2019届高三联合模拟考试理科数学试题
东北师大附中 重庆一中 2019届高三联合模拟考试
吉大附中 长春十一高中 理科数学试题
吉林一中 松原实验高中
本试卷共23题，共150分，共6页。时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，，
D ．{12}，
2．i 为虚数单位，复数1
i 2
+=
z 在复平面内对应的点的坐标为 A ．)11(，- B ．)11(， C ．)11(-， D ．)11(--，
3．等比数列{}n a 各项均为正数，若11a =，2128n n n a a a +++=，则{}n a 的前6项和为 A ．1365
B ．63
C ．
32
63 D ．
1024
1365
4．如图，点A 为单位圆上一点，3π
=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点)5
4
53(，-B ， 则=αcos A ．10
334-
B ．10
334+-
C ．
10334- D ．103
34+-
5．已知双曲线22
22:1(00)x y C a b a b
-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于
实轴长，则此双曲线的离心率为
A
B
C
D
．2
6．已知1536a =，433b =，25
9c =，则
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．b a c << 7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用 秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别 为5，2，则输出v 的值为 A ．64 B ．68 C ．72
D ．133
8．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边 长为1，则该三棱锥的外接球的体积为 A ．4π B ．16
3π C ．16π
D ．
323
π 9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 A ．336
B ．340
C ．352
D ．472
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下
三个命题：
①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值； ③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是 A ．3
B ．2
C ．1
D ．
11．2018年，国际权威机构IDC 发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果
的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。华为业务CEO 余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如下表：
根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是 A ．没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 B ．有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 C ．有95%把握认为使用哪款手机与性别无关 D ．以上都不对 附：
12．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过点(02)-，作斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线C 交
于A ，B 两点，直线AF BF ，分别交抛物线C 与M ，N 两点，若10AF BF
MF NF
+=，则k = A ．1 B ．2
6
C ．2
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足条件210x y x y y -??
+???
≥0≥≥，则y x 32+的最小值为 ．
14．由曲线3x y =(0)x ≥与它在1=x 处切线以及x 轴所围成的图形的面积为 ．
15．已知正方形ABCD 的边长为4，M 是AD 的中点，动点N 在正方形ABCD 的内部或其边界移动，
并且满足0MN AN ?=，则NB NC ?的取值范围是 ．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n S -是n a 和n S 的等比中项，设(1)(21)n n n b n a =-?+，则数
列{}n b 的前60项和为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生 都必须作答。22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为)cos (6
3
C a c b b -+． （1）求A ；
（2）若13b c ==，，求)6
2cos(π
-
C 的值．
18．（12分）-
2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众 志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗． 会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照 片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据 统计结果，做出频率分布直方图如下：
（1）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值 作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样 本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．
（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；
（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，
和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了 7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位
发言者的年龄落在区间[4555]，
的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望． 附：4.13180≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，
(22)0.954P X μσμσ-<<+=
)
)()()(()(2
2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19．（12分）
如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111
12
AA A B AB ===，60ABC ∠=，
1AA ⊥平面ABCD ．
（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M //平面11AA B B ；
（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1
3
？若存在，求线段CE
的长；若不存在，请说明理由． 20．（12分）
已知平面直角坐标系内的动点P 到直线1:2l x =的距离与到点(10)F ，
（1）求动点P 所在曲线E 的方程；
（2）设点Q 为曲线E 与y 轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l ，与曲线E 相交于异于 点Q 的不同两点M N 、，点C 满足2OC OQ =，直线MQ 和NQ 分别与以C 为圆心，CQ 为半径 的圆相交于点A 和点B ，求△QAC 与△QBC 的面积之比λ的取值范围．
21．（12分）
已知函数x a a x x ax x f )(2
1ln )(22
+-+
=． （1）若1-=a ，证明：0)(>x f ；
（2）若)(x f 只有一个极值点，求a 的取值范围．
（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线1C
的参数方程为x y ?
?
?=??=??(?为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14π
ρθ-=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线()2
OM π
θααπ=<<：与曲线1C 交于点M ，射线4
ON π
θα=-
：与曲线2C 交于
点N ，求2
2
11OM
ON
+
的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数3
()22(0)f x x a x a a
=-++
<． （1）若()(0)g a f =，解不等式()5g a ≥； （2
）求证：()f x ≥．
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参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题： 1．D 2．C
3．B 4．A 5． C
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 11．A
12．D
二、填空题 13．2
14．
12
1
15
．[14]- 16．60
61
-
三、解答题 17．解
（1）由题设得
)cos (63sin 21C a c b b C ab -+=
…1分 即C a c b C a cos sin 3-+=
…2分 由正弦定理得C A C B C A cos sin sin sin sin sin 3-+=， …3分 因为C A B --=π所以C A C A C sin cos sin sin sin 3+=
…4分 由于0sin ≠C 所以21
)6sin(=-πA
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