复数的基本知识(2020年10月整理).pdf
补充复数的基本知识：
1、虚数单位
由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定
（1） 它的平方等于-1，即12?=j ；
（2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。
性质：j j =1；12?=j ；j j ?=3；14=j
一般地，对于任意整数n ，有：
14=j n ；j j n =+14；124?=+j n ；j j n ?=+34
2、复数集
定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。
通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj
a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(；
b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(；
举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？
???
???????≠=≠???=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数
定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==?+=+bj a
定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为
共轭复数。
复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z ?=
例：3j 2j,1++的共轭复数
注：b a bj a bj a 22))((+=?+
4、复数的几何表示（复平面）
任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。
用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。
复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即
复数bj a Z +=?点)b ,a (Z
矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：
相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。
(1) 矢量的大小称为矢量的模；
矢量0Z 的模r 称为复数bj a Z +=的模，记作：Z 或bj a +即:
b 22Z r +=+==a bj a
(2) 矢量的方向
以实轴的正半轴为始便，矢量所在的射线为终边的角θ，称为复数bj a Z +=的辐角。
非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差π2的整数倍。通常适合于πθπ≤
规定：要用主辐角表示复数bj a Z +=的辐角。
模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。
??
???+==b 22r b tan ααθ αθb arctan = )sin (cos θθj r bj a Z +=+= r α
θ=cos r
b
=θsin 5、复数的指数形式
欧拉公式：θθθsin cos j e j +=
例如：3sin 3cos 3π
ππ
j e j += 对于任何一个复数：
e j r j r bj a Z θθθ=+=+=)sin (cos 称为复数的指数形式 例：e j j j 33
sin 3cos 2321πππ=+=+ e j j j 35arctan 34)34
5342(3453=+=+ 7、复数的四则运算
（1）复数代数形式（bj a Z +=）的加减法
j d b c a dj c bj a )()()(±+±=+±+
复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
（2）复数代数形式的乘法
j bc ad bd ac dj c bj a )())((++?=++
按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中j 2换成-1，并且把实部、虚部分别合并。
例：j j j 51)1)(32(+?=++ j j j 617)32)(34(+=+?
（3）复数代数形式的除法
分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。 j bc ad bd ac bj a bj a bj a dj c bj a dj c b
a b a 2222))(())((+?+++=?+?+=++ 例：j j j 13
1135231+=++ （4）复数指数形式（e j r Z θ=）的乘除运算
令e r Z j θ111=；e r Z j θ222=
则e r r e r e r Z Z j j j )21(21221121θθθθ+==?
e r r e r e r Z Z j j j )21(2
1221121θθθθ?==
例：e j j j )34arctan 4(25)43)(1(+=++π
j j
j e e j j ===?++2)44(11πππ （5）复数极坐标形式（θ∠=r Z ）的乘除运算
设复数θ111∠=r Z ，θ222∠=r Z
)(212121θθ+∠=?r r Z Z
)(212
121θθ?∠=r r Z Z 8、方程根的求解
一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。
例：0672=++x x 11?=x ，61?=x ；
0222=++x x 41512,1j x ±?=
； 补充题：
1、计算下列各式，并作几何表示
（1）)21()22(j j +++
（2）)23()53(j j ??+
j j j 43)21()22(+=+++ 1.5334arctan ο==θ 5r = 在复平面上描述
j j j 3)23()53(=??+ 90ο=θ 3r = 在复平面上描述
2、计算下列各式，并化成代数形式
（1）e e j j 6
1232ππ （2）e e j j 63212ππ?? j e e e j j j 6632324612+==πππ
12
12263?==???e e e j j j πππ 3、求出下列方程的解
（1）0572=++x x 22972,1±?=x
（2）0632=++x x 21532,1j
x ±?=