数理统计课件 4.2 正态总体均值与方差的假设检验
一般总体均值的假设检验.
§7.4 一般总体均值的假设检验 一、一般总体均值的大样本假设检验 1． 一个总体均值的大样本假设检验 设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ，记总体均值μ=)(X E 。样本均值及样本方差分别为11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。 如果我们要做双侧检验：0100::μμμμ≠?=H H ，在大样本情况（样本容量30≥n ）下可选 n S X Z /0 μ-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近 似服从)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)| |(20O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0 μ-=。 例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对误差数据（mm ）如下所示： 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86 利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（0.01α=） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35，因此属于单左侧检验。提出的假设如下： 0: 1.35H μ≥?1: 1.35H μ< 现在50=n ，检验统计量可选为 )1,0(~/35.135.1N n S X Z =-=μ； 由数据得：215.1=x ，366.0=s ，故检验统计量Z 的观测值为608.250 /366.035 .1215.1-≈-≈O z ，所以检验的P 值近似为 0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。 因为01.0
简述以样本均值估计总体均值的理由
简述以样本均值估计总体均值的理由 概率论与数理统计中样本均值为什么是总体均值最好的估计量 哈佛孙一峰 哈佛孙一峰 首先什么是最优估计量，以下是定义： An estimator W of a parameter, say τ(θ), is called the best unbiased estimator, or uniform minimum variance unbiased estimator 换成中文来说就是一个估计量如果它无偏并且方差最小那么他就是最优的。样本均值是总体均值的无偏估计用大数定理就自然而然知道了（当然这里就要假设期望有界了）。那怎么知道他是方差最小的呢？我们需要用到Cramer-Rao Inequality. 简而言之就是任何一个估计量的方差是有下界的。这个部分的证明并不复杂。用Cauchy-Schwarz Inequality可以很轻松的证明出来。
因为要涉及的概念实在太多了，所以略过很多复杂的证明，最后直接跳到结论就是在指数分布族里，样本均值是分布均值的无偏估计且方差就是估计量方差下界。 更具体的可以搜索Lehmann Scheffe theorem。虽然这部分我觉得本科生的概率论并不会接触到。 (sample)，是指从总体中抽出的一部分个体。样本中所包含个体数目称样本容量或含量，用符号N或n表示。 总体(population)是指客观存在的，并在同一性质的基础上结合起来的许多个别单位的整体，即具有某一特性的一类事物的全体，又叫母体或全域。简单地说，总体也就是我们所研究的性质相同个体的总和。 样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。又称子样。例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽样调查的方式来得到需要的信息。从总体中抽取样本的过程叫抽样。最常用的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽
数据正态性检验及正态转化在spss中的实现
数据正态性检验及正态转换在spss中的实现 1数据正态性检验 观察分布，预先判断 主要观察直方图，以及根据峰度和偏度粗略估计研究变量的分布。采用spss中描述统计中的频率分析来实现，具体操作如下： （1）在spss中打开数据资料文件，依次点击“分析—描述统计—频率”，如下图： （2）在弹出的对话框中，选择左边方框中要研究的变量，点击中间的箭头，将其选入右边的对话框，本文选择“胫围”作示例分析，如下图：
（3）之后，选择最右边五个选项卡中的“统计”选项卡，在弹出的对话框中的右下角勾选“偏度”和“峰度”选项，点击“继续”，如下图： （4）再点击“图表”选项卡，在弹出的对话框中勾选“直方图”和“在直方图中显示正态曲线”选项，点击“继续”，如下图： （5）然后点击“确定”选项，得出如下结果：统计一栏中包括有偏度及其标准误差、峰度及其标准误差。由结果可知：(偏度)>*(偏度标准误差)；（峰度）>*(峰度标 准误差)，推测该胫围数据不符合正态分布。
正态分布显著性检验 采用spss中非参数分析方法对数据资料进行正态性检验，具体步骤如下： （1）在spss中打开数据资料文件，依次点击“分析—非参数检验—单样本k-s”，如下图：
（2）在弹出的对话框中，选择左边方框中要研究的变量，点击中间的箭头，将其选入右边的对话框，本文选择“胫围”作示例分析，如下图： （3）之后，点击最右边的“精确”选项卡，在弹出的对话框中有三个选项，1、“仅渐进法”：是基于渐进分布的显著性水平的检验指标，适用于大样本，如果样本 过小或者分布不好，就会影响检验的效力；2、“蒙特卡洛法”：适用于精确显著 性水平的无偏估计，如果样本过大，数据处理过程太长，就应该使用这个选项； 3、“精确”：精确计算概率值，可以设定数据处理的时间，如果数据处理时间超
总体均值的假设检验
总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，， ， 21为总体),(２ N 的一个容量为n 的样本． 1．方差2 已知， 的检验——u 检验法． 当2 02 已知时， 假设检验问题：0100 ：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平 ，由标准正态分布分位点的定义, 有 }|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/ u U u U u U W ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值 是小于等于原来的均值0 ，还是大于0 ， 即检验假设 0100 ：；：H H ． 可以证明，在显著性水平 下，上述假设检验问题和 检验假设0100 ：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00 ：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100 ：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100 ：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平 ，求得的临界值点是上 分位点或上 1分位点．
例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２ N ，其中 40 (kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值 x 较以往正常生产的 大20(kg/cm 2 )，设总体方差不变，问在1.00 下，能否 认为这批钢索质量有显著提高？ 解 依题意，检验假设0100 ：；：H H ， 由于40 已知，选择检验统计量n X U /0 因为0H 中的 全部都比1H 中的 要小，从直观上看，当0H 成立时，X 的取值 x 不应比 大很多，若偏差0 x 过大，则拒绝0H 而接受1H ． 因为 0100 ：；：H H 的拒绝域为}{ u U W ， 故在显著性水平1.00 下原假设的拒绝域为 }{}{0n u X u U W ． 本题中，9 n ，40 ，200 x ，33.201.0 u ， 计算U 的值33.25.1/0 n x u 因此在显著性水平1.00 下不能拒绝0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高． 2．方差2 未知， 的检验——t 检验法． 检验假设0100 ：；：H H ． 因为2 未知，而样本方差2S 是总体方差2 的无偏估计量，用S 代替 ． 选择检验统计量 n S X T /0 ， 当0H 成立时，)1(~ n t T ．给定显著性水平 ，由t 分布分位点的定义， 有 )}1(|{|2/n t T P ，
正态性检验的几种方法
正态性检验的几种方法 一、引言 正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk 法(W 检验)、D ’Agostino 法(D 检验)、Shapiro-Francia 法(W ’检验)。二是正态分布的拟合优度检验，如2χ检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov 检验。三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile Quantile plot ，简称QQ 图)、百分位数(Percent Percent plot ，简称PP 图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot ，简称SP 图)等。而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。 二、正态分布 2.1 正态分布的概念 定义1若随机变量X 的密度函数为 ()()()+∞∞-∈= -- ,,21 2 2 2x e x f x σμπ σ 其中μ和σ为参数，且()0,,>+∞∞-∈σμ 则称X 服从参数为μ和σ的正态分布，记为()2,~σμN X 。 另我们称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，记为()1,0~N X ，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用()x ?和()x Φ表示。 引理1 若()2,~σμN X ，()x F 为X 的分布函数，则()?? ? ??-Φ=σμx x F 由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。 2.2 正态分布的数字特征
样本平均数的方差的推导
样本平均数的方差的推导： 假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本 1,,n x x ，则有 22 (),i i x X E x X σσ== 即每一个样本单位都是与总体同分布的。 在此基础上， 证明样本平均数以总体平均数为期望值。 []121212()() 1 ()1 ()()()1 ()n n n x x x E x E n E x x x n E x E x E x n X X X X n +++==+++=+++=+++= 接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。 在此，需要注意方差的计算公式为： 22(())X E X E X σ=- 以下需要反复使用这一定义：
22 2 122 122 2122222 122222 122(())()1(())1 ()()()1()()()()()1()()()()()1x n n n n i j i j n i j i j E x E x x x x E X n E x x x nX n E x X x X x X n E x X x X x X x X x X n E x X E x X E x X E x X x X n σ≠≠=-++ +=-= +++-??=-+-++-? ???=-+-++-+--???? ??=-+-++-+--????=∑∑∑∑222n n n σσ?= 在证明中，一个关键的步骤是()()0i j i j E x X x X ≠--=∑，其原 因在于这一项事实上是i x 与j x 的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。 如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差小于0。此时样本均值的方差为221 X x N n n N σσ-= ? - 样本方差的期望： 证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。 先构造一个统计量为2 1 () n i i x x S n =-'= ∑，我们来求它的期望。 根据方差的简捷计算公式：()2 2 2X X X n σ = -∑，可得
正态分布检验
Shapiro-Wilk 检验含义:Shapiro —Wilk 检验法是S.S.Shapiro 与 M.B.Wilk提出用顺序统计量W来检验分布的正态性，对研究的对象总体先提出假设认为总体服从正态分布，再将样本量为n的样本按大小顺序排列编秩，然后由确定的显著性水平a ，以及根据样本量为n时所对应的系数a i,根据特定公式计算出检验统计量W.最后查特定的正态性W检 验临界值表，比较它们的大小，满足条件则接受假设认为总体服从正态分布,否则拒绝假设，认为总体不服从正态分布? W检验全称Shapiro-Wilk检验，是一种基于相关性的算法。计算可得到一个相关系数，它越接近1就越表明数据和正态分布拟合得越好。 w检验是检验样本容量8< n < 50,样本是否符合正态分布的一种方法。 计算式为: E-Lj k -訓 其检验步骤如下： ①将数据按数值大小重新排列，使x1
正态分布是许多检验的肚础，比如F检验，t检验，卡方检验等在总体不是正太分布是没有任何盘义。因此，対一个样本是否来口正态总、体的检验是至关巫要的。当然，我们无法证明某个数据的确来口正态总体，但如果使用效率高的检验还?无法否认总体是正太的检验，我『］就没有理山否认那些和正太分布有关的检验有意义，下而我就对正态性检验方法进行简单的归纳和比较。 一.图示法 1.P-P 图 以样本的累计频率作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从 F态分布，则样本点应鬧绕第一象限的对角线分布。 2.Q-Q 图 以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布，则样本点应围绕第一彖限的对角线分布。 以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。 3.直方图 判断方法：是否以钟型分布，同时可以选择输出正态性曲线。 4.箱线图 判断方法；观察矩形位置利中位数，若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间位迓，则分布较为对称，否则是偏态分布。 5.茎叶图
正态性检验的一般方法汇总
正态性检验的一般方法 姓名：蓝何忠 学号：1101200203 班号：1012201 正态性检验的一般方法 【摘要】：正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的一种分布.因此,人们在实际使用统计分析时,总是乐于正态假定,但该假定是否成立,牵涉到正态性检验.在一般性的概率统计教科书中,只是把这个
问题放在一般性的分布拟合下作简短处理,而这种万精油式的检验方法,对正态性检验不具有特效.鉴于此,该文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法,并且就各种方法作了优劣比较, 【引言】一般实际获得的数据，其分布往往未知。在数据分析中，经常要判断一组数据的分布是否来自某一特定的分布，比如对于连续性分布，常判断数据是否来自正态分布，而对于离散分布来说，常判断是否来自二项分布.泊松分布，或判断实际观测与期望数是否一致，然后才运用相应的统计方法进行分析。 几种正态性检验方法的比较。 2?一、拟合优度检验： （1）当总体分布未知，由样本检验总体分布是否与某一理论分布一致。 H0: 总体X的分布列为p{X=}=,i=1,2,…… H1：总体 X. 的分布不为 构造统计量 为真时H0发生的理为为样本中发生的实际频数,其中论频数。2）检验原理（2?意味着对于，=,观测频数与期望频数完全一致，若=0，则即完全拟合。 2?观察频数与期望频数越接近，则值越小。 2?当原假设为真时，有大数定理，与不应有较大差异，即值应较小。
2?若值过大，则怀疑原假设。 2?拒绝域为R={d} ，判断统计量是否落入拒绝域，得出结论。 二、Kolmogorov-Smirnov正态性检验： Kolmogorov-Smirnov检验法是检验单一样本是否来自某一特定它的 检验方法是以样本数比如检验一组数据是否为正态分布。分布。． 据的累积频数分布与特定理论分布比较，若两者间的差距很小，则推论该样本取自某特定分布族。即对于假设检验问题： H0:样本所来自的总体分布服从某特定分布 H1：样本所来自的总体分布不服从某特定分布 统计原理：Fo（x）表示分布的分布函数，Fn（x）表示一组随机样本的累计概率函数。 #}n1,2,,x{x?,i?i?)F(x n n : x）差距的最大值，定义如下式Fn为Fo(x)与（D设 D=max|Fn(x)-Fo(x)| P{Dn>d}=a. a，对于给定的位健康男性在未进食前的血糖浓度如表所示，试测验这组35例如： =6的正态分布，标准差数据是否来自均值μ=80σ87 77 92 68 80 78 84 77 81 80 80 77 92 86 76 80 81 75 77 72 81 90 84 86 80 68 77 87 76 77 78 92 75 80 78 n=35 检验过程如下：健康成人男性血糖浓度服从正态分布 H0:假设健康成人男性血糖浓度不服从正态分布 H1: 计算过程如表：
正态总体均值及方差的假设检验表
正态总体均值及方差的假设检验表： 单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α) 1 a n ～N (0,1)2 01 a S n ～t 2 2 02 1 0n i n i a ～ 2或 2 21 2 n 2 2n 2 21 n 20 ～ 22 21 1 2 n 2 21n 21 1 n
2 212 12 n n ～N (0,1) 2 1 2 11W S n n ～ 2 , 22 1122 122 n S n S n n 22 22 21112 2 1 2 1i i n i i a a n ～12,F n n 2 或 2 2 221 n S n ～21,1n 1 2或 2
Z =ξ-η～N (a 1-a 2，21σ+2 2σ)，Z i =ξi -ηi . 2 21 2 Z n ) 2 1 S n ～ 2
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α) 已知 1 a n ～N (0,1)0 1 1 , n n u u n n 1 a S n ～t , 1 1 t t n n 2 02 1 n i n i a ～ 001 122, 12 2 i i i i n n a a 20 ～ 21 ,12 2 n
2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α) 12 212 12 a n n ～N (0,1) 2212 12 u n n 112 11W a S n n 22 n t 1 22 12 11W n n t S n n )2 a ξ-12 ,1 ,2 2 n n A F A 2 112 222 2 11n S n S ～ 2 2 21112W n S n S n n 212 1212 2 2 1 n i i n i i n a A n a ，2 122 2 21111n n S B n n S ． （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
SPSS 正态性检验方法
正态性检验方法的比较 理论部分 正态分布是许多检验的基础，比如F检验，t检验，卡方检验等在总体不是正太分布是没有任何意义。因此，对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然，我们无法证明某个数据的确来自正态总体，但如果使用效率高的检验还无法否认总体是正太的检验，我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义，下面我就对正态性检验方法进行简单的归纳和比较。 一、图示法 1. P-P图 以样本的累计频率作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。 2. Q-Q图 以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。 以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。 3. 直方图（频率直方图） 判断方法：是否以钟型分布，同时可以选择输出正态性曲线。 4. 箱线图 判断方法：观察矩形位置和中位数,若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间位置，则分布较为对称，否则是偏态分布。 5. 茎叶图 判断方法：观察图形的分布状态,是否是对称分布。
二、偏度、峰度检验法（冒牌K-S 检验法）： 1. S ，K 的极限分布 样本偏度系数() 3 32 2B S B =；该系数用于检验对称性，S>0时，分布呈正偏态，S<0时， 分布呈负偏态。 样本峰度系数() 4 2 23B K B = -；该系数用于检验峰态，K>0时为尖峰分布，S<0时为 扁平分布；当S=0，K=0时分布呈正态分布。 0H ：F(x)服从正态分布 1H ：F(x)不服从正态分布 当原假设为真时，检验统计量 ~N(0,1) ~N (0,1) 对于给定的α， R ||={| >λ?| >λ} 其中14 u α - λ= 2. Jarque-Bera 检验（偏度和峰度的联合分布检验法） 检验统计量为 JB 22164n k S K -??= + ??? ()2 2χ~，JB 过大或过小时，拒绝原假设。 三、非参数检验方法 1. Kolmogorov-Smirnov 正态性检验（基于经验分布函数（ECDF ）的检验） ()()0max ||n D F x F x =- ()n F x 表示一组随机样本的累计概率函数，()0F x 表示分布的分布函数。 当原假设为真时，D 的值应较小，若过大，则怀疑原假设，从而，拒绝域为 {}R D d =>。对于给定的α，{}p P D d α=>=，又?{}n n p P D D =≥ 2. Lilliefor 正态性检验 该检验是对Kolmogorov-Smirnov 检验的修正，参数未知 时，由22??,X S μσ==可计算得检验统计量?n D 的值。 3. Shapiro-Wilk(W 检验) 检验统计量：
§8.2总体均值的假设检验
§8.2总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，，， 21为总体),(２σμN 的一个容量为n 的样本． 1．方差2σ已知，μ的检验——u 检验法． 当2 02σσ=已知时， 假设检验问题：0100μμμμ≠=：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 σμ-= ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平α，由标准正态分布分位点的定义, 有αα=>}|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/αααu U u U u U W >-<=>= ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值μ是小于等于原来的均值0μ，还是大于0μ， 即检验假设 0100μμμμ>≤：；：H H ． 可以证明，在显著性水平α下，上述假设检验问题和 检验假设0100μμμμ>=：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00μμ≤：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100μμμμ<≥：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100μμμμ<=：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平α，求得的临界值点是上α分位点或上α-1分位点． 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２σμN ，其中40=σ(kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值x 较以往正常生产的μ大20(kg/cm 2)，设总体方差不变，问在1.00=α下，能否认为这批钢索质量有显著提高？
总体平均数与方差的估计
.总体平均数与方差的估计
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第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是
这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.
单个正态总体的假设检验
学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级 姓名姚瑞娟 论文题目单个正态总体的检验假设 指导教师韩英波职称副教授成绩 2014年3月10日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstrac (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 假设检验的基本步骤 (2) 1.1 建立假设 (2) 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2) 2 单个正态总体均值的检验 (3) 2.1 δ已知时的μ检验 (4) 2.2 δ未知时的t检验 (6) 3 单个正态总体方差的检验 (8) 参考文献 (9)
单个正态总体的假设检验 学生姓名：姚瑞娟学号：20115034036 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师：韩英波职称：副教授 摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确.此外,从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验,还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例. 关键词：正态分布；假设检验；均值；方差；拒绝域；接受域；原假设； Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal population variance test and the related application. Keywords：normal distribution；price value；hypothesis test；variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis 前言 假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的,之后由费希尔进行了细化,并最终由奈曼和E.Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了”高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他.也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态
如何检验数据是否服从正态分布
如何检验数据是否服从正态分布 一、图示法 1、P-P图 以样本的累计频率作为横坐标，以安装正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，把样本值表现为直角坐标系中的散点。如果资料服从整体分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。 2、Q-Q图 以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为指教坐标系的散点。如果资料服从正态分布，则样本点应该呈一条围绕第一象限对角线的直线。 以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。 3、直方图 判断方法：是否以钟形分布，同时可以选择输出正态性曲线。 4、箱式图 判断方法：观测离群值和中位数。 5、茎叶图 类似与直方图，但实质不同。 二、计算法 1、偏度系数（Skewness）和峰度系数（Kurtosis） 计算公式：
g1表示偏度，g2表示峰度，通过计算g1和g2及其标准误σg1及σg2然后作U检验。两种检验同时得出U
样本方差与总体方差的区别
样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独
DGH 兀） 担工加D （X ；）） g ? u 曰右力m-工P) 占E (m ：-寸) __________ ■!■ A^(E ：=iCV —2A ；T + X-)) 闵肯) ) + ￡：D) n(<7- + //-) E(X 力二丫) nE(X~) MD(X) + E2(X)) M 吟+ “?) 尙e + //-) - 角F + "') t7- 证毕?? D(X)二 --- ◎ E(f)= D(X) + Eh 工) E{S-)= ￡(E ； =1 A ；y )=
第三节-两正态总体的假设检验
第三节 两个正态总体的假设检验 上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题. 1.两正态总体数学期望假设检验 （1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22 已知，要检验的是 H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 怎样寻找检验用的统计量呢从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…， 1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于 2111~,X N n σμ?? ??? ，2222~,Y N n σμ?? ???， E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）= 22 121 2 n n σσ+， 故随机变量X -Y 也服从正态分布，即 X -Y ~N (μ1-μ2， 22 121 2 n n σσ+). 从而 X Y ~N （0，1）. 于是我们按如下步骤判断. （a ） 选取统计量 Z X Y ， （） 当H 0为真时，Z ~N （0，1）. （b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使 P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0： z 0 x y . （d ） 作出判断： 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0. 例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭
正态性检验
利用SPSS检验数据是否符合正态分布 1.下面我们来看一组数据，并检验“期初平均分”数据是否呈正态分布（此数据已在SPSS 里输入好） 2.在SPSS里执行“分析—>描述统计—>频数统计表”(菜单见下图，英文版的可以找到相 应位置)，然后弹出左边的对话框，变量选择左边的“期初平均分”，再点下面的“图表” 按钮，弹出图中右边的对话框，选择“直方图”，并选中“包括正态曲线”
3.设置完后点“确定”，就后会出来一系列结果，包括2个表格和一个图，我们先来看看 最下面的图，见下图， 4.上图中横坐标为期初平均分，纵坐标为分数出现的频数。从图中可以看出根据直方图绘 出的曲线是很像正态分布曲线。如何证明这些数据符合正态分布呢，光看曲线还不够，还需要检验： 检验方法一：看偏度系数和峰度系数 我们把SPSS结果最上面的一个表格拿出来看看(见下图)： 偏度系数Skewness=-0.333;峰度系数Kurtosis=0.886；两个系数都小于1，可认为近似于正态分布
检验方法二：单个样本K-S检验 若有分组，先分组，“数据”-“拆分文件”，“分组方式”中移入组别变量。 在SPSS里执行“分析—>非参数检验—>单个样本K-S检验，弹出对话框，检验变量选择“期初平均分”，检验分布选择“正态分布”，然后点“确定”。
检验结果为： 从结果可以看出，K-S检验中,Z值为0.493，P值 (sig 2-tailed)=0.968>0.05，因此数据呈近似正态分布 检验方法三：Q-Q图检验 在SPSS里执行“图表—>Q-Q图”，弹出对话框，见下图： 变量选择“期初平均分”，检验分布选择“正态”，其他选择默认，然后点“确定”，最后可以得到Q-Q图检验结果，结果很多，我们只需要看最后一个图，见下图。
何谓正态性检验
何谓正态性检验，如何进行检验 正态性检验(Normality test) 是一种特殊的假设检验，其原假设为： H 0：总体为正态分布 正态性检验即是检验一批观测值（或对观测值进行函数变换后的数据）或一批随机数是否来自正态总体。这是当基于正态性假定进行统计分析时，如果怀疑总体分布的正态性，应进行正态性检验。但当有充分理论依据或根据以往的信息可确认总体为正态分布时，不必进行正态性检验。 z 有方向检验 当在备择假设中仅指总体的偏度偏离正态分布的峰度，并且有明确的偏离方向时，检验称为有方向的检验。特别当总体的偏度和峰度都偏离正态分布的偏度和峰度时，检验称为多方向的检验。 z 无方向检验 当备择假设为H 1，总体不服从正态分布时，检验为无方向的检验。 检验方法 由于有方向检验在实际检验中使用较少，故在此不作详细的介绍。 当不存在关于正态分布偏离的形式的实质性的信息时，推荐使用无方向检验。GB/T4882-2001中删去了以前在无方向检验中常用的D 检验法。代入以爱波斯—普里（EPPS-Pulley ）检验法。保留了使用较多的W 检验法，即夏皮洛—威克尔（Shapiro-Wilk ）检验。当8n 50≤≤时可以利用，小样本(n<8)对偏离正态分布的检验不太有效。这种常用的无方向检验，由于实验室中一般检测的次数有限，所以它适于实验室测试数据的正态性检验。它的实施步骤如下： （1） 将观测值按非降次序排列成：(1)(2)(3)()......n x x x x ≤≤≤ （2） 按公式：2 (1)()12 ()1()[]()L k n k k k n k k W x x W x x α+?==????? ??=?∑∑ 计算统计量W 的值。其中n 为偶数时，2n L =；n 为奇数时，12 n L ?=。 （3） 根据α和n 查GB/T 4882的表11得出W 的p 分位数p α。 （4） 判断：若W
正态性检验方法的比较
11统计1 201130980122 温汶琪 正态性检验方法 正态分布是许多检验的基础，比如F 检验，t 检验，卡方检验等在总体不是正态分布是没有任何意义。因此，对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然，我们无法证明某个数据的确来自正态总体，但如果使用效率高的检验还无法否认总体是正态的检验，我们就没有理由否认那些和正态分布有关的检验有意义。 一． W 检验 W 适用于小样本 (3≤n ≤50) （1）0:H 总体服从正态分布 （2）检验统计量为2 ()12 2 1 1 [()()]()()n i i i n n i i i i a a X X W a a X X ===--= --∑∑∑ （3）检验原理与拒绝域：当原假设为真时， 的值应接近于1，若其值过小，则怀疑原假设，从而，拒绝域为 {}R W c =≤ 其中，对于给定的 ，有 {}P W c α≤=查表，可得临界值 二、偏度、峰度检验法： 1、偏度系数 （1）0:H 10β= （2）总体偏度系数33 13322 2 2()() [()] E X EX E X EX νβν-= = -
(3) 10β> 总体分布正偏（右长尾） 10β= 总体分布关于EX 对称 10β< 总体分布负偏（左长尾） 样本偏度系数SK 332 2() B S B = 2、峰度系数 （1）0:H 23β= （2）峰度系数 4 42222 2()33()[()]E X EX E X EX νβν-=-=-- (3) 20β> 总体分布高峰态 20β= 总体分布正峰态 20β< 总体分布低峰态 峰度系数KU 4 2 23()B K B =- 三、Kolmogorov 检验 （1）双侧检验 001 :()():() ()H F x F x x H F x F x x = ?≠? 单侧检验 0010:()():()()H F x F x x H F x F x x ≥?? （2）检验统计量： 双侧检验 0s u p |()()|n x D F x F x =-