数学原理在物理解题中的妙用

试题研究

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应用数学原理解答物理问题是我们在教学中经常用到的解题方法.在物理解题中巧妙应用数学方法，能拓宽解题思路，培养创新意识，提高应用数学方法解决物理问题的能力.

数学原理1：对于一元二次方程a x 2+bx +c ＝0,若判别式Δ≥0，则方程有实数解；Δ<0，则方程无实数解.

例1

如图1所示，一半径为R 的光滑绝缘半球

面开口向下，固定在水平面上.整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下.一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′.球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直

方向的夹角为θ（0＜θ＜π

2

）.为了使小球能够在该圆

周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率.重力加速度为g.

θP

R

O O ′

图1

解析

据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆

周运动，该圆周的圆心为O ′.P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB

根据牛顿第二定律，有Ncos θ-mg =0f -Nsin θ=m

v 2

R sin θ

解得v 2-qBR sin θm v+qR sin 2θ

cos θ=0由于v 是实数，必须满足Δ=(qBR sin θm )2-4gR sin 2θ

cos θ≥0

由此得B ≥2m

q g R cos θ

可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应

强度大小的最小值为

B min =2m

q g

R cos θ

此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为

v=

qB min R sin θ2m 解得v=

gR

cos θ

sin θ.数学原理2：对于一元二次函数y=ax 2+bx +c ，若a >0，则当x =-b

2a 时，有y mi n =4a c -b 2

4a ；若a <0，

则当x =-b 2a 时，有y min =4ac -b 2

4a

.

例2一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮

时汽车以a =3m/s 2的加速度开始行驶，恰在此时一辆自行车以v=6m/s 的速度驶来，从后面超越汽车.求汽车从路口开动后，汽车追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车间距离是多少？

解析设汽车在追上自行车之前经t 秒两车相距

最远，则

Δs =vt -12a t 2=6t -32t 2

即Δ

s=-32t 2+6t 因为a =-3

2<0，所以Δs 应存在最大值

当t =-b 2a =2s 时，

Δs m a x =6m 劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时。有花堪折直须折，莫待无花空折枝。（唐无名氏）

数学原理

在物理解题中的妙用

⊙麻城二中

龚知栋