2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3

f k f ==．

取q =

k =1，2，3，4，5时，

ln ln k

q k

…，即k k q ≤， 经检验知1

k q k -≤也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15

≤216，

所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．

【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．

12．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个

12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．

（I ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （II ）记,,2n

n n

a c n

b *=

∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N

【答案】（I ）()21n a n =-，()1n b n n =+；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得

11124,333a d a d a d +=+=+，

解得10,2a d ==．

从而*

22,n a n n =-∈N ．

所以2*

n S n n n =-∈N ，，

由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得

()

()()2

12n n n n n n S b S b S b +++=++．

解得()2

121n n n n b S S S d

++=

-． 所以2*

,n b n n n =+∈N ．

（II

）*n c n =

==∈N ． 我们用数学归纳法证明．

（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；

（ii ）假设()

*n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<．

那么，当1n k =+时，

1211

22(1)(2)1

k k k c c c c k k k k k +++++<<+++222(1)211k k k k k k k

<=+=+++．

即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n ++

+<对任意*n ∈N 成立．

【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程

224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于

A ．66

B ．132

C ．-66

D ．- 32

【答案】D

【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，

所以3924a a +=-，

又396242a a a +=-=，所以612a =-，

6

1111111211()13222

a a a S ??+=

==-，故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.

14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在 上的函数 满足：当 时，

；当 时， .记函数 的极大值点从小到大依次记为 并记相应的极大值为 则 的值为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由题意当 时，22

()2(1)1f x x x x =-=--+ 极大值点为1，极大值为1，

当 时，()()32f x f x =-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，

故 . ,故 ，

设S= ， 3S= ，

两式相减得-2S=1+2( )-

∴S= ， 故选：A.

【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.

15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列 中， ，且

11

2(2)n n n n n

a a n a a --+=

+≥-，则数列 前2019项和为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】：∵

（ ），

∴()2

2

112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得： ，

∴ ，又 ， ∴ ，

可得：

．

则数列

前2019项和为：

． 故选：B ．

【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．

16．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是

按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,

36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙

衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为 A ．20% 369

B ．80% 369

C ．40% 360

D ．60% 365

【答案】A

【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,

由题意得23

(1)80

(1)(1)16480164b a b a b a b m ?-=?-+-=??++=?

,

解得125b =,20%a =,369m =． 故选A ．

【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．

17．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，

，且2123n n n a S S ++=-+，记22122log log n n n b a a -=+，则数列()

{}

21n

n b -?的前10项和为______．

【答案】200

【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+， ∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，

∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112

n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，

（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=， ∵312a a =，

∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，

∴12222n n

n a -=?=，1121122n n n a ---=?=，

∴22122log log 121n n n b a a n n n -=+=-+=-， 则数列()()

()22

1211n

n

n b n -?-=-，则

()

{}

21n

n b -?的前10项和为

()()

(

)

22222231751917S =-+-+

+-

()2412202836=?++++

200=.

故答案为200.

【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.

18．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列{}n a 中，

1111

,,(*)2019(1)

n n a a a n N n n +=

=+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1

【解析】因为11

,()(1)

n n a a n n n *+=+

∈+N

所以1111

(1)1

n n a a n n n n +-=

=-++，

211

1,2a a -=-

3211

,23

a a -=-

...,

2019201811

20182019

a a -=

-, 各式相加，可得

201911

12019a a -=-

， 201911

120192019

a -=-，

所以，20191a =，故答案为1.

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 19．【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列，且245a a a =，427a =，则{}n a 的通项公式

为_______．

【答案】13-=n n a ，n *∈N .

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为245a a a =，427a =，

所以223542427a a a a q q q =

===，解得3q =，所以41327127

a a q ===， 因此，13-=n n a ，n *∈N . 故答案为13-=n n a ，n *∈N .

【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等

比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=． （I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和．

【答案】（I ）21,3n

n n a n b =+=；（II ）(

)331(2)2

n n n -++.

【解析】（I ）由11a b =，42a b =，

则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，

设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.

设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.

所以3n

n b =；

（II ）(21)3n n n a b n +=++， 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b ++

+++++

2

(3521)(333)n

n =+++++++

+(321)3(13)

213

n n n ++-=+

-3(31)(2)2n n n -=++. 【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前n 项和公式即可，属于常考题型. 21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9

a 成等比数列．

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）求数列{

}2

n n

a a 的前n 项和n T ． 【答案】（I ）n a n =；（II ）222

n n n

T +=-

. 【解析】（I ）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，

所以2319a a a =，即2

111(2)(8)a a a +=+，解得11a =.

所以1(1)n a a n d n =+-=.

（II ）123

11111232222n

n T n ????????

=?+?+?++? ? ? ? ?????????

，

2

3

1

1111112(1)22222n

n n T n n +????

????

=?+?++-?+? ? ? ? ?

????

????

，

两式相减得1

2

3

1

111111222222n

n n T n +??????????=+++

+-? ? ? ? ? ???????????

，

所以1

1

1

111112*********

n n n n n n T n +++??- ?

??

??=

-?=-

- ?

??

-. 所以222n n

n

T +=-

.

【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．

22．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31

a -是241,a a -的等比中项. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()1

1

n n n b n a a *+=

∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【答案】（I ）21n a n =+.（II ）8.

【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，6336a a d -==Q ，即2d =，

3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+， 31a -Q 是21a -，4a 的等比中项，

()()232411a a a ∴-=-?，即()()()2

111+3=16a a a ++，解得13a =. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.

（II ）由（I ）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +??

=

==- ?++++??

. 1212

n n T b b b ∴=++???+=

1111

1135572123n n ??-+-+???+- ?++??

()

1112323323n

n n ??=-= ?

++??， 由

()1

3237

n n <+，得9n <.

∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.

【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.

23．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足：

1n a ≠，()11

2n n

a n a *+=-∈N ，

数列}{n b 中，1

1

n n b a =

-，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （I ）求证：数列}{n b 是等差数列；

（II ）若n S 是数列}{n b 的前n 项和，求数列1n S ??

????

的前n 项和n T . 【答案】（I ）见解析；（II ）

21

n

n +. 【解析】（I ）

111

111

1111

21n n n n n n

b b a a a a ++-=

-

=-

-----1111

n n n a a a =-=--， ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列；

（II ）由题意可得2

214b b b =，即()()2

11113b b b +=+，所以11b =，所以1n b =，

∴(1)

2n n n S +=，∴12112(1)1n S n n n n ??==- ?++??， 11111212231n T n n ??=?-+-+?+- ?+??122111n

n n ?

?=?-=

?++?

?

. 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n 项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.