高考数学二轮复习 专题5 平面向量
高考数学二轮复习 专题5 平面向量
专题五 平面向量
【重点知识回顾】
向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力
因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理）
e e a →
→→
12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →
→
→
→
→
=+
的一组基底。 向量的坐标表示
i j x y →→
，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得
()a x i y j x y a a x y →
→→→→
=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标
()
表示。 ()()
设，，，a x y b x y →
→
==1122
()()()则，，，a b x y y y x y x y →
→±=±=±±11121122
()()
λλλλa x y x y →
==1111，，
()()
若，，，A x y B x y 1122
()则，AB x x y y →
=--2121
()()||AB x x y y A B →=
-+-212212，、两点间距离公式
. 平面向量的数量积
（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →
→
→
→
→
→
=||||cos θ
[]
θθπ为向量与的夹角，，a b →→
∈0
数量积的几何意义：
a b a b a b →
→
→
→
→
·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a →
→
→
→
=
②··()a b c a c b c →
→→
→
→
→
→
+=+
()()③·，·，a b x y x y x x y y →→
==+11221212
注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c →
→
→
→
→
→
≠
()()
（）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→
==
①⊥···a b a b x x y y →
→
→
→
?=?+=001212
②∥··或··a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→
?==-|||||||| ?=≠→→→
a b b λλ（，惟一确定）0 ?-=x y x y 12210
③，··a a x y a b a b →→
→→→→
==+≤2
2
121
2||||||||
④···cos ||||
θ=
=
+++→
→→
→
a b
a b x x y y x y x y 1212
1212222
2
【典型例题】
1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理
例1. (2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6)-+-=-，(a+2b)·c (5,6)(3,2)3=-?=-，选C
点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字
例2、(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由∥，得m ＝－4，所以，
32+＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C ）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的λ倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆
例3．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，
b 将向量OE ，BF ，BD ， FD 表示出来。
（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a ，b 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可
因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以它的中心O 及顶
E
点A ，B ，C 四点构成平行四边形ABCO ，
所以BA BC BA AO BO +=+=，BO =a ＋b ，OE = BO =a +b ，
由于A ，B ，O ，F 四点也构成平行四边形ABOF ，所以BF =BO ＋
OF =BO +BA =a +b +a =2a +b ，
同样在平行四边形 BCDO 中，BD ＝BC CD +＝BC BO +＝b ＋(a ＋b )＝a ＋2b ，
FD ＝BC BA -＝b －a
点评：其实在以A ，B ，C ，D ，E ，F 及O 七点中，任两点为起点和终点，均可用 a ，b 表示，且可用规定其中任两个向量为a ，b ，另外任取两点为起点和终点，也可用a ，b 表示。
例4．已知ABC ?中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC 边上的高为AD ，求AD 。 解析：设D(x,y)，则()()()2,1,3,2,,3AD x y BD x y BC b =-+=--=-- ∵,AD BC BD BC ⊥⊥
()()()()??
?=-+--=+---∴0263301326y x y x 得???==1
1
y x 所以()1,2AD =-。 2. 向量与三角函数的综合问题
例5、（2008深圳福田等）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数
()21f x a b =?-
(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[, ]
62x ππ
∈时,
若()1,f x =求x 的值． 解：(1)
2
()
cos 2cos 1f x x x x =+-2cos 2x x =+2sin(2)6x π
=+. 所以，T ＝π.
(2) 由()1,f x =得
1sin 262x π?
?+=
???，
∵
[,]62x ππ∈，∴72[,]626x πππ+∈ ∴5266x ππ+= ∴ 3x π=
点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.
例6、（2007山东文）在ABC △中，角A
B C ，，
的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；
（2）若
5
2CB CA ?=
，且9a b +=，求c ．
解：（1
）
sin tan cos C
C C =∴
= 又
22sin cos 1C C += 解得
1
cos 8C =±
．
tan 0C >，C ∴是锐角．
1cos 8C ∴=
．
（2）由52CB CA ?=
， 5
cos 2ab C ∴=
， 20ab ∴=． 又
9a b +=
22281a ab b ∴++=．
2241a b ∴+=．
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．
点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。 3. 平面向量与函数问题的交汇
例7．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(
2
1, 23
).
(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2
－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间
解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,2
2
3232--t ),
y ＝(
2
1
t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y
故x · y ＝23322--t ×（2
1
t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0
整理得：t 3
－3t －4k ＝0，即k ＝
41t 3－4
3
t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(
2
1, 23), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b
∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2
＋t(t 2
－3)b 2
＝0，∴t 3
－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－4
3
t (2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝
41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－4
3
, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.
故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. [归纳] 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用
[变式] 已知平面向量a
＝(3，－1)，b
＝(
2
1
，23)，若存在不为零的实数k 和角
α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d
，试求实数k 的取值
范围。
[点拨] 将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。
解：仿例3（1）解法（二）可得
k ＝41( sin α－23)2－16
9
,而－1≤sin α≤1,
∴当sin α＝－1时，k 取最大值1； sin α＝1时，k 取最小
值－2
1
.
又∵k ≠0 ∴k 的取值范围为 1[,0)(0,1]2
-
.
4. 平面向量在平面几何中的应用
例8、如图在Rt ?ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问与的夹角
θ取何值时， CQ ?的值最大？并求出这个最大值
解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c ，|AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ）.且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为（x ，y ），则Q （-x ，-y ），
.22），（），，（），，（），，（y x b c b y x y c x --=-=---=-=∴
.cos .)()())((2
22a
by
cx by cx y x b y y x c x CQ BP -==
-++-=--+--=?∴θ ∴cx-by=a2cos θ.∴?=- a2+ a2cos θ.故当cos θ=1，即θ=0（BC 与方向相同）时，CQ ?的值最大，其最大值为0.
点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。
例9、已知A 、B 为抛物线
py x 22=(p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，
（1） 若6-=?OB OA ，求抛物线的方程。 （2） CD 是否恒存在一点K ，使得0=?
解：（1）提示：记A （1,1y x ）、B （22,y x ）设直线AB 方程为2
p
kx y +
=代入抛物线方程得
0222=-+-p kpx x 24
121221,p y y p x x =
-=
=?OB OA 62
43
2121-=-=+p y y x x
（2）设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，
则)()(PB TP PA TP TB TA +?+=?PB PA PB PA TP TP ?++?+=)(2
++=24
1)(CA DB PB PA ?＝4
12
)(FA FB +－2
PA ＝
4
12
AB －
4
12
AB ＝0
故存在点K 即点T ，使得0=?KB KA [实质：以AB 为直径的圆与准线相切]
[变式]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x 2
=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.设点P 分有向线段AB 所成的比为
λ，证明:
)(QB QA QP λ-⊥；
解：依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42
=得
.0442=--m kx x ①
设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根. 所以 .421m x x -=
由点P （0，m ）分有向线段所成的比为λ， 得
.,012
121x x
x x -==++λλλ即
又点Q 是点P 关于原点的对称点，
故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m QP =.
).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=- ])1([2)(21m y y m λλλ-+-=-?
2
2
121212
2212144)(2])1(44[2x m
x x x x m n x x x x x x m +?+=++?+= .0444)(22
21=+-?
+=x m
m x x m
所以 ).(λ-⊥
【模拟演练】 一、选择题
1．已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y=mx －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3：2，则的值为 （ ） A ．32-
B ．23-
C ．1
4
D ．4 2．已知a ,b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是 （ ） A ．
6π B ．3π C ．23π D ．56
π
3．已知向量OB =(2，0),向量OC =（2，2），向量CA =αα），则向量OA 与向量OB 的夹角的范围为 （ ） A ．［0，
4π］ B ．［4π，512π］ C ．［512π，2π］ D ．［12π，512
π
］ 4．设坐标原点为O ，抛物线y 2
=2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA ·OB = （ ） A ．
34 B ．3
4
- C ．3 D ．－3 5． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(
AB AC |AC |
|AC |
+
)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 6．已知平面上直线l 的方向向量e =（45-
,3
5
），点O （0，0）和A(1, －2)在上的射影分别是O /和A /，则//
O A e =λ，其中λ=（ ）
A ．
115 B ．11
5
- C ．2 D ．－2
7、(sin ,cos ),(cos ,sin ),a b a b αααα===已知向量向量则（ ）
A ． sin 2α B. sin 2α- C. cos2α D. 1 8、已知a (3,4)=，(6,8)=--b ，则向量a 与b （ ） A.互相平行 B. 夹角为60 C.夹角为30 D.互相垂直 9、已知向量b a b a 与则向量与向量),3,1()0,1(-==的夹角是（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
32π D ．6
5π 10、若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()?a b a +b 等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)-
11、已知非零向量,,b a 若,1==b a 且,b a ⊥又知),4()32(b ka b a -⊥+则实数k 的值为 （ ）
A.6-
B.3-
C. 3
D. 6 12. 把函数y ＝
31
2-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x
C ．y ＝392-x
D ．y ＝3
32+x
二、填空题
13．已知向量a 、b 的夹角为
3
π
，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 14.已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且?→
?BM ＝3
1
?→
?BC ,?→?CN ＝3
1
?→?CA ,设?→?AB ＝→a ，?→
?AC
＝→
b ，则?→
?MN ＝ .
15. △ABC 中，C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角，则△ABC 是 三角形。 16. 已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+，其中,m n R ∈且
2222m n -=，则M 的轨迹方程为 . 三、解答题 17. 已知向量)sin 1
,sin 1(
x x a -=，)2cos ,2(x b =.（1）若]2
,0(π∈x ，试判断与能否平行
（2）若]3
,0
(π∈x ，求函数b a x f ?=)(的最小值.
18. 设函数
()()c b a x f +?=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，
()R x x x c ∈-=,sin ,cos .
（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d .
19. 如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，BP ·CQ 有最大值?
20. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 至点N ，且PM PN ==?0 （1）求动点N 的轨迹方程；
（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4-=?OB OA 且46≤AB ≤304，求直线l 的斜率的取值范围
21. 已知点P 是圆2
2
1x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设
OM OP OQ =+.
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）求向量OP 和OM 夹角的最大值，并求此时P 点的坐标
P
Q
O y
x
22. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=
26
26
，090θ<<)且与点A 相距1013海里的位置C .
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
专题训练答案
一、选择题
1. D
2. B
3. D
4. B
5. B
6. D 7．A 8．A 9．D 10．B 11．D 12． A 二、填空题 13．21 14.
→
→
-a b 3
231
；15.直角16. 2222=-y x
三、解答题
17. 解：（1）若a 与b 平行，则有
2sin 12cos sin 1?-=?x x x ，因为]2
,0(π∈x ，0sin ≠x ，所
以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故与不能平行.
（2）由于x f ?=)(x
x x x x x x x x sin 1
sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+
=+=-=-+=，又因为]3
,
0(π
∈x ，所以]2
3
,
0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=?≥+
x x x x ，当x
x sin 1
sin 2=
，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.
18．解：（1）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)
＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+
4
3π
). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是
2
2π
＝π. （2）由sin(2x+
43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝8
32ππ-k ,k ∈Z ， 于是d ＝（
8
32π
π-
k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8
π
，―2）即为所求. 19. 解：·＝（-）·（-） ＝（-）·（－-）
＝－r 2
＋·+·
设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则
·CQ ＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ
∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，
∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，·CQ 有最大值. 20. 略解 （1）y 2
＝4x (x ＞0)
（2）先证明l 与x 轴不垂直，再设l 的方程为
y ＝kx ＋b(k≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立直线与抛物线方程，得
ky 2
－ 4y ＋4b ＝0,由4-=?，得42121-=+y y x x .
又 ,4,42211x y x y ==故821-=y y 而 .k b k
b
y y 2421-=∴=
],480,96[)3216
(12
222
∈++=
∴k k k AB 解得直线l 的斜率的取值范围是]1,2
1[]21,1[ --
21. 解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)OP x y =，(,0)OQ x =，
(2,)OM OP OQ x y =+=
222212,1,124x x x x x x y y y y y y ?
==??∴?+=∴+=??=??=?
.
（
2
）
设
向
量
OP
与
OM
的夹角为
α
，则
2222222(1)cos 31||||4x OP OM
x OP OM x y
α+?===+?+， 令2
31t x =+，则21(2)1422cos 4333
t t t t α+==++≥
， 当且仅当2t =时，即P 点坐标为36
(,)33
±
±时，等号成立. 22. 解: （I ）如图，AB =402，AC=1013，
26,sin .26
BAC θθ∠==
由于090θ<<,所以cos θ=2265261(
).26-= 由余弦定理得BC=
222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=
所以船的行驶速度为
105
1553
=（海里/小时）. （2）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）,
BC 与x 轴的交点为D.
由题设有，x 1=y 1=
2
AB=40,
x 2=AC cos )30CAD θ∠=-=,
y 2=AC sin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40.
又点E （0，-55）到直线l 的距离d 7.
=<
所以船会进入警戒水域.