抛物线与相似三角形
抛物线与相似三角形
例1、如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-4，0），B （1，0），C （-2，6）
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE ；
（3）设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问：以A 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似吗？
例2、如图①，已知抛物线bx ax y +=2
（a≠0）经过A （3，0）、B （4，4）两点
（1）求抛物线解析式；
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；
（3）如图②，若异于点A 的点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标
例3、如图，抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为（2，-1），并且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于两点A 、B
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；
（3）点E 是直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由。
【练一练】
1、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2
的图像经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，3）
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线上求点P ，使AO B PO A S S △△=；
（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由。
2、如图，已知二次函数))(2(48
1b ax x y ++=的图像过点A （-4，3），B （4，4）。 （1）求二次函数的解析式；
（2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH ⊥x 轴与H ，是否存在以P 、H 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似？如存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
3、如图，已知抛物线的方程)-)(2(1-1m x x m
y C +=：（m ＞0）与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧。
（1）若抛物线1C 过点M （2，2），求实数m 的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线1C 上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
4、如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．
（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；
（2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P 的坐标．
6、如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D（-1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标．
抛物线中的相似三角形
专题复习：抛物线中的相似三角形 常山育才中学：杨焕 【教学目标】1.掌握两个三角形相似的判定方法。 2.经历，体会先找角，再找边，最后利用比值来解决抛物线中相似三角形的存在性问题。 3.培养分类讨论思想，数形结合思想，提高学生综合分析问题的能力。 【教学重点】共角型或等角型相似三角形的存在性问题；抛物线中的相似三角形存在性问题。 【教学难点】综合应用的第2题角度不是直角学生较难理解；点在不同象限时，需要利用分类讨论进行距离的表示，较难理解。 【基础训练】 1.已知点A(-1,0),点B （0，2），x 轴上有一个点C ， 若△OAB 与△OBC 相似，请写出所有满足条件的点C 的坐标___________________. 2.已知点A(-2,0),点B （0，3），y 轴上有一个点C ， 若△OAB 与△OAC 相似，请写出所有满足条件的点C 的坐标___________________. 3.已知点A(-1,0),点B （0，3），点C （3，3）,若y 轴上有一个点P ， 若△OAB 与△PBC 相似，请写出所有满足条件的点P 的坐标___________________. 【综合应用】 1. 如图，已知抛物线y=-x 2+3x+4经过 A （0，4），B （4，0），C （-1，0）三点．过点A 作垂直于y 轴的直线l ．在抛物 线上有一动点P(点P 位于对称轴的右侧)，过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q ．连接AP ．是否存在点P ，使得以A 、P 、Q 三点构成的三角形与△AOC 相似？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图 2.如图，抛物线 与x 轴交于点B （1，0）、C （-3，0），且过点A （3，6）． 设此抛物线的顶点为P ， 在x 轴上找一点M ，使以点B 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点M 的坐标． 备用图
相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
完整版相似三角形与圆综合题
AB 于点D,交AC 于点E ,求证：(1)AD=AE ; C 在O O 上,/ BAC= 60°, P 是OB 上一点，过 P 作AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q 连结OC 过点C 作CD L OC 交PQ 于点D. (1)求证：△ CDQi 等腰三角形； (2) 如果△ CDQ^A COB 求BP ： PO 的值. 第一部分：例题分析 相似三角形与圆综合 △ ABC 内接于圆O, / BAC 勺平分线交O O 于D 点，交O O 的切线BE 于F ,连结 BD CD 求证：(1) BD 平分/ 例4、 例3、 O O 内两弦 E E AB CD 的延长线相交于圆外一点 E ,由E 引AD 的平行线与直线 BC 交于F ,作切线FG G 为切点, 求证: EF = FG 例3、AB 是O O 的直径，点 (2)AB ? AE=AC ? DB. BE. 例1、已知：如图，BC 为半圆O 的直径，ADI BC,垂足为D,过点B 作弦BF 交AD 于点E ,交半圆O 于点F ,弦AC
第二部分：当堂练习 1.如图，AB是O O直径，ED丄AB于D，交O O于G , EA交O O于C, CB交ED于F,求证：DG2= DE?DF
(1)若 PC=PF ,求证：AB 丄 ED ; ⑵点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使 AD 2 =DE DF ，为什么? 2 . 3. 如图，AB 、AC 分别是O O 的直径和弦，点 D 为劣弧AC 上一点, 弦ED 分别交O O 于点 E ,交AB 于点H ，交 AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点 P . 如图，弦EF 丄直径
相似三角形与圆综合题
相似三角形与圆综合 第一部分：例题分析 例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE．求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE. 例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ. 例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D. (１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值. 例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)ＢＤ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC. 例３、⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,求证：EＦ=FG. 第二部分:当堂练习 1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE?DF 2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA?ＭC＝MB?ＭＤ
D C B A O M N E H 3.如图,ＡB 、AC 分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC 上一点,弦E Ｄ分别交⊙Ｏ于点E ，交A Ｂ于点Ｈ,交AC 于点F ，过点Ｃ的切线交ＥD 的延长线于点Ｐ. （1)若PC ＝P Ｆ,求证：AB ⊥ED ； （2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD ２ =D Ｅ·DF ，为什么？ 4.如图(1)，AD 是△ABC 的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径,则有结论：AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？ 5．如图,AD 是△A ＢＣ的角平分线，延长AD 交△A ＢC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ． (１)求证:△A ＥF ∽△F ＥD ; （2)若AD =8,DE ＝４，求EF 的长. ６．如图，ＰC 与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠B ＡＰ. (1）求证:P A 是⊙O 的切线. (2)△ＡＢP 和△CAP 相似吗?为什么？ (3）若ＰB :BC =2:3，且P Ｃ=20,求ＰA 的长. D C B A O E 7.已知：如图, AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥A Ｄ于点Ｅ，交⊙O 于点C ，ＯE =1,BE =8，A Ｅ:A Ｂ=1:３． (１）求证:ＡB 是⊙O 的切线; (2)点F 是A ＣD 上的一点,当∠AOF =2∠Ｂ时,求AF 的长． ８.如图,⊿AB Ｃ内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于D ，Ｆ是弧ＢC 中点,且AF 交BC 于E ,A Ｂ=6,AC ＝8，求CD ,DE ，及EF 的长. 9． 已知：如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是BC 的中点,连结OD ，OB 、DE 交于点Ｆ． A C P E D H F O
相似三角形与圆的结合
E D C B A B E D C B A B B B 相似三角形与圆的结合 1、 如图，圆中的弦AB 、CD 相交于E 点， 已知CE=4，BE=5，DB=6；求：弦AC 的长 2、 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，观察图形， 你能得到哪些结论，请将你所得的结论写下来，和同学交流， 看谁写的多写的对。 3、 已知：如图，ABCD 是圆内节四边形，AC 、BD 相交于点E ， 求证：AD ?BE=BC ?AE 4、 已知：如图，△AOB 中，∠AOB=90°，OC ⊥AB 于C ， OA=3cm ，OB=4cm ，以O 为圆心，以2.4cm 为半径作⊙O 。 求证：⊙O 与AB 相切 5、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点， CB 交⊙O 于D ，AD 2=CD ?BD 求证：AC 是⊙O 的切线 6、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于B ， AC 交⊙O 于E ，AD 交⊙O 于F ， 求证：AE ?AC=AF ?AD 7、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CA 与⊙O 相切于点A ， CE ∥AB 交⊙O 于D 、E. 求证；BE 2 =CD ?AB 8、 如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径； 求证：AB ?AC=AD ?AE
19、如图，4531===∠=∠∠=∠BC DE AB D B ，，， （1）ABC ?∽ADE ?吗？说明理由。 （2）求AD 的长。 20、如图4，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 21、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2. 求证:A E A C D E A B = 22、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (),AE AB >试证明： EF 平分∠AFC. 23、已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 圆与相似三角形专题训练 例1.如图，PD切⊙O于D，PC = PD，B为⊙O上一点，PB交⊙O于A，连结AC、BC. 求证：AC·PB = PC·BC 证明： 训练1. 如图，⊙O是弦AB∥CD，延长DC到E，EB延长线交⊙O于F，连结DF. 求证：AD·ED = BE·DF 证明：连结CB 2. 如图，CD切⊙O于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD. 求证：① PE：AC = PB：PA；② PE 2 = AC·BD 例2.如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF 交BC于G. 求证：AB 2 = BG·BC 证明：连结AD 训练1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB于M，P是CD延长线上一点，PE 切⊙O于E，BE交CD于F. 求证：PF 2 = PD·PC 证明：连结AE 2. 如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：①∠DAC = 2∠B；② CA 2 = CD·CO 例3.如图，⊙O 1和⊙O 2 相交于点A和点B，且O 1 在⊙O 2 上；过点A的直线 CD分别与⊙O 1、⊙O 2 交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O 1 、⊙O 2 交于 点E、F，⊙O 2的弦O 1 D 交AB于P. 求证：① CE∥DF；② O 1 A 2 = O 1 P·O 1 D 证明： 训练1. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：①AE∥BD；②AD 2 = DF·AE 证明： 2. 已知：，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 证明： 二次函数中的相似三角形 例1（2011绵阳）：已知抛物线y = x2 -2x +m -1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B． （1）求m的值； （2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形； （3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C’，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点。如图，请在抛物线C’上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形． 例1图例1（1）（2）图例1（3）图 例2：如图，抛物线y = ax2 +bx + 1与x轴交于两点A（-1，0）、B（1，0）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2（1）（2）图例2（3）图 例3：已知，如图，二次函数y = ax2 - 2ax + c（a ≠ 0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x 轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）． （1）求该二次函数的关系式并写出它的对称轴和顶点坐标； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标（2，0）．问：是否存在这样的直线l．使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 思考：在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是直角三角形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 例3（1）（2）图例3（3）图 例3思考 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 相似三角形综合试相似与圆(难) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 D C B A O M N E H A B C P E D H F O 相似三角形与圆 1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE ?DF 2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA ?MC ＝MB ?MD 3．(2006年黄冈)如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ． (1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ； (2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？ 4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE · AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？ D C B A O E F 5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF． (1)求证：△AEF∽△FED； (2)若AD=8，DE=4，求EF的长． 6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP． (1)求证：P A是⊙O的切线． (2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？ (3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求P A的长． 7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长． 8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长． 二次函数与相似三角形综合题 黄陂区实验中学邓静 教学目标： 1、会求二次函数解析式； 2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。 教学重点： 1、求二次函数解析式； 2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。 教学难点： 根据条件构造相似三角形解决问题。 情感与态度： 1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。 2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。 3、培养学生科学探索的精神。 O 教学过程： 一、复习巩固 如图，抛物线y=ax 2+bx －2与x 轴交于点A （－1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于C 点，且∠ACB=90°，求抛物线的解析式. 分析：OC 2=OA·OB ∴4=1×m，m=4 ∴B（4，0） 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x －4) 代入C 点（0，－2） ∴抛物线解析式为213222 y x x =--. 二、新授 例题、如图，直线y=－x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2， （1）求抛物线解析式； （2）连结AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由. （3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴，交CB 于E ，垂足于H ，过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，交x 轴于G ，试问是否存在这样的点D ，使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分若能，请求出D 点坐标；若不能，请说明理由. [解] （1）直线3y x =-+与x 轴相交于点B ， ∴当0y =时，3x =， ∴点B 的坐标为(30)，． 又抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为， 根据抛物线的对称性， ∴点A 的坐标为(10)，． 3y x =-+过点C ，易知(03)C ，， 3c ∴=． 又抛物线2y ax bx c =++过点(1 0)(30)A B ，，，， ∴(1)(3)y a x x =--，经过C 点(0,3) A B C P O x y 2x = 圆与相似三角形专题训练 27、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，且AC 平分∠EAB 。【2005成都】 ⑴求证：DE 是⊙O 的切线；⑵若AB ＝6，AE ＝ 24 5 ，求BD 和BC 的长。 27、已知：如图，⊙O 与⊙A 相交于C 、D 两点，A 、O 分别是两圆的圆心，△ABC 内接于⊙O ，弦CD 交AB 于点G ，交⊙O 的直径AE 于点F ，连结BD 。【2006成都】 （1）求证：△ACG ∽△DBG ；（2）求证：2 AC AG AB =? ； （3）若⊙A 、⊙O 的直径分别为15，且CG ：CD ＝1：4，求AB 和BD 的长。 E O D G C A E F B P 27．如图,A 是以BC 为直径的O e 上一点,AD BC ⊥于点D ，过点B 作O e 的切线,与CA 的延长线相交于点 E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点 F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．【2007成都】 （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O e 的切线； （3）若FG BF =，且O e 的半径长为32，求BD 和FG 的长度． 27. 如图，已知⊙O 的半径为2，以⊙O 的弦AB 为直径作⊙M ，点C 是⊙O 优弧? AB 上的一个动点（不与点A 、点B 重合）.连结AC 、BC ，分别与⊙M 相交于点D 、点E ，连结DE.若AB=23.【2008成都】 (1)求∠C 的度数；（2）求DE 的长； （3）如果记tan ∠ABC=y ，AD DC =x （0 课题二次函数与相似三角形 教学目标知识与 技能 根据条件寻找或构造相似三角形，从而得出点的坐标。 过程与 方法 通过复习，掌握中考题型中二次函数的综合应用。 情感态 度与价 值观 培养学生的参与意识和探索精神。 教学重点根据条件寻找或构造相似三角形 教学难点根据条件寻找或构造相似三角形 教学准备课件，活页练习 教学课时1课时 教学过程个案修改 （手写）一、导入： 我们已经学完了二次函数的基础知识，从今天开始我们要学习二次函 数与其他知识的综合应用。首先，我们来学习中考中最常见的一种—— 二次韩数与相似三角形。 二、复习提问： 1、二次函数的一般形式是 2、如何确定一条抛物线与X轴和y轴的交点坐标？ 3、抛物线的顶点坐标如何确定？ 4、相似三角形的判断方法有哪些？ 三、例题讲解： .如图，已知抛物线y=–(x–2)2+1 的图像与x轴交于A、B 两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）求点A，点B，点C的坐标; （2）若点D是抛物线的顶点，DH垂直于x轴，垂足为H，试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？说明理由． （3）若点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴， 垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△AOC相似。若存在，求出M 点坐标；若不存在，说明理由。 分析： （1）第一步是基础知识，可由学生自己解决，只对个别不会的学生加以辅导，可以由B号学生帮助解决 （2）第二步要判断两个直角三角形相似，可以证明夹着直角的四条边成比例；另外，还要注意强调格式——先回答问题，再书写证明过程（3）第三步要先设出点M的坐标，进一步表示出MG和AG的长度，然后再分两种情况利用四条线段成比例得方程，从而解得点M的坐标。另外，题目中“点M在抛物线上且在x轴上方”能给我们 什么信息，需要注意什么？ 教学组织： （1）学生自己分析题意，找出不会的地方； （2）小组内讨论，初步解决 （3）汇总不能解决的问题，教师分析解决 （4）书写第（3）问解答过程，A号展示 四、变式练习： 上题中，若点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在x轴上方， 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解） 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结： （1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 (一）知识复习巩固 圆的基本性质:圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理 相似三角形四种判定,及性质 (二）例题精讲： 例１、已知:如图，△ABC内接于⊙Ｏ,∠BＡC的平分线交⊙O于点Ｄ，交⊙O的切线BF于点F,Ｂ为切点。求证：（１）ＢD平分∠CBF；(2)AB?ＢF=AＦ?ＣD. 考点: 相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析： (1）由于AF是∠ＢAＣ的角平分线,那么∠１=∠２,利用弦切角定理可得 ∠1=∠3,利用同弧所对的圆周角相等,可得∠2=∠4,那么，可证∠3=∠4,即 ＢD平分∠CBF; （2)由于∠3=∠1，∠F=∠Ｆ,那么可证△DBF∽△BAF,再利用相似三角形 的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BＦ,又由于∠１＝∠２,同圆里 相等的圆周角所对的弧相等,而同圆里相等的弧所对的弦相等,从而BＤ=CD, 等量代换,可得ＡB：AF＝CD：BF，即ＡＢ?BF=AＦ?CD. 解答: 证明:（１）∵AD平分∠ＢAC， ∴∠1=∠２,(2分) ∵BＦ切⊙Ｏ于点B，∴∠３＝∠2, ∴∠３=∠１,(4分) 又∵∠2=∠4, ∴∠3=∠４,即BD平分∠CBＦ;(6分) （２)在△ＤＢＦ和△BＡF中， ∵∠３＝∠1，∠F＝∠F, ∴△ＤBＦ∽△BAF,（8分) ∴BＤAB=ＢＦAF即AＢ?ＢＦ=AF?BD(１0分） ∵∠1=∠2, ∴BD=CD,(11分) ∴AB?BＦ＝AF?CＤ.(12分) 例2、已知：如图,△ＡBC内接于圆,ＡB＝ＡC,D为延长线上一点,AD交圆于Ｅ. 求证:AB2=ＡＤ?AE. 考点:相似三角形的判定与性质，圆周角定理 分析： 如图,作辅助线；证明△AＢＥ∽△AＤＢ，列出比例式，即可解决问题.解答： 圆中的基本图形和常见数学思想圆一直是初中阶段数学学习的一个难点，因为圆中知识点很多，综合性也很强。而且中考中圆常常和四边形，三角形，甚至代数中的二次函数结合起来考察学生的能力。 把圆中涵盖的知识点融入到几个基本图形中，并教会学生在复杂的图形中提炼出基本图形。另外一定要帮助学生进行解题方法的训练和总结。让他们熟悉圆中常用的数学方法。归纳了以下几个方面的内容，概述如下。 1 圆中基本图形主要有 这个图形中涵盖了： １、垂径定理及其推论； ２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍； ３、半径、弦心距、弓形高、弦长四者的关系； ４、直径所对的圆周角是直角 这个图形中涵盖了： １、圆的内接四边形的对角互补，外角等于内对角， ２、相似关系; ３、割线定理 这个图形中涵盖了： １、弦切角等于所夹弧所对的圆周角， ２、相似关系; ３、切割线定理 这个图形中涵盖了： １、三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，并且到三角形三个顶点的距离相等２、同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 这个图形中涵盖了： １、从圆外引圆的两条切线，切线长相等。 ２、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，并且到三角形三条边的距离相等３、三角形的面积和周长、内切圆半径三者的关系， ４、三角形两条内角角平分线组成的夹角与第三个内角的关系 这个图形中涵盖了： １、同弧所对的圆周角相等， ２、相似关系， ３、相交弦定理 这个图形中涵盖了： １、直径所对的圆周角是直角，９０度的圆周角所对的弦是直径 ２、相似关系，射影定理， ３、直角三角形的外心在斜边的中点 ４、直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 这个图形中涵盖了： 1、切线长定理 2、连心线垂直平分公共弦 3、圆的对称性 这个图形中涵盖了: 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径、等边三角形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正方形的内切圆半径、外接圆半径、正方形的边长三者的比例关系。 这个图形中涵盖了: 正六边形的内切圆半径、外接圆半径、正六边形的边长三者的比例关系。 D C B A O M N E H A B C P E D H F O 相似三角形与圆 1．如图，AB 是⊙O 直径，ED ⊥AB 于D ，交⊙O 于G ，EA 交⊙O 于C ，CB 交ED 于F ，求证：DG 2＝DE ?DF 2．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA ?MC ＝MB ?MD 3．(2006年黄冈)如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ． (1)若PC =PF ，求证：AB ⊥ED ； (2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？ 4．如图(1)，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，则有结论：AB · AC =AE · AD 成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？ D C B A O E F 5．如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的⊙O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF． (1)求证：△AEF∽△FED； (2)若AD=8，DE=4，求EF的长． 6．如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP． (1)求证：P A是⊙O的切线． (2)△ABP和△CAP相似吗？为什么？ (3)若PB:BC=2:3，且PC=20，求P A的长． 7．已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长． 8．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长． 专题训练：二次函数与相似三角形 例1、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例2、已知：如图，抛物线22 1 412-+= x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线2 2(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。 （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线2 2y ax ax c =++的解析式； （3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标． 图1 O A B y x O A B y x 图 2 B' A'O B A y x 例3、已知：矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()6,0A ，()0,3C ，直线 3 4 y x = 与BC 边交于D 点． （1）求D 点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A 、D 两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 是对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求出符合条件的点P ． 例4、已知抛物线c bx x y ++=2 4 3与坐标轴交于点A,B,C 三点，A 点的坐标为)0,1(-，过点C 的直线343 -= x t y 与x 交于点,Q 点P 是线段BC 上的一个动点，过点P 作OB PH ⊥于点H ，若)10(,5<<=t t PB ，请回答下面的问题； （1）、求出抛物线的解析式 （2）、求线段QH 的长，（用含有t 的式子表示） （3）、根据P 点的变化，是否存在t 的值，使得以点Q H P ,,为顶点的三角形与COQ ?相似？若存在，求出所有的t 的值，若不存在，说明理由； 九年级圆中三角形相似复习专题 1、 黄金分割点：在线段AB 上，点C 把线段ＡB 分成两条线段ＡC 和BC （ＡＣ＞BC ）,如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB×BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点Ｃ叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB 。 2、 黄金分割的几何作图：已知：线段ＡB.求作:点C 使C 是线段AB 的黄金分割点．作法： （1）过点Ｂ作ＢＤ⊥A Ｂ，使ＢＤ＝0.5AB ； (2）连结ＡＤ,在DA 上截取DE=DB ； （3)在A Ｂ上截取AC ＝AE,则点Ｃ就是所求作的线段AB 的黄金分割点。 (4）矩形中,如果宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形 3、相似三角形 1)定义:如果两个三角形中,三角对应相等，三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系:两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充:对于多边形而言,所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等)； 4、 性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 5、 相似比：两个相似三角形的对应边的比,叫做这两个三角形的相似比。 如△ＡBC 与△DEF 相似,记作△A ＢC ∽△D ＥF 。相似比为k 。 ６、判定:①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 ②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．简述为:两角对应相等，两三角形相似。（此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理３：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;简述为:三边对应成比例，两三角形相似。 7、 直角三角形相似判定定理: （1） 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 （2） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角 形也相似。 抛物线与相似三角形专题精编 【例1】 如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-4,0）、B （1,0）、C （-2,6）． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE =CE ； （3）设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问：以A 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似吗？ 点拨： 以数助形，通过计算证明．对于（3），只需证明：AB BC BF AB =． 【例2】如图1，已知抛物线()2 0y ax bx a =+≠经过A （3,0）、B （4,4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标； （3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO =∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）． 图1 图2 点拨： 对于（3），点B （4,4）、D （2，-2）的坐标隐含了什么关系？条件∠NBO =∠ABO 怎样运用？如何将△POD ∽△NOB 转化为相似三角形的基本图形？P 点的位置能否大致确定？这是解决问题的关键． 归纳总结： 构造即依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质．例2（3）可通过几何变换，构作基本相似形，化一般为特殊，使得点P 得以定位，提高解题的境界． 【例3】 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（2，-1），并且与y 轴交于点C （0,3），与x 轴交于两点A 、B ． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积； （3）点E 是直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由． 点拨： 对于（3），因△BCO 是等腰直角三角形，故△DEF 也是等腰直角三角形，但相似对应关系不确定（或直角顶点不确定），应全面讨论． 归纳总结： 审题的关键是在弄清字句含义的基础上，明晰数学意义，挖掘隐含条件，建立条件与结论之间的数学联系． 对于例3，揭示△BOC 的形状、直线AD 与BC 的位置关系，为点的定位创造条件是解题的关键． 审题的本质是从问题本身去获取从何处入手、向何方前进的信息与启示，是从问题得到“如何解这道题”的逻辑起点． “磨刀不误砍柴工”，认真审题，成也审题，败也审题． 针对训练： 1、如图，已知抛物线2y ax bx c =++的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为() 3,3-． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点P ，使=2POA AOB S S △△． （3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．相似三角形之常用辅助线
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