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北京市海淀区高三数学下学期期中练习题 理(海淀一模,扫描版)北师大版(1)

北京市海淀区2014届高三数学下学期期中练习题理(海淀一模,扫

描版)北师大版

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海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 (理科) 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. C 2. D

3. D

4. A

5. B

6. B

7. C

8. B 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 96 10. 16 11. 2 12. 3

4 14. 9;3 (本题第一空3分,第二

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空2分)

三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15.解: (

π

()sin

3

f x x = ---------------------------2分

(1)(0)

(0)1

f f

g -=

------------------------------3分

πsin

sin 032

=-=.

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-------------------------------5分 (

(1)()π

()sin()sin 1333

f t f t

g t t t t t ππ+-=

=+-+-

------------------------------6分 πππ

sin

cos cos sin sin 33333

t t t π

π=+- ------------------------------7分

1ππsin cos 2323

t t =-

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+ ------------------------------8分

ππsin()33

t =-- ------------------------------10分

因为

33[,]

22

t ∈-,所以

ππ5ππ[,]3366

t -∈-,

------------------------------11分 所

π1

sin()[1,]

332

t π-∈-,

-----------------------------12分 所

()g t 在

33

[,]22

-上的取值范围是

1

[,1]2

- -----------------------------13分 16.解:

(Ⅰ)甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36,众数为33. --------------------------------2分 (Ⅱ)设a 为乙公司员工B 投递件数,则

当a =34时,X =136元,当a >35时,354(35)7X a =?+-?元,

X 的可能取值为136,147,154,189,203

-------------------------------4分

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{说明:X 取值都对给4分,若计算有错,在4分基础上错1个扣1分,4分扣完为止} X --------------------------------------9分

{说明:每个概率值给1分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

13231()1361471541892031010101010

E X =?

+?+?+?+? 1655

=

=165.5()10

--------------------------------------11分

(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元,乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分

17.(Ⅰ)因为平面ABD ⊥平面BCD ,交线为BD ,

又在ABD ?中,AE BD ⊥于E ,AE ?平面ABD

所以AE ⊥

平面BCD

.

--------------------------------------3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.

由题意可知EF BD ⊥,又AE ⊥BD .

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如图,以E 为坐标原点,分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -

--------------------------4分 不妨设2AB BD DC AD ====,则1BE ED ==. 由图1

条件计算得,AE =

BC =

3

BF =

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则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0)E D B A F C --------5分

(0,1,DC AD ==u u u r u u u r

.

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AE ⊥平面BCD 可知平面DCB

的法向量为EA u u u r

.

-----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ,则

0,0.DC AD ??=???=??u u u r

u u u r n n

即0,

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0.

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y y +=-=?? 令

1

z =,

则1y x ==,所

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1)=-n .------------------------------------8分

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平面DCB 的法向量为EA u u u r

所以cos ,||||

EA EA EA ?<>==?n n n u u u r

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u u u r u u u r , 所

A DC

B --的余弦值

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------------------------------9分

(Ⅲ)设AM AF λ=u u u u r u u u r

,其中[0,1]λ∈.

由于(,0,3

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AF =u u u r , 所

(3

AM AF λλ==u u u u r u u u r ,其中

[0,1]λ∈

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--------------------------10分

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,0,(1EM EA AM λ=+=-?u u u u r u u u r u u u u r

--------------------------11分

EM ?=u u u u r

n ,

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0λ=-(1- ---------------------------12分

3=(0,1)

4

λ∈.

-----------------------------13分

所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC u u u u r ∥平面,且

3

4

AM AF =.-------------14分 18.解 (

e ax

y a '=,

-----------------------------------2分

因为曲线C 在点(0,1)处的切线为L :2y x m =+, 所

120m =?+且

0|2

x y ='=.

----------------------------------4分

解得1m =,

2a =

-----------------------------------5分 (Ⅱ)法1:

对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y ax b =+的上方,等价于 ?x ,a R ∈,都有e ax ax b >+,

?x ,

a ∈

R ,

e 0

ax ax b -->恒成立,

--------------------------------------6分

()e ax g x ax b

=--,

----------------------------------------7分

①若a=0,则()1g x b =-,

所以实数b 的取

值范围是1b <;

----------------------------------------8分

②若0a ≠,()(e 1)ax

g x a '=-,

'()0

g x =得0x =,

----------------------------------------9分

'(),g x 的情况如下:

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-----------------------------------------11分

()g x 的最小值为(0)1g b =-,

-------------------------------------------12分

所以实数b 的取值范围是1b <; 综上,实数b 的取值范围是

1b <. --------------------------------------13分 法2:对于任意实数a ,曲线C 总在直线的y ax b =+的上方,等价于

?x ,a R ∈,都有e ax ax b >+,即 ?x ,

a ∈

R ,

e ax b ax

<-恒成立,

-------------------------------------------6分 令t ax =,则等价于?t ∈R ,e t b t <-恒成立,

()e t g t t

=-,则

()e 1

t g t '=-,

-----------------------------------------7分

由'()0g t =得0

t =,

----------------------------------------9分 '(),(g t g t 的情况如下:

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-----------------------------------------11分

()e t g t t

=-的最小值为(0)1g =,

------------------------------------------12分

实数b 的取值范围是

1b <. --------------------------------------------13分 19.解: (

Ⅰ) 设

00(,)

A x y ,

00(,)

-B x y ,

---------------------------------------1分

因为

?ABM

为等边三角形,所

00||1|=

-y x .

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---------------------------------2分

又点00(,)A x y 在椭圆上,

所以

002200|||1|,3

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239,

y x x y ?=

-???+=?

消去

y ,

-----------------------------------------3分

2003280

--=x x ,解得

02

=x 或

04

3

=-

x ,

----------------------------------4分

当02=x

时,||=

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AB 当

043

=-

x 时

||9

=

AB .

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-----------------------------------------5分 {说明:若少一种情况扣2分}

(Ⅱ)法1:根据题意可知,直线AB 斜率存在.

设直线AB :=+y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,AB 中点为00(,)N x y ,

联立22239,?+=?=+?x y y kx m

消去y 得222

(23)6390+++-=k x kmx m ,

------------------6分

0?>得到

222960

--

----------------------------7分

所以122

623+=-

+km

x x k ,

12122

4()223+=++=

+m y y k x x m k ,

----------------------------8分

所以22

32(,)2323-

++km m

N k k ,又(1,0)M

如果?ABM 为等边

⊥MN AB ,

--------------------------9分

所以

1

MN k k ?=-, 即

2222313123m

k k km k

+?=---+,

------------------------------10分

2320

k km ++=,

------------------------------11分

由②得232

k m k

+=-,代入① 得2222

(32)23(32)0k k k +-+<, 化

2340

+

-------------------------------------13分

{此步化简成422

9188

0k k k

++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故

?ABM

不能为等边

三角形.

-------------------------

------------14分

法2:设11(,)A x y ,则2211239x y +=,且1[3,3]x ∈-,

所以

||MA ==,

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----------------8分

22(,)

B x y ,同理可

得||MB =

,且

2[3,3]x ∈-

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-----------------9分

因为21

(3)13

y x =

-+在[3,3]-上单调 所

12

x x =?||||MA MB =,

---------------------------------11分

因为,A B 不关于x 轴对称,所以12x x ≠.

所以||||MA MB ≠,

---------------------------------13分

?ABM

不可能为等边三角形.

---------------------------------14分 20.解:

(Ⅰ)设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,

由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ,

1223(3,2),(2,2)=-=u u u u r u u u u r A A A A ,1223(,2)(5,2)=-=--u u u u r u u u u r B B x y B B x y ,,

由正交点列的定义可知 12120A A B B ?=u u u u r u u u u r ,23230A A B B ?=u u u u r u u u u r ,

即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=??-+-=? 解得2

5

=??

=?x y 所

123(0,2),(3,0),(5,2)

A A A 的正交点列是

123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分

(Ⅱ)由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=u u u u r u u u u r u u u u r

, 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列,

则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==-u u u u r u u u u r u u u u r

B B B B B B ,,λλλ∈123,,Z

因为1144,A B A B 与与相同,所以有

λλλλλλ???

??123123-+-=9,(

1)3+3+3=1.(2)

因为λλλ∈123,,Z ,方程(2)显然不成立,

所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列;---------------8分 (Ⅲ)5n n ?≥∈

,N ,都存在整点列()A n 无正交点列.

-------------------------9分

5n n ?≥∈,N ,设1(,),i i i i A A a b +=u u u u u r

其中,i i a b 是一对互质整数,1,2,3,1i n =-L

若有序整点列123,,,L n B B B B 是点列123,,,n A A A A L 正交点列,

则1(,),1,2,3,,1λ+=-=-u u u u u r

L i i i i i B B b a i n ,

则有 1

1

=11

11

=1

1,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=?-=????=??∑∑∑∑

①当n 为偶数时,取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1?=-?

?L i i i a b i n i 为奇数

,,为偶数

.

由于123,,,L n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-L . 等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A L 无正交点列; ②当n 为奇数时,

取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1?=-?

?L i i i a b i n i 为奇数

,,为偶数

,

由于123,,,L n B B B B 是整点列,所以有i λ∈Z ,1,2,3,,1i n =-L . 等式(2)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立, 所以该点列123,,,n A A A A L 无正交点列.

综上所述,5n n ?≥∈,N ,都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分