正多边
正多边形、扇形、圆锥侧面展开图B 答案
1【C2B.3D ．4C 5D 6C 7B 8A 9B 10D 11D 12D 13D 14【C 15【B 16【D 17【
2
5π-4 18
【
19【36 π 20
【2
6
π 21【3 22
12
4
π-
23
π3
24【
2
1π-1
25【3
4,32底面半径为的长为弦AB
26答案
27【答案】解：(1) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ，
AB
OB AOB =
∠cot ，……………………………………………………………（1分）
∴3330cot =??=AB OB ，………………………（2分） ∴点()33,3A 设双曲线的解析式为()0≠=
k x
k y
∴3
33k =，39=k ，则双曲线的解析式为x
y 39=
…………………………………………………（4分） (2) 在OBA Rt ?中，?=∠30AOB ，3=AB ，
OA
AB AOB =
∠sin ，OA
330sin =
?，
∴6=OA .………………………………………（5分） 由题意得：?=∠60AOC ，
ππ6360
6602
'
=??=
AOA S 扇形
………………………（7分）
在OCD Rt ?中，?=∠45DOC ，33==OB OC ，
∴2
632
23345cos =
?
=??=OC OD .………………………………………（8分）
∴4
27263212
12
2
=???
?
??==
?OD
S ODC .
∴'27S 64
O D C A O A S S π?-=-
阴扇形＝……………………………………（10分）
28【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=
90,又AB CD ⊥，∴∠CDB=
90
在△ABC 与△CBD 中，
∠ACB=∠CDB= 90,∠B=∠B, ∴△ABC ∽△CBD (2)解：∵△ABC ∽△CBD ∴.CB
AB DB
CB =
∴AB DB CB
?=2
∵AB=8,DB=2, ∴CB=4.
在Rt △ABC 中，,3416642
2
=-=-=BC
AB AC
∴383442
12
1=??=
?=?AC CB S ABC
∴3.1128.11)3(84212
≈=-
=-?=
?ππABC S S 阴影部分
29【答案】（1）证明：连接OD ，则OA ＝OD ，∴∠1＝∠3； …………1分 ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC. ∵AC ⊥BC ，
∴OD ∥AC ，…………………………2分 ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC .
（2）①连结ED . ∵AE 为直径，∴∠ADE ＝∠C ＝90°, 又由（1）知∠1＝∠2，∴△ADE ∽△ACD ， ∴
AD AE ＝AC
AD
, ∵AC ＝3，AE ＝4， ∴AD 2＝AE ·AC ＝3×4＝12, ∴AD ＝12＝23. ②在Rt △ADE 中，cos ∠1＝
AD AE ＝234＝32
, ∴∠1＝30°， ∴∠AOD ＝120°，DE ＝2.
∴S △AOD ＝12S △ADE ＝12×12AD ·DE ＝3， S 扇形AOD ＝120π×22
360＝43π. ∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝4
3π－3.
B
C D
圆的知识点总结
圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°
高考数学必背经典结论-正四面体性质
必背经典结论---提高数学做题速度！ 立体几何（必背经典结论） 之 正四面体性质（李炳璋提供） 【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！ 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 （1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段 的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离， 若一个球与正四面体的6条 棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2） 正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=） （3） 正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥 正方体V V V 314=-） （4） 正四面体的全面积 S 全= 2a ； （5） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=）
（6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =） （7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =） （8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。 （11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H
（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形； （2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； （3）体积 V= 16a b c ； （4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； （6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径 （9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++
正多边形的有关计算一
正多边形的有关计算 一、素质教育目标 (一)知识教学点 使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题． (二)能力训练点 1．通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力； 2．通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力； 3．通过用不同方法求正多边形的内角，培养学生的发散思维能力和选优意识； 4．从具体边数的正n边形得到一般正n边形的计算图培养学生化归、转化的数学思想． (三)德育渗透点 1．由具体边数的正多边形计算图过渡到一般计算图，渗透了“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证唯物主义认识观； 2．正多边形计算图的得出渗透了化繁为简、化难为易二矛盾相互依存、相互转化的思想； 3．通过正多边形的有关计算，培养学生仔细认真、一丝不苟、严谨的科学态度； 4．通过正多边形有关计算公式的推导，培养学生不断探索科学奥秘的创新精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理．2．正多边形计算图及其应用． 2．难点：正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
3．疑点及解决方法：学生对只画出正n边形的一部分图形的计算图生疏，用它分析、计算有疑虑．为此计算图的抽象应由具体边数的正多边形计算图逐步过渡． 三、教学步骤 (一)明确目标 前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算． (二)整体感知 大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题． (三)重点、难点的学习与目标完成过程 哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．) 什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．) 正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．) 什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．) 正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数 正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度 哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积S全 = 2a； (2)体积 V=3 12 a； (3)对棱中点连线段的长 d= a；(此线段为对棱的距离，若一个 球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角α= 1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β= 1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a； (8)切球半径 r= 12 a. (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积V= 1 6 a b c； ④底面面积S△ABC ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； A B C D O H ⑥S 2 △BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 22 221111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 R= ⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)切球半径 r= a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； A O H 梯形及多边形的性质及证明（导学案） 一、知识过关 1. 梯形的定义：________________________________________． 2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 梯形的中位线：______________________________________． 4. 梯形中位线定理：_____________________________________ ___________________________________________________． 5. 四边形中的中点 6. 中心对称图形：_______________________________________ ___________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____． 9. 平面图形的镶嵌： ___________________________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的 是（ ） A ．AC =BD B ．∠OB C =∠OCB C ．S △AOB =S △DOC D ．∠BCD =∠BDC 等腰梯形 A C D B 直角梯形D A C B C A D B F E D C B A 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 正四面体的性质及应用 设正四面体ABCD 的棱长为a ，则存在以下性质： 【性质1】正四面体的3对相对棱互相垂直，任意一对相对棱之间的距离为 a 22 【性质2】正四面体的高=h a 3 6 【性质3】正四面体的表面积为23a .体积为 3122a 【性质4】正四面体的内切球半径为=r a 126.外接球半径为=R a 4 6且4:3:1::=h R r 【性质5】正四面体底面内任一点O 到三个侧面的距离之和为 a 36 【性质6】正四面体内任一点到四个侧面的距离之和为a 3 6 【性质7】正四面体的侧棱与底面所成的二面角大小为: 36arccos 【性质8】正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为: 3 1arccos 【性质9】设正四面体侧棱与底面所成的角为α,相邻两侧面所成的二面角的大小为β,则有βαtan 2tan = 【性质10】正四面体的外接球的球心与内切球的球心O 重合且为正四面体的中心 【性质11】中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等为3 1arccos -π 【性质12】正四面体内接于正方体,且它们共同内接于同一个球.球的直径等于正 方体的体对角线.( V 正四面体: V 正方体 : V 球 = 2 : 6 : 3 3) 二.正四面体性质的应用 【例1】一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a.求此球的体积.【例2】在正四面体ABCD.E,F分别为棱AD,BC的中点,连结AF,CE.①异面直线AF 和CE所成的角_______②CE与平面BCD所成的角_______ 【例3,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为________ 【例4】四面体的ABCD的表面积为S , 其四个面的中心分别为E , F , G , H .设四面体EFGH的表面积为T , 则 S : T = _______ 24.6 正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 ［学习目标］ 1．理解正多边形的有关概念； 2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算； ［学法指导］ 本节课的学习重点是理解正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的关系；在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性. ［学习流程］ 活动1:（1）正多边形的有关概念：一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心； ______________叫正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距． （2）如图2，在正六边形中，点O 是正六边形的中心，画出它的的半径、边心距、 中心角. （3）算一算：正五边形的中心角是多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形 的一个外角是多少？正六边形呢？ （4）归纳：正n 边形的每一个内角都等于 ，中心角等于 ， 外角等于 ，正多边形的中心角与外角 . 活动3: 有一个亭子（如图3）它的地基是半径为4m 的 正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）． (分析：欲求周长和面积，可先求什么？怎样作辅助线？) 归纳：正多边形的计算中常用的结论是：（1）正多边形的中心角等于 ； （2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形； （3）正n 边形的半径和边心距，把正n 边形分为2n 个直角三角形. 活动2:正多边形都是轴对称图形吗？如果是，有多少条对称轴？正多边形 都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ ［课堂小结］ 1.当正多边形的边数一定时，可以求出正多边形的哪些元素？ 2.在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形中的计算问题. 3.如果正多边形的边数一定，已知它的边长、半径、边心距、周长、面积中的任意 一项，都可以求出其他各项. ［当堂达标］ 1.正方形的边长为a ，那么这个正方形的半径是 ，边心距是 . 2. 已知正三角形的边长为a ，其内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则r ：a ：R 等于（ ） (提示：任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们的同心圆) A 、1 ：32 ：2 B 、1 ：3 ：2 C 、1 ：2 ：3 D 、1 ：3 ：32 3.(云南中考)已知：如图7，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 的半径是2，连接OB ,OC . (1)求BOC 的度数；（2）求正六边形ABCDEF 的周长. [拓展训练] 4.已知：如图8，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外． 5.已知：如图9，⊙O 的半径为R ，求⊙O 的内接正六边形、⊙O 的外切正六边形的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外． O （图2） F E A C D B O （图3） 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 正多边形 1、（绵阳市2013年）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ C ） A．62mm B．12mm C．63mm D．43mm ［解析］画出正六边形，如图，通 33，MN 过计算可知，ON＝ ＝63，选C。 2、（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（） A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2 考点：正多边形和圆．3718684 分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案． 解答：解：如图：设六边形的边长是a， 则半径长也是a； 经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC， 则AC=AB=a， ∴OC==a， ∴正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2． 故选B． 点评：此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3、（2013?自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（） 7题图 A．4B．5C．6D．7 考点：正多边形和圆．3718684 分析：根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题． 解答：解：360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2． 因此n的所有可能的值共五种情况， 故选B． 点评：本题考查了正多边形和圆，只需让周角除以30°的倍数即可． 4、（2013?资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（） A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形 考点：多边形内角与外角． 分析：利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数． 解答：解：360÷36=10． 故选C． 点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键． 5、（2013?绍兴）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： （1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1； （2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（） A． BD2=OD B． BD2=OD C．B D2=OD D． BD2=OD 考点：正多边形和圆．3718684 分析：首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定 ⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; 2 2 2 2 & ⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC 1 1 + -- ? 2 2 J b c R= 1 J a 2 + b 2 +c 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos ⑤ S △ BO =S BHC ? & ABC ⑧外接球半径 C 2 ⑨内切球半径r= S^OB +S^OC +S^OC~S m c a + b +c ⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos C 九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d 直线与圆相交。 d > r （r 正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则 （1） 全面积S 全= 3 a 2； （2） 高h = 6 3 a ； （3） 体积V = 2 12 a 3 ； （4） 对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2 a ； （5） 相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3； （6） 棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ； （7） 正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4 a ，r ︰R =1︰3； （8） 正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。 将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如： 例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球 心O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3 ，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的 距离即其高为 6 3 ，答案B 。 例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（ ） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8 a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12 a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12 a ，因此选 例3：（06年陕西卷）将半径为R 心到桌面的距离为 。 解析圆的知识点总结史上最全的
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