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初一数学下册因式分解.doc

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因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多

数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需

的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍

了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍：

一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法：

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b)

（ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2

（ 3）立方和公式：

（ 4）立方差公式：

例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（）

A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca

(a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c

三、分组分解法：

（一）分组后能直接提公因式

例 1、分解因式：am an bm bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多

项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式 = (am an) (bm bn)

=a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！

=(m n)(a b)

例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b)

=( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y)

练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1

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（二）分组后能直接运用公式

例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式 = (x 2 y 2 ) = (x y)( x

= (x y)( x

(ax ay) y) a( x y) y a)

例 4、分解因式： a 解：原式 = (a

= (a

2 2ab b 2 c 2 2

2ab b 2 ) c 2

b) 2 c 2

b c)( a b

练习：分解因式 3、 x 2

x 9 y 2 3y 4

、 x 2 y 2

z 2

2 yz

综合练习：（ 1） x 3

x 2 y xy 2 y 3

（ 2） ax 2

bx 2 bx ax a b

（ 3） x 2 6xy 9 y 2 16a 2 8a 1

（ 4） a 2 6ab 12b 9b 2

（ 5）

a 4

2 3 a 2

（6） 4a 2 x 4a 2 2 2

y b x b

四、十字相乘法：

（一）二次项系数为 1 的二次三项式

直接利用公式——

x 2 ( p q) x pq

(x p)( x q) 进行分解。

特点：（ 1）二次项系数是 1；

（ 2）常数项是两个数的乘积；

（ 3）一次项系数是常数项的两因数的

和。例 5、分解因式： x 2 5x 6

分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于

5。

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由于 6=2×3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，

即 2+3=5。 1 2

解： x2 5x 6 = x2 ( 2 3) x 2 3 13

= ( x 2)( x 3) 1 ×2+1× 3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例 6、分解因式：x2 7x 6

解：原式 = x2 [(1)( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1

= (x 1)( x 6) 1 -6

（ -1 ）+（ -6 ）= -7

练习 5、分解因式 (1) x 2 14 x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x2 4x 5

练习 6、分解因式 (1) x2 x 2 (2) y 2 2 y 15 (3) x 2 10 x 24

（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2 bx c

条件：（ 1）a a1a2 a1 c1

（ 2）c c1c2 a2 c2

（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1 c2 a2c1

分解结果： ax 2 bx c =(a1 x c1 )( a2 x c2 )

例 7、分解因式：3x211x 10

分析： 1 -2

3-5

（-6 ） +（ -5 ）= -11

解： 3x211x 10 =( x 2)(3x5)

练习 7、分解因式：（ 1）5x2 7x 6 （ 2）3x2 7 x 2 （ 3）10x2 17 x 3 （4）6 y2 11y 10

（三）二次项系数为 1 的齐次多项式

例 8、分解因式：a28ab 128b2

分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)= -8b

解： a 2 8ab 128b2= a 2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b)

= ( a 8b)(a 16b)

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练习 8、分解因式 (1) x23xy 2y 2(2) m26mn 8n2(3) a 2ab 6b2

（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式

例 9、2x2 7xy 6 y2 例 10、x2y2 3xy 2

1 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式 = ( x 2 y)(2x 3y) 解：原式 =( xy 1)( xy 2)

练习 9、分解因式：（ 1）15 x2 7xy 4y 2 （ 2）a2x2 6ax 8

综合练习10、（ 1）8x6 7x3 1 （ 2）12x2 11xy 15 y2 （ 3）( x y)2 3( x y) 10

（ 4）(a b) 24a 4b 3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n 2

（ 7）x24xy 4 y2 2 x 4 y 3（8）5(a b) 223(a 2 b 2 ) 10(a b) 2 （ 9）4 x24xy 6x 3y y 210（10）12( x y)211( x2y 2 ) 2( x y) 2

思考：分解因式：abcx 2(a2 b2 c 2 ) x abc

文案大全

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五、换元法。

例 13、分解因式（ 1）2005x2 (2005 2 1) x 2005

（2）

( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x2

解：（1）设 2005= a，则原式 = ax2 (a 2 1) x a

= (ax 1)( x a)

= (2005 x 1)( x 2005)

（ 2）型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式 =( x2 7x 6)( x2 5x 6) x2

设 x 2 5x 6 A ，则 x2 7x 6 A 2x

∴原式 =( A 2x) A x 2 = A2 2Ax x 2

= ( A x) 2= ( x 2 6x 6)2

练习 13、分解因式（ 1）( x2 xy y 2 ) 2 4xy( x2 y2 ) （2）( x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 （ 3）(a21) 2(a 25) 24(a23)2

例 14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x 2

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式” 。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式 = x 2 (2x 2 x 6 1 1 2

2( x 2

( x

6 x x

2 ) = x

x 2

) )

设 x 1 t ，则 x2 1 t 2 2

2 x

x 2

2 2

∴原式 =

2 2)

= x 2t t 10 （ t

= x 2 2t 5 t 2 = x 2 2x 2 5 x 1 2

x x

= x·2x 2 5 ·x·x 1 2 = 2x2 5x 2 x 2 2x 1 x x

= (x 1)2 (2x 1)( x 2)

（ 2）x4 4x3 x2 4x 1

解：原式 = x2( x2 4 x 1 4 1

) =x2 x 2 1 4 x 1 1

x x2 x 2 x 设 x 1 y ，则 x 2 1 y2 2

x x 2

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∴原式 = x2( y2 4 y 3) =x2( y 1)( y 3)

=x 2 ( x 1 1)( x 1 3) = x 2 x 1 x 2 3x 1

x x

练习 14、（ 1）6x4 7x3 36x 2 7 x 6

（ 2）x4 2x 3 x 2 1 2( x x2 )

六、添项、拆项、配方法。

例 15、分解因式（ 1）x3 3x2 4

解法 1——拆项。解法 2——添项。

原式 = x3 1 3x2 3 原式 = x3 3x2 4x 4x 4 = ( x 1)( x2 x 1) 3(x 1)( x 1) = x( x 2 3x 4) ( 4x 4) = (x 1)(x 2 x 1 3x 3) = x( x 1)( x 4) 4(x 1) = (x 1)( x 2 4x 4) = ( x 1)( x2 4x 4) = (x 1)( x 2)2 = ( x 1)( x 2)2

（ 2）x9 x6 x 3 3

解：原式 = (x9 1) ( x6 1) ( x3 1)

= ( x3 1)( x 6 x3 1) ( x3 1)( x3 1) ( x3 1)

= ( x3 1)( x6 x3 1 x 3 1 1)

= ( x 1)( x2 x 1)( x6 2x3 3)

练习 15、分解因式

（ 1）x3 9x 8 （ 2）(x 1)4 ( x2 1) 2 ( x 1)4 （ 3）x4 7x2 1

（4）4 x 2 2ax 1 a 2 4 4 4 （）2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 x （）

y (x y)

5 x 6

七、待定系数法。

例 16、分解因式x2 xy 6y 2 x 13y 6

分析：原式的前 3 项x2 xy 6y 2可以分为 ( x 3y)( x 2 y) ，则原多项式必定可分为 ( x 3y m)( x 2y n) 解：设 x 2 xy 6 y2 x 13y 6 = (x 3 y m)( x 2y n)

∵ ( x 3y m)( x 2 y n) = x 2 xy 6 y 2 (m n)x (3n 2m) y mn

∴ x2 xy 6 y 2 x 13 y 6 = x2 xy 6y 2 (m n) x (3n 2m) y mn

m n 1

m 2

对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13 ，解得

n 3

mn 6

∴原式 =( x3y 2)( x 2 y3)

例 17、（1）当m为何值时，多项式x 2 y2 mx 5y 6 能分解因式，并分解此多项式。

（ 2）如果 3 2 8 有两个因式为x 1 x 2 a b

x ax bx 和，求的值。

（ 1）分析：前两项可以分解为( x y)( x y) ，故此多项式分解的形式必为 ( x y a)( x y b) 解：设x2 y2 mx 5 y 6 =( x y a)( x y b)

则x2 y2 mx 5 y 6 = x 2 y 2 (a b)x (b a) y ab

a b m a 2 a 2

比较对应的系数可得： b a 5 ，解得： b 3 或 b 3

ab 6 m 1 m 1

∴当 m 1时，原多项式可以分解；

当 m 1时，原式=( x y 2)( x y 3) ；

当 m 1时，原式=( x y 2)( x y 3)

（ 2）分析：x3 ax 2 bx 8

是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如x c 的

一次二项式。

解：设 x3 ax 2 bx 8 = (x 1)( x 2)( x c)

则 x3 ax 2 bx 8 = x 3 (3 c)x 2 (2 3c) x 2c

a 3 c a 7

∴ b 2 3c 解得 b 14，

2c 8 c 4

∴ a b =21

练习 17、（ 1）分解因式x2 3xy 10 y 2 x 9 y 2

（ 2）分解因式x2 3xy 2 y 2 5x 7 y 6

（ 3）已知：x2 2 xy 3 y 2 6x 14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。

（4）k为何值时，x2 2xy ky 2 3x 5 y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全

经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的 _______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2 分解因式： m3-4m= .

3. 分解因式： x 2-4y 2= __ _____.

4、分解因式：x2 4x 4

=___________ ______ 。

(x 2+y2)(x+y)(x-y) ，则 n 的值为.

5. 将 x -y n分解因式的结果为

6、若x y

5, xy 6 ，则 x2 y xy2 =_________，

2 y2 =__________ 。

二、选择题

7、多项式 15m3n2 5m2n 20m2n3 的公因式是 ( )

A、 5mn

B、5m2n2

C、5m2n

D、5mn2

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()

A、 a 3 a 3 a2 9

B、 a2 b2 a b a b

2 3

C、 a2 4a 5 a a 4 5

D、 m 2m 3 m m 2 m

10. 下列多项式能分解因式的是（）

(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y2 (D)x 2-4x+4

11．把（ x－ y）－（ y－ x）分解因式为（）

A．（ x－ y）（ x－ y－1）C．（ y－ x）（ y－ x－1）B．（ y－x）（ x－y－ 1）D．（ y－x）（ y－x＋ 1）

12．下列各个分解因式中正确的是（）

A． 10ab2c＋ 6ac 2＋ 2ac＝ 2ac （5b2＋ 3c）

B．（ a－ b）2－（ b－a）2＝（ a－ b）2（ a－b＋ 1）

C． x（ b＋c－ a）－ y（ a－b－ c）－ a＋ b－ c＝（ b＋ c－ a）（ x＋ y－ 1）D．（ a－ 2b）（ 3a＋b）－ 5（2b－ a）2＝（ a－ 2b）（11b－ 2a）

13. 若 k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（）

A.2

B.4

C.2y 2

D.4y 2

三、把下列各式分解因式：

14 、 nx ny 15 、 4m2 9n2

16、m m n n n m

17、a32a2b ab2

18、 x2 2

416 x2 19 、 9(m n) 2 16(m n) 2 ；

五、解答题

20、如图，在一块边长a

=6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长 b =3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d 45cm ，外径D 75cm，

长

l 3m

。利

用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14 ，结果保留 2 位有效数字 )

D d

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。

(1)x2 1 x 1 x 1

(2)x4 1 x2 1 x 1 x 1

(3) x8 1 x4 1 x2 1 x 1 x 1

(4) x16 1 x8 1 x4 1 x2 1 x 1 x 1

(5) _________________________________________________

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要

的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提” 、二“公” 、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否

直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利

用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方

法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例 1. 分解因式 x 5 x4 x 3 x 2 x 1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x 5 x 4 x 3和 x 2 x 1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x 5 x4， x 3 x2， x 1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式 ( x5 x 4 x3 ) ( x2 x )

x 3 ( x 2 x 1) ( x2 x 1)

( x3 1)( x 2 x 1)

( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1)

解二：原式 = (x 5 x4 ) (x 3 x 2 ) ( x )

x 4 (x 1) x2 (x 1) ( x 1)

( x 1)( x 4 x 1)

( x 1)[( x 4 2x 2 1) x2 ]

( x 1)( x 2 x 1)( x 2 x 1)

2.通过变形达到分解的目的

例 1. 分解因式 x 3 x 2

解一：将 3 x2拆成 2x 2 x2，则有

原式x 3 2x 2 (x 2 4)

x 2 ( x 2) (x 2)(x 2)

( x 2)( x2 x 2)

( x 1)( x 2) 2

解二：将常数 4 拆成 1 3 ，则有

原式x 3 1 ( 3x 2 3)

( x 1)( x2 x 1) (x 1)( 3x 3)

( x 1)( x2 4x 4)

( x 1)( x 2) 2

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式( x 24)( x 210x 21)100 的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明： (x 2 )( x 2

10 x )

100

4 21

(x 2)( x 2)( x 3)( x 7) 100

(x 2)( x 7)( x 2)( x 3) 100

(x 2 5x 14)( x 2 5x 6) 100

设 y x 2 5x ，则

原式( y 14)( y 6) 100 y 2 8y 16 (y 4 )2 无论 y取何值都有 ( y 4) 2 0

(x 2

4)( x

10x 21)

的值一定是非负数

100

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：(a 2b c) 3 (a b) 3 (b c) 3

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b， b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。

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解：设 a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B 原式 (A

B) 3 A 3 B 3

A 3 3A 2

B 3AB 2 B 3 A 3 B 3

3A 2B

3AB 2

3AB (A B)

3( a b)( b c)( a 2b c)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例 1.在

ABC 中，三边 a,b,c 满足 a

16 b 2 c 2 ab 10 bc 0

求证： a c 2b

证明： a 2

16b 2 c 2

6 a b 10bc 0

a 2 6a

b 9b 2

c 2 10bc 25b 2

即 (a 3b)

( c 5b) 2 0 (a 8b c)(a 2 b c) 0

b c

a 8

b ，即

a 8

c 0

c 于是有 a 2b c 0

即 a c 2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知： x

1 ，则 x 3 1 __________

x 2 x 3

解： x

1 (x 1

2 1 1

x 3 )( x

)

)[( x 1 ) 2 2 1]

x x

1 1

2 1

说明：利用 x 2

) 2

2 等式化繁为易

x 2

题型展示

1. 若 x 为任意整数，求证：

(7 x)(3

x)(4 x 2 ) 的值不大于 100。

解： (7

x)(3 x)(4 x 2 ) 100

( x 7)( x 2)( x 3)(x

2 ) 100 ( x 2

5x 14)( x 2

6) 100

[( x 2 5x) 8(x 2 5x) 16]

( x 2

5x 4) 2

(7 x)(3

x)( 4 x 2 ) 100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于

100，即要求它们的差小于零，把它

们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

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2. 将 a 2

(a 1) 2

(a 2 a) 2 分解因式，并用分解结果计算 62

7 2 422 。

解： a 2

( a 1) 2

( a 2 a 2

)

a 2 a 2 2a 1 ( a 2

a)2 2( a 2 a) 1 (a

a) 2

(a 2 a 1) 2

7 2 42 2

( 36 6 1 2

432 1849

)

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1. 分解因式：

（） 3x 5 10x 4

8x 3

3x 2

10x 8 1

（ 2 ） (a

3a 3)( a 2

3a 1) 5

（） x 2 2xy

3y 2

5y 2 3

（ 4 ） x

7 x 6

2. 已知： x

y 6， xy

1，求： x 3 y 3 的值。

3. 矩形的周长是 28cm ，两边 x,y 使 x 3

x 2 y xy 2 y 3 0 ，求矩形的面积。

求证： n 3

5n 是 6 的倍数。（其中 n 为整数）

5. 已知： a 、 b 、c 是非零实数，且 a 2

b 2

c 2

a 1 1 1 1 1 1 1， (

) b(

) c(

a )3 ，求 a+b+c 的值。

b c a

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6. 已知： a、 b、c 为三角形的三边，比较 a 2 b 2 c2 a2 b 2

的大小。

和 4

经典三：因式分解练习题精选

一、填空：（ 30 分）

1、若x22(m 3)x 16 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、x2x m ( x n)2则 m =____ n =____

3、2x3y2与12 x6y的公因式是＿

4、若x m y n=( x y2)( x y2)( x2y4)，则m=_______，n=_________。

5、在多项式3y2 ?5 y315 y5中，可以用平方差公式分解因式的

有 ________________________ ，其结果是 _____________________ 。

6、若x22(m 3)x 16 是完全平方式，则m=_______。

7、x2(_____) x 2 (x 2)( x _____)

8、已知1x x 2x 2004x20050, 则 x2006________ .

9、若16(

) 2

是完全平方式 M=________。b

10、x26x __( x 3) 2，x 2___9 ( x3) 2

11、若9x2k y 2是完全平方式，则k=_______。

12、若x24x 4 的值为0，则 3x 212x 5 的值是________。

13、若

x 2

15 (

1)(

15) 则 a 。

=_____

14、若x y 4, x2y2 6 则xy___。

15、方程x24x 0 ，的解是________。

二、选择题：（ 10 分）

1、多项式a( a x)( x b) ab(a x)(b x) 的公因式是（）

A、－ a、 B 、a(a x)( x b) C、 a(a x) D 、a(x a)

2、若mx2kx 9 (2x 3) 2，则m，k的值分别是（）

A、 m=—2， k=6，

B、 m=2，k=12 ，

C、 m=— 4，k=— 12、D m=4， k=12、

3、下列名式：x 2y 2 , x 2y2 , x2y2 , ( x) 2( y)2 , x4y 4中能用平方差公式分解因式的有（）

A、1 个，

B、2 个，

C、3 个，

D、 4个

4、计算(1 1

2 )(1

3 ) (1

2 )(1

2 ) 的值是（）2

3 9 10

A 、1

B 、

,C.

,D.

11 2 20 10 20

三、分解因式：（ 30 分）

1 、x4 2x3 35 x

2 2 、 3x 6 3x 2

3 、 25(x 2 y) 2 4( 2 y x) 2

4、x24xy 1 4 y 2

5、x5x

6、x31

7、ax2bx2bx ax b a

8、x418 x2819、9x436 y 210、( x1)( x 2)( x 3)( x 4) 24

四、代数式求值（15 分）

1、已知2x y 1 ， xy 2 ，求 2x4 y 3 x3 y 4 的值。

2、若 x、 y 互为相反数，且( x 2) 2( y 1)2 4 ，求x、y的值

3、已知a b 2 ，求(a2 b 2 ) 28(a2 b 2 ) 的值

五、计算：

（ 15）

3 2001

1 2000

（ 1） 0.75

3.66

2.66 （ 2）

2 （3）2 56

85622244

六、试说明：（ 8 分）

1、对于任意自然数 n ， ( n 7) 2

( n 5) 2 都能被动 24 整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（

8 分）

1、一种光盘的外 D=11.9 厘米，内径的 d=3.7 厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96 厘米，其面积相差 960 平方厘米求这两个正方形的边长。

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：

甲：这是一个三次四项式

乙：三次项系数为 1，常数项为 1。

丙：这个多项式前三项有公因式

丁：这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。

（4 分）

经典四：因式分解

一、选择题

3 2

1 2 3

1 3

4 3

4 2

2 4

）

1、代数式 a b － a b , 2 a b ＋ a b ,a b － a b 的公因式是（

A 、 a 3b 2

B 、 a 2b 2

C 、 a 2b 3

D 、 a 3b 3

2、用提提公因式法分解因式

5a(x － y) － 10b ·(x － y) ，提出的公因式应当为（

）

A 、 5a － 10b

B 、5a ＋ 10b

C 、 5(x － y)

D 、 y － x

3 2

）

3、把－ 8m ＋ 12m ＋ 4m 分解因式，结果是（

A 、－ 2

4m(2m － 3m)

、－ 4m(2m ＋ 3m － 1)

C 、－ 2

4m(2m － 3m － 1)

、－ 2m(4m － 6m ＋ 2)

4、把多项式－ 2x 4－4x 2 分解因式，其结果是（

）

A 、 2( － x 4－ 2x 2)

B 、－ 2(x 4＋ 2x 2)

C 、－ x 2(2x 2＋ 4)

D 、－2x 2(x 2＋ 2)

5、（－ 2）1998＋（－ 2） 1999 等于（）

A 、－ 21998

B 、21998

C 、－ 21999

D 、 21999

6、把 16－ x 4 分解因式，其结果是（）

A 、 (2 － x) 4

、 (4 ＋ x 2)( 4 － x 2)

C 、 (4 ＋ x 2)(2 ＋ x)(2 － x)

、 (2 ＋ x) 3(2 －x)

7、把 a 4－ 2a 2b 2＋ b 4 分解因式，结果是（）

A 、 a 2(a 2－ 2b 2 ) ＋ b 4

B 、(a 2－ b 2) 2 C

、 (a －b) 4

D 、(a ＋ b) 2(a － b) 2

8、把多项式 2x 2

－ 2x ＋ 1

分解因式，其结果是（

）

A 、 (2x －

)

、2(x －

)

C 、 (x －

)

、 1

(x － 1) 2

9、若 9a 2 ＋6(k － 3)a ＋ 1 是完全平方式，则 k 的值是（

）

A 、±4 B

、±2 C 、 3 D 、4或 2

10、－（ 2x － y ） (2x ＋ y) 是下列哪个多项式分解因式的结果（）

A 、 4x 2－ y 2

B 、 4x 2＋ y 2

C 、－ 4x 2－ y 2

D 、－ 4x 2＋ y 2

11、多项式 x 2＋ 3x －54 分解因式为（

）

A 、 (x ＋ 6)(x － 9)

B 、 (x － 6)(x ＋ 9)

、 (x ＋ 6)(x ＋ 9)

、 (x － 6)(x － 9)

二、填空题

1、 2x 2－ 4xy － 2x = _______(x － 2y －1) 2 、 4a 3b 2－ 10a 2b 3 = 2a 2b 2(________)

3、 (1 － a)mn ＋ a －1=(________)(mn －1)

、 m(m － n) 2－ (n －m)2 =(__________)(__________) 5、 x 2－ (_______) ＋16y 2=(

)

6、 x 2－(_______) 2=(x ＋ 5y)( x － 5y)

7、 a 2－ 4(a － b) 2=(__________) · (__________)

8、 a(x ＋y － z) ＋ b(x ＋ y －z) － c(x ＋y － z)= (x ＋ y －z) · (________) 9、 16(x －y) 2－ 9(x ＋ y) 2=(_________) ·(___________) 10、 (a ＋b) 3－ (a ＋ b)=(a ＋ b) ·(___________) ·(__________)

11、 x 2＋ 3x ＋ 2=(___________)(__________)

、已知 x 2＋ px ＋12=(x － 2)(x － 6) ，则 p=_______.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。 (1)x 2－ 2x 3

(2)3y

－ 6y 2＋ 3y

(3)a 2(x － 2a) 2－a(x － 2a) 2 (4)(x

－ 2) 2－ x ＋ 2

(5)25m 2－ 10mn ＋ n 2 (6)12a

b(x －y) －4ab(y －x)

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(7)(x － 1) 2(3x － 2) ＋(2 －3x) (8)a 2＋ 5a＋6 (10)y 2－12y－28 (11)x 2＋4x－5 (12)y

2、用简便方法计算。

（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352

322 3

3、已知： x＋y= ,xy=1. 求 x y＋2x y ＋xy 的值。

四、探究创新乐园

1、若 a－ b=2,a －c= 1

, 求(b －c) 2＋3(b － c) ＋

的值。 2

2 4

经典五：因式分解练习题一、填空题：

(9)x 2 －11x＋24

4－3y3－28y2

1997

(3)

1997 21996 1998

、求证：1111－1110－119=119× 109

2． (a －3)(3 －2a)=_______(3 －a)(3 －2a) ；

4．若 m2－3m＋2=(m＋a)(m ＋b) ，则 a=______，b=______；

5．当 m=______时， x2＋ 2(m－3)x ＋25 是完全平方式．

二、选择题：

1．下列各式的因式分解结果中，正确的是[]

A． a2b＋7ab－b＝b(a 2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)

C． 8xyz－ 6x2y2＝2xyz(4 －3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

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2．多项式 m(n －2) －m 2(2 － n) 分解因式等于 [ ]

A ． (n －2)(m ＋m 2)

B ．(n －2)(m －m 2)

C ．m(n － 2)(m ＋ 1)

D ． m(n －2)(m －

3．在下列等式中，属于因式分解的是 [

]

A ． a(x －y) ＋ b(m ＋n) ＝ax ＋bm － ay ＋bn

B ．a 2－ 2ab ＋b 2＋1=(a －b) 2＋ 1

C ．－ 4a 2＋9b 2＝( －2a ＋3b)(2a ＋3b)

．x 2－ 7x －8=x(x － 7) －8

4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 [

]

A ． a ＋b

B ．－ a ＋b

C ．－ a － b

D ．－ ( －a ) ＋b

2 5．若 9x ＋mxy ＋ 16y 是一个完全平方式，那么 m 的值是 [

]

A ．－ 12

B ．± 24

C ．12

D ．± 12

6．把多项式 a －a

分解得 [

]

n+4 n+1

A ． a n (a 4－a)

B ． a n-1 (a 3－1)

C ．a n+1(a －1)(a 2－ a ＋ 1)

D ．a n+1(a － 1)(a 2＋a ＋1)

7．若 a 2＋a ＝－ 1，则 a 4＋2a 3－3a 2－ 4a ＋3 的值为 [ ]

A ． 8

B ．7

C ．10

D ．12

8．已知 x 2＋y 2＋ 2x －6y ＋10=0，那么 x ， y 的值分别为 [ ]

A ． x=1，y=3

B ．x=1， y=－3

C ．x=－ 1， y=3

D ．x=1， y=－3

9．把 (m 2＋3m)4－8(m 2＋3m)2＋ 16 分解因式得 [

]

A ． (m ＋1) 4 (m ＋ 2)

B ．(m －1) 2 (m －2) 2 (m ＋3m － 2)

C ． (m ＋4) 2 (m － 1)

D ．(m ＋1) 2 (m ＋2) 2

(m ＋3m － 2)

10．把 x 2－7x －60 分解因式，得 [

]

A ． (x －10)(x ＋6)

B ．(x ＋5)(x －12)

C ． (x ＋3)(x －20)

D ． (x －5)(x ＋12)

11．把 3x －2xy －8y 2 分解因式，得 [

]

A ． (3x ＋4)(x －2)

B ． (3x －4)(x ＋2) C

． (3x ＋4y)(x －2y)

D ．(3x － 4y)(x ＋2y)

12．把 a ＋8ab － 33b 分解因式，得 [

]

A ．(a ＋11)(a － 3)

B ．(a － 11b)(a －3b)

C ．(a ＋ 11b)(a －3b)

D ．(a －11b)(a ＋ 3b)

13．把 x －3x

2 ＋ 2 分解因式，得 [

]

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A ． (x 2－2)(x 2－1)

B ．(x 2－2)(x ＋1)(x －1)

C ． (x 2＋2)(x 2＋1) D.(x 2＋2)(x ＋1)(x －1) 14．多项式 x 2－ax － bx ＋ab 可分解因式为 [

]

A ．－ (x ＋ a)(x ＋ b)

B ． (x －a)(x ＋b)

C ．(x －a)(x － b)

D ．(x ＋a)(x ＋b)

15．一个关于 x 的二次三项式，其 x 2 项的系数是 1，常数项是－ 12，且能分解因式，这样的

二次三项式是 [ ]

A ． x 2 －11x －12 或 x 2＋11x － 12

B ． x 2 －x －12 或 x 2＋x －12

C ． x －4x －12 或 x ＋ 4x －12

．以上都可以

16．下列各式 x －x 2 －x ＋1，x ＋y －xy －x ，x －2x －y ＋ 1， (x 2 ＋ 3x) － (2x ＋ 1)

2 中，不

含有 (x －1) 因式的有 [

]

A ．1 个

B ．2 个

． 3 个 D ．4 个

17．把 9－x ＋12xy －36y 分解因式为 [

]

A ． (x －6y ＋3)(x －6x －3)

B ．－ (x －6y ＋ 3)(x －6y －3)

C ．－ (x － 6y ＋3)(x ＋6y － 3) D

．－ (x －6y ＋ 3)(x －6y ＋3)

18．下列因式分解错误的是 [

]

A ． a 2－bc ＋ac －ab=(a －b)(a ＋c)

B ．ab － 5a ＋3b －15=(b － 5)(a ＋ 3)

C ． x ＋3xy －2x －6y=(x ＋ 3y)(x －2)

．x － 6xy －1＋9y =(x ＋3y ＋ 1)(x ＋ 3y －1)

19．已知 a x ±2x ＋ b 是完全平方式，且 a ，b 都不为零，则 a 与 b 的关系为 [

]

2 2

A ．互为倒数或互为负倒数

B ．互为相反数

C ．相等的数

D ．任意有理数

20．对 x 4＋4 进行因式分解，所得的正确结论是 [

]

A ．不能分解因式

B ．有因式 x 2＋ 2x ＋2

．(xy ＋2)(xy －8)

D ．(xy －2)(xy －8)

21．把 a ＋2a b ＋b －a b

分解因式为 [

]

4 2

2 4

2 2

A ． (a 2＋b 2＋ab) 2

B ．(a 2＋b 2＋ab)(a 2＋b 2－ab)

C ． (a 2 －b ＋ab)(a 2 － b －ab)

D ．(a 2 ＋ b －ab)

22．－ (3x －1)(x ＋2y) 是下列哪个多项式的分解结果 [ ]

A ． 3x 2＋6xy －x －2y

B ． 3x 2－6xy ＋x －2y

C ． x ＋ 2y ＋3x 2 ＋6xy

D ． x ＋ 2y －3x －6xy

上海市七年级上学期因式分解精炼

、用提公因式法把多项式进行因式分解 a2x m 2m 1 abx 3、.不解方程组上海市七年级数学因式分解精炼m m3 acx ax 2、.a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a) 2x y 3 5x 3y 2，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 4、.证明：对于任意自然数n, 3n 2 2n 23n2n一定是10的倍数。 2 4 5、.已知：x bx c( b、c为整数)是x 2 4 2 6x 25 及3x 4x 28x 5的公因式，求b、c的值。课堂小练 1.分解因式: (1)4m2n312m3n22mn 2 n 2 , n 1 (2)a x abx acx n adx n 1( n为正整数) 2 2ab(b a) ( 4)3x( x 2) (2 x) (6)4q(1 p)32(p 1)2 2.计算：(2)11( 2)10的结果是 (3)a(a b)32a2(b a)2 3. 已知x、y都是正整数，且x(x y) y( y x) 12，求x、y。 7 9 13 4. 证明：817279913能被45整除。运用公式法进行因式分 3 2 已知多项式2x x m有一个因式是2x求m的值。已知a、b、c是ABC的三条边，且满足b2 c2 ab bc ac 0，试判断ABC的形状。两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。已知：a 1m 2 1，b2, 2 3，求a 2ab b 22ac c22bc的值。 2 27，x2xy 求x2 2 y的值。 6、分解因式 (1)(a 2)2(3a 1)2(2 x5(x 2y) x2 (2y x) 3 2 2 3 (3)2x y 8x y 8xy 2 ⑷a 2a b 22b 7、.已知：X 13,求x4 x 的值。若a，b，c是三角形的三条边, 求证：a2b2c22bc 0 三、用十字相乘法把二次三项式分解因式 4 3 2 1、如果x x mx 2mx 2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式

七年级下册数学因式分解十字相乘练习题

初一数学因式分解专项训练班级：__________ 姓名：__________ 学号：______ 一：用十字相乘法分解因式 (1) t 2-15t+36 （2） x 2-7x+6 (3) a 2-a-12 (4)m 2-8m-20 （5）x 2- 2x-3 （6）x 2-7x+6 （7）x 2-10x+24 (8) a 2+4a-21 (9) p 2-10p-11 (10)x 2-3x-28 (11)b 2+11b+28 (12)2x 2-6x-8 （13）2x 2+15x+7 (14)3a 2-8ab+4b 2 （15）4x 2y 2-5xy 2-9y 2 （16）4m 2+8mn+3n 2 （17）6x 2-11xy+3y 2 （18）a 4-13a 2+36 (19)2x 2-6x-8 (20)6x 2-13x+6 （21）2x 2+3x+1 （22）(x+y)2-5(x+y)-14 （23）ap 2-8ap+7a （24）a a a 12423+-- （25）24129x x -+ （26）24359a a -- （27）2 5()14()8x y x y -+-+ \

二：利用分组分解分解因式 (1) 3a-ax-3b+bx (2) 3ax+4by+4ay+3bx (3) xy-y2-yz+xz （4）20(x+y)+x+y (5)p-q+k(p-q) (6)ac+bc+2a+2b (7)a2+ab-ac-bc (8)x2-y2+ax+ay (9)4a2-b2+6a-3b (10) m2-n2+am+an （11）xy-xz+y-z(12) 4m2-4m+2n-n2 (13) 9y2+6y-4x-4x2(14) x2-6x+9-y2(15) 16a2+8a-b2+1 （16）x2-a2-2x-2a (17)4x2-y2+2x-y (18) x2y2-y2+1-x2(19)4x2-4xy+y2-a2 (20)x2-2xy-m2+y2 (21)1-a2+2ab-b2 （22）x2+2xy+y2-a2(23) 4xy-3xz+8y-6z (24) x2-4y2+x-2y (25)x2-y2-z2+2yz (26) 1-m2-n2+2mn (27)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2

初一数学因式分解练习题

1 因式分解练习 1、分解因式 (1) bc ac ab a -+-2 (2) 1+--y x xy (3) y y x x 3922--- (4) yz z y x 2222--- 2、分解因式 1) 3223y xy y x x --+ 2) b a ax bx bx ax -+-+-22 3) 181696222-+-++a a y xy x 4) a b b ab a 4912622-++- 5) 92234-+-a a a 6) y b x b y a x a 222244+-- 7) 222y yz xz xy x ++-- 8) 122222++-+-ab b b a a 9) )1)(1()2(+---m m y y 10) )2())((a b b c a c a -+-+ 3、分解因式 1) 24142 ++x x 2) 36152+-a a 3) 542-+x x 4) 22-+x x 5) 1522--y y 6) 24 102--x x 4、分解因式： 1) 6752-+x x 2) 2732+-x x 3) 317102 +-x x 4) 10 1162++-y y 5、应用因式分解计算（1）2 998998016++ （2）987987987987 1232644565251368136813681368 ? +?+?+? 6、已知2 (1)()1a a a b ---=-，求 22 2 a b ab +-的值。思考题： 1、设n 为整数，用因式分解说明2 (21)25n +-能被4整除。 2、在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。

初一数学因式分解习题精选

初一数学上因式分解练习题精选一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式2353515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值是（） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5

浙教版七年级数学下册 4.1《因式分解》教案

《因式分解》教案教学目标： (一)教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．教学重、难点：教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系．教学难点：通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系．教学过程：一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．二、明确目标，互助探究： 1?想一想由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)

人教版初一数学上册因式分解

3.2解一元一次方程（一）（1）教学目标 1.会按去括号、移项、合并同类项、系数化为1四步解一元一次方程. 2.知道解一元一次方程过程的实质是使方程向x＝a的形式转化. 教学重点和难点 1.重点：按四步解一元一次方程. 2.难点：解一元一次方程过程的实质. 教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：（1） x＋6＝1移项得；（2）－3x＝－4x＋2移项得；（3） 5x－4＝4x－7移项得；（4） 5x＋2＝7x－8移项得. 2.完成下面的解题过程：解方程2x＋5＝25－8x. 解：移项，得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 3.解方程x ＋6＝x. 2

4.填空：（1）式子（x－2）＋（4x－1）去括号，得；（2）式子（x－2）－（4x－1）去括号，得；（3）式子（x－2）＋3（4x－1）去括号，得；（4）式子（x－2）－3（4x－1）去括号，得. （二）尝试指导，讲授新课例1 解方程3x－7（x－1）＝3－2（x＋3）. 师：与上节课解过的一元一次方程相比，这个一元一次方程有什么特点？生：…… 师：这个一元一次方程的特点是带有括号，解带有括号的一元一次方程，先要去括号. （以下师给出步骤，逐步让生尝试）师：请同学们自己画出表示解这个方程过程的框图. （生画框图，师巡视指导，然后由生说，师在黑板上画出框图）（三）试探练习，回授调节 5.完成下面的解题过程：解方程4x＋3（2x－3）＝12－（x＋4）.

解：去括号，得. 移项，得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 6.解方程6（1 2x－4）＋2x＝7－（1 3 x－1）. （四）归纳小结，布置作业师：今天我们解的一元一次方程需要四步来解，是哪四步？生：去括号、移项、合并同类项，系数化为1. 师：（指框图）不知道同学们是否已经找到了解一元一次方程的一个规律.不管是用二步解一元一次方程也好，用三步、四步解一元一次方程也好，解一元一次方程的过程都是把一个方程变成另一个方程，又把一个方程变成另一个方程，而且最终都是为了把方程变成x ＝a这样的形式.x＝a就是方程的解. （作业： P102习题1.2.）

青岛版七年级下册数学因式分解专题练习及答案

七年级下册数学因式分解专题练习 1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1

9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解专题过关

1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

部编人教版七年级下册数学《多项式的因式分解》教案

3．1 多项式的因式分解 1．理解因式分解的概念；(重点) 2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点) 一、情境导入学校有一个长方形植物园，面积为a2－b2，如果长为a＋b，那么宽是多少？二、合作探究探究点一：因式分解定义的理解下列从左到右的变形中是因式分解的有() ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；②④是因式分解；故选B. 方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：因式分解与整式乘法的关系【类型一】检验因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确． (1)x3＋x2＝x2(x＋1)； (2)a2－2a－3＝(a－1)(a－3)； (3)9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2. 解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积，再与左边的多项式相比较看是否相等．解：(1)因为x2(x＋1)＝x3＋x2，所以因式分解x3＋x2＝x2(x＋1)正确； (2)因为(a－1)(a－3)＝a2－4a＋3≠a2－2a－3，所以因式分解不正确； (3)因为(3a－2b)2＝9a2－12ab＋4b2，所以因式分解9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2正确．

方法总结：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等．变式【类型二】求字母的值已知三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3，试求k 的值及另一个因式．解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3 )，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值．解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3，∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－mx 2－k 3 x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，∴m ＋6＝5，k 3 －3m ＝6，解得m ＝－1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2＋x －3. 方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．三、板书设计多项式的因式分解?????因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系本节课从生活中的实例出发，引导出因式分解这一课题，让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习，激发学生的学习兴趣，为本章后继学习奠定坚实的基础

初一数学下册因式分解.doc

实用标准文档因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式：（ 4）立方差公式：例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1

七年级数学因式分解练习题及答案

七年级数学因式分解练习题及答案一、选择 1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是 A.a=ax+ay B. x-4x+4=x+4 C. 10x-5x=5x D. x-16+3x=+3x 2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是 A. x-y B. x+2x C. x+y D. x-xy+1 3.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是 A.xy B.3xy C.xy D.3xy 4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是 A. x+1 B.x C. x D. x+1 5.下列变形错误的是 A.-x-y=- B.= - C. –x-y+z=- D.= 6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是 A. –xy B.x+y C.-x+y D.x-y 7.下列分解因式错误的是 A. 1-16a= B. x-x=x C.a-bc= D.m-0.01= 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是 A.x－xy

二、填空 9.ab+ab-ab=ab. 10.-7ab+14a-49ab=-7a. 11.3+2=___________ 12.x-y=____________. 13.-a+b= 14.1-a=___________ 15.99-101=________ 12422222222222223222222222223222223332222322222222B. x＋xyC. x－y D. x＋y2222 16.x+x+____= 17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。222 三、解答 18.因式分解： ①?4x3?16x2?24x ②8a2?123 ③2am?1?4am?2am?1 ④2a2b2-4ab+2 ⑤2-4x2y2 ⑥2-4 19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。

七年级上册数学因式分解知识点

因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法 ⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 ⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；

七年级下册因式分解分类练习题经典全面

专题训练六：利用平方差公式分解因式因式分解练习题题型(一)：把下列各式分解因式，使等式成立。专项训练一、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”222 = ，，3、1、= ，2、= y9?a1?x?4、21、)__(ab?bx?y?__(x?y)?a? 222222 = ，6、，= ，5、= 4、zyy?4xx?b1?252??2、 4 3、)?y?___(xy?x)z__(y???zy? 412222 = 8、7、，= ，xa?bm0.01?43346、5、)xy)?__()y??(x?(y?x)?__(x?y 99专项训练二、用提取公因式法把下列各式分解因式。2222= ，= ，10、9、y94x?n36?m 2、= ，= 1、，2ny?nx aba?2222= 1 2、，11、= ，q?25p49ba16?0.81 232，= 4 ，3、= 、 mn2mn?x4x?682422414、13、yba?x1?x 222223y12xyz?x25xy?15xy9 = 、，= 6 5、，22 y3y?ay?6a3，、7 = = ，8、b?9ab?ab5 12xz??x?xy、9 = ，44444、15、16 ba?16m16ab?81322yxy?y12?2824?x，= 10、专项训练三：用提取公因式法把下列各式分解因式。 1、2、)?y(2))(?bx(a?)ya?b(5xx?y?yx (二)：把下列各式分解因式题型2222 2、1、)?n?()m(3m?2n?(xp))?(x?q 4 、、 3)?(mn)(P)(?npq?(qp?qp6q(?)4p(?))?q?m22)?yx)?()?(aab?abyyxx(?)?(6、5、 2222)9(x?y)??b)4(x?16(a?b)y?9(a、3 4、2)?(xxy(yx?x)?)(xy?8、7、)?b?)(2?(2aba3)3?baa(2 222210 9、、)xp(?2(33)a)?yxm(???a(?y)q)c(b)?c?4a(a?b?c)??(a?b、56、 2223)yxx(?)??)?()?(axy?byxxy)?y2(x?(、11、12 题型(：把下列各式分解因式三) 2235ay?4axxx?，1、= ，2、= 专项训练四、利用因式分解计算。33xab2x?2ab16?，，4、= 3、= 、21、 1.186? 2.1861.237??1.237199.8?1.9199.8?4.3199.8?7.6??2324xyax??3ay4x36、，= 、5 = ，

初中七年级数学因式分解

单乘单 1、计算 (－3x 2y)3·(－2xy 3z)2 [2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)] 3 4233 32435?? ? ??-???? ??-?c ab b a ab ·c b a c ab 532243—= 2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( ) A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若9 92 21 3 y x y x y x n n m m =?++-,则 n m 43-的值为（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 多乘多 1、(x+5)(x-7)= 2、计算 ()()514+-y y (3x 2－2x －5)(－2x ＋3) (x －1)(2x －3)(3x ＋1) ()()()()4321----x x x x 3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则 m k +的值为（）（A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2

完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)2 4、(2x ＋3y －z)2 5、下列式子中一定相等的是（） A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2 B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2 C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 6、已知2 2 49x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ； 7、若二项式4m 2 +1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式： +12xy+ = （）2 多项式：+12xy+ = （）2 完全平方公式的关系 1、x 2＋y 2=（x+y ）2－＝（x －y ）2＋ . 2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2 a b -= ；已知（a+b ）2 =144 (a-b)2 =36, 求ab 与a 2 + b 2 的值 3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（） A ．72 B ．－72 C ．0 D ．6 4、若a ＋ 35 1=a ，则221a a +＝______若,41=+ x x 求 44 1x x + = *5、已知a 2 －3a ＋1＝0．求a a 1 + 、22 1a a +和2 1??? ? ? -a a 的值；

七年级因式分解专题复习

《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习因式分解综合训练一、本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。 1. 因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相乘法④最后考虑分组分解法 2. 三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式；四项或四项以上的式子通常用分组分解法。 3. 因式分解一定要彻底，不可半途而废。 4. 因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）；如果有中括号应当去掉中括号…… 总之应当满足最简原则！二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些）例2 分解因式：－2x 3+4x 2－10x 解：原式=－2x （x 2－2x +5）此题中公因式为－2x ，因此括号中所有项均要变号例3 分解因式：－7（m －n ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 解：原式=7（n －m ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 =7（n －m ）2[])(43)(m n m n --+- 这里易误把公因式当成（n －m ）2 =7（n －m ）2（－3n +3m +3）这里产生了新的公因式：－3 =－21（n －m ）2（n －m －1）例4 分解因式：－x 2－4y 2+4xy 解：原式=－（x 2－4xy +4y 2）注意因式分解的思维顺序：先提公因式 =－（x －2y ）2 例5 分解因式：－3x 7+24x 5－48x 3 解：原式= －3x 3（x 4－8x 2+16）先提公因式 = －3x 3（x 2－4）2 x 4－8x 2+16可用完全平方公式分解 = －3x 3[]2 )2)(2(-+x x x 2－4还可以用平方差继续分解 = －3x 3（x +2）2（x －2）2 例6 分解因式：9m 2－6m +1－n 2 解：原式=（9m 2－6m +1）－n 2 =（3m －1）2－n 2 =（3m +n －1）（3m －n －1）例7 ax 2+ay 2－2axy －az 2 解：原式=a （x 2+y 2－2xy －z 2）先提公因式 = a [（x 2+y 2－2xy ）－z 2] 四项式用分组分解法进行分解 =a [（x －y ）2－z 2] = a （x －y +z ）（x －y －z ）

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

七年级数学因式分解培优试题

1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解：（1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+

七年级下册数学因式分解

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因式分解常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法…… 一、提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。例1. 232y x +6512x y －62xy 2105ax ay by bx -+- 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．第（2）题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组。例2.把2222()()ab c d a b cd ---因式分解．二、公式法：根据平方差和完全平方公式例3、 22925x y - 2633x x - 811824+-x x 三、配方法：例4、 2616x x +- 241227x x --

这种配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．四、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解例5、把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 例6、把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 例7、把下列各式因式分解：

(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ (2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．（2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解例8、把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 综合练习： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_______。 2、22)(n x m x x -=++则m =______n =______。 3、232y x 与y x 612的公因式是__________。 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx 13131 x(ab) 3 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2.因式分解的方法：（1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 系数——取各项系数的最大公约数 字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂 例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部 3232 分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc. ②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。 2233 例1：把12ab18ab24ab分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。 2233 解：12ab18ab24ab

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