函数的凸性
有关函数的凸性问题
柴全水
（新绛中学 山西 043100）
在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数）
一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题
①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数
y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜）
恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。
函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式
设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ）
有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。
例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0
C 、2
D 、3
解析：B 做四个函数图象，观察在（0，1）上的凹凸性，最后发现只有y=log 2x 函数满足条件，故选B 。
例2：如图，f i (x) (i = 1, 2, 3, 4 ) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的 x 1和x 2，任意λ∈（0，1），f [λx 1 + (1—λ) x 2]< λf (x 1) + (1—λ)f (x 2 ) 恒成立”的只有（ ）
A 、f 1(x)
B 、f 2 (x)
C 、 f 3 (x)
D 、f 4 (x)
x ＋λx
1＋λ
1 2 f (x )＋λf (x )1＋λ
1 2 ① ② ③ ④
x +x 2f (x )+
f (x )21 2 1
2
解析：A 。由题意可知函数应该是下凸曲线，故选A 。 例3：（2005年高考全国卷I 试题）
（1）设函数f(x) = xlog 2x + (1—x) log 2 (1—x ) (0 < x < 1) ，求f(x)的最小值；
（2）设正数p 1，p 2，p 3，…，p 2 满足p 1 +p 2 +p 3+…+p 2 = 1，证明p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+ p 2 log 2p 2 ≥—n 。
解：（1）构造函数g (x) =x log 2x ，x ∈(0，1)，g '' (x) = >0，由Jensen 不等式得g( )≤ [ g(x) + g(1—x)] ，
g(x) +g(1—x ) ≥2g ( )=—1，即x log 2x + (1—x) log 2 (1—x)≥—1， 所以当x = 时，f(x)取得最小值—1。 （2）直接利用Jensen 不等式可知
即：p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+p 2 log 2p 2 ≥—n 。 三．利用导数来判断函数的上凸、下凸
若f '(x)为减函数，则原函数为上凸曲线。若［f '(x)］'存在，即f ''(x)＜0.上凸。 同理f '(x)为增函数，则下凸。若f ''(x)＞0.则下凸。 下面举例说明函数凸性在函数作图中的应用： 例如：作y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ＞0）的图像
∵y ' ＝3ax 2＋2bx ＋c 为二次函数，导函数有3种情况：①在x 轴上方，②与x 轴1个交点，③与x 轴
有两个交点。
①对应的原函数:x ∈R f '(x)＞0 原函数为增函数，但在（－∞，－ ）上f ' (x)为减函数，故原函数在（—∞，— ）为上凸增，在（－ ，＋∞ ） f ' (x)为增函数，则原函数在（－ ， ＋∞ ）为下凸增。
b
3a b 3a
n n n 1
xln 2x +1—x 2
12
12
1
2
n
n
b 3a
—
b
3a
— x
x 1 2 ① ② ③
b 3a
b 3a
n b
3a
—
图象为①，同理②③对应图分别（大致）为②③。
知道了三次函数的图象，那么依次类推，四次函数、五次…不难做出大致图象的。 练习：f '(x)是f(x)的导函数，f ' (x) 的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是下图中的（ ）
b 3a
—
b 3a
—
b 3a
— x 1
x 2
① ②
③
函数的凸性及应用文献综述
函数的凸性及应用文献综述 文献综述 函数的凸性及应用 一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述) 凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习应用函,和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数．数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。 葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。 2.1.2严格凸函数的定义 江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质 李联忠1 文丽琼2 1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150 摘要：若函数f(x)为凹函数，则n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若 函数f(x)为 凸函 数 ， 则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≥ +++ 从而使一些重要不等式的证明更简明。 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。 凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一） 凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二） 性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)是凸函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()(2121 +++≥ +++ 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴ b n a n f f f x x x x x x n n ++++? ≥+++ 2 1 21) ()()( (2) 由（1），（2）得 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)为凸函数，如下图 点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方 ∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(
函数的凸性
有关函数的凸性问题 柴全水 （新绛中学 山西 043100） 在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数） 一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题 ①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数 y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜） 恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。 函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式 设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ） 有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。 例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
保持函数凸性的几种变换
保持函数凸性的几种变换 及变量代换在数学中的应用 摘要 变量代换是一种常见而有效的解题方法,在解决一些数学问题方面发挥了重要的作用.本文主要总结了变量代换法在初等数学和高等数学中的应用.凸性是函数的一种重要性质,在不等式证明中有广泛的应用.现在许多人致力于函数凸性概念的推广.这些广义的凸函数在一定程度上保留了凸函数的某些性质.本文当中介绍了几类广义凸函数,例如几何平均凸函数,对数凸函数,几何凸函数等.通过变量代换的方法证明了这些函数的性质,并由此建立了若干新的不等式,使某些不等式证明问题作为特例得以解决,这样做使我们避免了在证明过程中构造函数这一难题. 关键词：变量代换；函数凸性；几何平均凸函数；对数凸函数；几何凸函数
目录 引言 (1) 第1章变量代换在初中代数中的早期渗透 (2) 1.1结合简单的分式方程教学,进行变量代换的初步渗透 (2) 1.2在无理方程的教学中,进一步渗透变量代换思想 (3) 1.3变量代换在其他方面的一些应用 (3) 第2章变量代换法在解题中的妙用 (5) 2.1在求解函数表达式中的应用 (5) 2.2在求函数极限中的应用 (6) 2.3在积分中的运用 (7) 2.4在微分方程中的应用 (8) 第3章函数凸性引申及应用 (10) 3.1预备知识 (10) 3.2几何平均凸性的应用 (11) 3.3对数凸性的应用 (12) 3.4几何凸性的应用 (13) 结束语 (16) 参考文献 (17)
引言 以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年高考或竞赛中层出不穷,它 们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托.这些题目从不同 的角度抓住了初、高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作 为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐.以函数的凸性为背景 的试题更是一大热点,虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但是通过第二课 堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究及横向发散都是大有裨益的. 在学习数学的过程中,我们常常觉得一些公式、等式的变化很难理解,在解题 时,对于一些形式繁杂、怪异的数学表达式往往感到很难下手,于是思想上对数学 产生畏惧、厌倦情绪,要消除这些障碍,除了需要掌握好相应的数学知识外,我们还 需要掌握必要的数学思维方法或解题方法,变量代换法是众多数学方法中易于掌 握而行之效的方法.
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。 凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。 凸函数的主要性质有： 1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf 也是定义在S上的凸函数; 2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数; 3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数; 4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集 Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集 微积分 如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。 如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。
凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。 初等运算 1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和 h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。 2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。 3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数 举例 函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。 绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。 当1 ≤p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥0的集合上是凸函数，在x ≤0的集合上是凹函数。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.wendangku.net/doc/1419159133.html,work Information Technology Company.2020YEAR
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).
凸函数的性质
凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。 根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一
初中数学凹凸函数性质公式解析汇总
1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。把形如)(1x f 的 增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征2（切线斜率特征）
图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。 几何特征3（增量特征） 图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小。 2、利用二阶导数判断曲线的凹凸性 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ?<''在),(b a 内严格是凸的; ⑵ )( ,0)(x f x f ?>''在),(b a 内严格是凹的。
凸函数的性质及其应用
摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which
函数的单调性与凸性的判别方法
高等数学教学样板教案 授课次序09 教 学 基 本 指 标 教学课题 函数的单调性与凸性的判别方法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授 教学手段 演示 教学重点 掌握函数单调性的判别法、凸性判别方法 教学难点 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式 教 学 基 本 内 容 第九节 函数的单调性与凸性的判别方法 一、函数单调性的判别法 1、()[,](,),()[,]()()0(0)f x C a b D a b f x a b f x '∈?≥≤ 在。 证：不妨设()[,]f x a b 在，0 0,0 ()()()lim 0,0 x x f x x f x f x x x ?→≥?>?+?-'=? ≤?，则()f x 在[,]a b ； ⑵如果(,)x a b ?∈，有()0f x '<，则()f x 在[,]a b 。 证:),,(,21b a x x ∈?,21x x <且应用拉氏定理,得 )())(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ ,012>-x x ,0)(),(>'x f b a 内，若在,0)(>'ξf 则).()(12x f x f >∴ .],[)(上单调增加在b a x f y =∴ ,0)(),(<'x f b a 内，若在,0)(<'ξf 则).()(12x f x f <∴.],[)(上单调减少在b a x f y =∴ 注意：①[,]a b I →，结论仍成立； ②,()0(0)x I f x '∈≥≤且只有个别点处()0f x '=，则在I 上()()f x 。 例1、判定sin y x x =-在[0,2]π上的单调性。 备注栏
凸函数及其在证明不等式中的应用
本科毕业论文 题目凸函数及其在证明不等式中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师吴开腾 评阅教师 班级 2004级2班 姓名冀学本 学号 064 2008 年５月２７日
目录 摘要 .............................................................. 错误!未定义书签。Abstract......................................................... 错误!未定义书签。1引言 ............................................................ 错误!未定义书签。 2 凸函数的等价定义 ........................................... 错误!未定义书签。凸函数三种定义的等价性的讨论.................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义2................................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义3................................................. 错误!未定义书签。判定定理与JESEN不等式.......................................... 错误!未定义书签。3．性质 .......................................................... 错误!未定义书签。4凸函数在不等式证明中的应用 .............................. 错误!未定义书签。利用凸函数定义证明不等式....................................... 错误!未定义书签。 利用凸函数性质证明不等式...................................... 错误!未定义书签。结束语............................................................ 错误!未定义书签。参考文献......................................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................................. 错误!未定义书签。
函数的凸性与拐点
函数的凸性与拐点 教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。 重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。 教学方法：讲练结合。 考察函数2)(x x f =和x x f = )(的图象．它们不同的特点是：曲线2)(x x f =上任意 两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲x x f = )(线则相反，任意两点间的弧段总在 这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数． 一、函数的凸性 1．定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称f 为I 的凹函数． 如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数． 易证：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数．故只需讨论凸性即可． 2．引理 f 为I 上的凸函数的充要 条件是：对于I 上的任意三点,321x x x <<总有 ≤ --1212)()(x x x f x f 2 323) ()(x x x f x f --。 证 [必要性] 记.)1(,3121 32 3x x x x x x x λλλ-+=--= 则由 f 的凸性知道 ),()() ()1()())1(()(31 3121132331312x f x x x x x f x x x x x f x f x x f x f --+--=-+≤-+=λλλλ
凸函数的性质及其应用
中文题目：凸函数的性质及其应用 英文题目：The Property and Applications of Convex Functions 完成人： 指导教师： 系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月 河北科技师范学院数信学院制
目录 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 凸函数的定义 (2) 2.2凸函数的运算性质 (2) 2.3 Jesen不等式 (2) 3 本文的主要结果 (3) 3.1 凸函数的连续性 (3) 3.2 凸函数的微分性质 (3) 3.3 凸函数的积分性质 (6) 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7) 结束语 (12) 参考文献 (12) 英文摘要 (13) 致谢 (13)
凸函数的性质及其应用 (河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班) 指导教师： 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明 1 引言 凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、 多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】 。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有 着十分重要的作用【4】 。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是 最重要的【7】 。 凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念 已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】 。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在 现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】 。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选 择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】 。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。 2 预备知识 2.1 凸函数的定义 定义1 【10】 设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ?∈,总有 12 12[(1)](1)()() f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹） 函数。 定义2 【 10】 设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有
凸函数几个等价定义
本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义 系别 班级 姓名 学号 答辩时间年月 学院
目录 摘要 (4) 1凸函数的定义 (6) 2凸函数的等价定义和性质 (6) 2.1凸函数的等价定义 (6) 2.2凸函数的性质 (7) 3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10) 3.1一些集合上的凸函数举例 (10) 3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11) 总结 (16) 参考文献 (17) 谢辞 (18)
凸函数的几个等价定义 摘要 凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。 关键词：凸函数；等价性；不等式
Several equivalent of convex function defined Abstract Convex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.