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在一维无限深势阱中运动的粒子例题

在一维无限深势阱中运动的粒子例题
在一维无限深势阱中运动的粒子例题

在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱宽度为a,如果粒子的状态由波函数Ψ(x) =Ax(a-x)描写,A为归一化常数,求粒子能量的概率分布和能量的平均值。

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2011-04-16 20:59提问者采纳

首先得先知道坐标怎么定的,从波函数的对称性考虑,势阱应该是x=0到a处先求归一化常数A

积分(0到a)|Ψ(x)|^2 dx=积分(0到a)A^2 x^2(a-x)^2 dx=A^2*a^5/30==1 A^2=30/a^5

算出|Ψ(x)|^2 就是概率密度,阱外都是0

=积分(0到a)Ψ*(x) H Ψ(x) dx

H是哈密顿算符,这里就是-h^2/(2*pi)^2/2m d^2/dx^2

=积分(0到a)Ax(a-x) 2A h^2/(2*pi)^2/2m dx=A^2*h^2/(2*pi)^2/m *[积分(0到a)x(a-x)dx ]

=5h^2/(2 pi)^2/m/a^2

Ψ*(x) 指共轭函数,在这里就是本身。基本概念要知道,对归一化波函数|Ψ(x)| ^2 就是概率密度。

力学量的平均值=积分(Ψ*(x) F Ψ(x) dx),F是力学算符

一维无限深势阱

6.ξ一维无限深势阱 考虑一维空间中运动的粒子,它的势能在一定区域内: 0,,x x a U x a ?

,sin cos 0 sin cos 0 sin 0 cos 0 x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时,A 两式相减,得:A 两式相加,得: 因A,B 不能同时为0,否则,sin cos A x B x ψαα=+处也为0,这在物理上无意义。(物理问题对ψ的要求) 所以,得到两组解:⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解,有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有:,2,4,6 (2) n a n απ== 合并,即有:,1,2,3,4,5 (2) n a n απ==其中对⑴组,n 取奇数,对第⑵组n 取偶数,注意,n 不能取0,否则ψ=0,将2n a απ=代回12 22E μα??= ???,得体系的能量本征值为:222 2 ,8n n E n a πμ=为整数这说明,并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件,而只能取上式给出的那些分立值n E ,此时的波函数在物理上才是可接受的。 这样,我们得到:体系的能量是量子化的,即能谱是分立的。n E 称为体系的能量本征值。相应的本征波函数为:P36 第一组n ψ为偶函数,即波函数具有偶宇称 第二组n ψ为奇函数,即波函数具有奇宇称 两式合并,得n ψ 的表达式,进行归一化,得'A = 子的定态波函数为:()()(),sin 2n n iE iE t t n n x n x t e x a e a a πψ--ψ==+(n ψ,与n E 对 应关系,粒子处于1ψ态时,E 有确定值2E ) 讨论:①粒子最低能级22 1208E a πμ=≠,这与经典粒子不同,是微观粒子波

一维方势阱

2.4 一维方势阱 本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子,其势能在一定的区间内,为一负值,而在此区间之外为零,即 00,0,(),0,0,,x U x U x a x a ≤?? =-≤≤??≥? (2.76) 其相应的势能曲线如图2.6所示 图2.6 一维方势阱 下面我们就E 大于与小于零的两种情形分别讨论如下: (1)E>0的情形。 此时,描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ== (2.77) 202 22()0,l m d m E U dx φφ=+= (2.78) 22220,r r d m E dx φφ== (2.79) 式中,l m φφ与r φ分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。 为方便起见,令 22 12022 22,()。m m k E k E U = =+ (2.80) 则上述三式可改写为 2212 0,l l d k dx φφ== (2.81) 22 22 0,m m d k dx φφ== (2.82) 2212 0,r r d k dx φφ== (2.83) 其解分别为 1 1 (),ik x ik x l x Ae A c φ-'=+ (2.84) 2 2 (),ik x ik x m x Be B c φ-'=+ (2.85)

1 1 (),ik x ik x r x Ce C c φ-'=+ (2.86) 显然,C 必须为零,利用φ及其导数的连续性条件即可求得、 A C '与A 关系为 2222 1222212122()sin ,()()ik a ik a i k k k a A A k k e k k e --'=--+ (2.87) 122122212124,()()ik a ik a ik a k k e C A k k e k k e --=--+ (2.88) 从而求得其反射系数R 与透射系数T 分别为 222 2122222222 12212()sin ,()sin 4k k k a R k k k a k k -=-+ (2.89) 22 12 222222 12212 4,()sin 4k k T k k k a k k -=-+ (2.90) 由此可见,对于方势阱而言,即使是在E>0的情形下,一般而论,其透射系数T 小于1,而反射系数R 则大于零,二者之和也是等于1。 显然,在2(1,2,)k a n n π== 的特定情形下,其透射系数T 等于1。这种透射亦叫共振透射。此时,有 22 022(),m E U a n π+= (2.91) 与之相应的能量为 222 02 ,2n E U ma π=- (2.92) E n 叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时,透射系数T 与人射粒子能量E 的关系如图2.7所示。 图2.7 势阱的透射系数T 与入射能量的关系 当粒子能量E 与阱深一定时,有 0min 2 00 4() ,4()E E U T E E U U += ++ (2.93) 又当入射粒子能量与阱宽一定时,透射系数是阱深U 0的函数,且当满足 222 02 ()2n U n E ma π=- (2.94) 时,T =1。 (2)E<0的情形。 此时,粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ-= (2.95)

一维无限势阱

一维无限深势阱 定义编辑 粒子在一种简单外力场中做一维运动,其势能函数为U(X)=0 (-a

电子在一维无限深势阱中运动,用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。 按照经典概念,当外界向它提供能量时,电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。然而,按照量子力学观点,它的行为却不是这样的。 (1) 定态薛定谔方程的解 电子所受的保守力,在边界处电子所受的力无限大,指向阱内,意味着电子不可能越出阱外,由波函数物理意义可知势阱外波函数。电子在势阱内势能为零,受力为零。势阱内定态薛定谔方程为 令 方程变为

其解为 根据波函数应满足的标准化条件,波函数应在边界x=0和x=a上连续 得 应用归一化条件 求得 于是定态波函数为 (2) 能量量子化 因,合并(23.3.3)式,即得到一维无限深势阱中的电子能量

周世勋量子力学第二章知识题

第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ

212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处,波函数为 0)(=x ψ, 在a x ≤≤0处, 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+

(完整版)量子力学总结

量子力学总结 第一部分 量子力学基础(概念) 量子概念 所谓“量子”英文的解释为:a fixed amount (一份份、不连续),即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学,量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象:微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下: ○1“精细结构常数”(电磁作用常数), 1371~ 10297.73 2-?==c e ηα ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ??ηη 即:数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸:玻尔半径: 53.0~2 2 0me a η=?,一般原子的半径1?

○4速率:26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-?h ○5时间:原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率160 102.4~~?a v c ω, 即每秒绕轨道转1016圈 (电影胶片21张/S ,日光灯频率50次/S ) ○6角动量:ηηη=??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念: 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设: 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设(德布洛意关系)

“任何物体的运动伴随着波,而且不可能将物质的运动和波的传播分开”,认为物体若以大小为P 的动量运动时,则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ,h 为普朗克常数 同时满足关系ωη==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动,所以称这种波动为物质波(或德布罗意波)。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题:设一个粒子的质量与人的质量相当,约为50kg ,并以12秒的百米速度作直线运动,求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答:动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10-10m ,所以,题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数,因此,无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 (1)电子衍射实验 1926年戴维逊(C ·J ·Davisson )和革末(L ·H ·Gevmer )第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象,证实了电子的波动性,求出电子的波长λ

量子力学 一维无限深势阱

55 §2.6一维无限深势阱(Potential Well )(理想模型) 重点:一维无限深势阱中粒子运动的求解 难点:对结果的理解 实际模型:金属中电子的运动,不计电子间的相互碰撞,也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。 一、写出本征问题 势场为:? ??≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I(阱内,a x <)方程为: )x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h (1) 区域II、III(阱外,a x ≥)方程为: )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h (2) 其中∞=0U 。 波函数的边界条件是:)a ()a (II I ψ=ψ,)a ()a (III I ?ψ=?ψ (3) 二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α, 20)E U (2'h ?μ=α (4) 则:)x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ a x < (5)

56 )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h 的解为: x 'x 'II e 'B e 'A )x (αα?+=ψ a x ≥ (6) x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα?+=ψ a x ?≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==,即: x 'II e 'A )x (α?=ψ a x ≥ x 'III e ''B )x (α=ψ a x ?≤ 又由于∞=0U ,则:∞=?μ=α20) E U ( 2'h 于是:0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ,)a ()a (III I ?ψ=?ψ;x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ 则:???=+=+α?ααα?0Be Ae 0 Be Ae a i a i a i a i (9) 于是A、B 不能全为零的充分必要条件为: 0e e e e a i a i a i a i =α?ααα?, 即:0)a 2sin(=α 解之得:a 2n π =α,,....2,1,0n ±±= (10) 将其代入到???=+=+α?ααα?0Be Ae 0Be Ae a i a i a i a i ,得:0Be Ae 2 /in 2/in =+ππ? 即:B )1(A 1n +?= 代入x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ中,得:

一维无限深势阱 (2)

论文题目:一维无限深势阱简述 制作人:刘子毅(应用物理(1)) 学号:09510113

一维无限深势阱 一、引言 Hu = Eu, ,2222Eu Vu dx u d m =+- (1) 在图中Ⅰ区,-a/2a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程,V=0,(1)式成为

.2,22 2 22 mE k u k u mE dx u d =-=-= 设ax e u =,那么u a u n 2 =,代入上式, u k u a 22-= ik a ±= 所以 ikx ikx Be Ae u -++= kx D kx C u sin cos += (2) (2)式是Ⅰ区的通解。 2、一维无限深阱电子的基态 2 2 22 22 282n md h n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理:以波尔半径2 2 00m e a ε= 里德伯2024 2ε me R y =分别为长度和能量单位 能量可化为2 1 d E π 3、数值模拟 当n=1时,1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下: 设d 从0.3 3.0 include ?stdio.h ? include ?math.h ?

main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ?10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”,&e); d=d+0.3;} } d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ,纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0,能量化简为:2 1d E π = 模拟如下:

第17讲 一维无限深方势阱中的粒子

近代物理第五周学习内容第17讲一维无限深方势阱中的粒子第18讲一维方势垒势垒贯穿 第19讲简谐振子 第20讲氢原子 第21讲电子自旋

)()()()(r E r r U r m ψψψ=+?-22 2定态薛定谔方程 2 2 22 22 2 z y x ??+??+??=?

定态薛定谔方程的应用 定态条件:U = U (x ,y ,z )不随时间变化。 (1) 一维自由运动微观粒子 U = 0 (2) 一维无限深势阱中粒子 (3) 谐振子 2 22 22x m kx x U ω==)((4) 氢原子 r e r U 02 π4ε- =)(?? ?≥≤∞<<=a x x a x x U 0 0 0,)(

结论 一维无限深方势阱中粒子 氢原子 (1) 能量量子化 谐振子 )( 2 1 0 21,,,=??? ??+=n h n E n ν)()( 3 2 1 eV 6 .132 ,,,=-=n n E n )( 3 2 1 2π2 2 22,,,==n n ma E n

一维无限深方势阱中粒子 谐振子 氢原子 E a x E 1 n = 1 4E 1 n = 2 9E 1 n = 3 0 E n (eV ) r -13.6 -3.4 -1.5 E 0 E 4 E 3 E 1 E 2 ω E 2 ω (2) 能级分布图

(3)一维无限深方势阱中的粒子的定态物质波相当 于两端固定的弦中的驻波,因而势阱宽度a 必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。 λ n n= a 2 (4)能级跃迁 从基态跃迁到激发态时,所需能量称为激发能。

大学物理(下)习题精选

1. 磁场复习题 1、如图所示,一无限长载流平板宽度为a ,线电流密度(即沿x 方向单位长度上的电流)为δ,求与平板共面且距平板一边为b 的任意点P 的磁感应强度。(提示:无限长载流平板可看成许多无限长的载流直导线组成) 解:利用无限长载流直导线的公式求解。 (1)取离P 点为X 宽度为dx 的无限长载流细条,它的电流 di=δdx (2)这载流长条在P 点产生的磁感应强度 x dx x di dB o o πδμπμ22== 方向垂直纸面向里。 (3)所有载流长条在P 点产生的磁感应强度的方向都相同,所以载流平板在P 点产生的磁感应强度 ?? +===+b b a x x dx dB B o b a b ln 22πδμπ δ μο ,方向垂直纸面向里。 2、书上习题7-16 解:(1)取半径为r 的园为回路 ( ) () 2 22 22a r a b I rB -?-=ππμ π 所以, ( ) r a r a b I B 2 22 202-?-=πμ (2) ? ?= b a rdr j I π2? ?=b a rdr Kr π23 23 3a b K -?=π 因此,() 3 323a b I K -= π 又根据环路定理,???=r rdr Kr rB απμπ2203 23 30a r K -?=πμ 故有 3 33303 3023a b a r r I a r r K B --?=-? =∴πμμ

3、如图所示,长直导线中通有电流I=5A ,另一矩形线框共1000匝,宽a =10cm ,长L=20cm , 以s m v /2=的速度向右平动,求当cm d 10=线圈中的感应电动势。 解:x I B πμ20= ,设绕行方向为顺时针方向,则BLdx BdS d ==φ y a y IL x ILdx d a y y a y y +===? ? ++ln 2200πμπμφφ =-=dt d N φε) (20a y y va IL N +πμ 当cm d y 10==时 , mV 21 .0)1.01.0(2 1.02104 2.0510007=+?????=-ππε *上题中若线圈不动,而长导线中通有交变电流t i π100sin 5=A, 线圈内的感应电动势为多大? 解:同上有: y a y IL x ILdx d a y y a y y +===?? ++ln 2200πμπμφφ =-=dt d N φε t y a y t L N πππμ100cos 1 .02 .0ln 2.010********ln 100cos 25070?????-=+?-=- t π100cos 104.42-?-=V *上题中若线圈向右平动,而长导线中仍有交变电流,则线圈内感应电动势又为多大? 线圈在向右平动的同时,电流也在变化,则有 =-=dt d N φεy a y dt Ldi N +-ln 2/0πμ+) (20a y y va iL N +πμ t π100cos 104.42-?-=+t π100sin 100.23-? I

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-一维势场中的粒子】

第2章一维势场中的粒子 2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动,即 求粒子的能量本征值和本征波函数,如a=b=c,讨论能级的简并度。 解:在匣子内 即其中采用直角坐标系,方程的解可以分离变量。再考虑到边条件能量本征函数可表示为 再考虑到可以求出 粒子的能量本征值为 而归一化的能量本征函数为 对于方匣子a=b=c, 能级的简并度为满足条件的正整数解的个数。【参阅:《量子力学》,卷Ⅱ,PP.420~421,练习2】 2.2 设粒子处于一维无限深方势阱中,

证明处于能量本征态的粒子, 讨论的情况,并与经典力学计算结果比较. 证明:设粒子处于第n个本征态,其本征函数为 在经典情况下,在区域(0,a)中粒子处于dx范围中的概率为,所以 当,量子力学的结果与经典力学计算值一致. 2.3 设粒子处于一维无限深方势阱中 处于基态(n=1,见2.2节式(12)),求粒子的动量分布. 解:基态波函数

测量粒子的动量的概率分布为。 【参阅:《量子力学》,卷I,PP.87~88,练习4和练习5】 2.4 设粒子处于无限深方势阱中,粒子波函数为 A为归一化常数,(a)求A;(b)求测得粒子处于能量本征态 的概率特别是作图,比较与曲线.从来说明两条曲线非常相似,即几乎与基态完全相同, 解:(a)根据归一化条件 可得,所以 (b)用展开,, 只当n=1,3,5,…时,才不为0,特别是,非常接近于1.考虑

到归一化条件,,可知概率几乎为0,即与概率几乎完全相同. (c) 图2-1 (实线) (虚线) 2.5 同上题,设粒子处于基态(n=1),.设t=0时刻阱宽突然变为2a,粒子波函数来不及改变,即 试问:对于加宽了的无限深方势阱 是否还是能量本征态?求测得粒子处于能量本征值的概率. 解:对于加宽了的无限深方势阱,能量本征值和能量本征态分别为 可见不再是它的能量本征态,.由于势阱突然变宽,粒子波函数和能量来不及改

普通物理-量子力学习题解-第三章

第三章:一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子(见图3-1)证明并证明当时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数: (1) 先计算坐标平均值: 利用公式: (2) 得(3) 计算均方根值用以知,可计算 利用公式(5) (6)

在经典力学的一维无限深势阱问题中,因粒子局限在(0,a)范围中运动,各点的几率密度看作相同,由于总几率是1,几率密度。 故当时二者相一致。 # [2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。 [解] (甲法):根据波函数标准条件,设定各区间的波函数如下: (x<0区):(1) (0a区):(3) 但 写出在连接点x=0处连续条件 (4) (5) x=a处连续条件 (6)

(7) (4)(5)二式相除得 (6)(7)二式相除得 从这两式间可消去B,C,得到一个间的关系 解出,得 (8) 最后一式用E表示时,就是能量得量子化条件:(乙法)在0

(11)(12)相除得 (14) 写出(13)(14)的反正切关系式,得到: 或 前述两法的结果形式不同,作为一种检验,可以用下述方法来统一。试将第二法所得的量子化条件,等号左右方取其正切: 左方 此结果与第一法相同。 # [3]设质量为m的粒子在下述势阱中运动: 求粒子的能级。 (解)本题是在半区中的一维谐振子,它的薛定谔方程式

在x>0的半区内与普通谐振子的相同,在负半区中。 一般谐振子的函数ψ(x)满足薛氏方程式: (1) 作自变量变换() 并将波函数变换: 得u的微分方程:(2) 但 (3) 设(2)的解是级数:(4) 将(4)代入(2)知道,指标s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种: s=0时,(5) s=1时,(6) 为了使波函数ψ(x)满足标准条件,级数(4)必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件(波函数连续性),x=0时ψ(x)=0,即u(0)=0。因而必需取s=1,它的递推式是(6),因此如果级数(4)中断,而(4)的最高幂是n=2m,在(4)式中取s=1,,,则在(6)式中取n为最高幂时:

量子力学答案完全版

⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律: 表示,其中 。求人体热辐射的峰值波长(设体温为)。 解:,由题意,人体辐射峰值波长为:。 ⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于黑体辐射。此辐射的峰值 波长是多少?在什么波段? 解:T=2.726K ,由维恩位移定律,属于毫米波。 ⒊波长为的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时,散射X 射线的波长为多大?碰撞后电子获得的能量是多少eV ? 解:设碰撞后,光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α,由能量守恒, ,动量守恒:;;整 理得: ;联立第一式:nm c m h e 01.0;2 sin 202 01=== -λλθ λλ ; 则X 射线的波长为:01.02 sin 22 1+= θ λc m h e ;电子能量:1 λλ hc hc E e - = ⒋在一束电子束中,单电子的动能为,求此电子的德布罗意波长。 解:电子速度远小于光速,故:;则:。 5.设归一化函数: (x )=Aexp(- 2 x 2)(-)a 为常数,求归一化常数A 。 解:由归一化条件 |2 dx=1 得 A 2 = =

A= 6.设归一化波函数=A(0n为整数,a为常数,求归一化常数A 解:由归一化条件|2dx得A2=1 解得A= 7.自由粒子的波函数为 =Aexp() 其中和是粒子的动量和能量,和t是空间与时间变量,?是普朗克常数,A是归一化常数,试建立自由粒子波函数所满足的方程。 解:由=Aexp(),将其对时间求偏微商,得到 =-E,然后对其空间求偏微商,得到:=- 利用自由粒子的能量和动能的关系式:E= 就可以得到:i=---------自由粒子波函数所满足的方程 8.设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为?= 该粒子的初始波函数为=+ 设和是实数,求任意时刻的波函数及粒子的几率密度. 解:由=exp()

一维无限深势阱

一维无限深势阱 2. 判断题 题号:60821001 分值:2分 难度系数等级:1级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值,只能取分立值,即能量是量子化的。 答案:对 题号:60821002 分值:2分 难度系数等级:1级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。 答案:错 题号:60822003 分值:2分 难度系数等级:2级 在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。 答案:错 题号:60821004 分值:2分 难度系数等级:1级 在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。

答案:对 题号:60822005 分值:2分 难度系数等级:2级 微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零 答案:对 3.填空题 题号:60834001 分值:2分 难度系数等级:4级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处在基态时,在x =0 到3 a x = 之间被找到的概率 。( C x x x x +-= ?2sin )4/1(2 1 d sin 2 ) 答案:π 43 31- (或0.19) 题号:60834002 分值:2分 难度系数等级:4级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于第一激发态时,在x =0到3 a x =之间被找到的概率 。( C x x x x +-= ?2sin )4/1(2 1 d sin 2 )

答案:π 83 31+ (或0.40) 题号:60833003 分值:2分 难度系数等级:3级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于第一激发态时,在4 a x =处粒子的概率密度 。 答案:a 2 题号:60832004 分值:2分 难度系数等级:2级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(=。则粒子处于基态时各处的概率密度 。 答案:a x a π2sin 2 题号:60832005 分值:2分 难度系数等级:2级 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为a x n a x n πψsin 2)(= 。则粒子处于基态时,在4a x = 处粒子的概率密度 。 答案: a 1

无限深方势阱和有限深方势阱能量本征方程

Infinite Square Well Potential x -a a 0 U(x) ∞ ∞ 0, (), x a U x x a ?

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