二次函数解析式
1．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
2．（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
3．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
4．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．
5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象．
6．已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
8．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点．
9．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．
10．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移个单位．
11．已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．
（1）求c的值；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
12．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
13．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
15．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
16．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．
17．已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．
18．己知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时y=3；当x=﹣1时，y=1，求这个二次函数的解析式．
19．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．
20．已知一个二次函数的图象经过A（3，0）、B（0，﹣3）、C（﹣2，5）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象（草图），设它的顶点为P，求△ABP的面积．
21．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）三点．求这个函数的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．
22．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（3，0），（4，5）三点，求这个函数的解析式．
23．已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，求这个二次函数的解析式，并写出函数图象的对称轴和顶点坐标．
24．通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
25．已知二次函数y=x2﹣6x+4．
（1）用配方法将其化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出它的图象的顶点坐标、对称轴．
26．如图，已知二次函数y=ax2﹣bx﹣c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=﹣+2，
（1）求二次函数的解析式．
（2）已知点P在二次函数的图象上，且有S△PAB=8，求点P的坐标．
27．已知抛物线经过一直线y=3x﹣3与x轴、y轴的交点，并经过（2，5）点．
求：（1）抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标及对称轴；
（3）当自变量x在什么范围内变化时，函数y随x的增大而增大？
（4）在坐标系内画出抛物线的图象．
28．已知，二次函数y=ax2﹣5x+c的图象如图．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．
29．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过0（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，14）和C（2，m）四点．求这个函数的解析式及m的值．
30．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2013?湖州）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），
即y=﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
2．（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1；
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，
∴AB?|n|=10，
解得：n=±5，
当n=5时，m2+2m﹣3=5，
解得：m=﹣4或2，
∴P（﹣4，5）（2，5）；
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，
方程无解，
故P（﹣4，5）（2，5）；
3．（2013?黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）根据题意得：
，
解得：，，
∴D（4，5），
对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），
对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），
∴EF=4，
过点D作DM⊥y轴于点M．
∴S△DEF=EF?DM=8．
4．（2013?安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），
∵函数图象经过原点（0，0），
∴a（0﹣1）2﹣1=0，
解得a=1，
∴该函数解析式为y=（x﹣1）2﹣1．
5．（2011?佛山）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得，，
∴所求的解析式是y=﹣x2+2x+2；
（2）二次函数的图象如图所示：
6．（2010?双鸭山）已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；
∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：
，
解得；
∴y=﹣x2﹣2x+3．
（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，
∵﹣x2﹣2x+3=0，
∴x1=﹣3，x2=1；
∴与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），
∴S△PAB=×4×3=6．
7．（2008?徐州）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，﹣5）
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
8．（2008?镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．
【解答】解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）
把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）
解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）
（也可设y=a（x﹣1）2+k）
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）
∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）
（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．（6分）
9．（2010?梧州）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：
﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；
已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：
，解得；
∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；
（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．
10．（2010?金华）已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移4个单位．【解答】解：（1）由已知，有，即，解得
∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵﹣=1，=﹣4．
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴应把图象沿y轴向上平移4个单位．
11．（2008?清远）已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点（1，﹣5）．
（1）求c的值；
（2）求函数图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵点（1，﹣5）在y=x2+2x+c的图象上，
∴﹣5=1+2+c，
∴c=﹣8．
答：c的值为﹣8．
（2）由（1）得函数的解析式为y=x2+2x﹣8，
令y=0，则x2+2x﹣8=0，
解方程得：x1=﹣4，x2=2．
故函数与轴的交点坐标为（﹣4，0），（2，0）．
12．（2007?天津）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；
由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；
解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；
∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．
（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．
13．（2007?广州）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）
∴AO=1，OB=4，
AB=AO+OB=1+4=5，
∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）；
（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（﹣1，0），（4，0），则：
，
解方程组，得
∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5
∵a=﹣＜0
∴当x=﹣=时，y有最大值==；
解法2：
设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）
∵点C（0，5）在图象上，
∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣，
∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）
∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），
∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=
∵a=﹣＜0
∴当x=时，y有最大值y=﹣=．
14．（2005?南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）三点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得：；
则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
15．（2005?双柏县）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
∵二次函数图象经过三点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），
∴．
∴这个二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x；
（2）∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
∴这个二次函数的对称轴为x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，1）．
16．（2003?广东）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．
【解答】解：
（1）把（0，1），B（2，﹣1）两点代入y=x2+bx+c，
得
解得b=﹣3，c=1；
（2）由（1）知二次函数为y=x2﹣3x+1 ①
把x=﹣1代入①，得y=1+3+1≠2；
∴点P在（﹣1，2）不在此函数图象上．
17．（1999?河南）已知一个二次函数的图象经过点（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13），求这个二次函数的解析式．【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
把三点分别代入得（1）a+b+c=﹣1，（2）c=1，（3）a﹣b+c=13，
（1）（2）（3）联立方程组解得a=5，b=﹣7，c=1，
故这个二次函数的解析式y=5x2﹣7x+1．
18．（2000?温州）己知二次函数y=x2+bx+c，当x=1时y=3；当x=﹣1时，y=1，求这个二次函数的解析式．【解答】解：将点（1，3），（﹣1，1）代入函数解析式得：
，
解得；
故此函数的解析式为y=x2+x+1．
19．（1999?广州）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．【解答】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，（1分）
把（﹣1，﹣5），（0，﹣4），（1，1）分别代入，
得：（3分），
解得；（5分）
∴所求的函数的解析式为y=2x2+3x﹣4．（6分）
20．（1998?武汉）已知一个二次函数的图象经过A（3，0）、B（0，﹣3）、C（﹣2，5）三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象（草图），设它的顶点为P，求△ABP的面积．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
将A、B及C坐标代入得：，
解得：，
则函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
可得对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4），
则OB=3，DP=4，OD=1，OA=3，AD=OA﹣OD=2，
画出草图，如图所示：
则S△ABP=S梯形BPDO+S△ADP﹣S△AOB=×1×（3+4）+×2×4﹣×3×3=3．
21．（1998?海淀区）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）三点．求这个函数的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．
【解答】解：将（2，5），（﹣2，﹣3），（1，0）代入得：，
解得：，
∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
22．（1997?河南）已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（3，0），（4，5）三点，求这个函数的解析式．
【解答】解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
把点（0，﹣3），（3，0），（4，5）代入得，
解得
所以所求二次函数是y=x2﹣2x﹣3．
23．（1997?辽宁）已知一个二次函数的图象经过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，求这个二次函数的解析式，并写出函数图象的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
由已知，函数图象过（0，﹣3），（﹣2，5），（﹣1，0）三点，得
．
解这个方程组得：，
∴所求解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴函数图象的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．
24．（1997?安徽）通过配方，确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：y=﹣2x2﹣5x+7
=﹣2（x2+x）+7
=﹣2（x+）2+，
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴是直线x=﹣，
顶点坐标为（﹣，）．
25．（1997?南京）已知二次函数y=x2﹣6x+4．
（1）用配方法将其化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出它的图象的顶点坐标、对称轴．
【解答】解：（1）y=x2﹣6x+4
=x2﹣6x+9﹣5
=（x﹣3）2﹣5，
即y=（x﹣3）2﹣5；
（2）顶点坐标为（3，﹣5），
对称轴为直线x=3．
26．（1997?重庆）如图，已知二次函数y=ax2﹣bx﹣c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=﹣+2，
（1）求二次函数的解析式．
（2）已知点P在二次函数的图象上，且有S△PAB=8，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意，设二次函数为y=a（x﹣1）2+4，
令y=0，解得：x=1±，
故A的横坐标为x=1+，即|OA|=﹣+2=1+，
解得：a=﹣1，
则二次函数的解析式是
y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0，得A、B坐标为（3，0），（﹣1，0），
则|AB|=4，
设点P的坐标为（x，y），
由题意S△PAB=8，得|y|=4，
则y=±4，即4=﹣x2+2x+3或﹣4=﹣x2+2x+3，
解得：x=1或x=1±2，
故所求点P的坐标为（1，4），（1+2，﹣4），（1﹣2，﹣4）．
27．（1997?新疆）已知抛物线经过一直线y=3x﹣3与x轴、y轴的交点，并经过（2，5）点．求：（1）抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标及对称轴；
（3）当自变量x在什么范围内变化时，函数y随x的增大而增大？
（4）在坐标系内画出抛物线的图象．
【解答】解：（1）设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则由直线y=3x﹣3，令y=0，解得x=1，
则与x轴交点为（1，0），
令x=0，解得y=﹣3，
则与y轴交点为（0，﹣3）
抛物线又过点（2，5），
则，
解得：，
故所求抛物线为y=x2+2x﹣3；
（2）由x=﹣=﹣=﹣1，y===﹣4，
则抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴是直线x=﹣1；
（3）∵a=1＞0，
∴当x≥﹣1时，函数y的值随x的增大而增大；
（4）作图如图：
28．（2000?安徽）已知，二次函数y=ax2﹣5x+c的图象如图．
（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
（2）观察图象，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）根据二次函数y=ax2﹣5x+c的图象可得
（2分）
解得a=1，c=4；（4分）
所以这个二次函数的解析式是y=x2﹣5x+4；（5分）
y=x2﹣5x+4
=﹣
=，（7分）
它的图象的顶点坐标（）；（8分）
（2）当x＞，y随x的增大而增大；（10分）
当x＜，y随x的增大而减小．（12分）
注：①顶点坐标如用公式得出同样给分；
②对第（2）小题，如回答，函数y=x2﹣5x+4的图象在对称轴右侧部分，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧部分，y随x的增大而减小；也视为正确，同样给分．
29．（2000?昆明）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过0（0，0），A（1，﹣1），B（﹣2，14）和C（2，m）四点．求这个函数的解析式及m的值．
【解答】解：由题意得，
解得；
故此函数的解析式为y=2x2﹣3x．
把C（2，m）代入抛物线中，得：2×4﹣3×2=2，故m=2．
30．（2002?包头）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，0）与（2，5）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．
【解答】解：（1）把点（1，0），（2，5）代入y=x2+bx+c，
得，
解得
所以这个二次函数的解析式为：y=x2+2x﹣3
（2）由（1）知：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4
∴抛物线的对称轴为：x=﹣1
因此题目可设计为：已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0），且对称轴为x=﹣1 求这个二次函数的解析式．
二次函数解析式的确定(10种)
二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
二次函数解析式的几种求法
二次函数解析式的几种求法 初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。 一、 已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得： ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。 例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的 纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a 故 所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。 解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函
二次函数解析式的确定教案
二次函数解析式的确定教案 0.3二次函数解析式的确定 一.知识要点 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式求 解析式。 若已知二次函数图象的顶点坐标，则应用顶点式，其中为顶点坐标。 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标 二.重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。 三.教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题 例1.已知某二次函数的图象经过点A，B，c三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点c，可得，再由另外两点建立
关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点c,「? 又因为图象经过点A, B,故可得到： ???所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由c可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2.已知二次函数的图象的顶点为，且经过点 求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为，故可设，再由点确定a的值即可解：，则 ???图象过点， 即: 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标，一般设，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a
求二次函数解析式分类练习题
求二次函数解析式分类练习题 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式 类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
2、 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。 8、m 为 时，抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y
《二次函数解析式的确定》说课稿
《二次函数解析式的确定》说课稿 王焕义 尊敬的各位、老师： 大家好！很高兴能有这样一个机会与大家一起学习、交流，希望大家多多指教！今天，我说课的课题是《专题复习之二次函数解析式的确定》 教材分析：求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容 通过教学，让学生掌握：（1）已知图象上任意三点坐标的二次函数解析式；（2）已知图象的顶点和另一点的坐标的二次函数解析式；（3）已知图象与x轴的两个交点和另一点的坐标的二次函数解析式；（4）会通过对简单现实情境的分析，确定二次函数的解析式。 教学目标：
能根据具体情况确定二次函数的解析式，在学习过程中发展学生的转化、化归思维方式。 教学重点难点 重点：求二次函数的函数关系式 难点：如何选择合理的求函数解析式的方法。 4、突破重难点办法： 通过做题总结归纳待定系数法、顶点式适用的题目 二、学生分析（说学情） 从认知状况来说，学生在此之前已经学习了用待定系数法确定一次函数的关系式，对求函数解析式已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于顶点式和两根式，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 三、教法分析（说教法） 本节课主要采用师生合作的学习方式，引导学生运用类比的方式，动手解决问题。 四、教学设计（说过程） 一、导入 1、本节课一起来学习二次函数解析式的确定。二次函数的确定是历年中考的一个重要考点，更
是有些二次函数的中考压轴题后续问题得以解决的先决条件，因此，希望通过这节课的学习，每个同学都能熟练的掌握确定二次函数解析式的方法。 二、自主学习，探究新知 （一）二次函数解析式常见的几种形式 1. 二次函数解析式常见的形式有哪些？各自有何特点？一般式，顶点式，交点式， 2、每种解析式各有几个待定系数，各需几个条件？ 设计意图：通过表格回顾二次函数表示方法，为探究如何确定函数解析式服务。 (二) 典例分析 例题： 已知一个二次函数的图像经过A（-1,0）B（3,0）C（1，-4）三点，求此二次函数的解析式。 （1）学生自主完成并集体交流。 （2）学生可能有三种设法： 设一般式、设交点式、顶点式。 （3）通过比较分析发现一般式适用面广，但解法较复杂；交点式与两根式解法简单，但需要特
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法 山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉 二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。 一、二次函数常见的三种表达式： （1）一般式：y ax bx c a =++≠2 0()； （2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点； （3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。 二、利用待定系数法求二次函数关系式 (1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。 例1、已知抛物线2 y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=??-+=-??=-? 解之得1, 4,3,a b c =-??=??=-? 所以抛物线为2 43;y x x =-+- 说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解． (2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。 若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，， ，则相当于方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而2 12()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为 12()()(0)y a x x x x a =--≠． 例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式． 解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-． 又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =． 因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即2 23y x x =--． 说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号． (3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0) 例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。 解：设所求解析式为y =a (x -h )2+k ， 由已知得 y =a (x +2)2-1 ∴ a (1+2)2-1=0 1 9 a ∴= ∴()2 1219y x =+-即2145999 y x x =+-
二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2 -3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2 +bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2 +8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9的 顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23 212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2 +k.在本题中可设y=a(x+1)2 +4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-, 4)1(21 2++x 即y=-.27 2 12+ -x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数 ,122 +-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(2 2 --=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2 +bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d= a ?就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2 +8x-6. 六、识图型
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定（5） 1、已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)， 求此二次函数的解析式． 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点， 求抛物线的解析式． 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象经过（1，3），求函数解析式． 5.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1． 求a、b、c，并写出函数解析式． 6.已知二次函数为x＝4时有最小值 -3且它的图象与x轴交点的横坐标为1， 求此二次函数解析式． 7．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
8．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 25求二次函数解析式．9．二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为, 16 2的最小值为1，求m的值． 10．已知二次函数m - =6 y+ x x 11．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； (3)求△OAB的面积； 12．若抛物线沿y轴向上平移2个单位后，又沿x?轴向右平移2个单位，得到的抛物线的函数关系式为y=5（x-4）2+3，求原抛物线的函数关系式． 13.已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式. 14.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点 坐标及抛物线的函数关系式.
求二次函数解析式的基本方法及练习题
求二次函数解析式的基本方法及练习题 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。 ∴a(0－4)2－1=3 ∴a= 4 1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=4 1x 2－2x+3。
二次函数解析式的8种求法
二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．
(完整版)二次函数解析式的确定(10种).docx
二次函数解析式的确定 2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线 y=ax 2+bx+c经过A（3，0），B（2 3，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=a(x-1) ２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线 y=x 2-2ax+a 2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=4(x+a) 2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与x 轴两个交点分别为（ 3 ，0 ）,(5,0), 求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与x 轴两个交点（ 4， 0 ），（1，0 ）求抛物线 y= 1 a(x-2a)(x-b) 的解析式。2 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线y 1 x25 a x 2a 2 经过x轴上一定点Q， 22直线 y (a 2) x 2 经过点Q,求抛物线的解析式。
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2，抛物线 y= x 2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1，把抛物线 y= -2x 2向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h) 2 +k, 求此抛物线解析式。 2，抛物线y x2x 3 向上平移,使抛物线经过点C(0,2), 求抛物线的解析式 . 〈六〉距离式。 1，抛物线 y=ax 2+4ax+1(a ﹥ 0) 与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=m x 2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线 y=x 2 -2x+(m 2-4m+4) 与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距
求二次函数解析式的几种方法
沁乐教育沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名：
二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点一：二次函数的基本性质】 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】 （1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________ ；a<0，开口向________ （2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；
c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2－4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】 设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个 单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次 方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2 )(；其中抛 物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式：
二次函数专题(求二次函数的解析式)
二次函数专题 求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜． （1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式． 例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式． （2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当． 例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式． （3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便． 例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．
例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．
思路启迪一 已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题． .h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法 把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得 ?????-==?????=+--=+-. 2h ,21a .0h )31(a ,2h )33(a 22解得 .2)3x (21y 2--= 故所求解析式为 思路启迪二 由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式． 23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法 21a ,02)31(a ,)0,1(B 2= =--解得得的坐标代入把点 .2)3x (21y 2--=故所求解析式为 思路启迪三 由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程 .3a 2b =- 又知图象经过两定点，可设解析式为一 般式， .c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为规范解法 ???????=++-=++=-.0c b a 2 c b 3a 9, 3a 2b ,得根据题意 解这个方程组，得??? ????=-==.25, 3,21c b a .25x 3x 21y 2+-= 故所求析式为 思路启迪四 由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式．
确定二次函数的解析式
§5.7 确定二次函数的解析式 高密市姜庄中学 曹桂芹 一、教学目标： 1、通过确定二次函数解析式的过程，让学生体会求二次函数表达式的思想方法，培养学生数学应用意识。 2、会利用待定系数法求二次函数的解析式。 二、教学重点: 能够利用待定系数法求二次函数的解析式. 三、教学难点: 会根据已知条件，选择恰当的方法确定二次函数解析式 四、教学过程: （一）知识回顾： 二次函数的两种形式 两种函数形式：{22(()(y ax bx c y a x h k =++=-+一般式） 顶点式） （二）探索新知： 例1：已知抛物线2y ax bx c =++过（-1,0），（3,0），（0，3-2 ）三点，求此抛物线的解析式。 分析：要求二次函数解析式，已知三个点的坐标，可是一般式，列出一个三元一次方程组求 出a 、b 、c 的值即可。 教法：教师在黑板上完整的完成这个例题的解答过程，目的是为学生做好示范。 （三）练习： 1 、二次函数的图像如图所示，这个函数的解析式为（ ） 2222:-23 -2-3 :--23 :-23 A y x x B y x x C y x x D y x x =++==+=--： 2、二次函数2y x bx c =++的图像经过A(-2，-3)与B(2，5). 求：①这个二次函数的解析式 ②这个二次函数图像对称轴方程。 例2：二次函数的图像的顶点坐标是（-1，-6），并且图像经过点（2,3），求这个函数的解 析式。 分析：此题已知顶点坐标，可设顶点式，再代入求值即可。 教法：由学生上黑板板演，对照学生的解答过程，教师再补充完善，让学生清楚此类题目的 解答方法。 （四）对应练习： 1、已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92 ），且经过点
二次函数解析式习题及详解
求二次函数解析式练习题 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正 确的是（） A．abc＞0 B a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b 【答案】D 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a+b<0； ③ 4a－2b+c=0；④a︰b︰c=－1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 【答案】D 3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 解：设y=a(x-8)^2+9 且a<0 图象过点（0，1）,所以有：1=64a+9 解得：a=-1/8 则这个二次函数的关系式; y=-1/8(x-8)^2+9 5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 6.6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 7.7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.(3,0)是二次函数的一个零点对称轴x=1 则另一零点是 1-(3-1)=-1 (-1,0) 设二次函数 y=a(x-3)(x+1) 代入(2,-3) -3=a(2-3)(2+1) a=1 y=(x-3)(x+1) y=x2-2x-3 9.8.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与x轴交于点C。若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式
九年级同步第18讲：二次函数解析式的确定(教案教学设计导学案)
二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式． 1、一般式（） （1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式； （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式． 【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）．
（1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例3】已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）当x为何值时，？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 1、顶点式（） （1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标； （2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式． 【例5】抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例6】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例7】如果，，，，那么抛物线经过第__________象限． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例8】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x= 2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
用待定系数法求二次函数的解析式教案
22.1 用待定系数法求二次函数的解析式 教学目标： 知识技能 利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式 数学思考 学生了解二次函数的一般式，顶点式，交点式三种形式 问题解决 学生了解二次函数的三种形式，如何灵活的选择解析式 情感态度 在求解过程中，体会解决问题的方法，培养学生思维的灵活性 重难点： 重点：待定系数法求二次函数的解析式 难点：选择恰当的解析式求法 教学准备： 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容 教学过程： 一、忆（回顾旧知） 1、顶点式y=a(x-h) +k的五种性质。 2、一般式 y=ax2+bx+c 的五种性质。 【设计意图】 使学生更加熟练一般式和顶点式，因为它是本章的重点。 二、导（导入新课） 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得k=5，b=-2 一次函数的解析式为y=5x-2.
【设计意图】由简单到复杂，由已知到未知，由旧知到新知，符合学生认知的规律。 三、求（求解析式） 例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由已知得： 解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5 本题小结： 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c 的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 例2 已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求抛物线的解析式。 解：因为抛物线的顶点为（-1，-3）， 所以，设所求的二次函数的解析式为y=a(x＋1)2-3 因为点（0，-5 ）在这个抛物线上， 所以a-3=-5，解得a=-2 故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2- 4x－5 顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).