均值不等式的推广
基本不等式(很全面)
基本不等式 【知识框架】 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 【题型归纳】 题型一：利用基本不等式证明不等式 题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
3.3 排序不等式 自主广场 我夯基我达标 1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( ) A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a C.a3+b3+c3
均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当0
排序不等式
三排序不等式 [学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用． [知识链接] 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？ 答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案． 根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元． [预习导引] 1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和． 2．排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=
三个数的均值不等式
平均值不等式导学案2 ☆学习目标： 1.理解并掌握重要的基本不等式; 2.理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3.初步掌握不等式证明和应用 一、课前准备（请在上课之前自主完成） 1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22 2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,, 那么 . 当且仅当 时, 等号成立. 利用基本不等式求最值的三个条件 推论10. 两个正数的算术平均数 , 几何平均数 , 平方平均数 ,调和平均数 ， 从小到大的排列是: ☆课前热身： (1) 某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利 润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为),(11)6(2* ∈+--=N x x y 则每辆客车 营运多少年，其运 营的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 (2) 在算式“4130??+?O =”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步， 则这两个数构成的数对（△，〇）应为 . (3) 设+∈R x 且12 22 =+y x ，求21y x +的最大值. 二、新课导学 请你类比两个数的基本不等式得出三个数的基本不等式： 如果+ ∈R b a ,, 那么2a b +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 如果,,a b c R +∈,那么 .当且仅当 时, 等号成立. ?建构新知： 问题：已知,,a b c R +∈, 求证：3333.a b c abc ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 证明: ∵3333a b c abc ++-= 定理3 如果,,a b c R +∈, 那么3 a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 语言表述：3个数的 平均数不小于它们的 平均数 推论 对于n 个正数12,,,n a a a L , 它们的
柯西不等式与排序不等式练习题
柯西不等式练习题 1. 设a 、b 、c 为正数，求()4936++a b c a b c ?? ++ ?? ?的最小值。 2.设,,x y z R ∈且2225x y z ++=，则23x y z ++的最大值为，此时x=y=z= 3. 设,,x y z R ∈且2 2 2 4x y z ++=，则22x y z -+的最大值为，最小值 4.设,,x y z R ∈且226x y z --=，则222x y z ++的最小值为，此时x=y=z= 5.设,,x y z R ∈且233x y z -+=，则()2 221x y z +-+的最小值为，此时y= 6.设,,x y z R ∈且2280x y z +++=，则()()()2 2 2 123x y z -+++-的最小值？此时x 、y 、z 的取值？ 7.已知,x y R ∈，2 2 36x y +≤，求2x y +的最值 8设23529x y z ++=，求函数y 9.若,,,a b c d R + ∈且满足，则最大值为 证明题： 1. 设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证：2229a b b c c a a b c ++>+++++ 2. a 、b 为非负数，a+b=1，12,x x R +∈，求证：()()121212ax bx bx ax x x ++≥ 3. 若a b c >>，求证：114a b b c a c +>--- 4. 若,,a b c R + ∈，求证：32 a b c b c c a a b ++≥+++ 5. 若,,a b c R + ∈，求证：222 a b c a b c b c a ++≥++
均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数
第三讲排序不等式
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第六讲不等式的应用、参数取值范围问题 知识、方法、技能 I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ 则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和） 其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项 ),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a 由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和 n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②
均值不等式含答案
课时作业15均值不等式 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( ) x A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,
有最大值一1，无最小值.
1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分)???当x=\时， 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n
均值不等式的待定系数法
均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观点，高手直接pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子: 已知,,x y z R + ∈，求函数 2 22 xy yz u x y z +=++的最大值。 解析：取待定正数α，β，有基本不等式得： 2222222222222 22111[()()][()] 22y y y z y xy yz x x x y x y x αβαβαββαβαβαβ +=?+?≤+++≤++++令22 2211αβαβ=+= ，解得：α= β=，于是 2222222 ()) 22 xy yz x y z x y z α+≤++=++ 所以222222222() 22 x y z xy yz u x y z x y z +++=≤=++++ y ==时，等号成立。 推广：设,a b 为给定实数，,,x y z 为任意不全为0的实数，则222 axy byz x y z +++的最大值 ，最小值为。 简析：即证2222 22222 222222a y b y x z x z x y z a b a b ?+?≤+++=++++。 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足
故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大 值。 消去我们得到一个方程 此方程的最大根为我们所求的最大值 解之得 我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了 2. 设是不全为零的正实数，求的最大值 是的同我们依然可以引进参数使其满足 依据取等条件我们有 消去参数我们得到一个方程 这个方程的最大根为我们所求的目标。 解之得 呵呵扯到这里，或许你说天啊，这个方程好恐怖，是的很遗憾这个题目手工解我认为很困难解决，当然我们可以借助计算机求解这个高次方程。有了这个待定系数我们也可以冒充一回高手，你可以很轻飘飘的对这个题目来个一行秒杀。 你也可以打出这么一个让别人，啊！啊！啊！有木有的解答。 当且仅当取等。 好了，我相信通过这两个例题你对待定系数均值有了个大致的思路了，那我们开始来处理下面的几个问题吧！ 3.设是正实数，求的最小值。 解：我们考虑引进参数使其满足：
不等式证明的常用基本方法(自己整理)
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等 号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2 ＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s
高中数学柯西不等式与排序不等式
柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.
等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y = → 推广： ,,,,,)y a b c d e f R +=+∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：1 1 2x y + ≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0<
(均值不等式的推广)
均值不等式的推广: 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n≥n an a a ...21≥n/(1/a1+1/a2+…+1/an) 证明： 1. 2/]2^...2^1[n an a ++≥(a1+a2+…+an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+… +(an)^2)≥(a1+a2+…+an) ^2 /n （如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了） 柯西不等式： (a1^2 + a2^2 +...+an^2)* （b1^2+b2^2+...+bn^2）≥ （a1b1+a2b2+...+anbn ）^2 柯西不等式变式： [a1^2 + a2^+...+an^2] ×n ≥（a1+a2+...+an ）^2
得等号！！！ 2.(a1+a2+…+an)/n≥n an 1 2 a a... 琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...+xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3+...+lgan =lga1*a2*…*an 也即 lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2 a...an)^(1/n)=lg n an 2 1 a... a f(x)在定义域内单调递增，所以 (a1+a2+..an)/n≥n an 1 2 a... a
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇 在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！ 引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 u xy yz 的最大值。 x 2 y 22 z 解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得： xy yz y x y 1 [ 2 x 2 y 2 2 y 2 z 2 ] 1 2 x 2 1 2 ) y 2 2 x 2 y 2 x 2 ( ) ( ) [ ( 2 2 ] 2 令 2 1 2 1 ，解得： 4 2 ， 1 ，于是 2 2 4 2 2 2 ( x 2 xy yz 2 ( x 2 y 2 z 2 ) y 2 z 2 ) 2 xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2 所以 u 2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 2 立。 推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则 axy byz 的最大值 x 2 y 2 2 z 为 a 2 b 2 ，最小值为 a 2 b 2 。 2 2 简析：即证 2 x ay 2 z by b 2 x 2 a 2 y 2 z 2 b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。 a 2 b 2 a 2 a 2 b 2 a 2 b 2 1. 设 是不全为零的实数，求 的最大值 分析：显然只需考虑 的情形 直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数 满足
(新)高中数学柯西不等式与排序不等式
1 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 2 22|| c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 22c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式： 2222 12121 ( )n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
均值不等式的证明
均值不等式的证明设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把 对n做反向数学归纳法 首先 归纳n=2^k的情况 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。 这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到 关键是下面的反向数学归纳法 如果n成立对n-1， 你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1) 然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。 所以得证 n=2^k中k是什么范围 k是正整数 第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数 一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。 而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳， 指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。 请赐教! sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a3..an)≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 证明： 1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+..an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+..an)^2/n (1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了： 柯西不等式变式： a1^2/b1 + a2^2/b2 +...an^2/bn ≥(a1+a2+...an)^2/(b1+b2...+bn) 当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立 只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可 (2)柯西不等式 (a1^2 + a2^2 +...an^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+...anbn)^2 [竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例] 2.(a1+a2+..an)/n≥n次根号(a1a2a 3..an) (1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+...xn)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察] nf((x1+x2+...xn)/n)=nlg[(a1+a2+..an)/n]≥ f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an 也即lg[(a1+a2+..an)/n]≥1/n(lga1a2a3...an)=lg(a1a2a...an)^(1/n)=lgn次根号(a1a2..an)
高中数学专题-基本不等式
高中数学专题-基本不等式（第1课时）32 **学习目标** 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. **要点精讲** 1．基本不等式： 2 a b ab +3 (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。 2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）2 0,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2 222(,)a b ab ab a b R +吵?； （3）22 (,)2 a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄； （5）2 ( )(,)2 a b ab a b R ++Ｎ。 4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212n n n a a a a a a n ++鬃?鬃祝(n>1,n ?N)； **范例分析** 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2 a b ab +3 ， 你能解释2 a b ab +≤（,a b R + ∈）的几何意义吗？