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中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一:面积问题

【例１】(２０09湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C （1,4),交ｘ轴于点A (３，0),交

y 轴于点B .

（1)求抛物线和直线ＡB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高ＣD 及S △CAB ；

(3）设点Ｐ是抛物线(在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ,使Ｓ△ＰＡB =

S △C ＡＢ，若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式练习】

１.(2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-２,0)，连结OA ，将线段O Ａ绕原点Ｏ顺时针旋转１20°,得到线段OB ．（1)求点B 的坐标;

（2）求经过A 、O 、Ｂ三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B ＯC 的周长最小？若存在,求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由．

（4)如果点P 是(２)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由．

图2

2.(2０１0绵阳)如图，抛物线y ＝ a ｘ2

＋ bx + ４与x 轴的两个交点分别为A （-4,0)、

Ｂ(2，０）,与y 轴交于点Ｃ,顶点为D .E (１，２）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x

轴、ｙ轴分别交于F 、G .

（1）求抛物线的函数解析式,并写出顶点Ｄ的坐标;

(２)在直线ＥF 上求一点Ｈ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在ｘ轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大？并求出最大面积．

3.（2０１2铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A,交y 轴于点B,抛物线ｙ=ax 2

+b ｘ+ｃ经过Ａ、B 、C （1，0)三点.

(1）求抛物线的解析式;

(2)若点D 的坐标为(-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标;

（3）在（２）的条件下，在ｘ轴下方的抛物线上，是否存在点E,使ΔADE 的面积等于四边形APC Ｅ的面积？如果存在，请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由

C E

D G

y O

B F

题型二：构造直角三角形

【例2】(２０10山东聊城)如图，已知抛物线y=ａx２＋bｘ+c(a≠0)的对称轴为ｘ＝１，且抛物线经过Ａ（-1,0）、C（0，-３）两点，与x轴交于另一点B.

（１)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2）在抛物线的对称轴x=1上求一点Ｍ，使点Ｍ到点Ａ的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点Ｍ的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠ＰＣB＝90o的点P的坐标.

【变式练习】

1.（２012广州)如图，抛物线y ＝与x轴交于Ａ、Ｂ两点(点A在点Ｂ的左

侧),与y轴交于点C.

(1）求点A、B的坐标；

(2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3)若直线ｌ过点Ｅ（4,０),M为直线ｌ上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形

有且只有三个时,求直线l的解析式

. E

２.(2００９成都)在平面直角坐标系ｘOy 中,已知抛物线y ＝2

(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为

3y kx =-,与x 轴的交点为Ｎ，且C ＯS∠ＢCO

＝

。（１)求此抛物线的函数表达式;

（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在,请说明理由;

(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Ｑ．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度？

３．(２012杭州) 在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数ｙ=k （x 2

+x ﹣1）的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k ）．

（1)当k=﹣２时,求反比例函数的解析式;

（2)要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求ｋ应满足的条件以及x 的取值范围;

（3)设二次函数的图象的顶点为Q ，当△AＢQ 是以ＡB 为斜边的直角三角形时,求k 的值

4.如图（1）,抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ,E （0，b )为ｙ轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、Ｃ．

(1)求点Ａ的坐标;

4>-时，上述关,求出ｂ;若不存

题型三：构造等腰三角形

【例３】如图，已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点Ａ(1，０）和点Ｂ (－3,0）,与y 轴交于点C .

（1)求抛物线的解析式；

(2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△A ＣQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Ｑ的坐标;若不存在,请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点Ｍ ,问在对称轴上是否存在点P ，使△ＣMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由．

【变式练习】

1.如图,在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m)，点B 的坐标为（n ，﹣n),抛物线经过A 、O 、B 三点,连接ＯＡ、ＯB 、ＡB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、ｎ（m

﹣２ｘ﹣3=0的两根. （１)求抛物线的解析式;

（２）若点P 为线段OB 上的一个动点(不与点O 、Ｂ重合）,直线PC 与抛物线交于D 、E 两点(点D 在y 轴右侧）,连接OD 、BD. ①当△OPC 为等腰三角形时，求点Ｐ的坐标; ②求△BOＤ面积的最大值,并写出此时点D 的坐标.

2.如图,抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且ＡC ＝BC ．

(1）写出A,B,Ｃ三点的坐标并求抛物线的解析式;

(2)探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标;不存在，请说明理由.

3.(2010黄冈）已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点Ｐ(x,y)向直线5

y =

作垂线,垂足为Ｍ，连FM （如图）． (1）求字母a,b,ｃ的值;

(2)在直线ｘ=1上有一点3(1,)4

F ,求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形；

(３）对抛物线上任意一点P,是否总存在一点Ｎ（1,t)，使P Ｍ＝PN 恒成立，若存在请求出

t 值，若不存在请说明理由.

C B

y x

0 1

题型四:构造相似三角形

【例4】(2０１1临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣２，0)，Ｂ(﹣3，3）及原点O,顶点为Ｃ.

（１）求抛物线的解析式;

(２）若点D在抛物线上,点Ｅ在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

(3）P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作ＰM⊥x轴，垂足为Ｍ，是否存在点Ｐ，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

1.（20１2天水)如图,已知抛物线经过Ａ（4,0），B（1，0）,Ｃ（０,-2）三点．

(1)求该抛物线的解析式;

(２）在直线AＣ上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.?(3)P是直线x＝１右侧的该抛物线上一动点,过P作ＰM⊥x轴,垂足为M，是否存在P点,使得以Ａ、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.

7),且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2. 如图,二次函数的图象经过点Ｄ（０,3

得的线段AB的长为6.

（１)求二次函数的解析式；

(2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小,求出点P的坐标;

(3）在抛物线上是否存在点Ｑ,使△QAB与△ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由．

【例５】(2012苏州）如图，已知抛物线y=ｘ2 - (b＋1)x+（b是实数且b>２)与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与ｙ轴的正半轴交于点C.?（1)点Ｂ的坐标为 ,点C的坐标为（用含b的代数式表示)；?(2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PＣOＢ的面积等于2b,且△PBＣ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由；?(3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO，△QＯＡ和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在,求出点Ｑ的坐标;如果不存在，请说

明理由.

?【变式练习】

1．(２012上海宝山)如图,平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3),线段AB垂直于y轴，

垂足为B ,将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D .

(1)试求出点Ｄ的坐标;

(2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，

并写出其顶点E 的坐标;

(３)在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ,使得

以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．

2．(2012上海杨浦区）已知直线1

y x =

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90?，使点A 落在点C ,点B 落在点D ,抛物线2

y ax bx c =++过点A 、D 、C ，其对称轴与直线ＡB 交于点P ，（1)求抛物线的表达式； (2）求∠POC 的正切值; (3)点M 在x 轴上，且△ＡBM 与△APD 相似，求点Ｍ的坐标。

3.(2０12宁波)如图，二次函数y =ａx 2+bx +c 的图象交x 轴于A (﹣1,0），Ｂ（２，０），交y 轴于C (0，﹣2）,过Ａ，C 画直线．

（1)求二次函数的解析式；

（2)点P在x轴正半轴上，且ＰA＝PC,求OP的长;

（3）点Ｍ在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H．①若M在y轴右侧,且△CHＭ∽△AOC(点C与点A对应)，求点M的坐标;

②若⊙M的半径为,求点M的坐标.

题型五：构造梯形

【例6】已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,０)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3

-=与边ＢC 相交于点D . (1）求点Ｄ的坐标;

(2）抛物线c bx ax y ++=2

经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；

（3）在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1.已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y ＝ａｘ２

－(a ＋1）ｘ与直线y ＝kx 的一个公共点为Ａ(4，８)．

(1）求此抛物线和直线的解析式；

（2)若点P 在线段OA 上,过点Ｐ作y 轴的平行线交（1)中抛物线于点Q ,求线段P Ｑ长度的最大值;

(3)记(1)中抛物线的顶点为M ,点N 在此抛物线上，若四边形ＡＯＭN 恰好是梯形，求点Ｎ的坐标及梯形AOMN 的面积.

2.(2011义乌）已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x =4，设顶点为点P ,与x 轴的另一交点为点B ． (1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（２)如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形?若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由；

(3)如图2,点M 是线段OP 上的一个动点(Ｏ、P 两点除外）,以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动,过点M 作直线ＭＮ//x 轴，交P Ｂ于点Ｎ. 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN . 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ,运动时间为

t 秒,求S 关于t 的函数关系式．

３.如图1，二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于Ａ、B 两点，与y 轴交于点

C （0，－１），△ABC 的面积为

. （１)求该二次函数的关系式；

(2）过y 轴上的一点Ｍ(0,m ）作ｙ轴的垂线，若该垂线与△ＡBC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;

(3）在该二次函数的图象上是否存在点Ｄ，使以A 、Ｂ、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在,求出点D 的坐标;若不存在，请说明理由.

题型六:构造平行四边形

【例７】(2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1,0）,B（３,０），C(0,—1)三点。

（1)求该抛物线的表达式；

(２)点Q在y轴上，点Ｐ在抛物线上，要使以点Ｑ、P、A、Ｂ为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点Ｐ的坐标。?

【变式练习】

1.（20１2成都）如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数（ｍ为常数）的图象

与ｘ轴交于点Ａ(﹣3，0），与y轴交于点Ｃ.以直线x=1为对称轴的抛物线y＝ax2+ｂx+ｃ(ａ,b,c为常数，且a≠０)经过A,C两点，并与ｘ轴的正半轴交于点B.

(1）求m的值及抛物线的函数表达式;

（2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AＣ的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Ｅ的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,请说明理由;

(3）若Ｐ是抛物线对称轴上使△ＡCP的周长取得最小值的点,过点Ｐ任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M１（x1，ｙ1),Ｍ２（x2,y２)两点，试探究是否为定值,并写出探究过程.

2．如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过Ａ(-4,0)、B(０,－4)、C(2,０）三点．(１）求抛物线的解析式;

(2）若点Ｍ为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MＡB的面积为S，求S关于ｍ的函数关系式,并求出S的最大值;

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Ｑ、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Ｑ的坐标.

3.(2011威海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交ｘ轴于点Ａ（﹣3,0），点B(１，0），交ｙ轴于点E(０，﹣3)．点C是点Ａ关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点Ｆ且与y轴平行.直线y＝﹣x+ｍ过点Ｃ，交y轴于D点.

(1）求抛物线的函数表达式;

(2)点Ｋ为线段ＡB上一动点,过点Ｋ作x轴的垂线与直线CＤ交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；

（3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N，使以点A，C，M,Ｎ为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标．

【例８】已知平面直角坐标系ｘOy (如图1)，一次函数3

y x =

+的图像与y 轴交于点A ,点M 在正比例函数32

y x =的图像上,且MO ＝MA .二次函数

ｙ＝x 2

+bx +c 的图像经过点A 、M . （１）求线段AM 的长；

(２）求这个二次函数的解析式；（３）如果点B 在y 轴上,且位于点Ａ下方，点C 在上述二次函

数的图像上,点D 在一次函数3

y x =+的图像上，且四边形AB

ＣD 是菱形，求点C 的坐标.

【变式练习】

1．将抛物线c １:233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线ｃ2,如图1所示. (1)请直接写出抛物线c ２的表达式;

（２）现将抛物线c １向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ,与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移ｍ个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与ｘ轴的交点从左到右依次为D 、Ｅ．

①当B 、Ｄ是线段AE 的三等分点时，求m 的值;

②在平移过程中，是否存在以点Ａ、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m 的值；若不存在,请说明理由．

题型七:线段最值问题

【例９】（2011菏泽)如图,抛物线ｙ=x 2

+bx ﹣2与x 轴交于A,B 两点，与ｙ轴交于Ｃ点,且A(﹣1，０）.

（1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2）判断△ＡＢC 的形状,证明你的结论;

（３)点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当MC+ＭD 的值最小时，求ｍ的值

【变式练习】

1．（200９山东省菏泽市)如图，已知抛物线y ＝ax 2

+bx +c 与y 轴交于点Ａ（０，3)，与x 轴分别交于B (1，０)、C (5,0)两点．（1）求此抛物线的解析式;

（2)若一个动点P 自O Ａ的中点M 出发,先到达x 轴上的某点(设为点Ｅ）,再到达抛物线的对称轴上某点(设为点Ｆ）,最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点Ｅ、点F 的坐标,并求出这个最短总路径的长.

O y

B C

2. （2011广东深圳）如图13，抛物线y=ax2+bx＋c(a≠0)的顶点为(1，4)，交x轴于A、B，交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)

（1)求抛物线的解析式?

（2）如图1４,过点Ａ的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F,其中Ｅ点的横坐标为2,若直线PＱ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、Ｈ四点围成的四边形周长最小．若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. （3）如图１5,抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线,垂足为M，过点M作直线ＭＮ∥ＢD,交线段ＡＤ于点Ｎ,连接MD，使△DＮM∽△BMD,若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由．

【能力提升】 1．(２0１1福州) 已知,如图1１,二次函数223y ax ax a =+-(

0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l :33y x =+对称.

（1)求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; (2）求二次函数解析式;

(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.

２.如图．在直角坐标系中，已知点A （0.1.)，B(4-．4)．将点B 绕点A 顺时针方向旋转9０°得到点Ｃ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． (1）求抛物线的解析式和点C 的坐标;

(2) 抛物线上一动点P.设点P 到x 轴的距离为1d ，点P 到点A 的距离为2d ，试说明

211d d =+;

(3) 在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PA Ｃ的周长有最小值，并求出△ＰAC 的周长的最小值。

x y O

A B

y O l

【例10】如图,已知直线1

y x =

+与y 轴交于点A,与x 轴交于点D ，抛物线2

y x bx c =

++与直线交于A 、Ｅ两点，与x 轴交于Ｂ、Ｃ两点，且B 点坐标为 (1，0）

。（1）求该抛物线的解析式;

（2）动点Ｐ在轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点Ｐ的坐标P 。 (3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

【变式练习】

1．如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形,ＢC ∥AD,∠BAD=9０°，ＢC 与y 轴相交于点M ，且M 是ＢＣ的中点,Ａ、Ｂ、D 三点的坐标分别是Ａ（﹣1,0)，B(﹣ｌ,2）,D （３，0）.连接DM,并把线段D Ｍ沿ＤA 方向平移到O Ｎ.若抛物线y ＝ax ２

＋bx+c 经过点D 、Ｍ、N.

（1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点Ｐ,使得P Ａ＝P Ｃ？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3)设抛物线与x 轴的另一个交点为Ｅ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|Q Ｅ﹣QC|最大？并求出最大值．