微积分基本定理
编稿:赵雷 审稿:李霞
【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。
2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】
要点一、微积分基本定理的引入
我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。
(1)导数和定积分的直观关系:
如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗?
一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b
a
v t t ?
,
即 s =
()d b
a
v t t ?
。
所以有: ()d b
a
v t t =?
s (b )-s (a )
(2)导数和定积分的直观关系的推证:
上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下:
如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间:
[t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为
1i i b a
t t t n
--?=-=
。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移
111()'()'()i i i i i b a
s h v t t s t t s t n
----?≈=?=?=
。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是
1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。
结合图,可得物体总位移
111
1
1
1
()'()n n n n
i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。
显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1
11
1
()'()n
n
i i i i v t
t s t t --==?=?∑∑与s
的近似程度就越好。由定积分的定义有
11lim ()n
i n i b a s v t n -→∞=-=∑11
lim '()n i n i b a
s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。
结合①有
()d '()d ()()b b
a
a
s v t t s t t s b s a ===-??。
上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在
区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。
一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么
()d ()()b
a
f x x F b F a =-?
。
这个结论叫做微积分基本定理。
要点二、微积分基本定理的概念
微积分基本定理:
一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b
a
f x x F b F a =-?
。
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。
其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b
a F x ,即
()d ()()()b
b
a a
f x x F x F b F a ==-?
。
要点诠释:(1)根据定积分定义求定积分,往往比较困难,而利用上述定理求定积分比较方便。
(2)设()f x 是定义在区间I 上的一个函数,如果存在函数()F x ,在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =,那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数。根据定义,求函数()f x 的原函数,就是要求一个函数()F x ,使它的导数'()F x 等于()f x 。由于
[()]''()()F x c F x f x +==,所以()F x c +也是()f x 的原函数,其中c 为常数。
(3)利用微积分基本定理求定积分
()d b
a
f x x ?
的关键是找出使'()()F x f x =的函数
()F x 。通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从
反方向求出()F x 。
要点三、定积分的计算
1. 求定积分的一般步骤是:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差; (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用牛顿―――莱布尼兹公式求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值。 2. 定积分的运算性质。
①有限个函数代数和(或差)的定积分等于各个函数定积分的代数和(或差),即
1212[()()()d ]()d ()d ()d b
b b
b
n n a
a
a
a
f x f x f x x f x x f x x f x x ±±
±=±±
±?
???。
②常数因子可提到积分符号前面,即
()d ()d b
b
a
a
kf x x k f x x =?
?。
③当积分上限与下限交换时,积分值一定要反号,即()d ()d b
a
a
b
f x x f x x =-?
?。
④定积分的可加性,对任意的c ,有
()d ()d ()d b
c
b a
a
c
f x x f x x f x x =+?
??。
3. 定积分的计算技巧:
(1)对被积函数,要先化简,再求积分。
(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再
求和。
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分。 要点诠释:
① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.因此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
② 把积分上、下限代入原函数求差时,要按步骤进行,以免发生符号错误。
③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数,其中c 为常数.
【典型例题】
类型一:利用微积分基本定理求定积分
【高清课堂:微积分基本定理385549 典型例题1】
例1.计算下列定积分 (1)
2
1
1
dx x
?
(2)312xdx ?
【思路点拨】 根据求导函数与求原函数互为逆运算,找到被积函数的一个原函数,利
用微积分基本定理求解.
【解析】(1)因为'1(ln )x x
=
,所以22
111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。
(2)
3
23
11
2|817xdx x ==-=?
【总结升华】为使解题步骤清晰,通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式
表示出来。解题格式如下:有
()d ()()()b
b
a a
f x x F x F b F a ==-?
举一反三:
【变式】计算下列定积分
(1)
1
1dx ? (2)1
xdx ?
(3)1
3
x dx ? (4)1
3
1
x dx -? 【答案】(1)1
1
1d 101x x ==-=?
(2)
1
122200
1111
d 102222x x x ==?-?=? (3)130x dx ?144401*********x ==?-?= (4)13
1x dx -?144411111(1)0444
x -==?-?-=
【高清课堂:微积分基本定理385549 典型例题2】
例2. 求下列定积分: (1)2
2
1(1)d x x x ++?
;(2)0
(sin cos )d x x x π
+?;
(3)
2
21
1()d x x x x
-+?
;
(4)0(cos e )d x
x x π-+?。 【解析】 (1)
2
2
32
22
2
2
22211
1
1
111129(1)d d d 1d 326
x x x x x x x x x x x ++=++=++=?
??
?。
(2)
000
(sin cos )d sin d cos d (cos )sin 2x x x x x x x x x π
ππ
ππ
+=+=-+=?
??。
(3)2
2
232
222222
111111111375()d d d d ln ln 2ln 223236
x x x x x x x x x x x x x -+=-+=
-+=-+=-????。
(4)
00
00
1(cos e )d cos d e d sin e
1e x
x
x x x x x x x π
ππ
π
π
π
---
--+=+=+=-
???。 【总结升华】
(1) 求函数()f x 在某个区间上的定积分,关键是求出函数()f x 的一个原函数, 要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。
(2) 求复杂函数定积分要依据定积分的性质。 举一反三:
【变式1】计算下列定积分的值: (1)
2
20
(31)x x dx -+?
, (2)(2015春 银川校级期中)1
2
1
(sin )x x dx -+?, (3)
1
80
(8)x x dx -?
【答案】
(1)22
2
3
2
00(31)()82x x x dx x x -+=-
+=? (2)1231111(sin )(cos )|3x x dx x x --+=-?33
11(1cos1)[(1)cos(1)]33=?--?---
112cos1cos1333
=-++= (3)918
01871(8)()0ln893ln 29
x x x x dx -=-=-?
【高清课堂:微积分基本定理385549 典型例题2】 【变式2】计算(1
)
1
0?
(2)1
21
x e dx --?
【答案】(1
)
1201==? (2)
1
1
22221
1
1112
22x
x
e
dx e e e -----=-=-?
【变式3】计算下列定积分
(1)2
0(1)x x dx +?; (2)2
211()x
e dx x
+? (3)2
0sin xdx π?
【答案】 (1)2(1)x x x x +=+且32
211(),()32
x x x x ''==,
∴2
2
2
2
2
2
3222
000000
3211(1)()||32
1114(20)(20).323
x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=+=?-+?-=????
(2)1(ln )x x '=
,又222()(2)2x x x e e x e ''=?=,得221()2
x
x e e '=
所以2
2222222
11
111111()|ln |2x
x x e dx e dx dx e x x x +=+=+??? 42421111
ln 2ln1ln 2.2222
e e e e =-+-=-+ (3)由(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''=?=,得1
cos 2(sin 2)2
x x '=
所以2
00001111sin (cos 2)cos 22222xdx x dx dx xdx π
π
ππ=-=-????
00111111|(sin 2)|(0)(sin 2sin 0).22222222
x x x ππππ=-=---= 类型二:几类特殊被积函数求定积分问题
例3. 求下列定积分。
(1)(2015
梧州三模)已知函数2, (0)
() (0)
x x f x x ?≤?=>
,求1()f x dx -
(2
)
x 。
【答案】(1)
1
23
π
+(2
)1) 【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时,应注意用性质
()b
a
f x dx ?
=
()c
a
f x dx ?
+()b
c
f x dx ?进行化简.
【解析】
(1
)∵函数2, (0)
() (0)
x x f x x ?≤?=>,
∴0
211
()f x dx x dx --=+?,
∵
为半径的圆的面积的四分之一,
∴1242π
π=?=,
∴0
23011
1
11
()|2323
f x dx x dx x π
π---=+=
+=+?
(2
)
x x =
20
|s i n -c o s |d x x x
π
=?
4
20
4
|sin cos |d |sin cos |d x x x x x x π
π
π=
-+-?
?
420
4
(cos sin )d (sin cos )d x x x x x x ππ
π=
-+-?
?
2
40
4
(s i n c o s )(c o s s i n 2(21)
x x x x π
π
π=+-+-。 【总结升华】
(1)对于分段函数的定积分,通常是依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分
再求和,要注意各段定积分的上、下限。 (2)计算
|()|d b
a
f x x ?
时,需要去掉绝对值符号,这时要讨论()f x 的正负,转化为
分段函数求定积分问题。
举一反三:
【高清课堂:微积分基本定理385549 典型例题3】 【变式1】求定积分:(1)
2
()f x dx ?
, 其中2,01
()5,12x x f x x ≤=?≤≤?
(2)
3
1x dx -?
;
【答案】(1)
2
1
2
1
2
210
00
1
()d 2d 5d 56f x x x x x x x =+=+=?
?? (2)
3
1x dx -?
=1
1x dx -?+3
1
1x dx -?
=
10
(1)x dx -?+3
1
(1)x dx -?
=2123
01
11()|()|22x x x x -
+- =15222
+=; 【变式2】计算下列定积分 (1)
20
|sin |x dx π
?
;(2)dx x |1|2
2
?-
【答案】
(1)(cos )sin x x '-=,∴
2220
0|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx xdx π
ππππ
ππ
=+=-?
????
20cos |cos |(cos cos 0)(cos 2cos ) 4.x x ππππππ=-+=--+-=
(2)∵0≤x ≤2,于是 ?????≤≤-≤<-=-)
10(1)
21(1|1|2
2
2
x x x x x
∴
???-+-=-2
01
02
1
2
2
2
)1()1(|1|dx x dx x dx x 2131033131??
? ??-+??? ??-=x x x x
??
? ??--??? ??-?+??? ??-=131223131132= 类型三:函数性质在定积分计算中的应用
例4.求定积分:
1
1
(cos x x dx -+?
;
【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分。 【解析】∵cos y x x =是奇函数,∴
1
1
cos 0x xdx -=?
,
∵y =
是偶函数,∴
21
1
3
2x dx -=?
?
∴2
5
1
1
3
310136(cos 02205
5x x dx x dx x -+=+=?=??
【总结升华】函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具,利用这两点能简捷地解决
定积分的有关问题,结论如下: (1)若()f x 是偶函数,则
()2()a
a
a f x dx f x dx -=??;
(2)若()f x 是奇函数,则
()0a
a
f x dx -=?
.
举一反三: 【变式1】求
3
33
(sin )x x dx -+?
的值
【答案】设()f x 3
sin x x =+, ∵()f x 是奇函数,∴3
33
(sin )0x x dx -+=?
。
【变式2】设()f x 是偶函数,若2
()2f x dx =?
,则2
2
()f x dx -=? ;
【答案】∵()f x 是偶函数,∴
2
22
()2()224f x dx f x dx -==?=?
?
【变式3】求定积分:22
22cos 2x dx π
π-? 【答案】
∵2
2cos cos 12
x
y x ==+是偶函数, ∴2
22220
022
2cos (cos 1)2(cos 1)2(sin )
22x
dx x dx x dx x x π
ππ
π
πππ--=+=+=+=+???.
微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高二年级数学(选修2-2)第一章第六节内容,本节内容共设计两个课时,这是第一课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习,它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会求简单的定积分。 (2)过程与方法目标:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 (3)情感、态度与价值观目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。(根据教材内容特点及教学目标的要求) 难点:了解微积分基本定理的含义。(根据学生的年龄结构特征和心理认知特点) ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
《应用高等数学》说课稿 1、课程定位与目标 1.1 课程定位 课程名称:应用高等数学 课程性质:公共基础课 课程定位:服务于专业课 授课对象: 大一学生各专业 前后续课程:承接初等数学,对接专业课 学时:64学时 1.2 课程目标 (1)知识目标 1)熟练掌握基本计算方法和计算工具。 2)掌握专业课学习必需的数理知识。 3)了解基本数学思想和论证方法。 (2)能力目标 1)能解决专业技术中的计算问题。 2)能应用数学思想分析问题。 3)会使用数学模型解决问题。 (3)素质目标 1)具有较好的运算能力、数据处理能力和逻辑思维能力。 2)具有一定的数学素养及数学思维。 3)具有较强的自学能力。 2、教学内容与资源 2.1 教学内容
2.2 重难点解决办法 (1)重点: 1)选择最本质的知识作为教学重点。 2)教学内容要反映学生专业发展及终身学习的需要。 3)教学内容组织要重视过程,引导学生思考、探索。(2)难点: 1)处理好直观与抽象的关系。 2)教学内容贴近学生实际,充分利用学生的直接经验。 3)教学方法要符合学生的认知发展规律。 2.3 选用教材 (1)教材:高等职业教育十三五规划教材《高等数学-理工版》。(2)教材特点: 1)内容全面,满足理工科学生的需求; 2)知识模块化,符合高职高专学生的认知规律。 2.4 其他教学条件 (1)信息化教学平台:慧道智慧课堂。
(2)图书资源:学校图书馆现有高等数学相关的文献、书籍。 (3)网络资源:网易公开课,可汗学院公开课,其他院校的公开课等网络教学资源。 2.5 教学团队 4、教学模式与设计 4.1 学情分析 2017级汽修专业和新能源专业学生的高考数学成绩在50分以下分别占85%和67%,学生初等数学基础较薄弱。但学生具有一定初等数学基础、学习态度认真、对知识的实际应用感兴趣的。 4.2 教学模式(倡导自主、合作、探究式学习) (1)知识建构模式:复习旧知识→创设情境→引入新概念→案例分析→实践练习 如函数、导数、微积分、行列式、概率统计等概念性内容。 (2)自学-辅导模式:课前预习→课中总结→例题讲解→课堂练习→课后练习如极限的计算、微积分的计算、微分方程求解等运算知识。 (3)合作-探究模式:课前任务驱动→小组合作完成→学生课中分享→教师评价→学生总结 如函数、极限、微积分、微分方程等知识的应用。 4.3 教学方法(根据不同的教学内容选择适当的教学方法) (1)概念类知识:启发法、讲授法 (2)计算类知识:案例法、讲练结合 (3)应用类知识:讨论法、自学辅导法 4.4 教学求例(定积分的教学过程)