平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究 三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过 聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在. () 0.a b b a b a b λλ≠=r r r r r r r r 向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的 实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理： ()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1. ()() ()1122121,,1,=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=?-=-?=-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使令则 1. ()()()()()() 1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ?-===-+?-=-?=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u ur 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图， 且1征：向量， 的系数点P 的位置是随着令 ， 当点P 在线段AB 内()() ()() ()() 12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110 =1=10 1. λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时 此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时， ，点P 在线段AB 反向延长线上时， ，当点P 与点A ， ，当点P 与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时, 111AP PB OP OA OB λλλλ ?==+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则 O 1()

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解 一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是： .O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=. 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下： 设 O A xOB yOC =+ 且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点 设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n 1 O A m O B n O C =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+ m n OA OB OC λ λ ?=+ m x λ ∴= 、n y λ = 1 m n x y λ λ ++= = （1）1λ> 则 1x y +< 则 11 1 OA OA OA λ = < ∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则1 01x y λ +=<<，此时OA 与1OA 反向 A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） 图[2] B C A 1 O A O A 1 B C A 图[1]

（3）1o λ<<，则1x y +> 此时 111 OA OA OA λ => ∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]） 图[3] 2、如图[4]过O 作直线平行AB ， 延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区 域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+?? ????-<+

向量证三点共线 (1)

利用共线向量巧解三点共线 例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一 点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得PC=λPA+ （1-λ）PB． 证法探究： 分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=λPA+（1-λ）PB，只需证=λ+-λ?-=λ（-）? =λ?∥．这样证明思路有了。 证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=λBA，即PC-PB=λ（PA -PB），PC=λPA+PB-λPB，∴PC=λPA+（1-λ）PB． 证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。考察向量等式BC=λBA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC 与BA同向，有0≤λ≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC 与BA反向，有λ<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA 同向，有λ＞1． 此例题逆命题亦成立，即 已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC=λPA+μPB，且λ+μ=1，则A，B，C三点共线． 故此逆命题可作三点共线判定方法。

为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下： 性质1：已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ． 或叙述为： 已知A ，B ，C 是平面内三个点， P 是平面内任意一点，若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，μ，使得PC =λPA +μPB ，则有λ+μ=1． 性质2：已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μ PB ，且λ+μ=1，则A ， B ， C 三点共线． 三点共线性质在解题中的应用： 例1 如图，在ABC ?中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别 交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB =AM m ，AC =AN n ，则n m +的值为 ． 解析：连结AO ，因为点O 是BC 的中点，所以有AO =2121+=AN n AM m 2121+，又因为M 、O 、N 三点共线，所以12121=+n m ，故2=+n m ． 点评：因为点O 是BC 的中点，所以λ=21=，由性质1，

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点 的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线， （设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是 解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y 　 Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

平面向量基本定理03913

2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一

组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.

必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .

思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)

平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广 南昌外国语学校 梁懿涛 邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校 电话： 电子信箱： 一．问题的来源 平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=． 二．问题的提出 问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论 问题2.x 、y 有什么特定的意义吗 问题3.上述问题可以推广到空间吗 三．问题的解决 推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>． （2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<． 证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==， ()1x y x y λ''∴+=+>． 充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧． 同理可证（2）． 进一步分析，得： 推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=． （2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：00x y >??>?；（Ⅱ）区：00x y ?；（Ⅲ）区：00x y ??>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线 上． 证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．

向量法证明三点共线的又一方法及应用 -

向量法证明三点共线的又一方法及应用 平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ，其中1λμ+=. 求证：A 、B 、C 三点共线 思路：通过向量共线(如AB k AC =u u u r u u u r )得三点共线. 证明：如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴()OB OA μOC OA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AB μAC =u u u r u u u r ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：1. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O 具有灵活性； 2. 反之也成立（证明略）：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ+=.揭示了三点贡献的又一个性质； 3. 特别地，12λμ==时，1()2 OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，点B 为AC u u u r 的中点，揭示了OAC V 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例 例 1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明 BN λBM μBC =+u u u r u u u u r u u u r ,且1λμ+=. D A B C M N

平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)

平面向量补充讲义----三点共线定理 班级：__________姓名：___________ 三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+， 则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=） 说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则 例1．如图，在△ABC 中，13 AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211 AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211 练习 例2．，点在边上，，设，则（ ） 例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点， 且、、三点共线．设，，求： 的值 推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的 平行线上任意一点，且向量 12OP OP OP λμ=+，则λμ+为定值． （这条平行线称为等和线） 例4 ．已知点G 为ABC ?重心，P 为GBC ?内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取 值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________. OAB ?P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33 B a b +. C 1233a b -. D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y x 11+2 12P 1

平面向量的基本定理

平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

向量证明三线共点与三点共线问题

用向量证明三线共点与三点共线问题 山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多． 证明A 、B 、C 三点共线，只要证明AB 与AC 共线即可，即证明AC AB λ=．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上． 例1． 证明：若向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ， 且1=+μλ，使得OB OA OC μλ+=；反之，也成立． 证明：如图1，若OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线，则AB //BC ,故存在实数m,使得AB m BC =，又OB OC BC -=，OA OB AB -=，故)(OA OB m OB OC -=-， OB m OA m OC )1(++-=．令,1,m m +=-=μλ则存在,1,,=+μλμλ且使得 OB OA OC μλ+=． 若OB OA OC μλ+=，其中,1=+μλ则λμ-=1，OB OA OC )1(λλ-+=．从而有OC －OB ＝λ(OA －OB )，即BA BC λ=．又因为BA BC 和有公共点B,所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA 、OB 、OC 的终点A 、B 、C 共线. 例2． 证明：三角形的三条中线交于一点． 证明：如图2，D 、E 、F 分别是ABC ?三边上的中 A O B C 图1

点． 设BE BG AD AG G BE AD b CB a CA μ===?==,,,．设．则 =-+-=++-=+-=+=)2 1( )2 1()()(b a a b CA BC a b BE a b BG AB AG μμμ b a )1(1(2 1μμ-+-），又b a b a CD AC AD AG λλλλλ2 1)2 1()(+-=+-=+== ?????? ? ==??????? -=-=-323 2121121μλμλμλ解得 所以 则b a b a a AD a AG CA CG 3131)21(323 2+ = + -+=+ =+= b a CF 2 121+ = ，所以CF CG 3 2=，所以G 在中线CF 上，所以三角形三条中线交于一点． A B C E D F 图２ G

(完整word版)高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA u u u r 、OB uuu r 、OP uuu r 是三个有共同起点的不共线向量，求证： 它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r ． 【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r 成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线． 【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件． 若A 、B 、P 三点共线，则AP u u u r 与AB u u u r 共线，由向量共线的条件知存 在实数λ使AP AB λ=u u u r u u u r ，即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线． 若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ． 则()OP OB m OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BP mBA =u u u r u u u r ． ∴BP u u u r 与BA u u u r 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一． 举一反三： 【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r ， 12BC e e =+u u u r ，1269CD e e =-u u u r ，求证：A ，C ，D 三点共线． 【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线．

平面向量三点共线基本关系运用

三点共线向量基本关系运用 平面上任意一点O ，求证：平面上A 、B 、C 共线的充要条件是存在实数μλ,使 OC OA OB λμ=+，且 1=+μλ . 若DF AB ，11OE OD OF λμ=+，则 11λμ+= 若DF AB ，22OE OA OB λμ=+，则 22λμ+= 例1 . 已知O 是ABC ?内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ?的 A. 重心 ； B. 垂心 C. 外心 D. 内心 例2 已知O 是ABC ?内一点，230OA OB OC ++=， 则问ABC ?的面积与AOC ?的面积的比是多少？ () 20OA OC OB OC +++=，OF ON =

例3 设点O 是ABC ?内一点，满足230OA OB OC ++=，则A B C ?的面积与OBC ?的面积之比为 5：1 . 解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则2=+，()OE OC OB 42=+，故可得： OC OB OA 32++()022=+=OE OD ，即

2-=， 故2:3:=??AO C AEC S S ，则1:3:=??AO C ABC S S （二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ?的重心， '''9 131C AB AOC AOC S S S ???==， 例4已知O 是ABC ?所在平面内一点，342OA OC OB +=，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比为 法一：342'777 OA OC OB OB +==，则,,'A C B 三点共线.

平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理 【学习目标】 （1）了解平面向量基本定理；理解向量夹角的定义； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【学习重点】平面向量基本定理. 【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程 一、学情分析，课前导入 前面我们学习过了向量的线性运算及共线向量定理。本节我们继续研究向量的其它性质，在学习之前我们来复习一下前面的内容， 二、提出问题，引入新课 师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足什么样的等式？ 生：a＝λb. 师：这就是我们上节课学习的共线向量定理（放幻灯片2） 结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb. (2)引导探究 师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？ (学生讨论) 结论：不成立． 师：也就是说一个向量不能表示另一个与它不共线的向量，两个向量能不能表示出与它们不共线的向量呢？我们来看:（幻灯片3） 师：我平时没事的时候喜欢看一些军事新闻，元旦时我看到这一新闻：新华社(12月31日电），来自中国航天科工集团第四研究院的消息，我们快舟-11固体运载火箭将于2018年上半年首飞，可一次性实现星座的快速构建，大幅提升发射效率和降低运载成本，怎么样，这技术，利害了，我的国！你们看下面的这个图：（幻灯片4） 在物理中速度可以合成，也可以分解。合成即向量的加法，分解也可以推广到向量中来。 师：我们先分析一下向量加法过程 三、任务下达，课堂探究

再议平面向量中三点共线定理

再议平面向量中三点共线定定理 三点共线向量定理：已知平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ,OB OA OP 21λλ+=, ()12,R R λλ∈∈，则A,B,P 三点共线，当且仅当121=+λλ.如图（1）所示. 提出问题：当121≠ +λλ时，点P 应在什么位置呢？ 预备知识：点P 的位置是随着1λ，2λ的变化而变化的.如图（2）所示，点P 在直线AB 上， 等价于,AP AB R λλ=∈u u u r u u u r ,所以，OP OA OB OA λλ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以()1OP OA OB λλ∴=-+u u u r u u u r u u u r 所以11=λ12=1,λλλλ∴-=， （1）当 0<λ，即12=11,0λλλλ->=<时点P 在线段AB 的反向延长线上； （2）当 0=λ，即12=1=1,=0λλλλ-=时点P 与点A 重合； （3）当 10<<λ，即()()12=10,1,0,1λλλλ-∈=∈时点P 在线段AB 的内部； （4）当 1=λ，即12=1=0,=1λλλλ-=时点P 与点B 重合； （5）当 1>λ，即12=10,1λλλλ-<=>时点P 在线段AB 的延长线上. 问题分析 （1）当OP 在直线AB 的同侧且AB OP //时，如图（3）所示，OP AB OB OA λλλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r , 此时，1212=,+=0λλλλλλ-=，.

（2）当OP 在直线AB 的同侧且0P AB OP =I 时，如图（4）所示 () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,121+=1λμμ<，且 此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=< ，. 过点O 直线OE//AB ①当点P 位于直线OE 与直线AB 之间时，如图（5）所示， () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1201+=1λμμ<<，且， 此时，()()11221212=,+=+=0,1λλμλλμλλλμμλ=∈ ，. ②当点P 位于直线OE 上方时，如图（6）所示， () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，120+=1λμμ<，且， 此时，()11221212=,+=+=0λλμλλμλλλμμλ=< ，. （3）当OP 在直线AB 的两侧且0P AB OP =I 时，如图（7）所示 () 01212OP OP OA OB OA OB λλμμλμλμ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,121+=1λμμ>，且， 此时，()11221212=,+=+=1λλμλλμλλλμμλ=> ， 综上讨论可知，已知平面内一组基底,及任一向量,21λλ+=，