必修一函数经典例题
例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴
4411
log log m n <，
当1m >，1n >时，得4411
0log log m n
<
<，
∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得
4411
0log log m n
<<，
∴44log log n m <， ∴01n m <<<．
当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．
综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例5．求下列函数的值域：
（1）2log (3)y x =+；（2）2
2log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2
3t x =-，则03t <≤，
∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2
2
47(2)33t x x x =-+=-+≥，
当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例
6．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞
，
2()log )f x x -=
2log =-
2
log =-
2log ()x f x =-=-，
所以，()f x 为奇函数。
例7．求函数213
2log (32)y x x =-+的单调区间。
解：令2
2
3132()2
4u x x x =-+=--
在3[,)2+∞上递增，在3
(,]2
-∞上递减， 又∵2
320x x -+>， ∴2x >或1x <，
故2
32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13
2log y u =为减函数，
所以，函数213
2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。
例8．若函数2
2log ()y x ax a =--
-在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值范围。
解：令2
()u g x x ax a ==--， ∵函数2log y u =-为减函数，
∴2
()u g x x ax a ==-
-在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，
∴12(10a
g ?≥???≥
?
，解得22a -≤≤， 所以，
a 的取值范围为[22]-．
例1 已知函数2
()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x
f b 与()x
f c 的大小关系是_____．
分析：先求b
c ，的值再比较大小，要注意x x
b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．
∴函数()f x 在(]1-，
∞上递减，在[)1+，∞上递增．
若0x ≥，则3
21x
x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；
若0x <，则321x
x
<<，∴(3)(2)x x
f f >． 综上可得(3)(2)x
x
f f ≥，即()()x
x
f c f b ≥．
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2
321(25)
(25)x
x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2
2
25(1)441a a a ++=++>≥，
∴函数2(25)x
y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >
．∴x 的取值范围是14??
+ ???
，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题
例3 求函数y =
解：由题意可得2
16
0x --≥，即261x -≤，
∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，
∞．
令2
6
x t -=，则y =
又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2
061x -<≤，即01t <≤．
∴011t -<≤，即01y <≤．
∴函数的值域是[)01，
． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x
x y a
a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．
分析：令x
t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．
解：令x
t a =，则0t >，函数221x
x y a
a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．
∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，
∴
1x a a a ≤≤，即1
t a a
≤≤． ∴当t a =时，2
max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；
当01a <<时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a ≤≤
，即1
a t a
≤≤， ∴ 1t a =时，2
max 11214y a ??
=+-= ???
，
解得13a =
或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13
． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程2
23
380x x +--=．
解：原方程可化为2
9(3)80390x x
?-?-=，令3(0)x
t t =>，上述方程可化为2
98090t t --=，解得9t =或19
t =-
（舍去），∴39x
=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题
例6 为了得到函数935x y =?+的图象，可以把函数3x
y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
分析：注意先将函数935x
y =?+转化为2
35x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．
解：∵2
9353
5x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单
位长度，可得到函数935x
y =?+的图象，故选（C ）．
评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题
1、比较下列各组数的大小：
（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较
与 ；
（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若
，且
，比较a 与b ．
解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故
．
（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
（4）应有
．因若 ，则 ．又 ，故
，这样 ．又因
，故
．从而
，这与已知
矛盾．
（5）应有 ．因若
，则
．又 ，故 ，这样有 ．又
因
，且
，故
．从而
，这与已知
矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
2曲线
分别是指数函数
,
和
的图象,则
与1的大小关系是 ( ).
(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在
轴右侧令
,对应的函数值由小到大依次为
,故应选
.
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
(1)y ＝2
3
1-x ; (2)y ＝4x +2x+1
+1.
解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝2
3
1-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵3
1
-x ≠0，∴231
-x ≠1，
∴y ＝23
1-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.
(2)y ＝4x
+2x+1
+1的定义域为R.∵2x
>0,∴y ＝4x
+2x+1
+1＝(2x )2
+2·2x
+1＝(2x
+1)2
>1. ∴y ＝4x
+2x+1
+1的值域为｛y ｜y>1｝.
4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1
-9x
的最大值和最小值 解：设t=3x
,因为-1≤x ≤2，所以
93
1
≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2
+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 5、设
，求函数
的最大值和最小值．
分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，
利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设
，由
知，
，函数成为 ， ，对称轴
，故函数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，
故函数的最大值为 ．
6（9分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.
．解：
)1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1
(122a t a
t t y <<-+=，对称轴为1-=t .
当1>a
，a t =，即x =1时取最大值，略
解得 a =3 (a = －5舍去)
7．已知函数 （
且
） （1）求 的最小值； （2）若
，求
的
取值范围．
．解：（1） ， 当 即 时，
有最小值为
（2） ，解得
当 时，
；
当
时，
．
8（10分）（1）已知
m x f x +-=
1
32
)(是奇函数，求常数m 的值；
（2）画出函数
|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无
解有一解有两解
解： （1）常数m =1
（2）当k <0时，直线y =k 与函数
|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;
当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0 |13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 9．若函数 是奇函数，求 的值． ．解： 为奇函数， ， 即 ， 则 ， 10. 已知+9≤0，求函数y=（ 4 1）x-1 -4·（ 2 1 ）x +2的最大值和最小值 解：由已知得（3x ）2 -10·3x +9≤0 得（3x -9）（3x -1）≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2 而y=( 41)x-1 -4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（21 ）x +2 令t=（21）x （14 1 ≤≤t ） 则y=f （t ）=4t 2 -4t+2=4（t-2 1 ）2 +1 当t=2 1 即x=1时，y min =1 当t=1即x=0时，y max =2 11．已知 ，求函数 的值域． 解：由 得 ，即 ，解之得 ，于是 ，即 ，故所求函数的值域为 12. (9分)求函数 2 222 ++-=x x y 的定义域，值域和单调区间 定义域为R 值域（0，8〕。（3）在（-∞， 1〕上是增函数 在〔1，+∞）上是减函数。 13 求函数y ＝2 3231+-?? ? ??x x 的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y ＝u ? ? ? ??31,u ＝x 2 -3x+2，其中y ＝u ? ? ? ??31为减函数 ∴u ＝x 2 -3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2 -3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设y ＝u ? ? ? ??31,u ＝x 2 -3x+2,y 关于u 递减， 当x ∈(-∞， 2 3 )时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2 3 ，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 14 已知函数f(x)＝1 1 +-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性. 解：(1)易得f(x)的定义域为｛x ｜x ∈R ｝. 设y ＝1 1+-x x a a ,解得a x ＝-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时，方程①有解.解-11-+y y >0得-1 ∴f(x)的值域为｛y ｜-1＜y ＜1}. (2)∵f(-x)＝11+---x x a a ＝ x x a a +-11＝-f(x)且定义域为R ，∴f(x)是奇函数. (3)f(x)＝12)1(+-+x x a a ＝1-1 2 +x a . 1°当a>1时，∵a x +1为增函数，且a x +1>0. ∴1 2 +x a 为减函数，从而f(x)＝1-12 +x a ＝1 1+-x x a a 为增函数.2°当 0 1 1 +-x x a a 为减函数. 15、已知函数f （x ）=a － 1 22 +x （a ∈R ）， （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。 （1）证明：设x 1＜x 2 f （x 2 ）－f （x 1 ）=) 21)(21() 22(22 112x x x x ++-＞0 故对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） x R ∈，又f （x ）为奇函数 (0)0f ∴= 得到10a -=。即1a = 16、定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2，且)1,0(∈x 时，1 42)(+= x x x f （1）求)(x f 在[－1，1]上的解析式；（2）判断)(x f 在（0，1）上的单调性； （3）当λ为何值时，方程)( x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解. 解（1）∵x ∈R 上的奇函数 ∴ 0)0(=f 又∵2为最小正周期 ∴0)1()1()12()1(=-=-=-=f f f f 设x ∈（－1，0），则－x ∈（0，1），)(1 421 4 2)(x f x f x x x x -=+= +=--- ∴1 42)(+-=x x x f （2）设 0 ) 14 )(14() 22()22()()(2 1 122212221++-+-= -++x x x x x x x x x x f x f =0) 14)(14()21)(22(212121>++--+x x x x x x ∴在（0，1）上为减函数。 （3）∵)(x f 在（0，1）上为减函数。 ∴)0()()1(f x f f << 即)2 1,52()(∈x f 同理)(x f 在（－1，0）时，)5 2,21()(--∈x f 又0)1()0()1(===-f f f ∴当)2 1 ,52()52,21(?-- ∈λ或0=λ时 λ=)(x f 在[－1，1]内有实数解。 函数y ＝a ｜x ｜ (a>1)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)： 去绝对值，可得y ＝??? ??<≥).0()1(),0(x a x a x x ????? ????∈+∈∈+-=(0,1) x 1 42{-1,0,1} x 0 (-1,0) x 142)(x x x x x f 又a>1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝a x是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.∴应选B.