理论力学(机械工业出版社)第五章点的运动学习题解答
习 题
5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t
ω?=（ω为常量），偏心距e
OC
=，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复
运动。试求顶杆的运动方程和速度。
图5-13
)
(cos )sin(2
22
t e R
t e y ωω-+
=
)
(cos 2)2sin()[cos(2
2
2
t e R
t e t e y
v ωωωω-+==
5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。
图5-14
A M x h
l h h x +=
=θsin θc o s l y M =
0c o s v h
l h x
h
l h h x A M +=+== θθ
得 θ
θcos )(0
h l v +=
θθθθθt a n
)
(c o s )(s i n
s i n 0
h l lv h l v l l y
M +-=+?-=-= 0=M x
θ
θ
θθθ3
2
2
2
02
0cos )(cos )(sec )
(sec )
(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-
=+?
+-
=+-=
θ
3
22
cos )(h l lv a M +=
5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =?
（
以 rad 计，t 以s
计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。铰O 至水平杆
CD 的距离h =400 mm 。试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。
图5-15
?
tan h x M =
?
??2
2
s e c 6π400s e c ?
== h x M
???????
s
i n
s e c 9
π200sin sec 6
π3
π400)sin sec 2(6
π4003
2
3
3
=
??=??= M x
当s
1=t 时6
π=
?
m m /s
3.2799
π800346
π400)6
π(
s e c 6
π4002
==?=
=
M v 2
2
3
2
3
2
mm/s
8.1683
27
π8002
1)32(
9
π200)6
πsin(
)6
π(
sec 9
π200==
?
?=
??=
M a
5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t
ω?
=规
律绕O 转动，如图5-16所示。当t = 0时，M 在点O 处，试求在任一瞬时点M 的速度和加速度的大小。
图5-16
)cos(t ut x ω= )s i n (t ut y ω=
)s i n ()c o s (t t u t u x ωωω-=
)cos()sin(t t u t u y
ωωω+=
)cos()sin()sin(2t t u t u t u x
ωωωωωω---= )]cos()sin(2[t t t u ωωωω+-= )]sin()cos()[cos(t t t t u y
ωωωωω-+= )]sin()cos(2[t t t u ωωωω-= 222)(1t u y x
v ω+=+=
2
22)
(4t u y
x a ωω+=+=
5-5 点沿曲线AOB 运动，如图5-17所示。曲线由AO 、OB 两段圆弧组成，AO 段半径R 1= 18m ，OB 段半径R 2= 24m ，取圆弧交接处O 为原点，规定正方向如图。已知点的运动方程s =3 +4t – t 2，t 以s 计，s 以m 计。试求：(1) 点由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程；（2）
t = 5 s 时点的加速度。
图5-17
2
43t
t s -+=
t s
v 24-== 0
=v 时s
2=t
3)0(=s 7)2(=s
2)5(-=s
由t = 0 到t = 5 s 所经过的路程
m 13|72|)37(=--+-=s
2
τ-=a
2
1
2
2
n m /s
28
36)
104(==
-=
=
R R
v
a
2
2
2
2
n 2
τm/s
828.22222==+=
+=
a a a
5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。如BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴
O 在弧BC 的圆周上。摇杆绕轴O 以等角速度ω转动，当运动开始时，
摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。
图5-18
直角坐标法
)2cos 1(cos t R R R x ωθ+=+= t R R y ωθ2s i n s i n ==
t R x
ωω2sin 2-= t
R y ωω2c o s 2= t R x ωω2cos 42-= t R y
ωω2sin 42-=
ωR y x
v 222=+= 2224ωR y
x a =+=
自然法
t R t R s ωω22=?=
ωR s
v 2==
0τ==s a
2
2
n 4ω
ρ
R v
a ==
5-7 小环M 在铅垂面内沿曲杆ABCE 从点A 由静止开始运动，如图5-19所示。在直线段AB 上，小环的加速度为g ；在圆弧段BCE 上，小环的切向加速度?
τ
cos g a
=。曲杆尺寸如图所示，试求小环在C 、
D 两处的速度和加速度。
图5-19
在直线段AB
R
v R
v B B g 2g 20
2
2
=
=-
圆弧段BCE
?
cos g τ=a
R
s
t v cos g d d =
R
s t s
s v
cos
g d d d d =?
R
s s v v cos g d d =
?
?
=
s
v
v s R s v v B
d cos
g d R
s R v v
B sin
g )(2
12
2
=-
在C 处
2
πsin
g )(2
12
2R v v B C =-
R R v v B C g 4g 22
2
=+=
R v C g 2=
τ=C a
g 42
n ==R
v a C C
g
4g)
4(02
22
n 2
τ=+=
+=
C C C a a a
在D 处
4
π3sin
g )(2
12
2R v v B D =-
R
R v v B D g )22(2
2g 22
2
+
=?
+=
R
R v D g 848.1g )22(=+=
g
224π3cos
g τ-
==D a
g )22(2
n +
==
R
v a D D
g
487.3g 245.6g )22()2
2(2
2
2
n 2
τ=+=
+
+-
=
+=D D D a a a
5-8 点M 沿给定的抛物线2
2.0x y = 运动（其中x 、y 均以m 计）。
在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2
m/s
3=τ
a 。试求点在该位置时的加速度。
2
2.0x
y = x x y 4.0= )(4.02x
x x y += 22y x
v +=
v
y
y x x v
y
y x x v
a +=
+==222τ
在x = 5 m 处，m/s 4=v ，2
m/s
3=τa 。
即：
4)54.0(22=??+x x
2.32=x
2
.3=x
2.32=y
3
4
=+y
y x x
122.322.3=+y
x
2
.3122=+y
x (1)
由)(4.02x x x y +=
)52.3(4.0x
y += x y 228.1+= (2)
联立(1)(2)求得
8296
.05
)56.22
.312(=-=
x
9392.2=y
2
22m/s 054.3=+=
y
x a
5-9 点沿空间曲线运动，如图5-20所示，在点M 处其速度为j i v 34+=，
加速度a 与速度v 的夹角?=30β，且a =10 m/s 2。试计算轨
迹在该点的曲率半径ρ和切向加速度τa 。
图5-20
2
τm/s 66.83530cos 10cos ==??==βa a
2
n m/s 530sin 10sin =??==βa a
ρ
2
n v
a =
m
55
5
2
n
2
==
=
a v
ρ
5-10 点沿螺旋线运动，其运动方程为：
)2/(,sin ,cos πωωωt h z t R y t R x ===，式中，
R 、h 、ω均为常量。设t =0
时 s 0 = 0，试建立点沿轨迹运动的方程s = f (t )，并求点的速度、加速度的大小和曲率半径。
2
2
2
)
(d )
(d )
(d d z y x s ++=
t
h t R t R d )
π
2(
)cos ()sin (2
2
2
ωωωωω++-=
t
h
R
d π
2π
42
2
2
ω
+=
2
2
2
π4π
2h
R t
s +=
ω
2
2
2
π
4π
2h
R
s
v +==ω
t
R x
a x ωωcos 2
-== t
R y a y ωωs i n 2-==
0==z
a z
2
ω
R a =
0τ==v a 2
n ω
R a a ==
R
h
R a v
2
2n
2
π4+
==
ρ
5-11 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为
)3/sin(π44),3/sin(π2t y t x +==，设
t =0时，s 0=0；s 的正方向相当于x
增大方向。试求轨迹的直角坐标方程)(x f y =
、点沿轨迹运动的方程
)(t s s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。
轨迹的直角坐标方程 4
2+=x x
点沿轨迹运动的方程
t
t x y x s d 3
πcos 3
π
52
d 5)
(d )
(d d 2
2
=
=+=
(m)
3
πsin
472.43
πsin
525t
t x s === s)(m/3
πcos 683.43πcos 3π52t t s
v ===
)
(m/s 3
πsin 904.43
πsin
9
π52
2
2
τt t v
a -=-==
5-12 已知动点的运动方程为：t y t t
x 22
=-=，。试求其轨迹方程
和速度、加速度。并求当t =1s 时，点的切向加速度、法向加速度和曲率半径。x 、y 的单位为m ，t 的单位为s 。
轨迹方程
2
)2(2y y x -
=
0422
=--x y y
速度、加速度
12-==t x v x
2==y
v y 5
442
+-=t t v
2==x a x
0==y
a y
2
m/s
2=a
v
t v
t v
a 24248τ-=
-==
当t =1s 时
5
=v
52524τ=-=a 5
25
24τ=
-=
a
789
.12.3)
5
2(
22
2
2
τ2
n ==-=
-=a a a
m
795.22
.35n
2
==
=
a v
ρ
5-13 如图5-21所示，动点A 从点O 开始沿半径为R 的圆周作匀加速运动，初速度为零。设点的加速度a 与切线间的夹角为θ，并以β表示点所走过的弧长s 对应的圆心角。试证：β
θ
2tan =。
图5-21
常量cos τ===θa v a
θ
cos at v = θ
cos 2
12
at
s =
θ
sin 2
n a R
v
a ==
β
θθ
θθ22cos cos )cos (tan 2
2
τ
n ==
=
=
=
R
s R
at
Ra at a a
5-14 已知点作平面曲线运动，其运动方程为：x = x (t )，y = y (t )。试证在任一瞬时动点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径分别为：
x
y y x y x y x
x y y x a y x
y y x x a n -+=
+-=
++=
23
222
2
2
2
)(ρτ
22y x
v +=
22y
x a +=
2
2
2
2
τ2
22y x
y y x x y x
y y x x v
a ++=
++==
2
2
2
2
2
222
τ2
n ||)
(y
x
x y y x y
x
y y x x y
x a a
a +-=
++-+=
-=
x
y y x y
x
a v
-+=
=
23
2
2
n
2
)(ρ