文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析

2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析

2018年全国高中数学联赛山东赛区试题解析

共9页,第1页 2018年全国高中数学联赛

山东预赛试题解析

一、填空题(每小题8分,共80分)

1.若复数z 满足|z -1|+|z -3-2i|=22,则|z |的最小值为 .

【解析】答案:1.

设z =x +y i ,则|z -1|+|z -3-2i|=22的几何意义为点P (x ,y )到点A (1,0),B (3,2)的距离之和为22,因为|AB |=22,从而点P 在线段AB 上,从而:|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1.

2.在正三棱锥S —ABCD 中,已知二面角A —SB —D 的正弦值为

63

,则异面直线SA 与BC 所成的角为 .

【解析】答案:60°.

A —S

B —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角,设底面的中心为O ,取AD 的中点M ,连接SO 、SM 、OM ,过点O 作OE ⊥SM 于E ,易证OE ⊥平面SAD ,过点E 作EP ⊥SD 于点P ,连接OP ,从而:A —SD —B 的二面角为∠EPO .

设底面边长为2a ,侧棱长为2b ,于是:OM =a ,SO =4b 2-2a 2,OD =2a ,

所以:OE =a 4b 2-2a 24b 2-a 2,OP =2a ·4b 2-2a 2

2b , 所以:sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2-a 2=63

,解得:a =b . 于是:△SAD 为正三角形,从而:直线SA 与BC 所成的角为60°.

O

P

M D E

C S A

3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案:{-1,0,1,2}.

【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦

⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,