河北省石家庄市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案)

2016届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷

数学（理科）A 卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项

是符合题目要求的.

1.若复数i

i z -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -1

2.已知集合}065|{2

<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则=B A ( )

A ．)3,3(-

B ．)6,3(-

C ．)3,1(-

D ．)1,3(- 3.设变量y ,满足约束条件??

???≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )

A ．1

B ．3

C ．5

26 D ．19- 4.函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(

πf 的值为( ) A ．26- B ．23- C ．2

2- D ．1-

5.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( )

A ．8

1 B ．1 C ．

2 D ．4

6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：

①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温

②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温

③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差

④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差

其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

7.过点)1,0(A 作直线，与双曲线192

2

=-y x 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．无数

8.如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,15(A 为( )

A ．4229

B ．107

C ．24

17 D ．10273

9.已知函数)2(+=x f y 的图象关于直线2-=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，|log |)(2x x f =，若

)3(-=f a ，)4

1(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >>

10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )

A ．4

B ．316

C ．3

20 D ．12

11.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )

A ．)1,0(

B ．),1(+∞

C ．]2,1(

D ．)0,1(-

12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.6)41(x

x -的展开式中常数项为 . 14.已知函数?????<<+≤<-=10),1(log 01,2sin )(2

x x x x x f π，且21)(-=x f ，则x 的值为 . 15.已知ABC ?中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4 于D ，则

CD BD 的值为 . 16.若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)

0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大

值为2

1，则m 的值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ?与ABD ?均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，

30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ?沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'，且使2'=D C .

（Ⅰ）求证：平面⊥AB C '平面DAB ；

（Ⅱ）求二面角B D C A --'的余弦值.

19.（本小题满分12分）

某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；

（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X 表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线C ：)0(22

>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . A D C

B ① 'C

B

A ②

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：直线AB 过定点.

21. （本小题满分12分）

已知b x ax e x f x +--=2)(2

（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.

（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0；

（Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.

（Ⅰ）证明：CD AE //；

（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数|1|||)(-+=x x x f .

（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.

2016届高三数学一模理科答案

一．选择题：

A 卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCB

B 11-12 BA

B 卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB

二．填空题：

13.. 516- 14. 13- 15. 6 16.

32 三、解答题：

17. 解：（I ）由已知得2351112=4+8=2010910+=10+45=1002

a a a a d a d a d ++??????， -------------------------------2分 解得112

a d =??=?，-------------------------------4分

所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，--------------------------------5分

（II ）由（I ）可知21(21)2n n n a b n -?=-?，

所以1352321123252(23)2(21)2n n n S n n --=?+?+?+???+-?+-?，①

35721214123252(23)2(21)2n n n S n n -+=?+?+?+???+-?+-?，②---------------------7分 ①-②得：352121322(222)(21)2n n n S n -+-=+?++???+--? 352121

22(222)(21)23

n n n n S -++?++???+--?∴=-………………9分 121

8(14)22()(21)2143

n n n -+-+?--?-=- 121

628(14)(63)29

n n n -+-+?-+-?=---------------------11分 21

10(65)29

n n ++-?=--------------------------12分 18. 解：（1）取AB 的中点O ，连,C O DO '，

在,RT ACB RT ADB ??，2AB =，则1C O DO '==

，又C D '= ，

∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………2分

又C O AB '⊥ ，AB OD O = ，,AB OD ?平面ABD

C O '∴⊥平面AB

D ，…………………4分

又C O '? 平面ABC '

∴平面C AB '⊥平面DAB

…………5分

（2）以O 为原点，AB ，OC '所在的直线分别为,y z 轴，建立如图空间直角坐标系，

则1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2

A B C D '-，

1(0,1,1),(0,1,1),,1)2

AC BC C D '''∴==-=- …………6分 设平面AC D '的法向量为1111(,,)n x y z = ，则11n AC n C D ?'⊥??'⊥?? ，即1100

n AC n C D ?'?=??'?=?? ，

111110102

y z y z +=?+-=，令11z =，则11y =-

，1x =

11,1)n ∴=- …………8分

设平面BC D '的法向量为2222(,,)n x y z = ，则22n BC n C D ?'⊥??'⊥?? ，即2200

n BC n C D ?'?=??'?=?? ，

222220102

y z x y z -+=?+-=，令21z =，则21y =

，2x =，

2n ∴= ………………10分

12cos ,n n ∴=== ， 二面角A C D B '--的余弦值为35105-

.……………12分 19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ，

∵5.020.010.0205.0<++?，且5.06.01)20.040.0(>=?+，

∴]5,4[∈x …………………2分

随机变量ξ的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分

()4

21645625P X ??=-== ???，625216)53()52()2(3134===C X P 625

96)53()52()2(314==-=C X P 625

216)53()52()0(2224===C X P ； 625216)53()52()2(3134===C X P ()4

38145625P X ??=== ???

…………………10分

…………………12分

20.解：（1）抛物线C 的准线方程为：2

p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm = ，即42(2)2

p p =---------------------2分 2440,2p p p ∴-+=∴=

抛物线C 的方程为2

4y x =. -------------------4分

（2）设点E (0,)(0)t t ≠，由已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+ ()1696216216814420246256256256256255EX ()=-?+-?+?+?+?=

联立24y kx t

y x =+??=?，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=

直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴?=--=，即1kt = 代入222120x x t t

-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t --------------------------------------6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则 0000010122

y t x y x t t -??=-?-???=-?+??，解得：202022121t x t t y t ?=??+??=?+?，即22222(,)11t t B t t ++-------------------------------8分 思路1：直线AB 的斜率为22(1)1AB t k t t =

≠±- 直线AB 的方程为222()21t y x t t t =

-+-，--------------------------------------10分 整理22(1)1

t y x t =-- ∴直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------11分

当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时直线AB 为1x =，过点(1,0)F .

综上，直线AB 过定点恒过定点(1,0)F --------------------------------------12分

思路2：直线AF 的斜率为22(1)1

AF t k t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111

BF t t t k t t t t -+

==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线--------------------------------------10分

当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线. --------------------------------------11分 ∴直线AB 过定点F .--------------------------------------12分

21. 解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2x

g x e a '=-

因为0a >，令0()0g x '=，0ln 2x a =

所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；

当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分

则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a f x g x g a e a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x > ()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-

当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增

当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减

所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分

（Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立

令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x

g x e a '=-

因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，

又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =---------------------6分

则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；

所以02min 000()()20x

f x f x e ax x b ==--+>恒成立.........(1) 且00220x

e ax --=...........(2) 由（1）（2）,000

02

0000002(1)2(1)22x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------------8分

又由（2）00

202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分 令()(1),(0,ln 2)2

x x

m x e x x =-+∈ ()n x =1()(1)12

x m x x e '=-+ 1()02

x n x xe '=>， 所以021)0()(>=

>n x n ，所以()m x 单调递增， 1)1()0()(0-=-=>e m x m ，

22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=

所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分

法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分

现证明0b =时，()0f x > 求2()2x f x e ax x =--的最小值即可

令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x

g x e a '=-

因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，

又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =

则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减； 0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；

所以02min 000()()2x f x f x e ax x ==-- .(1)

且00220x

e ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22

x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00

202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分

现在求函数()(1),(0,ln 2)2

x x

p x e x x =--∈的范围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=--，01()02

x q x xe '=-<， 所以02

1)0()(<-=

02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分

所以=0b 是符合条件的. -------------12分

选做题：

22.解：（I ）连接AB,

P 、B 、F 、A 四点共圆，

PAB PFB ∴∠=∠． ．

．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又 PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分

PFB AEB ∴∠=∠

//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分

（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，

由PAB ?外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，

四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，

∴OP 是该外接圆的直径. ．

．．．．．．．．．．．．7分 由切割线定理可得23927PA PC PD =?=?=．．．．．．．．．．．．．9分

OP ∴===.

∴四边形PBFA ．

．．．．．．．．．．．10分

23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2

211x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分

2C 的直角坐标方程为3x =；

．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,

PQ OP ⊥ ,PQ ∴过点A (2,0),

设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ

=+??=?为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，

可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分

代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=

， 可知/1||||||cos AQ t θ

==．．．．．．．．．．．．8分 所以

PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ

=时取等号， 所以线段PQ

长度的最小值为．．．．．．．．．．．．10分

24.解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -

，

所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分

所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，

02m ∴≤≤，

所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分

（II ）法一：综合法

222a b ab +≥

1ab ∴≤

1≤，当且仅当a b =时取等号，①．

．．．．．．．．．．．7分

又2

a b +≤ 2

1≤+∴b a ab 2

ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，2

1≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,

所以要证2a b ab +≥，只需证222

()4a b a b +≥，

即证222224a b ab a b ++≥，

22a b M += ，所以只要证22224ab a b +≥，

．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，

即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，

因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，

所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分