数的减法

减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即

例题

1、室内温度是20℃，室外温度是－1℃，室内温度比室外温度高( )．

A.19℃

B.－19℃

C.21℃

D.－21℃

【参考答案】C

2、北京等5个城市的当地时间(单位：时)可在数轴上表示如下：

如果将两地时间的差简称为时差，那么( )．

A.汉城与纽约的时差为13小时

B.汉城与多伦多的时差为13小时

C.北京与纽约的时差为14小时

D.北京与多伦多的时差为14小时

【参考答案】B

3、设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a－b－c的值是( )．

A.0

B.－1

C.2

D.1

【参考答案】C

4、超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg ，到货后超市复秤结果如下（超过标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？ 【参考答案】500.7千克

【解析】本题运用了正负数的意义表示每箱橙子的重量，比如：+0.5表示这箱橙子的重量超过标准重量0.5千克，为（50+0.5）千克。因此，计算总的重量就是求所有箱重量的和，注意凑整进行运算比较简便。具体过程如下：

购进橙子的总重量为：（50+0.5）+（50+0.3）+（50-0.9）+（50+0.1）+（50+0.4）+（50-0.2）+（50-0.7）+（50+0.8）+（50+0.3）+（50+0.1）

=50×10+（0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1） =500+0.7=500.7（千克） 答：超市购进的橙子共500.7千克

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1、 下列计算错误的是( )．

A.－2－(－2)＝0

B.－3－4－5＝－12

C.－7－(－3)＝－10

D.12－15＝－3

【参考答案】C

2、若｜a －1｜＋｜b ＋3｜＝0，则2

1

-

-a b 的值是( ) A.2

1

4-

B.21

2- C.211-

D.2

1

1

【参考答案】A

3、计算下面各题

（1）)43

()41()2

1(----+（2）(＋12)－(＋18)－(＋23)＋(＋51)

（3）

)81

()535()872()523(+----++（4）(＋132)－(＋124)－(＋16)＋0＋(－132)＋(＋16)

【参考答案】2

1

1；22；6；-124

4、出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的,如果规定向东为正, 向西为负,他这天下午行车里程表示如下（单位：千米）:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6 , （1）将最后一名乘客送到目的地时,小李距离下午出车时的出发点多远? （2）如果汽车耗油量为1升/千米,这天下午小李共耗油多少升? 【参考答案】（1）39千米；（2）65元

【解析】（1）+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39千米 （2）（15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6）*1=65元

导学二：

知识点讲解1：有理数的乘法

1、乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 2、乘法运算定律 （1）乘法交换律：

（2）乘法结合律： （3）分配律：

例题

1、两个有理数之积是0，那么这两个有理数( )．

A.至少有一个是0

B.都是0

C.互为倒数

D.互为相反数

【参考答案】A 2、,04.018)05.04

1

110(54

-+-=+-?-

这个运算应用了( )． A.加法结合律 B.乘法结合律

C.乘法交换律

D.乘法分配律

【参考答案】D

3、 计算① ② ③

【参考答案】991-

；71；19

4

149

【解析】①小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。再利用乘法交换律先计算的值。②小题利用分配律进行计算。③小题把化为再利用分配律进行计算。具体如下：

①原式=

②原式=

③原式=

【思维对话】学生常见的思维障碍有：

（1）不能确定符号；

（2）对分数的计算不熟练，特别是对于带分数化成假分数以及在分数的计算过程中，混淆分子和分母；

（3）粗心大意，一看就觉得题目简单，然后导致做错。

思维障碍点突破方法：

引导学生对分数的概念以及分数的计算要有进一步的认识和理解，先从简单的带分数化成假分数着手，掌握方法，再进行从简单到复杂的计算练习；

在进行有理数的乘法运算时，应先考虑计算结果的符号，再进行计算。在进行乘法和加减运算时，应运用乘法分配律进行简算。

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1、若a＝4，b＝0，c＝－3，d＝－5，则c－ad＝______，(a－b)(c－d)＝______．

【参考答案】17,8

2、比较a与3a的大小，正确的是( )．

A.3a＞a

B.3a＝a

C.3a＜a

D.上述情况都可能

【参考答案】D

【解析】分别利用a的取值范围不同，则a与3a的大小就不同，进而得出大小关系。当a＞0，则a＜3a，当a=0，则a=3a；当a＜0，则3a＜a。

【思维对话】学生常见的思维障碍有：

（1）简单的看作是a与3a的比较，认为3a一定比a大；

（2）对题目考虑不全面，可能会只考虑到一种情况或者两种情况；

思维障碍点突破方法：

此题主要考查了有理数的比较大小，利用分类讨论得出是解题的关键，在学生不熟练的时候，可以令a=-1，0，1等三种情况进行分析求解。

3、计算下列各题

（1）)720()103()3

2(-?-?-

（2）

)2.0()73

2()312(-?+?-

（3）)72

1()117

9154238312(-?+-

（4）

)19

4

(6)194(13)194(7-?--?+-

?- 【参考答案】74-；1517；3

5；0

知识点讲解2：有理数的除法

除法法则

（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即

。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

例题

1、 已知a 的倒数是它本身，则a 一定是( )．

A.0

B.1

C.－1

D.±1

【参考答案】D

【解析】此题要考查了倒数的概念以及倒数的应用，要注意的是0是没有倒数的，因为0不能作为分母，所以一个数的倒数是它本身的就只有±1。

2、若xy ＞0，则(x ＋y )xy 一定( )．

A.小于0

B.等于0

C.大于0

D.不等于0

【参考答案】D

3、如果x ＜y ＜0，则化简

xy

xy x x |

|||+的结果为( )． A.0 B.－2 C.2 D.3

【参考答案】A

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1、下列计算正确的是( )．

A.20)15

1

(5-=-÷-

B.2)8

1()8(2-=-?-÷-

C.

40)15

2

()2(38-=-÷-?- D.2

5

)8()116387(-=-÷++-

【参考答案】C

2、若两数之积为1，则这两数互为________；若两数之商为1，则这两数________；若两数之积为－1，则这两数互为________；若两数之商为－1，则这两数互为________． 【参考答案】倒数，相等，负倒数，相反数。

3、若ab ＞0，b ＜0，则a ________0，且a b ________0；若ab ＜0，a ＞0，则b ________0，且a

b

________0由此可知，ab 与

a

b

的符号________． 【参考答案】＜，≠，＜，≠，相同。

导学三：

知识点讲解：有理数的乘方

乘方法则

（1）正数的任何次幂都是正数。

（2）负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数。 （3）0的任何非零次幂都是。

例题

1、4

)3(-表示（）

A.4个（-3）相乘的积

B.-3乘4的积

C.3个（-4）相乘的积

D.4个（-3）相加的和 【参考答案】A

2、下列各组中两个式子的值相等的是（）

A.333-3）与（-

B.2

332与

C.3

3

2-2-）与（ D.223-3-）与（

【参考答案】A

【解析】此题主要是考查在乘方的计算中，偶次幂和奇次幂对底数的影响，当指数是偶次幂的时候，底数是负数，符号可以抵消，当指数是奇次幂的时候，底数是负数，符号不能抵消，对于底数是正数，偶次幂和奇次幂对符号没有影响，注意这一点即可。

3、 如果－a ＞a ，则a 是________；如果｜a 3

｜＝a 3

，则a 是________． 如果｜a 2

｜＝－｜a 2

｜，则a 是________；如果｜－a ｜＝－a ，则a 是________． 【参考答案】负数，非负数，0,非正数。

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1、－12

的计算结果是( )．

A.1

B.－11

C.－1

D.－2

【参考答案】C

2、－0.22的计算结果是( )．

A.－0.04

B.0.04

C.0.4

D.－0.4

【参考答案】A

3、3

12

-的计算结果是( )．

A.9

1 B.3

1-

C.91-

D.3

1 【参考答案】B

4、下列各式中，计算结果得0的是( )．

A.22

＋(－2)

2

B.－22－22

C.222

1

)21(--

D.222

1)21(+-

【参考答案】C

5、下列各数互为相反数的是( )．

A.32

与－23

B.32与(－3)2

C.32

与－32

D.－32

与－(－3)

2

【参考答案】C

6、计算下列各题

（1）6×(－2)2

÷(－23

) （2）22

223

2)32(2)2(-

+--

（3）(3×2)2＋(－2)3×5－(－0.28)÷(－2)

2

（4）

)21

31()1()3(3322-?---÷-

【参考答案】-3；92；-3.93 ；6

1

1-

限时考场模拟

1、计算3(25)-?=（ ）

A.1000

B.－1000

C.30

D.－30

【参考答案】B

2、计算2223(23)-?--?=( )

A.0

B.－54

C.－72

D.－18

【参考答案】A

3、计算1

1(5)()555

?-÷-?=

A.1

B.25

C.－5

D.35

【参考答案】B

4、下列式子中正确的是（ ）

A.4232(2)(2)-<-<-

B. 342(2)2(2)-<-<-

C. 4322(2)(2)-<-<-

D. 234(2)(3)2-<-<-

【参考答案】C

5、42

2(2)-÷-的结果是（ ）

A.4

B.－4

C.2

D.－2

【参考答案】B

6、如果2

10,(3)0a b -=+=，那么2

1b

a

+的值是（ ） A.－2 B.－3 C.－5 D.4 【参考答案】C

7、计算10

11)2()2(-+-的值是（ ） A ．2- B ．21

)2(- C ．0 D ．10

2-

【参考答案】D

8、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）

A ．a + b ＜0

B ．a + b ＞0;

C ．a －b = 0

D ．a －b ＞0 【参考答案】A

9、下列各式中正确的是（ ）

A ．22)(a a -=

B ．33)(a a -=

C ．|| 22a a -=-

D ．

|| 33a a = 【参考答案】A

10、(2013.台湾)计算12÷（-3）-2×（-3）之值为（）

A.-18

B.-10

C.2

D.18 【参考答案】C

11、下列说法中，正确的个数为( )． ①对于任何有理数m ，都有m 2

＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2

＝(－m )2

；

③对于任何有理数m 、n (m ≠n )，都有(m －n )2

＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3

＝(－m )3

．

A.1

B.2

C.3

D.0

【参考答案】A

12、（2012.菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即

；

；

；……；

若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是．

【参考答案】41

【解析】此题主要是考查规律型：数字的变化类。观察不难发现，奇数的个数与底数相同，先求出到以6为底的

-1

1

a

b

3

2333

43235

=+337911=++3413151719=+++3

63

6

立方的最后一个奇数为止，所有的奇数的个数为20，再求出从3开始的第20个奇数即可得解。解：由23

=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，

33

=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1， 43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1， 53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1， 63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1， 所以63

“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）=41． 故答案为：41．

【思维对话】学生常见的思维障碍有： （1）阅读题目之后，不能发现规律变化； （2）学生总结规律的能力不强。 思维障碍点突破方法：

引导学生仔细审题，让学生圈出题目里面的关键字以及涉及到的所有数据

，，

，提问：1.题目需要我们求什么？（“分裂”出的奇数中最大的奇数）2.你能从2,3,4

这三个数的立方根的分裂当中找出一些共同点吗？

课后作业

一、填空题 1、计算：._____59____;2

1

23=--=+-

【参考答案】-1,4

2、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 【参考答案】-1或5

3、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 【参考答案】12

4、某旅游景点11月5日的最低气温为

2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____

C 。 【参考答案】10

5、计算：.______)1()

1(101100

=-+-

3235=+337911=++3413151719=+++36

6、平方得41

2的数是____；立方得–64的数是____. 【参考答案】2

3

，-3

7、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_______. 【参考答案】35

二、选择题

1、下列算式中，积为负数的是（ ） A.)5(0-? B.)10()5.0(4-?? C.)2()5.1(-? D.)32()5

1()2(-?-?-

【参考答案】C

2、下列各组数中，相等的是（ ）

A.–1与（–4）+（–3）

B.3-与–（–3）

C.432与16

9D.2)4(-与–16

【参考答案】B

3、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是（ ）

A.90分

B.75分

C.91分

D.81分 【参考答案】C

4、l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ） A.

121 B.32

1 C.641 D.

1281 【参考答案】C

5、不超过3

)2

3(-的最大整数是（ ）

A.–4

B.–3

C.3

D.4

6、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价（ ）

A.高12.8％

B.低12.8％

C.高40％

D.高28％ 【参考答案】D

三、解答题

1、七年级一班某次数学测验的平均成绩为80分，数学老师以平均成绩为基准，记作0，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为+10，–15，0，+20，–2．问这五位同学的实际成绩分别是多少分？ 【参考答案】90,65,80,100,78

【解析】小龙：80+10=90,小聪：80-15=65，小梅：80+0=80,小莉：80+20=100，小刚：80-2=78

2、计算．

（1）15783--+- （2）)6

141(21--

（3）)4(2)3(623-?+-?-（4）6

1)3

16

1(1?-÷ 【参考答案】-17 ；12

5

；33；-1

3、计算．

（l ）51)2(42

3?

-÷- （2）75.04.34

3

53.075.053.1?-?+?-

（3）[]

2)4(231)5.01(-+?÷--（4）)4

11()2(32)53()5(23-?-÷+-?- 【参考答案】5

16

-； -3.3；-27 ；85

4、已知水结成冰的温度是

0C ，酒精冻结的温度是–117℃。现有一杯酒精的温度为12℃，放在一个制冷装置里、每分钟温度可降低1.6℃，要使这杯酒精冻结，需要几分钟？ （精确到0．1分钟） 【参考答案】80.6分钟

【解析】【12-（-117）】/1.6=80.625（分钟）

精确到0．1分钟=80.625分钟≈80.6分钟