微积分练习题及答案

微积分练习题及答案

微积分练习题及答案

微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、求导练习题

1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。

答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 3

2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。

答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)

3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。

答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)

二、定积分练习题

1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。

答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/3

2. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。

答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 4

3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。

答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1

三、微分方程练习题

1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解微分方程dy/dx = e^x。

答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。

3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。

答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。所以

通解为y = (C1 + C2x)e^(-x)，其中C1和C2为常数。

四、泰勒展开练习题

1. 求函数f(x) = sin(x)在x = 0处的二阶泰勒展开式。

答案：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)，f''(x) = -sin(x)。代入泰勒展开公式，得到f(x) ≈ x - (x^3)/6。

2. 求函数g(x) = ln(1 + x)在x = 0处的三阶泰勒展开式。

答案：g(x) = ln(1 + x)，g'(x) = 1/(1 + x)，g''(x) = -1/(1 + x)^2，g'''(x) = 2/(1 + x)^3。代入泰勒展开公式，得到g(x) ≈ x - (x^2)/2 + (x^3)/3。

以上是一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。通过

不断练习，我们可以更好地理解微积分的概念和方法，提高解题的能力。同时，希望大家在学习微积分的过程中保持耐心和坚持，相信只要付出努力，就一定

能够取得好的成绩。加油！

(完整版)微积分综合练习题及参考答案

综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- （3）函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2 +=x x f （4）若函数⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ．答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x

C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C （5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D （6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 答案：B （7）函数2 33 )(2 +--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：41 21lim )2)(2()1)(2(lim 4 23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3 29 lim 223---→x x x x 解：2 3 4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 332 23==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：3 2 12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 442 24=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 综合练习题2（导数与微分部分）

微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() ()0000lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() ()0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()() ()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()() ()0000 2 12lim x f h x f h x f h '= -+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．2 1sin lim x x x → B ．1 2lim 2 +-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →6 3 221 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,11 0,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0

微积分练习题(含答案)

练习题 第六章 定积分 1． 1 1()(2)(0)x F x dt x t = - >? 的单调增加区间为_____. 1 (,)4+∞ 2． 函数0 ()x t F x te dt -=? 在点x =____处有极值. 0 3．设sin 2 01()sin ,()sin 2 x f x t dt g x x x = =-?，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x = 4．计算35 2322 0sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx π π?-=? 5．计算 2 1 1ln e dx x x +? . 2(31)- 6.求函数dt t t x x I )ln 1(1 )(-= ? 在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值() 341 2-e ，最小值0 7.设函数??? ??≥=<<-+01 2cos 110 )(2x x x xe x f x ，计算 ? -4 1 )2(dx x f . () 11tan 2 1 4-+e 8. 2 sin ( )x t dt t π'=?( C ) (其中2x π >). (A) sin x x (B) sin x C x + (C) sin 2x x π- (D) sin 2x C x π -+ 9. 设()f x 是连续函数,且 3 ()x f t dt x =? ,则(8)f =_____. 1 12 10. x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim -+?→=___1__ ； ) 1ln(cos lim 20 2x tdt x x +?→=__1__ .

微积分练习题带答案

微积分练习题带答案 微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。 1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。 答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 3 2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。 答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x) 3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。 答案：h'(x) = 2/x 4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。 答案：i'(x) = x^2 5. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。 答案：j'(x) = -x^2 6. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。 答案：k'(x) = e^x * sin(x) 7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。

答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数) 8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。 答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数) 9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。 答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数) 10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。 答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数) 以上是一些微积分练习题及其答案。通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。因此，通过大量练习和理解微积分的概念和原理，可以帮助我们在实际问题中应用微积分知识，提高解决问题的能力。 希望以上练习题及其答案对你的微积分学习有所帮助。在学习微积分的过程中，多做练习题、思考问题、探索规律，加深对微积分的理解，相信你会取得不错的成绩。

微积分试卷及答案6套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰ ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

(D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若ƒ(x )的导函数是2 -x ，则ƒ(x )有一个原函数为 ( ) 。 x

《微积分》各章习题及详细答案

第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)( lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。 3、函数?????=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。 5、??? ? ???>=<+=0 1cos 00 0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。

《微积分》各章习题及详细答案

第一单元 函数与极限 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2 (sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01 sin lim 0 =→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0 ,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)( lim =-+∞ →x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim 22=--++∞ →x x n 。 14、设8)2( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

微积分一练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．()()()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 12lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 10lim → D ．()x x x x +-∞ →632213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数⎪⎩ ⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案 一、选择题 1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？ A. -1 B. -4 C. -3 D. 0 答案：C 2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？ A. y = 1 - x B. y = x - 1 C. y = e - x D. y = x - e 答案：A 3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？ A. 12 B. 10 C. 14

D. 16 答案：C 二、填空题 1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为 ________。 答案：27 2. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为 _________。 答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5 三、解答题 1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。 解答步骤： 首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。 然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。 由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。 2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。 解答步骤： 首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。

微积分习题及答案

微积分习题及答案 微积分习题及答案 微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。它是现代科学和工程 领域中不可或缺的工具。在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分， 通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。下 面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。 一、极限习题 1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x) 解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。 2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x 解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。 二、导数习题 1. 求函数f(x) = x^2的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。所以函数f(x) = x^2的导数为2x。 2. 求函数f(x) = e^x的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。 三、积分习题 1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。 解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C 为常数。

2. 求∫(sinx + cosx)dx。 解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。 四、微分方程习题 1. 求解微分方程dy/dx = 2x。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。 2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。 通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。同时，通过解决实 际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。微 积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。

微积分考试题库(附答案)

85 考试试卷（一） 一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ⎰ dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．⎩ ⎨⎧>+≤+=0,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线⎩⎨⎧==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ； （C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（ ）。 （A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰ dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ

86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=⎰)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1． 求与两条直线⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π； （2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分 （1）⎰dx x sin ； （2） ⎰ +dx x sin 21 （3）⎰+dx x x e ln 11 2； （4）⎰--+2/12 /111dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设32 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。 （2）⎩ ⎨⎧+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 （3）x x x y sin )1(+=，求dy 。 （4）设a y x =+ ，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1 (,0)1()0(===f f f ，证明： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f

《微积分》各章习题及详细答案

第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知f(sin x )1 cosx ，则f(cosx) 。 2 (4 3x) 2 2、lim 2 ) 。 x x(1x 3、x 0 时，tanx sinx 是x 的 阶无量小。 4、limx k sin 1 0建立的k 为 。 x x 5、lime x arctanx x 6、f(x) e x 1, x b, 7、lim ln(3x 1) x0 6x 。 x 0 在x 0处连续，则b 。 x 0 。 8、设f(x)的定义域是[0,1]，则f(lnx)的定义域是__________。 9、函数y1ln(x 2)的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则lim( x a )x ________。 x xa 1 11、已知当x 0时，(1 ax 2)31与cosx1是等价无量小，则常数a________。 12、函数f(x) arcsin 3x 的定义域是__________。 1 x 13、lim(x 2 2 x 2 2) ____________。 x 14、设lim( x 2a )x 8，则a ________。 x xa 15、lim(n n 1)( n 2 n)=____________。 n 二、选择题 1、设f(x),g(x)是[ l,l]上的偶函数，h(x)是[ l,l]上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）f(x) g(x)；（Ｂ）f(x)h(x)；（C ）f(x)[g(x)h(x)]；（D ）f(x)g(x)h(x)。 2、 1 x 3 x (x) ， (x) 1 x ，则当 时有 。 1 x 1 （Ａ） 是比高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小； （C ） 与 是同阶无量小； （D ） ~ 。 3、函数f(x) 1 x 1 , x 0(x 1)在x 0处连续，则k 31 x 1 。 k x0 （Ａ） 3； （Ｂ） 2； （C ）1； （D ）0。 2 3 4、数列极限limn[ln(n1) lnn] 。 n （Ａ）1； （Ｂ） 1； （C ） ； （D ）不存在但非 。 x sinx x x 5、f(x) x 0 ，则x 0是f(x)的 。 xcos 1 x 0 x

高等数学微积分练习题集全套(含答案)

高等数学试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)= x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()002lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-⎰（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1 x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设C +⎰2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<= 8．arctan lim _________x x x →∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13. 设2ln 2,6a a π==⎰则___________. 14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，求dy.

微积分试题及答案大全

微积分试题及答案 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。 3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

高考数学微积分练习题及答案

高考数学微积分练习题及答案 1. 题目：求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。 解析：首先，根据导函数的定义，我们需要对函数f(x)进行求导。根据求导法则，对于幂函数f(x)=x^n (n为常数)，其导函数为 f'(x)=n*x^(n-1)。因此，将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导，得到 f'(x)=2x+2。 答案：f'(x)=2x+2。 2. 题目：计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。 解析：根据积分的定义，我们需要对被积函数进行积分，并将积分上限减去积分下限。对于多项式函数的积分，我们可以按照常规的积分法则进行计算。首先，对被积函数2t+1进行积分，得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。然后，将积分上限x代入积分结果，得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。 答案：g(x) = x^2 + x。 3. 题目：对函数h(x)=sin(x)进行求导。 解析：根据导函数的定义，我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。根据求导法则，对于三角函数sin(x)，其导函数为cos(x)。因此，函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。 答案：h'(x)=cos(x)。 4. 题目：求函数f(x)=e^x的不定积分。

解析：函数f(x)=e^x是指数函数，其不定积分可以根据指数函数积 分的常规法则进行计算。根据指数函数积分的法则，不定积分∫e^x dx = e^x。 答案：∫e^x dx = e^x。 5. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x，且f(0)=1，求f(x)的表达式。 解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。 根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。由已知条件f(0)=1，将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C，解得C=1。因此，函数f(x)的表达式为f(x) = x^2 + 1。 答案：f(x) = x^2 + 1。 6. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=1/x，且f(1)=2，求f(x)的表达式。 解析：根据导数的定义，我们可以将f'(x)=1/x积分得到函数f(x)。 根据积分的法则，函数f(x)的表达式为∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。由已知条件f(1)=2，将x=1代入函数表达式得到2 = ln|1| + C，解 得C=2。因此，函数f(x)的表达式为f(x) = ln|x| + 2。 答案：f(x) = ln|x| + 2。 通过以上的微积分练习题及答案，希望能够帮助你更好地理解高考 数学微积分的相关知识点。在备考阶段，多做练习题并理解题解过程，有助于提升应试能力和解题技巧。祝你取得优异的成绩！

数学课程微积分基础练习题及答案

数学课程微积分基础练习题及答案微积分是现代数学的基础学科之一，对于理工科学生来说，掌握微积分的基础知识非常重要。为了帮助学生更好地巩固微积分基础，下面将提供一些微积分的基础练习题及答案。 1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+1$在点$x=2$处的导数值。 解答：首先，我们可以使用导数的定义来计算导数值。导数的定义是函数在该点的极限，即$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。将函数$f(x)$代入该定义中，可以得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3(2+h)^2-2(2+h)+1-3(2)^2+2(2)-1}{h}$ 化简后得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3(4+4h+h^2)-4-2h+1-12+4-1}{h}$ 继续化简： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{12+12h+3h^2-4-2h+1-12+4-1}{h}$ 合并同类项： $f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{3h^2+10h}{h}$ 简化后得到： $f'(2)=\lim_{h\to 0}(3h+10)=10$ 所以，函数$f(x)=3x^2-2x+1$在点$x=2$处的导数值为10. 2. 求函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数。

解答：根据求导公式，对于$\sin(x)$和$\cos(x)$的导数分别是 $\cos(x)$和$-\sin(x)$。所以，函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数可以通过对每一项分别求导得到： $g'(x)=\cos(x)-\sin(x)$ 所以，函数$g(x)=\sin(x)+\cos(x)$的导函数为$g'(x)=\cos(x)-\sin(x)$。 3. 求函数$h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数。 解答：首先，我们可以将函数$h(x)$展开得到 $h(x)=e^x\cdot\ln(x)=e^x\cdot(\ln(e)\cdot\ln(x))=e^x\cdot\ln(e)\cdot\ln(x)=e ^x\cdot\ln(x)$。 接下来，我们可以分别对$e^x$和$\ln(x)$应用乘法法则来求导。对于$e^x$而言，它的导数等于自己，即$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。而对于$\ln(x)$而言，它的导数是$\frac{1}{x}$。所以，函数 $h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数可以计算为： $h'(x)=\frac{d}{dx}(e^x\cdot\ln(x))=e^x\cdot\ln(x)+e^x\cdot\frac{1}{x }=\ln(x)\cdot e^x+\frac{e^x}{x}$ 所以，函数$h(x)=e^x\cdot\ln(x)$的导数为$h'(x)=\ln(x)\cdot e^x+\frac{e^x}{x}$。 通过以上的练习题，我们可以进一步巩固微积分的基础知识。希望以上答案能够对学生们的学习有所帮助。如果还有其他问题或者需要更多练习题及答案，请随时提问。

微积分综合练习试题和参考答案与解析

(1)函数 f(X)=• 1 In(x - 2) 的定义域是 (2)函数 f(x)= 1 ln( x 2) 的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2] (4)若函数 f(x T xs 「 x 0在 X 二0处连续，则k = x _ 0 •答案：k = 1 (1)设函数y 二 -x e ，则该函数是( ). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数 综合练习题1 (函数、极限与连续部分) 1 •填空题 (3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3 (5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1 x 2 _2x _3 (6) 函数y _________________________ 的间断点是 .答案：x - -1 x +1 1 (7) lim xsin .答案：1 X 护 x sin 4x (8) 若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2 ―0 sin kx 2. 单项选择题 答案：B (2) 下列函数中为奇函数是( ). 答案：C A. xsin x ln (x . 1 x 2) D . x x 2

). D . x 卞 一5 且 x = -4 x (3) 函数y ln(x • 5)的定义域为( x +4 A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0 答案：D 2 (4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( ) A. x(x 1)