三维空间旋转
三维旋转
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
1.Roll, Pitch 和 Yaw (类似于given式变化)
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll, pitch和yaw旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。
?绕x-轴的主动旋转定义为:
这里的θx是 roll 角。
?绕y-轴的主动旋转定义为:
这里的θy是 pitch 角。
?绕z-轴的主动旋转定义为:
这里的θz是 yaw 角。
在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号γ, α, 和β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号θx, θy 和θz。
任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角θx, θy, 和θz 来刻画，并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
是在中的旋转矩阵
M仍然是det(M)=1,而且是正交的
在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。
2.角-轴表示和四元数表示
在三维中，旋转可以通过单一的旋转角θ和所围绕的单位向量方向
来定义。
这个旋转可以简单的以生成元来表达:
在运算于向量 r 上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：
角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数 Q:
这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。
3.欧拉角表示
在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的主动旋转矩阵可表达为:
进行乘法运算生成:
因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。
4.对称保持 SVD 表示
对旋转轴 q 和旋转角θ，旋转矩阵
这里的的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是θ度 Givens 旋转，就是说
三维空间的坐标点TPoint C++程序
1C++面向对象程序设计基础 【实验简介】学会用算法语言C++描述抽象数据类型，使用模板建立数据结构。理解数据结构的组成分为两部分，第一部分是数据集（数据元素），第二部分是在此数据集上的操作。从面向对象的观点看，这两部分代表了对象的属性和方法。掌握用C++描述数据结构的基本方法，即通过建立类来描述抽象数据类型。类的数据成员提供对象属性，成员函数提供操作方法，方法是公共接口，用户通过调用方法实现对属性的访问。 【实验内容】 1.定义三维空间的坐标点TPoint 2.描述三维空间的球TBall，实现其主要操作（如计算体积和表面积，输出空间坐标 等）。 【主要代码】 #include 1．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( ) A．62 7 B．637 C．647 D．657 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA A．a+b－c ?a,CB?b,CC1?c，则A1B? ( ) B．a－b+c C．－a+b+c D．－a+b－c3．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b之间的夹角?a,b?为 ( ) A．30°B．45°C．60°D．以上都不对 4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上中线长( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a与3b的数量积等于( ) A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 6．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB 取得最小值时，点Q的坐标为( ) 131123448A．(,,) B．(,,) C．(,,) 243234333D．(447,,)333二、填空题7．若向量a?(4,2,?4),b?(6,?3,2)，则(2a?3b)?(a?2b)?__________________。 8．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x?______；若a//b则x? ______。已知向量a?(3,5,1)，b?(2,2,3)，c?(4,?1,?3)，则向量2a?3b?4c的坐标为 .14．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是B1B、AB、BC的中点． （1）证明D1F⊥平面AEG； （2）求cos?AE，D1B? 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求BN的长； （2）求cos的值； （3）求证A1B⊥C1M. 三维坐标系统 《几何画板》在实现信息技术与数学课程整合中扮演着越来越重要的角色. 尽管《几何画板》在辅助函数、轨迹、平面几何、平面解析几何教学等方面发挥着重要作用, 但是在服务立体几何以及空间解析几何教学方面的功能却有待进一步开发,本节将通过构造三维直角坐标系统来实现相应功能。 一、左手直角坐标系和右手直角坐标系 通常三维图形应用程序使用两种笛卡尔坐标系：左手系和右手系。在这两种坐标系中，正x 轴指向右面，正y 轴指向上面。通过沿正x 轴方向到正y 轴方向握拳，大姆指的指向就是相应坐标系统的正z 轴的指向。图一显示了这两种坐标系统。 左手直角坐标系 右手直角坐标系 图一 图二 以右手直角坐标系为例，如图二，设M 在面xoy 上的投影为P ，点P 在轴上的投影为 A ，则,,OA x AP y PM z ===，又sin ,cos OP r z r ??==， 因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin , (02,02)cos x OP r y OP r z r θ?θθ?θθπ?π?==?? ==≤≤≤≤??=? 这样我们就可以利用球面坐标变换公式以及三角函数知识, 构造出空间直角坐标系。 二、构造方法 1．如图三，在单位圆上取两点Z 和XY ，作出点Z 对应的正弦线和余弦线，记做SF 和 CF ，再将CF 旋转90，得到Z 轴的一个单位的顶点，用红线连接，以便区分。 2．同样做出点XY 对应的正、余弦线，用ST 和CT 来标记。将ST 旋转90，得到'ST 实际上就是ST -,过这个点作SF 和Scale 点的连线的平行线，那么交y 轴的交点恰好就是 *ST SF -的大小,标记过原点到这个点的向量，将CT 点按照这个向量平移，就是X 轴的 一个单位的顶点，同样用红线标记。具体解释可以借助如图四中的相似形。 3.同样借助另一对相似三角形作出*CT SF ，也就是图五中的OA 。标记OA ，把'ST 按照向量OA 平移，就是Y 轴的一个单位的顶点。 采样点的三维空间坐标图绘制程序 d=data;%只需要从excel输入三列数据，格式为：[xi yi zi],i表示行数 x=d(:,1)%采样点坐标X值 y=d(:,2);；％采样点坐标Ｙ值ｚ＝ｄ（：，３）％采样点坐标Ｚ（海拔）值 nx=linspace(min(x),max(x),100); ny=linspace(min(x),max(y),100); [xx,yy]=meshgrid(nx,ny); zz=griddata(x,y,z,xx,yy,’v4’); surfl(xx,yy,zz); shading interp colormap(gray);https://www.wendangku.net/doc/2010752726.html,/view/e9ff9c76f46527d3240ce012.html hold on for i=1:319 for i=1:44 plot3(d(i,1),d(I,1),d(i,3),’ys’); end hold on for i=45:80 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’y+’); end hold on for i=81:146 plot3(d(i,1),d(I,2),d(I,3),’bp’); end hold on for i=147:284 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’ko’); end hold on for i=285:319 plot3(d(I,1),d(I,2),d(I,3),’r<’); end end 各重金属分布浓度等高线及采样点坐标综合分布图绘制程序； d=data;%只需从excel输入三列数据，格式为：[xi yi zi],i表示行数，ｘｉ表示采样点坐标ｘ的值，ｙｉ表示为采样点坐标ｙ值，ｚｉ为某重金属浓度值（此程序需将第三列的值更换八次运行八次得到论文中八幅各重金属浓度等高线及采样点坐标综合分布图）。 x=d(:,1);%采样点坐标x值 y=d(:,2);%采样点坐标y值 z=d(:,3);%重金属浓度值 nx=linspace(min(x)，max(x),40); ny=linspace(min(y),max(y)，40)； [xx,yy]=meshgrid(nx,ny); zz=griddata(x,y,z,xx,yy,’v4’); 第二章三维观察 1.三维观察坐标系 1.1观察坐标系 为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。 图1.1 用户坐标系与观察坐标系 依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。 图1.2 沿z v轴的观察平面 1.2观察坐标系的建立 观察坐标系的建立如下图所示： 图1.3 法矢量的定义 观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N 法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。 法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。 法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。 的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。2.世界坐标系 在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。 三维空间坐标下的速度加速度推导 如图所示，以0点为原点建立以空间直角坐标系 O-xyz,空间人一点的球坐标为（r,,），雷达坐 标（r,,）。在该点处坐标系三个单位矢量为 e r 、e 、e 也可以表示为e r 、e 、e 。r 为该点到原点的距离。 为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角，目标俯仰 为该点与原点连 线与地平面的夹角（即与xOy 平面的夹角，通常范围-90°至U 90° ）。 为该点相对0点位置矢 量在0-xy 坐标平面上的投影与 X 轴之间的夹角，目标方位 为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与 y 轴正向夹角，即指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围 为 0~360 ° ), v e r sin v cos i sin sin v j cos v e cos v sin i cos sin v j sin v e sin v i cos v j (3) e r & cos cos v v i cos j v sin k v e r v e & sin v e ⑷ &sin (1) sin i cos j sin i cos j &sin cos i sin sin j cos k &cos sin i cos j 图二极坐标下的加速a 度计算 三维空间坐标下的速度加速度推导 v v v e &cos i sin j (6) v v v k cos e r sin e (7) v v v v cos i sin j sin e r cos e (8) e v&&sin e v r cos e v(9) vv r re r (10) v v& r v r&e v r re v&r v v r&e v r r &e v r &sin e v(11) v v v v v v r e r v e v e (12) v r r& v r &(13) v r&sin v v& v v v a v& a r e r a e a e (14) a r r& r &2 r &2 sin 2 a r&& 2r&& r &2sin cos a r &&sin 2r&&sin 2r &&cos (15) r e e θe ? 图二极坐标下的加速a 度计算 如图所示，以0点为原点建立以空间直角坐标系O-xyz ，空间人一点的球坐标为（r ，θ，?） ，雷达坐标（r, α,β）。在该点处坐标系三个单位矢量为r e 、e θ、e ?，也可以表示为r e 、e α、e β。r 为该点到原点的距离。θ为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角，目标俯仰α为该点与原点连线和地平面的夹角（即与xOy 平面的夹角，通常范围-90°到90°）。?为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与X 轴之间的夹角，目标方位β为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与y 轴正向夹角，即指北向顺时针夹角（从y 轴正向向x 轴正向的夹角，范围为0~360°）， sin cos sin sin cos r e i j k θ?θ?θ=++ (1) cos sin cos sin sin e i j k θθ?θ?θ=+- (2) sin cos e i j ???=+ (3) () ()cos cos cos sin sin sin cos sin cos r e i j k i j i j θθ??θ?θ????=+-+-++ sin r e e e θ?θ?θ=++ （4） ()()sin cos sin sin cos cos sin cos e i j k i j θθθ?θ?θ?θ??=-+-+-+ cos r e e e θ?θ?θ=-+ （5） ()cos sin e i j ????=-+ （6） cos sin r k e e ?θθ=+ （7） cos sin sin cos r i j e e θ??θθ+=+（8） ()sin cos r e e e ?θ?θ?=-+ （9） r r re = （10） r r v r re re ==+ sin r v re r e r e θ?θ?θ=++ （11） r r v v e v e v e θθ??=++ （12） sin r v r v r v r θ?θ ?θ=??=??=? （13） r r a v a e a e a e θθ??==++ （14） 2222sin 2sin cos sin 2sin 2cos r a r r r a r r r a r r r θ?θ?θθθ?θθ?θ?θθ?θ?=--?=+-??=++? （ 15） r r e e e e e e αθβ? ?=?=??=? （16） r e e θ e ? 图二极坐标下的加速a 度计算 如图所示,以0点为原点建立以空间直角坐标系O-xyz,空间人一点的球坐标为(r,θ,?),雷达坐标(r, α,β)。在该点处坐标系三个单位矢量为r e v 、e θv 、e ?v ,也可以表示为r e v 、e αv 、e βv 。r 为该点到原点的距离。θ为该点相对0点位置矢量Z 轴的夹角,目标俯仰α为该点与原点连线与地平面的夹角(即与xOy 平面的夹角,通常范围-90°到90°)。?为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与X 轴之间的夹角,目标方位β为该点相对0点位置矢量在0-xy 坐标平面上的投影与y 轴正向夹角,即指北向顺时针夹角(从y 轴正向向x 轴正向的夹角,范围为0~360°), sin cos sin sin cos r e i j k θ?θ?θ=++v v v v (1) cos sin cos sin sin e i j k θθ?θ?θ=+-v v v v (2) sin cos e i j ???=+v v v (3) () ()cos cos cos sin sin sin cos sin cos r e i j k i j i j θθ??θ?θ????=+-+-++v v v v v v v v &&& sin r e e e θ?θ?θ=++v v v & (4) () ()sin cos sin sin cos cos sin cos e i j k i j θθθ?θ?θ?θ??=-+-+-+v v v v v v &&& cos r e e e θ?θ?θ=-+v v v && (5)空间三位坐标系｜三维空间坐标系变换
三维坐标系统
采样点的三维空间坐标图绘制程序1
三维坐标变换
三维空间坐标下的速度加速度推导
三维空间坐标下的速度、加速度推导
三维空间坐标下的速度加速度推导