将军饮马问题

将军饮马问题

路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题

1.两点之间，线段最短；

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；

4.垂线段最短.

1.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小

解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,

PA+PB的最小值即为线段AB的长度

理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，

在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP

∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

2.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧

要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）

解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，

点P即为所求；

理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，

由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则

需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3.

已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；

理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′，

连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

即︱P′A-P′B︱<︱PA-PB︱

4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两

点到l的距离不相等）

要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大

解：作点B关于直线l的对称点B′，连接B′A并延长交

于点P，点P即为所求；

理由：根据对称的性质知l为线段BB′的中垂线，由中垂

线的性质得：PB=PB′，要使︱PA-PB︱最大，则需

︱PA-PB′︱值最大，从而转化为模型3.

典型例题1-1

如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分

别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，

点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.

【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连

接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△

CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾

股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.

【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，

解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，

∴CD 为△BAO 的中位线，∴CD ∥x 轴，且CD=21

AO=3，

∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，

D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，

∴点P 的坐标为（﹣ ，0）．在Rt △CDD ′中，

CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.

【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变

化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析

式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.

典型例题1-2

如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B

的坐标为（ ，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最

大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.

【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，

连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的

交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，

再用两点之间的距离公式求此最大值.

【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC

的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223

)2()1(-++=241

；

【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.

变式训练1-1

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），

OB=4 ，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短

时，点P 的坐标为（ ）

A ．（0，0）

B ．（1， ）

C ．（ ， ）

D ．（ ， ） 变式训练1-2

如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，

BD=2,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的

最小值为__________.

变式训练1-3

如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于

A、E两点，与x轴交于

B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.

1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

AP+PQ的值最小.

解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此

时，AP+PQ最小；

理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，

AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当

AQ⊥ON时，AQ最小.

2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

AP+PQ的值最小.

解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON

于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；

理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，

只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型1

3.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；

要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使

△APQ的周长最小

解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对

称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点

P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值

即为线段A1A2的长度；

理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周

长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线

时，其值最小.

4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；

要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形

APQB的周长最小

解：作点A关于直线OM的对称点A′，作点B关于直线

ON的对称点B′，连接A′B′交OM于P，交ON于Q，

则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的

最小值即为线段AB和A′B′的长度之和；

理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA′,将

QB转化为QB′，当A′、P、Q、B′四点共线时，

PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.

5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定

点，（直线AB不与m垂直）

要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.

分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使

P、Q“接头”，转化为基本模型

解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至

点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点

Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即

为所求，此时AP+PQ+BQ最小.

理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，

当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即

AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.

6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a

(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小

分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，

使P、Q“接头”，转化为基本模型

解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A′，使

AA′=PQ=a,连接A′B交直线l于点Q，在l上截取

PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时

AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即A′B+a

理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′，

当A′、Q、B三点共线时，QA′+QB最小，即PA+QB

最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小. 7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a

(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）

要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小

分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点

关于l的对称点，转化为上述模型3

解：作A点关于l的对称点A′，将点A′沿着平行于l

的方向，向右移至A ′′，使A ′A ′′=PQ=a ，连接A ′′B

交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段

PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为

A ′′B+AB+PQ ，即A ′′B+AB+a

典型例题2-1

如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段

AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．

【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再

过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，

借助等面积法和相似可求其长度.

【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，

其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，

∴AC=22BC AB +=55，

等面积法求得AC 边上的高为5

5510?=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴

，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．

【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作

定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的

对称点易解.

典型例题2-2

如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是

射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）

A ．

B ．

C ．6

D ．3

【分析】符合拓展模型3的特征；作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，

连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，此时△PMN 周长最小，其值为CD 长；根据对称性

连接OC 、OD ，分析条件知△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求

底边CD.

【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，

∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，

∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，

则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，

CH=OH=，∴CD=2CH=3．

即△PMN周长的最小值是3；

故选：D．

【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的

等腰三角形，是解题的关键，也是难点.

典型例题2-3

如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直

线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，

∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P

为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x

轴对称，连接BP、E′M．

（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；

（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.

【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；

（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为

直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；

【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，

∴OD=2?tan60°=2，∴A（﹣2，2），

∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，

∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）

（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，

∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，

∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边

形OPME′是平行四边形

∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，

∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，

∴P（2，）．

【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.

典型例题2-4

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别

为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按

顺时针方向旋转90°，得到△COD．

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F

的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、

F两点的坐标．

【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.

【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐

标是（0，2），D点的坐标是（4，0），

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

4a-2b+c=0

由题意，得 16a+4b+c=0

c=4

解得a=-，b=1，c=4，

∴所求抛物线的解析式为y=-2；

（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1，

将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点

A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式

为y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,)，点F的坐标为(1,)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.

变式训练2-1

几何模型：

条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：

（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．

（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．

（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．

（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．

变式训练2-2

如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且

DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边

和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长

的最小值是___________.

变式训练2-3

如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距

离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动

点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时

PA+BQ= ．

变式训练2-4

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．

第1题第2题第3题

2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△

ADE的周长最小时，点E的坐标是（）

A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）

3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =3

1S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距

离之和PA+PB 的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．5

D ．

4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x

轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（

，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

第4题 第5题

5.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）

A ．

B ．

C ．5

D ．

第6题 第7题 第8题

7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．

8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．

9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

第9题第10题

第11题

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动

点，则CE+EF的最小值为（）

A．B．C．D．6

11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC

的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）

A．6B．10 C．2D．2

12.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是

形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．

13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，

连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．

（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，

①证明：AE⊥DE；

②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．

16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c

的图象交x轴于另一点B．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；

（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．

17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y

轴交于点C．

（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1

（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=

他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；

②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点

D的坐标：；

拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平

分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图

方法，并求出周长的最小值．

20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛

物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．

（1）求直线y=kx+b的函数解析式；

（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．

21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且

点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．

将军饮马问题讲定稿版

将军饮马问题讲 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|| -最小． AM BM 4、如图，正方形ABCD中，8 AB=，M是DC上的一点，且2 DM=，N是AC上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值． 5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。 6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

将军饮马问题教学文案

将军饮马问题

第一讲将军饮马问题 学习要点与方法点拨 一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。 （2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。 （3）将军饮马问题与勾股定理。 二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次 函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。 课前预习 轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。 模块精讲 一、将军饮马问题的概念和基本思路 起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程 中，走过的路程最短？ 精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。 A

初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问 题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？ 那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？ 例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回 到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？ 草地 O M 例1图例2图 二、将军饮马与坐标系 例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点， 求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。 ①两段折线→作一次对称→转化折线

将军饮马问题讲义

将军饮马问题 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河." 诗中隐含着一个有趣的数学问题? 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走 才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传? 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓 轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以 快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 5?如图，点A是/ MON 外的一点，在射线ON上作点P, 使PA与 点P到射线0M的距离之和最小

6..如图，点A是/ MON 内的一点，在射线 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点 首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是 动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。 下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题： 1.如图，抛物线y=ax+bx+c 经过A( 1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 11 C V L 【分析】(1)设交点式为y=a (x- 1) (x- 4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛 4 物线解析式为y=—x2-——x+3; 4 4 (2)先确定抛物线的对称轴为直线x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性 得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可.

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

将军饮马问题(讲)

类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 上的某一位置 Q ,然后立即返回校场 Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短. OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即 将军饮马问题 fl M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B N .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和 【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河 A OA 边的距离之和最小 P 到

练习 1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由. I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON 于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（ 6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等. 7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最 小值时， A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 求/ APB 的度数 . 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为

将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型 ?知识点睛 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 一、定直线与两定点 模型作法结论 A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最小. PB

二、角到定点 模型 作法 结论 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 PCD ?周长最小. 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 MN PN +最小. 点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小. 点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小. 点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.

点Q P 、分别在AOB ∠的边 OB OA 、是，在OA 上找一点 M ，在OB 上找一点N ,使得 MQ MN PN ++最小. 二、两定点一定长 模型 作法 结论 如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =. 如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为 d ，在21l l 、上分别找N M 、两 点 ， 使 1 l MN ⊥，且 NB MN AM ++最小.

将军饮马问题

将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

将军饮马问题例题及应用

射频神经疼痛治疗仪 页脚内容1 将军饮马问题例题及应用 一， 简介 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有 趣的数学问题． 诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？” 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． 二，例题 1， 基本类型问题 问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？ 解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求． 2， 与其他类型问题相结合 问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得P A +PB 的值最小．解法：作 点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题 如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边A B 的中点，P 是A C 边上的一动点， 则P B+P E 的最小值为（ ）； 解答：作点B 关于A C 的对称点B ′，连接B ′E 交A C 于P ， 此时PB+P E 的值最小．连接A B ′． A B ′=A B=√A C 2+BC 2=√22+22=2√2 A B=√2∵∠ B ′A C=∠BA C=45°∴∠B ′A B=90°∴PB+PE 的最小值 =B ′E=√B ′A 2+A E 2=√(2√2)2+(√2)2=√10

《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案 一、问题背景： 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？ B·营地 A·山峰 河流 这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了 二、引用“饮马问题”： 将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题： 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B·镇 A·镇 L 三、教学方法的探究：

当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。 设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计： 甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究： B A L C C′ A′ B′ （1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。 （2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。 （3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。 这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。 四、妙用饮马问题： 利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问

“将军饮马”模型详解与拓展

“将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿 营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型【1】一定直线、异侧两定点 直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直 线l于点P，点P即为所求点 模型【2】一定直线、同侧两定点 直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的 相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示， AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两 定点问题） 第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离 最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短

模型【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P， 使得AP+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB最小 模型【4】一定点、两定直线 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小 解答： 策略：两次翻折 第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B （根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间， 线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短） 拓展 如果两定点、两定直线呢？ “如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点 A，B。使四边形PAQB的周长最小” 问题升级： 问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。 6. 如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。

二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。 2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ____。 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值。

Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3 D．6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。

离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距

、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值

Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中涉及将军饮马问题题型总结 题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马 【真题链接1.】（2017?天津） 如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( ) A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC 【解析】 解：如图连接PC ， AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=， PB PE PC PE ∴+=+， PE PC CE +， P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ． B B

【真题链接2.】（2020?天津一模） 如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( ) A ．1 B ．2 C D ． 【解析】 解：如图， 连接BE 交AD 于点P '， ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线， P B P C ∴'='， P E P C P E P B BE '+'='+'=， 根据两点之间线段最短， 点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长． BE == 所以P E P C '+' 故选：C ． B B

【真题链接3.】（2019秋?东至县期末） 如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【解析】解：连接AD ，AM ． ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥， 11 41622 ABC S BC AD AD ?∴= =??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线， ∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=， AD AM MD +， AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴?的周长最短11 ()84821022 CM MD CD AD BC =++=+ =+?=+=． 故选：C ． A A

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______°

人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义

将军饮马问题 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 将军饮马故事 “将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题” 原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？ 模型一：一条定直线，同侧两定点 在直线l的同侧有两点,在L上求一点P，使得值最小。 一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。 理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到’P。所以’。这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离1=2千米，1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ 模型二：一条定直线，一定点，一动点? A ? B ? B ? A ? A’?B’ ? A’ ? B’ L L ?A ?B

将军饮马问题地11个模型及例题

将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

将军饮马问题拓展

“将军饮马问题”的探究与启示 【摘要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较多学生解题的“障 碍”问题，现通过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”，利用“两点之间线段最短” 加以证明，同时对数学教育工作者提出了启示。 【关键词】轴对称最小值问题探究问题启示 【正文】 一、问题再现 基本问题：人教版八年级数学上册P42有一道探究题，源于古希腊著名的“将军饮马问题”， 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题。课文原题如下：如图1，要在燃气管道 l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最 短？ 课本给出了如下的作图及证明方法： 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置. 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结A C′，B C′，B′C′，因为直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B= C′B′，∴AC+CB=AC+C B′=A B′ .在△A C′B′中，∵A B′＜A C′+ C′B′，∴AC+CB＜A C′+ C′B′即AC+CB最小. 反思：本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的 两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其 中C在A B′与l的交点上，即A、C 、B′三点共线）。本问题可归纳为“求定直线上一动点与 直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型。 二、问题探讨 1、在三角形（或四边形）中的运用：已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点。则DN+MN的最小值为多少？ 分析：要求DN+MN的最小值，联想“将军饮马问题”，作点M关 于AC的对称点E，且易知点E应该在线段BC上，这样MN=NE，那么 题目就转化成求DN+NE的最小值了，由于点N在AC上移动且D、N、 E可能构成一个三角形，因为“两点之间线段最短”，所以，当点N移动 到DE与AC交点处，即点D、N、E共线时，DN+NE=DE=10，达到最小 值。

初中数学：将军饮马问题习题

将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。 A B l 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使PA PB 最大。 A 作点 B 关于直 线l 的 对称点 B′，连 接AB′ 交直线 于点 P，点P 即为所 求作的 点。 连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。 模型 1 定直线与两定点 模型 A l 作法结论 PA+ PB 的最 小。 PA+PB 的最小 值为AB′。 PA PB 的最大 值为AB。

l B 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。 作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA PB 的最 大值为AB′。B

模型实例 例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。 例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为 CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 D C B

中考培优竞赛专题经典讲义第9讲最值问题之将军饮马问题

第10讲 最值问题之将军饮马问题 最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压 轴位置。 模型讲解 【基本模型】 问题：在直线I 上找一点P ,使得FA + PB 的值最小 解析：连接AB ，与直线I 交点即为点P （两点之间线段最短） 【拓展模型1】 问题：在直线/上找一点P ,使得PA + PB 的值最小 【练习】 1、尺规作图：在直线 MN 上找一点P ,使得/ APN = Z BPN .（保留作图痕迹） A ■ 甘 ----------------------- jV 【模型拓展2】 1、如图，已知点 P 为定点，定长线段 AB 在直线MN 上运动，在什么位置时， PA = PB 最小? J F M / V T ! y 打 M. 弋厂一'青 ◎…皿 ----------------- ° * f ;/ 思维转化：将线段 AB 移动，点P 不动，理解为线段 AB 不动，点P 在直线CD 上移动，将模型转化为 最基本 模型 【模型拓展3】 问题：J MON 内一定点A ,点P 、Q 分别为0M 、ON 上的动点，求△ APQ 周长的最小值. PA + PB 的最小值即为线段 BA 的长 度. I 的交点即为点P ,此时

基本结论: ① 厶A 1OA 2必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA 的长. ② / A I OA 2= 2/ MON . 四边形ABPQ 周长最小的模型，最小值即为线段 AB + A' B'的长度和. 【模型拓展4】 问题：求AB + BC + CD 的最小值问题 解析：作点A 关于ON 的对称点A'，点D 关于OM 的对称点D ',连接A' D '，最小值即为线段 A' D' 的长度. （作点A 和点D 的对称点的过程中，也可以直接将 OM 、ON 整个对称过去，使得图形更加完整 ） 【模型拓展5】 MN 垂直两平行线，求 AM + MN + NB 的最小值模型. A l 、A 2,连接A I A 2，与ON 、OM 交点即为Q 、P ,线段A I A 2的长 度即为△ APQ 周长的最小值.