初三数学数学总复习系列-圆(一)-609

初三数学数学总复习系列-圆(一)-609

圆 综合练习

【例题精选】：

例1、已知PA 切⊙O 于A , AB ⊥OP 于B , PO = 12cm, OB

= 3cm, 求PA 长。

分析: 因为有PA 切⊙O 于A , 根据切线的性质, 切线

垂直于过切点的半径, 可以得到直角三角形, 又因为AB ⊥PO 于B , 可以利用相似三角形的知识去进行计算, 再利用直角三角形去计算。

解: 连接OA

∵PA 切⊙O 于A ,

∴OA ⊥PA 于A , ∠PAO = 90?

又∵AB ⊥OP 于B

∴?ABO ∽?AOP

∴OA 2 = OB ·PO

∴OA 2 = 3×12

∴OA = 6

在Rt ?APO 中

PA OP AO =-=-==222212610863

说明: 有切线时, 经常加的辅助线是连切点与圆心, 也常利用直角三角形中的有关知识, 利用相似形的知识进行计算。

例2、PA 切⊙O 于A , 过O 的割线PO 交⊙O 于B , PA =

25, PB = 2, 求⊙O 的半径。

分析: 图中有圆O 的切线, 则可做过切点的半径, 则有直角三角形中的关系, 可设半径为x , 那么其它各直角边可用含

有x 的式子表示, 再利用方程思想, 找到等量关系列出方程, 可以求出未知数的值。

解: 连接OA ,

∵PA 切⊙O 于A ,

∴OA ⊥PA

设⊙O 的半径为R

∵PB = 2, 则PO = 2 + R

在Rt ?PAO 中, OP OA PA 222=+

∴()()R R +=+225222

∴R R R 224420++=+

解得R = 4

∴圆的半径为

4

说明: 方程思想是一种重要的数学思想, 将已知数, 未知数找到等量关系, 列出方程, 求出未知数的值, 要学会构通已知与未知的联系, 利用方程思想考虑问题。

例3、已知OA 为⊙O 的半径, C 是⊙O 上一点, CD ⊥OA

于D , B 是OA 延长线上一点, CA 平分∠BCD , 求证: BC 是⊙

O 的切线。

分析: 要证BC 是⊙O 的切线, 根据判定定理可以证BC 是切线, 因为圆上有点, 属于圆上有点, 可以连结圆心与圆上点, 证明垂直。

证明: 连结OC ,

∵CA 平分∠BCD , ∠BCA = ∠ACD ,

∵OA = OC , ∴∠OAC = ∠OCA , ∵CD ⊥AO 于D

∴∠OAC + ∠2 = 90?

又∵∠1 = ∠2

∴∠1 + ∠OCA = 90?

∴OC ⊥BC

∴BC 为⊙O 的切线。

说明: 切线的判定要看所证直线是否与圆有交点, 当有交点时, 可以用判定定理证, 因此辅助线是连接圆心与已知点, 再证明垂直关系, 若没有已知点时, 可以做垂线, 证明垂线长等于圆的半径, 即利用圆心到直线距离等于半径而判定直线与圆相切。

例4、已知?ABC 的内切圆分别与AB 、BC 、AC

内切于D 、E 、F , ∠A = 60?, BC = 6, ?ABC 周长为

16, 求DF 。

分析: 已知条件中知⊙O 与三角形三边相切, 切

点为D , E , F , 已知?ABC 周长为16, 求的DF 线段要

找到与三角形其它边的关系。可以由切线长定理找到关系。

解: ∵AB 切⊙O 于D , AC 切⊙O 于F ,

∴AD = AF ,

又∵∠A = 60?

∴?ADF 为等边三角形

∴AD = DF = AF

又∵⊙O 为?ABC 的内切圆

AB , BC , AC 切⊙O 于D , E , F

∴BD = BE , CF = CE

又∵AB + BC + AC = 16

∴AD + BD + AF + FC

+ 6 = 16

∴2DF + BD + FC = 10

∴2DF + BE + EC = 10

∴2DF = 4 ∴DF = 2

例5、直角三角形的两直角边长为a , b , 求直角三角形的内切圆半径。 分析: 直角三角形的内切圆半径与三边都垂直, 可以

利用面积的求法去求内切圆的半径, 也可以由切线长定理

分析边之间的关系而求。特别要能观察到的图形是从圆心

向两条直角边所引的垂线段中, 构成一个正方形的图形,

这对找到内切圆半径与边的关系也很重要。

解法一: 如图, Rt ?ABC 中, ∠C = 90?, AB , BC , AC 切⊙

O 于D , E , F 。设BC = a , AC = b , 连接OD , OE , OF , 设

内切圆半径为R ,

∴OD ⊥AB , OE ⊥BC , OF ⊥AC

根据面积的计算公式

()1212BC OE AC OF AB OD ab ···++=

又∵OE = OF = OD = R

∴(a + b + AB )·R = ab

AB a b =+22 ∴R ab a b a b =+++22

解法二:

∵AB , BC , AC 切⊙O 于D , E , F

由切线长定理

∴AD = AF , BD = BE , CE = CF

又∵OE = OF = R ∠FCE = 90? ∠OFC = ∠OEC = 90?

∴OECF 为正方形,

∴EC = FC = R

AB = BD + AD = BE + AF = a －R + b －R

a b a b R 222+=+- ∴222R a b a b =+-+ ∴R a b a b =+-+222

说明: 直角三角形的内切圆半径计算是很有用的, 可以记住本题的推导方法, 也可以记住有关的结论, 对于解决直角三角形内切圆的问题很有帮助。运用面积去思考问题, 是个很好的思路, 因为内切圆半径是分割成的三角形的高, 因此可以用面积去思考。

例6、等腰三角形ABC 内接于⊙O , AB = AC , 过B , C 分别作⊙O 的切线, 这两切线相交于D , 若∠BDC = 100?, 求∠ABC 的度数

分析: 由切线长定理, 可知BD = CD , 则可求得∠CBD ,

∠BCD 度数, ∵∠CBD 为弦切角, 根据弦切角定理的推论, 可求

得∠BAC 的度数, 则可求得∠ABC 的度数。

解: ∵BD 、DC 为⊙O 的切线,

∴DB = DC

又∵∠BDC = 100?,

∴∠CBD = ∠BCD = 40?

∴∠BAC = ∠CBD = 40?

又 、∵AB = AC ∴()∠=?-?=?ABC 12

1804070

例7、已知, 如图, 菱形ABCD 的边长为5, 对角线AC ,

BD 交于O , 且AO , BO 长分别是方程

()()x m x m 221410--+-=的两个根。求m 的值及菱形ABCD

内切圆的面积。 分析: 这是一道代数, 几何知识的综合题, 若求内切圆

的面积, 应当求出内切圆的半径, 菱形的对角线互相垂直, ∠AOB = 90?, 连圆心与切点后, 根据切线的性质, 又与切线垂直, 这样根据这些关系可求出圆的半径, 进而求出圆的面积。

解: ∵AO , BO 长是()()x m x m 221410--+-=的根

∴AO + BO = 2m －1

AO ·BO = 4(m －1)

又∵∠AOB = 90? ∴AO BO AB 222+=

∴()AO BO AO BO +-=2225·

∴()()21241252m m --?-=

解得m 1 = －1, m 2 = 4

∵当m = －1时, AO + BO < 0不合题意舍去。

∴m = 4

设切点为E , 连OE , ∴OE ⊥AB

∴AB ·OE = AO ·BO ∴OE AO BO AB ==·125

∴S ⊙O = πππOE 2212514425=??? ???=。

初三数学圆的经典讲义

圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C

初三圆经典练习题

圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm 例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3 ,2 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（） A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 11.如图，已知在ABC ?中，? = ∠90 A，A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长． 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝ 13、△ABC中，AB=AC=10，BC=12 14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P 条数为＿＿。 1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____ B P A O

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么

初中圆教学设计

初中圆教学设计 蕲春思源学校王礼斌 教学目的：理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系，培养学生用数形结合思想方法分析解决问题的能力 教学重点、难点：圆的定义的理解 教学关键：理解两点：①在圆上的点，都满足到定点(圆心)的距离等于定长(半径); ②满足到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点，在以定点为圆心，定长为半径的圆上。 教学过程： 一、复习旧知： 1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释) 2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的? 二、讲授新课： 1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。

分析归纳圆定义： 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O 2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出： ①圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径) ②到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心， 定长为半径的圆上。由此得出圆的定义： 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。 3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4、初步掌握圆与一个集合之间的关系： ⑴已知图形，找点的集合 例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，

初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E

初中数学圆 经典练习题(含答案)

圆的相关练习题（含答案） 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ 答案：1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ， AE=ED B

初三圆的典型例题

圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD 相交于点E ，在不添加 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B A O C

【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC ?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H B D C E A O

新初中数学圆的经典测试题含答案

新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是( ) A ．勒洛三角形是轴对称图形 B ．图1中，点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误； 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解． 2．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为

(完整)初三数学有关圆的经典例题

初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；

（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?

九年级上册圆经典题型汇编

九年级上册圆经典题汇总 1、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 2、（2013?黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）

3、（2013?毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（） A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30° 4. （2013台湾、17）如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE 与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（） A．5 B．6 C． D． 5、（2013?苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧

的弧长为．（结果保留π） 6、（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C 的大小为（度）． 7、(2013年广东省9分、24)如题24图,⊙O是Rt△ABC的外接 圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 8. （2013?湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长； （2）求证：PB是⊙O的切线．

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圆典型例题精选 【例题 1 】如图所示， AB 是圆 O 的一条弦， OD AB ，垂足为 C ，交圆 O 于点 D ，点 E 在 圆 O 上．（1）若 AOD 52o ，求 DEB 的度数； E （ 2 ）若 OC 3 ， OA 5 ，求 AB 的长． O AC B D 【例题 2 】如图，线段 第 1 题图 AB 经过圆心 O ，交圆 O 于点 A,C ，点 D 在圆 O 上，连接 AD ， BD ， ∠ A= ∠ B=30 度． BD 是圆 O 的切线吗？请说明理由． 【例题 3 】已知 AB 为 ⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB ⊥ CD 于点 E ．连接 AC 、 OC 、 BC ． A （ 1 ）请说明： ∠ ACO= ∠ BCD ． （ 2 ）若 EB=8cm ， CD=24cm ，求 ⊙ O 的直径． O E C D B 【例题 4 】如图，梯形 ABCD 内接于 ⊙ O ， BC ∥ AD ， AC 与 BD 相交于点图E 9 ，在不添加任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若 BD 平分 ∠ ADC ，请找出图中与 △ ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外） ． 【例题 5 】如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90°， AC=5 ，BC=12 ， ⊙ O 的半径为 3． （ 1 ）若圆心 O 与 C 重合时， ⊙O 与 AB 有怎样的位置关系？ （ 2 ）若点 O 沿线段 CA 移动，当 OC 等于多少时， ⊙ O 与 AB 相切？

人教版九年级上数学教案：24.1 圆 第一课时

24．1 圆 第一课时 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB； AC ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆

初三圆经典例题新

有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。 132O AB AC BAC 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE === =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132cos cos ∠OAE AE OA ==22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于 E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE A F FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =1 2 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==21 2

∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??AB ∴，∴，∴，∴22 22AF AB AF AB AF CD AF CD >>>?>? ∴AB CD ?>?2 ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 则DE CD CE ?=?=?12 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ?>??>? 2∴选A 。 例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD == =1 4 1 求CD 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD == =1 4 1

初三圆的经典例题

有关圆的经典例题 １. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示, 过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == =323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===13 2 cos cos ∠OAE AE OA ==2 2 ∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°, 当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示， 同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证:△ＡBC 是直角三角形；

()22 求的值AD BC 分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线; （2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2== 例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>??

人教版初中数学圆的经典测试题附答案

人教版初中数学圆的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ?，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．24π- B ．242π- C ．243π- D ．244π- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设 O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴 影的面积． 【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°， ∵6AB =，10AC =， ∴BC=8， 连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， 设O e 的半径为r ， ∵O e 内切于ABC ?， ∴OH=OE=OF=r ， ∵11 ()22 ABC S AB BC AB AC BC r =?=++?V ， ∴ 11 68(6108)22r ??=++?， 解得r=2， ∴O e 的半径为2， ∴21 68-2 224-4ABC O S S S ππ=-=???=V e 阴影， 故选：D ．

【点睛】 此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴22 OC BC ，

初三数学圆的概念和性质

?考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是________ 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ____________ ;圆又 是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分_________ ，并且平分_________________ ;平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分__________ . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一 组量_____ ，那么它们所对应的其余各组量都分别__ 5. 同弧或等弧所对的圆周角_________ ，都等于它所对的圆心角的_____ __ 6. 直径所对的圆周角是__________ ，90°所对的弦是. ?典例精析 例1如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 10,若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,贝U AC的长等于( ) 5.2 CD= 10，弦AB= 8, AB丄CD垂足为M贝U DM勺长为 例3 (贵州贵阳)如图，已知AB是OO的直径，点C在OO上, 且AB=13, BC=5. (1)求sin / BAC 的值； (2)如果ODLAC,垂足为点D,求AD的长; (3)求图中阴影部分的面积. 初三数学同步训练圆的有关概念与性质zha ng 例2如图，O O的直径 B. 5

6. 一根水平放置的圆柱形输水管 道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8米，最深处 ?迎考精练 、选择题 1.如图，O O 是厶ABC 的外接圆，已知/ B = 60°，则/ CAO 勺度数是（） 1, AB 是O 0的一条弦，且 AB= 3，则弦AB 所对圆周角的度数 为 3.如图，O P 内含于O 0,0 0的弦AB 切O P 于点C ,且AB// 0P. 若阴影部分的面积为 9 ，则弦AB 的长为（ A . 3 B 4. 如图, △ ABC 内接于O 若/ 0AB= 28 ° , 则/ C 的大小为（ A. 28° 56° C. 60° .62° △ ABC 内接 于O 0 连结0A 0B 若/ AB0= 25° ，则/C 的度数为（ ） 5.如图, B . 60° C . 65° .70° C . 45° D . 60° C.30 或 150° D.60 °或 120° .30° ()

初三数学圆经典例题

．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：

例 2 ．已知，如图， CD 是直径， EOD 84 ，AE 交⊙ O 于 B ，且 AB=OC ，求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB ∥CD ，AB=6cm ， CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多 少？ 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ，已知 AE=6cm ， EB=2cm, CEA 30 ， 求 CD 的长． 例 6. 已知：⊙ O 的半径 0A=1，弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数． 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ；②点在圆上 d=r ；③点在圆内 d

初三数学-有关圆的经典例题

初三数学有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， （1）求证：△ABC是直角三角形； 分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；

（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA 例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

∵ 在△AFB中，有AF+FB>AB ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE ∴选A。 例 4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长 AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD

(完整版)很全面的初三数学上册圆的知识点总结(1),推荐文档

《圆》章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内；?d r ?A 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离无交点； 2、直线与圆相切有一个交点；?d r >??d r =? 3、直线与圆相交有两个交点； ?d r +??d R r =+相交（图3） 有两个交点；内切（图4） 有一个交点；??R r d R r -<<+??d R r =-内含（图5） 无交点 ； ??d R r <-周1 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； A

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧AB AB CD ⊥CE DE =BC =BD AC =AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥O AB CD ∴弧弧AC =BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1 推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②； AOB DOE ∠=∠AB DE =③；④ 弧弧OC OF =BA =BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ∠ACB ∠AB ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、弧都是所对的圆周角O C ∠D ∠AB ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径 或∵O AB 90C ∠=? ∴ ∴是直径 90C ∠=?AB 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵ABC OC OA OB == ∴△是直角三角形或ABC 90C ∠=? 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 D B A B A

初三圆经典例题

有关圆的经典例题 1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2.如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， （1）求证：△ABC 是直角三角形； 分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线； （2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA 例3.如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（） 分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ??2 解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ， ∵AF FB AF FB ?=?=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB ∴选A 。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE 在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴选A 。 例4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。 分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD 例5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ? 于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。