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高等数学练习题附答案

第一章自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. ()

3lim

sin tan ln 12x x x

x →=-+ .

2. 1

x →= . 3.已知212lim 31

x x ax b

x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1

,0,0ax x x f x x

a x ?+-≠?

=??=?

在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2

()43

x f x x x -=

-+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线()

121e x

y x =-的斜渐近线方程为 .

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 .

A. 充分条件但非必要条件

B. 必要条件但非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0

2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0

x x f x x x ?<=?

-≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

2,0

x x x x ?+

3. 下列各式中正确的是 .

A ．01lim 1e x x x +

→??

-= ???

B.01lim 1e x

x x +→??+= ??? C.1lim 1e x x x →∞??-=- ??? D. -11lim 1e x

x x -→∞

??+= ???

4. 设0→x 时，tan e

-与n x 是等价无穷小，则正整数n = .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5. 曲线2

1e 1e

x x y --+=

- .

A. 没有渐近线

B. 仅有水平渐近线

C. 仅有铅直渐近线

D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6．下列函数在给定区间上无界的是 . A.

1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1

sin ,(0,)x x x ∈+∞ C. 11sin ,(0,1]x x x ∈ D. 1

sin ,(0,)x x x

∈+∞

三、求下列极限（每小题5分，共35分）

1.22x →

2．(

)

120

lim e

x x

x x -→+

3.(

)

1lim 123

n n

n →∞

．21sin

lim

x x

5. 设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()2

1lim ln 12n f f f n n →∞????.

6．

2e sin lim

→

．

lim

→

四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）

lim2

ax x b

x x

→

．(lim1 x

→-∞

五、讨论函数

()(0,0,1,1)

0,0

x x

a b

f x a b a b

≠

=>>≠≠

在0

x=处的连续性，若

不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）

六、设sin sin sin ()lim sin x t x

t x t f x x -→??

= ???

，求()f x 的间断点并判定类型. （本题7分）

七、设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ??

∈????，使得

1()2f f ξξ?

?=+ ??

?.（本题6分）

第二章自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞

= ???

. 2.设2

1cos f x x ??=

???，则()f x '=

. 3.d x = . 4.设sin (e )x

y f =，其中()f x 可导，则d y = .

设y =12y ??

???

. 6.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ??

???

的切线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.下列函数中，在0x =处可导的是 .

A.||y x =

B.|sin |y x =

C.ln y x =

D.|cos |y x =

2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000

(2)()

lim

x f x x f x x x

→+--= .

A.6

B.6-

C.16

D.1

3.设函数()f x 在区间(,)δδ-有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2

|()|f x x ≤，则0x =是

()f x 的 .

A.间断点

B.连续而不可导的点

C.可导的点，且(0)0f '=

D.可导的点，且(0)0f '≠

4.设2sin ,0

(),0x x f x x x

，则在0x =处()f x 的导数 .

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.设函数()f u 可导，2

()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '= .

A.1-

B.0.1

C.1

D.0.5

三、解答题（共67分）

1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）

(1)(

ln e x y =+

(2))

11y

?=??

(3)a

a x a

y x a a =++

(4)cos (sin )

y x =

2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分） (1)2

ln sin y x x x =+ (2)2

1cot e x

y =

(3)y x

3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2

cos ln y x x = （2）11x

y x

-=+

4.设e ,1

(),1

x x f x ax b x ?≤=?+>?在1x =可导，试求a 与b .（本题6分）

5.设sin ,0()ln(1),0

x x f x x x

()f x .（本题6分）

6.设函数()y y x =由方程2

2ln 1x xy y

-=所确定，求d y .（本题6分）

7.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t

???=+? ?????=?

，求22d d ,d d y y x x .（本题6分）

8.求曲线3

213122t x t y t t +?=????=+??

在1t =处的切线方程和法线方程.（本题5分）

第三章自测题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.若0,0a b >>均为常数，则30

lim 2x x

x a b →?+?

???

. 2.20

11lim tan x x x x →??-=

???

. 3.3

arctan lim

ln(12)

x x x

x →-=+ . 4.曲线2

e x

y -=的凹区间，凸区间为 .

5.若()e x f x x =，则()

()n f

x 在点x = 处取得极小值.

二、单项选择题（每小题3分，共12分）

1.设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 可导，则()f x '0=在

(,)a b .

A.只有一个实根

B.至少有一个实根

C.没有实根

D.至少有两个实根

2.设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 .

A.极小值

B.极大值

C.0x 为()f x 的驻点

D.0x 不是()f x 的极值点 3.设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0

()

lim

1||

x f x x →''=，则 . A.(0)f 是()f x 的极大值 B.(0)f 是()f x 的极小值

C ．(0,(0))f 是曲线的拐点

D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点 4.设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ?>，使 .

A.()f x 在(0,)δ单调增加.

B.()f x 在(,0)δ-单调减少.

C.(0,)x δ?∈，有()(0)f x f >

D.(,0)x δ?∈-，有()(0)f x f >.

三、解答题(共73分)

1.已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)可导，且(1)0f =，

证明在(0,1)至少存在一点ξ使得()

()tan f f ξξξ

'=-.（本题6分）

2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0a b <<时，ln b a b b a

b a a

--<<

（2）当02

x π

时，

sin x x x π

<<.

3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）

（1）0

e e 2lim sin x x x x

x x

-→---

（2）21

sin 0

lim(cos )

x x →

（3）10

(1)e

lim

x x x

→+-

4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）123

()(1)f x x x =-

（2）2,0

()1,0

x x x f x x x ?>=?+

5.求2ln x

y x

=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）

6.证明方程

ln0

x x+=只有一个实根.（本题7分）

第一章自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. 2. 3. ， 4.

5. 水平渐近线是，铅直渐近线是

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. C

2. D

3. D

4. A

5. D 6．C

三、求下列极限（每小题5分，共35分）

解：1.. 2．

3. ，

又.

4．. 5.

. 6．，

，

所以，原式.

7．.

四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）

解：1.据题意设，则，令得，令得，故．

2．左边，右边故，则．

五、解：，故在

处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．

六、解：，而

，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，

均为的第二类间断点．

七、证明：设，显然在上连续，

而，，

，

故由零点定理知：一定存在一点，使，即．

第二章自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. 2. 3. 4.

5. 6.或

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. D

2. A

3. C

4. D

5. D

三、解答题（共67分）

解：1.(1) .

(2).

(3)

(4) 两边取对数得，两边求导数得

，.

2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）

(1) .

(2).

(3) .

3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）

（1），

（2），.

4.首先在处连续，故，故，

其次，，

，由于在处可导，故，故，.

5.，，

故，由于在，时均可导，故.

6.方程可变形为，两边求微分得

，故.

7.，

8.，故.当时，.

故曲线在处的切线方程为，即，

法线方程为，即.

第三章自测题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 2． 3． 4.， 5.

二、单项选择题（每小题3分，共12分）

1．B 2．A

3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值

4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，

，即

三、解答题(共73分)

证明：1.令，则在上连续，可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，

故，即．

2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．

（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则

，即当时单调递减，即，故；从而当时，．

解：3.（1）.

（2）.

（3）

4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点

；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.

⑵，令得驻点，为不可导点.

当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.

5.定义域为；，，令得驻点，令

得；列表得：

- - + + +

- + + + -

单增凸单减凸单减凹极小值点单增凹

拐点

6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．

大学高等数学A1期末模拟题及答案

第 1 页共 4 页 ……………………………………………装…… …… ……………………订…… …………………… 线………………… … … … … ……… … …… … ……… 此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写高等数学A （1）综合测试3 一、选择填空题(18%) 1. d = _________d . 2. 2 1 1dx x +∞ ?=_____________. 3. 设 ()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 12 1 (sin )x f x dx -? =________. 4. 设函数()21, 0,1 sin ,0 x x f x x x x ?+≥? =?

高数下期末考试试卷及答案

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散（B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散（C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛（D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名 ……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………

高数一试题(卷)与答案解析

《高等数学(一) 》复习资料一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。 A 1 B 2 C 4 D 0

8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

高等数学A(一)期末试题及答案

大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ．二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高数上试题及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

大学高数学习方法

一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，尤其是作为数学系的学生，在面对着“数学分析”之类的课程时，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学时尤为重要。在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，使得我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现（比如考试不及格），这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，可能会有很多同学花很多时间来思考引入这个定理的目的是什么，但往往因为当时根本没什么基础，所以对于这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。直到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在

高等数学A1期末考试试卷.

天津理工大学考试试卷 2009～2010学年度第一学期《高等数学 AI》期末考试试卷课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009年 12月 1日答题时限： 120 分钟考试形式：闭卷、笔试得分统计表：大题号总分一二三四五核查人签名阅卷教师一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分 1、设在的某邻域内有定义，且，则在（） A、有极大值； B、有极小值； C、无极值； D、不能判定是否取得极值. 2、设，则在内，是( A、有界函数； B、单调函数； C、周期函数； D、偶函数.

3、由两条曲线和所围成的图形的面积为（） A、 B、 C、 D、 4、设函数在上连续可导，且，则当时（） A. ； B. ； C. ； D. . 5、设，则在区间内适合 ( A、只有一个； B、不存在； C、有三个； D、有两个. 6、设空间曲面与yoz面相截，截线的方程为( A、； B、； C、； D、. 7、下列反常积分收敛的是（） A、； B、； C、； D、； 8. 若，则为( A、； B、； C、； D、.

9、若则（） A、； B、； C、； D、 . 10、直线与平面的关系是( A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直. 二、填空题（每空3分，共30分）得分 1、，且，则； 2、； 3、设连续，且=； 4、； 5、由定积分的几何意义知； 6、由曲线及直线所围成图形的面积是； 7、设，则；

8、设有点A（2 ，3，1），B（1，，2）和C（1，4，2），且，则 = ； 9、若在内连续，则; 10、函数的极小值是. 三、计算题（每小题7分，共28分） 1、已知函数由方程确定，求. 2、已知，求. 3、求由曲线及所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积. 4、求. 四、解下列各题（每小题8分，共16分）得分 1、已知的一个原函数为，求. 2、求过点,且与直线垂直的平面方程. 五、证明题（本题6分）

高等数学1试卷(附答案)

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3．函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5．函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +

暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名：学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为（ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面积为（D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是同阶无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

高等数学上册复习要点及解题技巧

高等数学上册复习要点及解题技巧第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令

2015-2016-1《高等数学A1》期末总练习

2015 -2016-1 高等数学A1 期末总练习一．计算题 1．求极限0sin lim (1cos )ln(1) x x x x x →---。 2．已知函数22(tan )tan[()],y f x f x =+且()f x 可导，求y '。 3．讨论函数1arctan ,00,0 x x y x x ?≠?=??=?在0x =处的连续性与可导性。 4 ．已知22 ((4)x x y x e -+=+，求该函数图形在点()12，12的切线方程。 5．设方程y e xy e +=确定隐函数()y y x =，求()0y '和()0y ''。 6．求由参数方程33cos sin x a t y a t ?=?=?所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 7、设( )ln(f x x =求函数()f x 当自变量x 由1改变到1.01的微分。 8 ．求极限0x →。 9．求函数sin (1) x y x x =-的间断点并判别其类型。 10．设(2)x y f =，其中()f u 有二阶导数，求y '及y ''。 11．设函数()y f x =由方程y x x y =所确定，求dy 。 12. 求由参数方程sin 1cos x t t y t =-??=-?所确定的函数的一阶及二阶导数dy dx ，22d y dx 。 13．设()y f x =由方程cos e 1y x y +=所确定，求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程. 14．求数列的极限)(lim n n n n -+∞ →2。

15．求函数的极限22011lim sin x x x →??- ?? ?。 16．已知函数()1 tan x y x =，求y d 。 17．设函数)(x f y =由方程e 1sin()y x y ++= 所确定，求2020d d x y y x ==。 18．求曲线21arctan ,ln() x t y t =??=+?在参数 t = 1时所对应的点处的切线方程和法线方程。 19．设函数)(x f 在0=x 处可导，且,)(,)(a f f ='=000 求220e 1()lim () x x f x x →-。 20．求出函数()2()ln 1f x x =+的凹凸区间及拐点。 21．计算 22020lim arc x t x te dt tanx →? 。 22．计算 ()21dx x x +?。 23. 计算 10?。 24．计算反常积分22d ln x x x +∞ ?。 25．求摆线sin ,(02)1cos ,x t t t y t π=-?≤≤?=-? 一拱的全长。 26．求解方程200(1)21 3 x x x y x y y y =='''?+=??'==??；。 27. 设曲线2y x ax b =++与321y xy =+在点(11),处相切，求常数,a b 的值。 28．计算2sin 00(1)lim sin x t x e dt x x →--?。 29．计算41x dx x -? 。 30 ．计算3 2 0?。 31．求微分方程2(2arccos )0xy x dx x dy -+=的通解。 32．求微分方程2335y y y x '''+-=-满足(0)0,(0)4y y '==的特解。 33．求极限102lim[sin (12)]x x x x x →++。 34．求arctan x xdx ?。

高等数学下册期末考试试题附标准答案75561

高等数学(下册)期末考试试题考试日期：2012年院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积．故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．

高等数学练习题附答案

大学高等数学A1期末模拟题及答案

高数 下 期末考试试卷及答案

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