2012数学高中巧学巧解大全
第一部分 高中数学活题巧解方法总论
一、代入法
若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能
易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； 【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25
,21(Q ，
设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则2
2
5,2
21
t y s x +=+=，
即2
52,2
12-
=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，
∴2
)2
12(2
52-=-
x y 化简可得8
112
+
-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，
且不与点A 和点B 重合，则22
121<-<-x ，即4
541<<-x ，
∴中点M 的轨迹方程为8
112
+
-=x x y （4
54
1<<-
x ）.
【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作
双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1
m
。 过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ?的重心G 所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22
221x y -=，（1）
垂线A N 的方程为：11y y x x -=-+， 由11
y y x x x y -=-+??
-=?
得垂足1111
(
,)22
x y x y N ++，设重心(,)G x y
所以111111
11()321(0)32x y x x m x y y y +?
=++???+?=++?? 解得1139341934
x y m x y x m
y ?
--?=???
?-+?=??
由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m
m
--+-
=
即2
2
12()39
x y m
-
-=
为重心G 所在曲线方程
巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线
02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、
B 两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.
巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为
2
3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P
处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程
二、直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要
“盯住选项
特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。
【例1】（2009年高考全国II 卷）已知双曲线)0,0(1:
2
22
2>>=-
b a b
y a
x C 的右焦点为F ，
过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）
（A ）
5
6 （B ）
5
7 （C ）
5
8 （D ）
5
9
【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=
3，
由??
???=--+=0
3
222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(4
2
222=++-b y c b y a b ， ∴???????-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得???????-=---=-224
22222
2334)3(363a b b y a b c b y 化简得 ???
????--
=-=)3(43)
3(32224222
22
2a b b y a b c b y ，∴)3(43)3(342
2422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=，∴2
23625a c =，25
362
=
e ，即5
6=
e 。
故本题选（A ）
【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+?x f x f ，若
2)1(=f ，则=)99(f （ ）
（A ）13 （B ）2 （C ）
2
13
（D ）
13
2
【巧解】∵)
(13)2(x f x f =+，∴)()
(1313)
2(13)4(x f x f x f x f ==+=
+
∴函数)(x f 为周期函数，且4=T ，∴2
13)
1(13)3()3244()99(=
==+?=f f f f
故选（C ）
巧练一：（2008年，湖北卷）若),1()2ln(2
1)(2
+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的
取值范围是（ ）
A ．),1[+∞-
B ．),1(+∞-
C ．]1,(--∞
D ．)1,(--∞
巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）
A ．π22
B ．π2
C ．
2
2π D ．
4
2π
三、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450
的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．
【巧解】依题意直线AB 的方程为2p
x y -=，由?????
=-
=px
y p x y 222
消去y 得：
04
32
2
=+
-p
px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。
2
||2p x BF +=，2
||1p x AF +
=，∴84||21==++=p p x x AB ，∴2=p ，
故本题应填2。
【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为
13
5，焦点在x 轴上且长轴长为26.
若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为
（ ）
（A ）
1342
22
2=-
y x （B ）
15
132
22
2=-
y x
（C ）14
3
2
22
2=-y x （D ）
112
13
2
22
2=-
y x
【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，
故双曲线方程为13
4
2
22
2=-
y x ，∴选（A ）
巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线
)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，
过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．3
3
巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）
的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） （A ）
2
17 （B ）3 （C ）5 （D ）
2
9
四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。 【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中
点，AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）
A ．
4
1a +
2
1b B ．
3
2a +
3
1b C ．
2
1a +
4
1b D ．
1a +
2b
【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD 则)0,2(B ，)2,2(C ，)2,0(D ，)1,1(O ，)23
,21(E ，
∴直线AE 的方程为x y 3=，联立??
?==2
3y x y 得)2,3
2
(F
∴)2,3
2(=AF ，设BD y AC x AF +=，则)22,22()2,2()2,2(y x y x y x AF +-=-+=
∴?????
=+=
-2
223222y x y x 解之得32=x ，31=y ，∴b a BD AC AF 31323132+=+=，故本题选B
【例2】已知点O 为ABC ?内一点，且=++OC OB OA 320，则AOB ?、AOC ?、BOC
?的面积之比等于 （ ） A ．9：4：1
B ．1：4：9
C ．3：2：1
D ．1：2：3
【巧解】不妨设ABC ?为等腰三角形，090=∠B
3==BC AB ，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B
)3,0(A ，)0,3(C ，设),(y x O ，
∵=++OC OB OA 320，即
0,0(),3(3),(2)3,(=--+--+--y x y x y x ∴???==3
696y x 解之得23=x ，21=y ，即)21,23(O ，又直线AC 的方程为03=-+y x ，则点
O 到直线AC
的距离2
21
1|
32
123
|
2
2
=
+-+
=
h ，∵2
3||=AC ，因此
4
9||||2
1=
?=
?x AB S AOB ，4
3||||2
1=?=
?y BC S BOC ，
2
3||2
1=?=
?h AC S AOC ，故选C
巧练一：（2008年，湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且,2,2EA CE BD DC ==BC CF BE AD FB AF 与则++=,2（ ）
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
巧练二：设O 是ABC ?内部一点，且OB OC OA 2-=+，则AOB ?与AOC ?面积之比是 .
五、查字典法
查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。
【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000
大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个
（B ）240个
（C ）144个
（D ）126个
【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即 0????型，首位是2，3，4，
5中的任一个，此时个数为3
414A A ； ②个位为2，即2????， 此种情况考虑到万
位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为3
413A A ；③个位为4， 4????型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为3
41
3A A ；故共有
24023
41
33
41
4=+A A A A 个。故选（B ）
【例2】（2004年全国II 卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数
中，大于23145且小于43521的数共有（ ）
A ．56个
B ．57个
C ．58个
D ．60个
【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即????3型，此特
点只需其它数进行全排列即可。有4
4A 种，
（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：
???24，???25，???41，???42型，而每种情况均有3
3A 种满足条件，故共有3
3
4A 种。
（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：
??234，??235，??431，??432型，而每种情况均有22A 种满足条件，故共有2
24A 种。
（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有 23154和43512两种情况满足条件。故共有58244223344=+++A A A 个，故选C 巧练一：用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（ ）
A ．110种
B ．109种
C ．108种
D ．107种
巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五
位偶数共有（ ）
（A ）48个
（B ）36个
（C ）24个 （D ）18个
六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。
【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的
个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （ ）
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．16种
【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：OOOOOO
，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：OO OO OO ||，
每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为102
5=C 种. 故选B
【例2】两个实数集{}1250,,,A a a a = ，{}1225,,B b b b = ，若从A 到B 的映射f 使得B
中每个元素都有原象，且()()()1250f a f a f a ≥≥≥ ，则这样的映射共有（ ）个 A ．24
50A
B ．24
49C
C ．25
50C
D ．25
49A
【巧解】不妨设B A 和两个集合中的数都是从小到大排列，将集合A 的50个数视为50个相同的小球排成一排为：OO OOOOOOO
，然后在50个小球的49个空位中插入24
块木板，每一种插法对应着一种满足条件()()()1250f a f a f a ≥≥≥ 对应方法，故共有不同映射共有24
49C 种. 故选 B
巧练一：两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使
B 中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10) （ ） A ．5 10C 个 B ．49 C 个 C ．1015个 D ．10 15105A ? 巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（ ）种 A ．24 B ．84 C ．120 D ．96 七、等差中项法 等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。 【例1】（2008年，浙江卷）已知2,0,0=+≥≥b a b a 且，则（ ） （A ）2 1≤ ab （B ）2 1≥ ab （C ）222≥+b a （D ）322≤+b a 【巧解】根据2=+b a 特征，可得b a ,1,成等差数列，1为a 与b 的等差中项。可设 x a -=1，x b +=1，其中11≤≤-x ；则21x ab -=，22222x b a +=+， 又102≤≤x ，故10≤≤ab ，4222≤+≤b a ，由选项知应选（C ） 【例2】（2008年，重庆卷）已知函数31++ -=x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则 m M 的值为（ ） （A ） 14 （B ） 12 （C ） 2 （D 2 【巧解】由31++ -=x x y 可得，2 y 为x -1与3+x 的等差中项， 令t y x += -21，t y x -= +2 3，其中2 ||y t ≤， 则431) 2 () 2 (2 2 =++-=-++x x t y t y ，即4 22 2 y t - =，又2 ||y t ≤ ，则 4 02 2 y t ≤ ≤，故4 4 202 2 y y ≤ - ≤，解之得222≤≤y ，即22=M ，2=m ∴ 2 22 22= =M m ，故选（C ） 巧练：（2008年，江苏卷）xz y z y x R z y x 2 , 032*,,,=+-∈的最小值 . 八、逆向化法 逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都 是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。 【例1】（2008年，湖北卷）函数)4323ln( 1)(2 2 +--+ +-=x x x x x x f 的 定义域为（ ） A ．),2[]4,(+∞--∞ B ．)1,0()0,4( - C ．]1,0()0,4[ - D ．)1,0()0,4[ - 【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取1=x ，出现函数的真数为0，不满足，排含有1的答案C ，取4-=x 代入计算解析式有意义，排不含有4-的答案B ，取2=x 出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A ，故选D 评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。 【例2】（2008年，江西卷）已知函数mx x g x m mx x f =+--=)(,1)4(22)(2 ，若对于任 一实数)(,x f x 与)(x g 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2） B ．（0，8） C ．（2，8） D ．（∞-，0） 【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取2=m 代入验证是否符合题意即可， 取2=m ，则有 2 2)12(144)(-=+-=x x x x f ，这个二次函数的函数值0)(>x f 对 R x ∈且2 1≠ x 恒成立，现只需考虑x x g 2)(=当2 1= x 时函数值是否为正数即可。这显然 为正数。故2=m 符合题意，排除不含2=m 的选项A 、C 、D 。所以选B 巧练一：（2007年，湖北卷）函数1 212-+=x x y （x <0）的反函数是（ ） A.1 1 log 2 -+=x x y （x <－1） B. 1 1 log 2 -+=x x y （x >1） C.1 1 log 2 +-=x x y （x <－1） D. 1 1 log 2 +-=x x y （x >1） 巧练二：（2004年，重庆卷）不等式221 x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法. 【例1】正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使 λ==FD CF EB AE )0(>λ， 设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 【巧解】当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥，排除选择支C B A ,,故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,），所以选D 【例2】若3 223 2 (),,log 3x a b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b << 【巧解】当0→x 时，3 2→ a ，1→ b ，0→ c ，故c a b <<，所以选B 巧练一：若x x x sin 32,2 0与则π <<的大小关系 （ ） A ．x x sin 32> B ．x x sin 32< C ．x x sin 32= D ．与x 的取值有关 巧练二：对于任意的锐角βα,，下列不等关系式中正确的是（ ） （A ）βαβαsin sin )sin(+>+ （B ）βαβαcos cos )sin(+>+ （C ）βαβαsin sin )cos(+>+ （D ） βαβαcos cos )cos(+<+ 十、整体化法 整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问 题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法. 【例1】已知θ是锐角，那么下列各值中，θθcos sin +可能取到的值是（ ） A ． 4 3 B ． 3 4 C ． 3 5 D ．2 1 【巧解】∵)4 sin(2cos sin π θθθ+=+，又θ是锐角，∴2 0π θ<< 4 34 4 ππ θπ < + <，∴ 1)4 sin(2 2≤+ <π θ，即2)4 sin(21≤+ <π θ，故选B 【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为（ ） （A ）115000亿元 (B)120000亿元 (C) 127000亿元 (D)135000亿元 【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到95933亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节. 把95933亿元近似地视为96000亿元,又把2 0.073近似地视为0.005,这样一来,就有 ()() 4 2 9593317.3%96000140.07360.073 ?+≈+?+? 96000(10.29260.005)126720127000. ≈?++?=≈ 巧练一： 如图所示为三角函数)sin(?ω+=x A y ，（)0,2
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