高中数学《必修2》立体几何知识点及解题思路

第一章 空间几何体

一、常见几何体的定义

能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。

二、常见几何体的面积、体积公式

1.圆柱：侧面积rl cl S π2==侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆柱的母线，也是高）

表面积)(2222l r r r rl S S S +=?+=+=πππ底侧表

h r sh V 2π==柱体

2.圆锥：侧面积rl cl S π==

2

1侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆锥的母线） 表面积)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底侧表 h r sh V 23

131π==椎体 3.圆台：侧面积l R r l R r S )(2

)22(+=+=πππ侧 （其中r 、R 是上下底面半径，l 是圆台的母线） 表面积)()(2222R r Rl rl R r l R r S S S +++=+++=+=ππππ底侧表 h S S S S V )(3

1''++=台体 （其中'S 、S 是上下底面面积，h 是圆台的高） 4.球：表面积24R S π=表，体积33

4R V π=球 三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。

画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行，长度不变；

与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，但是长度减半。

四、三视图

1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。

①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。

③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。

2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；

侧视图：光线从左向右的正投影；

俯视图：光线从上向下的正投影。

三视图的性质：

侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系 一、立体几何中的公理与基本关系

1.平面公理：

公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。

推论3：两条平行直线确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。【本公理也称为平行直线的传递性】

2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

3.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形。

4.点、线、面之间的位置关系的表示方法：

①点A 在直线l 上，记作 ，点A 不在直线l 上，记作 ；

②点A 在平面α内，记作 ，点A 不在平面α内，记作 ；

③直线l 在平面α内，记作 ，直线l 不在平面α内，记作 ；

④直线l 与平面α相交，记作 ，直线l 与平面α平行，记作 ；

⑤平面α与平面β平行，记作 ，平面α与平面β相交，记作 。

二、线面间的位置关系

1.线线间的位置关系：相交、平行、异面。

①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②异面直线所成的角：过空间任意点O 分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角或直角。异面直线所成的角的取值范围是(0,90]α∈。

2.线面间的位置关系：平行，相交，线在面内。【线在面外是指：平行或相交。】

3.面面间的位置关系：平行、相交。【注：垂直是相交的一种特殊情况。】

三、平行关系

1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。

2.线面平行

①定义：直线a 与平面α没有公共点，叫做直线a 与平面α平行，记作：//a α。

②判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号语言：若,,//a b a b αα??，则//a α。

③性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若//,,a a b αβα

β?=，则//a b 。 3.面面平行

①定义：平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记作//αβ。

②判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号语言：若,,,//,//a b a b p a b ββαα??=，则//αβ。

③性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号语言：若//,,a b αβα

γβγ==，则//a b 。

四、垂直关系

1.线线垂直：若两条直线的夹角为90°，则称为两直线垂直。

2.线面垂直

①定义：若直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直；记作：l α⊥。 ②判断定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号语言：若,,,,l m l n m n m n P αα⊥⊥??=，则l α⊥。

③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言：若,m n αα⊥⊥，则//m n 。

3.面面垂直

①定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。记作：αβ⊥。 ②判断定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号语言：若,m m αβ⊥?，则αβ⊥。

③性质定理：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言：若,,,m m l l αβαα

β⊥?⊥=，则m β⊥。 四、空间中的角

1.线线角：线线角的范围[0,90]α∈。

2.线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的角。线面角的范围[0,90]α∈。

3.面面角：

【二面角】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的范围[0,180]α∈。

【二面角的平面角】在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的垂线OB OA 和，则射线OB OA 和所成的角AOB ∠叫做二面角的平面角。注：二面角的大小等于它的平面角的大小。

五、空间的距离（略）

【常见题型与思路】

【一、平行的证明方法】

1.线线平行的证明方法：

①平行线的传递性：若//,//a b a c ，则//b c 。

②平行四边形：平行四边形的对边平行。

③中位线定理：三角形中位线定理和梯形中位线定理。

④若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号语言：若//,,l l m αβαβ?=，则//l m 。

⑤若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。

符号语言：若//,,m n αβαγβγ==，则//m n 。

⑥垂直于同一平面的两条直线平行。

符号语言：若,m n αα⊥⊥，则//m n 。

2.线面平行的证明方法：

①若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

符号语言：若,,//l m l m αα??，则//l α。

②若两个平面平行，则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。

符号语言：若//,l αβα?，则//l β。

③若平面外的两条平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行这个平面。

符号语言：若,,//,//m n m n m ααα??，则//n α。

3.面面平行的证明方法：

①若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号语言：若,,,//,//m n m n A m n ααββ??=，则//αβ。

②若两个平面同时与一条直线垂直，则这两个平面平行。

符号语言：若,l l αβ⊥⊥，则//αβ。

③若两个平面同时与一个平面平行，则这两个平面平行。

符号语言：若//,//αγβγ，则//αβ。

【二、垂直的证明方法】

1.线线垂直的证明方法：

①定义：若两条直线的夹角为90°，则两条直线垂直。

②勾股定理逆定理：在ABC ?中，若222AB AC BC +=，则90A ∠=，即AB AC ⊥。 ③若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个平面里的所有直线。

符号语言：若,l m αα⊥?，则l m ⊥。

④若直线垂直两平行直线中的一条，则也垂直另一条。

符号语言：若//,m n l m ⊥，则l n ⊥。

2.线面垂直的证明方法：

①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：若,,,,m n m n A l m l n αα??=⊥⊥，则l α⊥。

②若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面。

符号语言：若//,m n m α⊥，则n α⊥。

③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则该直线也垂直另一个平面。

符号语言：若//,l αβα⊥，则l β⊥。

④若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号语言：若,,,l m m l αβαβα⊥=?⊥，则m β⊥。

3.面面垂直的证明方法：

①定义：若二面角l αβ--的平面角为90°，则αβ⊥。

②若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号语言：若,l l αβ⊥?，则αβ⊥。

【三、角的求法】

1.线线角：首先把把两条直线平移到相交，其次把夹角放在三角形中。

2.线面角：首先找出线面角（斜线与射影的夹角），然后按照线线角求解。

3.面面角：首先找出二面角的平面角，然后按照线线角求解。

【四、距离的求法（略）】

【注意：以上每句话都有文字、符号、图像三种形式，理解并熟练转化才能学好，加油！】

高中数学空间几何专题练习(供参考)

一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ） 2 3 + 为 （ ） C 、120； 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 （ ） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是 （ ） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是 （ ） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是 （ ） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； 图（1） 1 A

D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．． 和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //； （2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //； （3） ,a b b α?//，则a α//； （4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 底面侧棱 关系： 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和；【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②（了解）长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是，，，那么

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222 coscoscos1， 222 sinsinsin2； ③（了解）长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，，， 1 则 222 coscoscos2， 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式：S ch 直棱柱侧 直棱柱全底，V棱柱底 Sch2SSh （其中c为底面周长，h 为棱柱的高）1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式： S圆柱侧=2rh；S 圆柱全= 2 2rh2r，V 圆柱=S底h= 2 rh（其中r为底面半径，h为圆柱高） 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形，由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形，并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质：底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形，相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

最新人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：

高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。 求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ； （2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形

1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H

高中数学必修2立体几何专题资料

专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影． 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？ 解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影. 方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置. 点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案：①②③ 点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时， 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1 2A1B1， A1N=2ND1，A1P= 3 4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体 积． 分析：若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积， 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出， 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解． 解：V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3．

高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

高中数学立体几何专题证明题训练

A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。 （1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 ， ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱

棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 （一）空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二）几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨＞直棱 柱］一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质： I、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； n、两底面是全等多边形且互相平行； 川、平行于底面的截面和底面全等；

2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch （ c 是底周长，h 是咼） S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2） 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶 点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形， 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比； 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比； n ＞正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 S 正棱椎 （c 为底周长，h'为斜高） 2 1 体积：V 棱椎-Sh （ S 为底面积，h 为高） 3 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C

高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案

空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC === ，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行， 其余各面都是四边 形，并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么： 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ；I ；从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图

(完整版)高中数学空间几何体知识点总结

空间几何体知识点总结 一、空间几何体的结构特征 1．柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴

叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 注：棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。