振动图像与波的图像及多解问题专题
振动图像与波的图像及多解问题
一、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象,波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：
振动图象波动图象
研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点
研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律
图线
物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移
图线变化随时间推移图延续,但已有形状不变随时间推移,图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长
例题精选：
例题1：如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象
（1）说出两图中AA/的意义？
(2）说出甲图中OA/B图线的意义？
（3）求该波速v=?
（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图
(5)求再经过3．5s时p质点的路程S和位移
解析：（1)甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．
（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动,由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各
质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振
动．
（3)甲图得波长λ＝4 m,乙图得周期T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s
（4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十?)λ
所以只需将波形向x 轴负向平移?λ=2m 即可,如图6——28所示 （5）求路程:因为n=2/T t
=7,所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m
求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p 质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s 质点P 的位移仍为零．
例题2：如图所示，（1）为某一波在t ＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P 点的振动图象，则下列判断正确的是
A ． 该列波的波速度为4m ／s ；
B ．若P 点的坐标为x p ＝2m ，则该列波沿x 轴正方向传播
C ．该列波的频率可能为 2 Hz ；
D ．若P 点的坐标为x p ＝4 m,则该列波沿x 轴负方向传播；
解析：由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m ，周期T ＝1．0s ，所以波速v ＝λ／T ＝4m ／s ． 由P 质点的振动图象说明在t=0后，P 点是沿y 轴的负方向运动：若P 点的坐标为x p ＝2m,则说明波是沿x 轴负方向传播的；若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则说明波是沿x 轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f ＝ l ／t ＝0Hz ．综上所述,只有A 选项正确．
点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定,当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T 、波速v 均是唯一的．由于质点P 的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P 点在t ＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向
二、波动图象的多解
波动图象的多解涉及：（1）波的空间的周期性；（2)波的时间的周期性；（3）波的双向性；（4）介质中两质点间距离与波长关系未定;（5)介质中质点的振动方向未定． 1．波的空间的周期性
沿波的传播方向，在x 轴上任取一点P(x ）,如图所示，P 点的振动完全重复波源O 的振动，只是时间上比O 点要落后Δt,且Δt =x/v=xT 0/λ。在同一波线上，凡坐标与P 点坐标x 之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t 的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同,其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上,某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．
空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同． 2．波的时间的周期性
在x 轴上同一个给定的质点，在t+nT 时刻的振动情况与它在t 时刻的振动情况(位移、速度、加速度等）相同．因此,在t 时刻的波形,在t+nT 时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性． 波的时间的周期性，表明波在传播过程中,经过整数倍周期时,其波的图象相同． ①传播距离：x n x ?+=λ0 ②传播时间：t nT t ?+= ③传播速度：
t nT x n t x v ?+?+==
λ0
④质点振动路程：s nA s ?+=4 3．波的双向性
双向性是指波沿正负方向传播时,若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．
4．介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解,解题时若不能联想到所有可能情况,易出现漏解．
5．介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种,这样形成多解．
说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．5．已知波速v 和波形，画出再经t ?时间波形图的方法
⑴平移法：先算出经t ?时间波传播的距离t v x ??=?，再把波形沿波的传播方向平移x ?即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n 个λ时波形不变。当x n x +=?λ时,可采取去整留零的方法，只需移x 即可。
⑵特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向,再看t nT t +=?.由于经nT 波形不变,所以也是去整留零，分别做出两特殊点经t 后的位置,然后按正弦规律画出新波形。
6．已知振幅A 和周期T ，求振动质点在
t ?时间内的路程和位移
求振动物体在t ?时间内的路程和位移，由于涉及质点的初始状态,需用正弦函数较复杂。特殊情况下如T/2或T 时，则比较容易求。
当质点的初始位移为x 0时，经T/2的奇数倍时x=—x 0，经T/2的偶数倍时，x=x 0.
振动质点无论从哪个位置开始计时,在一个周期内通过的路程为4A ，半个周期内通过的路程为2A ，但不能
说四分之一周期内通过的路程为A 。这与振子的计时位置有关。 例题3：一列在x 轴上传播的简谐波，在x l = 10cm 和x 2=110cm 处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为 s ，这列简谐波的波长为 cm ．
【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s ．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性:(1）波沿x 轴的正方向传播．在t ＝0时，x 1在正最大位移处，x 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动,那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x 2一 x 1＝(n 十1/4）λ,λ=400/（1十4n ）cm
（2）波沿x 轴负方向传播．在t ＝0时．x 1在正最大位移处，x 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动,那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x 2一 x 1＝（n 十3/4）λ,λ=400／（3＋ 4n ）cm
点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点,其波形图每经过一个周
期将重复出现以前的波形图,所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．
例题4：如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0。2s 时的波形图象。求： ①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）
③可能的波速 ④若波速是35m/s ，求波的传播方向 ⑤若0。2s 小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速. 解析:
①题中没给出波的传播方向,所以有两种可能：向左传播或向右传播。 向左传播时,传播的距离为x =n λ+3λ/4=(4n +3)m （n=0、1、2 …） 向右传播时，传播的距离为x =n λ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 …）
②向左传播时,传播的时间为t =nT +3T /4得：T =4t /（4n +3）=0。8 /(4n +3)（n=0、1、2 …） 向右传播时，传播的时间为t =nT +T /4得：T =4t /（4n +1）=0。8 /（4n +1) （n=0、1、2 …） ③计算波速，有两种方法.v =x /t 或v =λ/T
向左传播时,v =x /t =（4n +3）/0。2=(20n +15)m/s 。 或v =λ/T =4 （4n +3)/0.8=（20n +15）m/s 。（n =0、1、2 …） 向右传播时,v =x /t =(4n +1）/0.2=（20n +5)m/s 。 或v =λ/T =4 （4n +1）/0.8=（20n +5）m/s. （n =0、1、2 …）
④若波速是35m/s ，则波在0。2s 内传播的距离为x =vt =35×0。2m=7m=143
λ，所以波向左传播。
⑤若0.2s 小于一个周期，说明波在0.2s 内传播的距离小于一个波长.则：
向左传播时,传播的距离x =3λ/4=3m;传播的时间t =3T /4得:周期T =0.267s ；波速v =15m/s 。向右传播时,传
4
x /m
y
播的距离为λ/4=1m ；传播的时间t =T /4得:周期T =0.8s ；波速v =5m/s 。 点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
例题5：如图所示，一列简谐横波在t 1时刻的波形，如图甲所示，质点P 在该时刻的振动速度为v ，t 2时刻质点P 的振动速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同;t 3时刻质点P 的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反．若t 2－t 1＝t 3-t 2＝0．2秒，求这列波的传播速度．
解析：从振动模型分析，若质点P 从t 1时刻开始向平衡位置方向振动,在一个周期内，从t 1时刻到t 2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有： t 2—t 1＝(n ＋1／4）T n ＝0，1,2……
周期为：T=（t 2一t 1）／（n 十1/4） n ＝0，1，2……
由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20（n ＋l ／4) n=0，1，2……方向向左． 若质点 P 从 t 1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t 1时刻到t2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：
t 2—t 1＝（n ＋3／4)T n ＝0，1，2……
周期为:T=(t 2一t 1）／（n 十3/4） n ＝0，1，2……
由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20(n ＋3／4) n=0，1，2……方向向右． 答案：v ＝20(n ＋l ／4）（n ＝0，1，2……） 方向向左． 或v ＝ 20（ n ＋ 3／4)( n ＝ 0，1，2，……）方向向右 例题6：已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。t 2—t 1 = 0.02s 来求:⑴该波可能的传播速度。⑵若已知T 〈 t 2-t 1〈2T ，且图中P 质点在t 1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速.⑶若0.01s 〈T <0。02s ，且从t 1时刻起,图中Q 质点比R 质点先回到平衡位置，求可能的波速。
解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了
λ
??? ?
?
+31n ,所以波速
()
1231t t n v -÷??? ??
+=λ=100(3n +1)m/s (n =0,1,2，…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速
v =100(3n +2)m/s (n =0，1,2，…)
12345678
Q
P
x /cm
s /m
⑵P 质点速度向上，说明波向左传播，T 〈 t 2—t 1 〈2T ，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v =500m/s
⑶“Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s 例题7：一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d 的M 、N 两点均处在平衡位置，且M 、N 之间仅有一个波峰，若经过时间t ，N 质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？ 分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M 、N 两点均处在平衡位置,且M 、N 之间仅有一个波峰．由此我们可以推想,处在直线MN 上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有 以下四种情况，即波的图像有以下四种图形(如图中A 、B 、C 、D 图，各图中均为左端为M,右端为N ）: 若波的传播方向由M 到N ，那么： 在A 图中，经过时间t ，N 恰好到达波峰，说明时间t 内波向右前进的距离24d S λ==，且 4T t =，所以波速 2d v T t λ ==． 在B 图中，经过时间t ，波峰传到N 点，则波在时间t 内向右前进的距离3344d S λ==，且 34T t =，所以波速 343 4d d v T t t λ ===． 在C 图中，经过时间t ，波向右前进的距离44d S λ==，且4T t =,所以波速4d v t t λ==． 在D 图中，经过时间t ,波向右前进的距离324d S λ==,且34T t =，所以波速 2d v T t λ==． 若波的传播方向从N 到M ，那么: 在A 图中，质点N 此时要向下振动，经过时间t ，N 到达波峰，则时间34T t =，在时间t 内波向左前 进的距离3324d S λ==，所以波速 32d v t =． 在B 图中，经过时间t, N 到达波峰，则时间4T t =,在此时间内波向左前进的距离 44d S λ==,所以波 速4d v T t λ ==． 在C 图中，波在时间t 内向左前进的距离3344d S λ==，且34T t =，所以波速3434d d v T t t λ===． A C B D 在D 图中，质点N 经过4T 变为波峰，所以4T t =，在时间t 内波向左前进的距离 64d S λ==,所以 波速 6d v T t λ ==． 所以该列波可能的波速有五种 6d v t =、 4d v t =、 2d v t =、 34d v t =、 32d v t =． 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N 点的距离S ,波速v 就等于s t ．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N 点的距离6d S =，所 以波速 6s d v t t ==．其它情况读者可自行解决． 例题8：（06上海10)在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点,相邻两质点的距离均为L,如图(a)所示,一列横波沿该直线向右传播,t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，经过时间Δt 第一次出现如图(b ）所示的波形.则该波的 ( ) A.周期为Δt ，波长为8L B.周期为 32 Δt ，波长为8L C 。周期为3 2 Δt ，波速为12L/Δt D.周期为Δt ，波速为8L/Δt 答案 BC 解析 由图（b ）可看出,该波波长λ=8L,质点9此时向上运动,这说明在Δt 时间内,波传播的距离大于一个波长，因质点1开始振动的方向向下,故波传播到质点9时，质点9起振的方向应向下，而图(b ）中质点9向上振动,这说明质点9已振动了 2T ，故Δt=2 T +T ，T=32Δt,机械波传播的速度为 v= T λ=t L ?3 28=t L ?12,由此可知B 、C 选项正确。 例题9：(07四川理综20）图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,图乙为质点P 以此时刻为计时 起点的振动图象。从该时刻起 （ ) A.经过0.35 s 时，质点Q 距平衡位置的距离小于质点P 距平衡位置的距离 B 。经过0。25 s 时，质点Q 的加速度大于质点P 的加速度 C.经过0.15 s,波沿x 轴的正方向传播了3 m D 。经过0。1 s 时，质点Q 的运动方向沿y 轴正方向 解析 由振动图象可判定t=0时刻质点P 向下振动,则机械波向右传播.经0.35 s,即经14 3 T 时，P 点在波峰,故Q 距平衡位置的距离小于P 到平衡位置的距离,A 对;经0.25 s,即经14 3 T 时，P 在波谷,Q 的加速度小于P 的加速度，B 错;波速v= T =2 .04 m/s=20 m/s ，所以经0.15 s 波沿x 轴的正方向传播的距离s=v Δt=20×0。15 m=3 m,C 对；Q 点图示时刻向上振动,经半个周期，其运动方向沿y 轴负方向,D 错。 答案 AC 例题10:（07上海9）如图所示,位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S,产生两列分别沿x 轴负方向与正方向传播的机械波.若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f 1、f 2和v 1、v 2，则 （ ） A.f 1=2f 2，v 1=v 2 B.f 1=f 2，v 1=0.5v 2 C.f 1=f 2,v 1=2v 2 D.f 1=0.5f 2,v 1=v 2 解析 机械波的频率是由波源决定的,机械波的传播速度是由介质决定的，所以f 1=f 2,对Ⅰ介质，波速v 1=λ1f= 32 Lf ，对Ⅱ介质,波速v 2=λ2f=3 L f ，所以v 1=2v 2。 答案 C 例题11：（08全国Ⅰ16）一列简谐横波沿x 轴传播，周期为T.t=0时刻的波形如图所示。此时平衡位置位于x=3 m 处的质点正在向上运动,若a 、b 两质点平衡位置的坐标分别为x a =2。5 m,x b =5.5 m ，则 ( ） A 。当a 质点处在波峰时,b 质点恰在波谷 B 。t=T/4时,a 质点正在向y 轴负方向运动 C.t=3T/4时,b 质点正在向y 轴负方向运动 D.在某一时刻，a 、b 两质点的位移和速度可能相同 答案 C 解析 a 、b 两质点的平衡位置间的距离为Δx=x b -x a =5.5 m-2.5 m=3 m ，从波的图象可知：λ=4 m ，所以Δx= 43 λ。若Δx=(n+2 1 ）λ且n=0，1,2，3…时两质点的振动反相，故A 项错。由x=3 m 处的质点在t=0时刻的速度方向可判断出波速方向为-x 方向,此时质点a 、b 的速度方向分别为+y 、-y 方向,可知B 错,C 对。若Δx=n λ且n=1,2，3…时两个质点的振动同相，故D 错. 16。（09·上海物理·12）弹性绳沿x 轴放置，左端位于坐标原点，用手握住绳的左端，当t ＝0时使其开始沿y 轴做振幅为8cm 的简谐振动，在t ＝0.25s 时,绳上形成如图所示的波形，则该波的波速为___________cm/s ，t ＝___________时，位于x 2＝45cm 的质点N 恰好第一次沿y 轴正向通过平衡位置. 答案：20,2。75 解析：由图可知，这列简谐波的波长为20cm，周期T=0.25s ×4=1s，所以该波的波速 20 /20/ 1 v cm s cm s T λ ===；从t=0 时刻开始到N质点开始振动需要时间2 145 2.25 20 x t s s v ===,在 振动到沿y轴正向通过平衡位置需要再经过 2 0.5 2 T t s ==，所以当t=（2.25+0。5)s=2。75s,质点N恰好第一次沿y轴正向通过平衡位置。