高等数学(下)——学习指南
一、选择题
1.设直线
34
x y y
k ==与平面293100x y z -+-=平行,则k 等于【 】 A. 2 B. 6 C. 8 D. 10
参考答案:A
直线的方向向量为()3,,4k ,平面的法向量为()2,9,3-。 因为直线和平面平行,所以两个向量的内积为0。 即:329340k ?-?+?= 得到:2k =
2.若2(,)2f x y x y =+,则'(1,0)x f =【 】
A. 4
B. 0
C. 2
D. 1-
参考答案:A 因为
()()2,24x x
f x y x y x ''=+=,
所以,()1,0414x f '=?=
3.'(,)x f x y 和'(,)y f x y 在点00(,)x y 连续是(,)f x y 在点00(,)x y 可微分的【 】
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.无关条件
参考答案:A
由定理直接得到:如果函数(),z f x y =的偏导数,z z
x y
????在点(),x y 连续,则函数在该点的全微分存在。
4.设D 是矩形:0,0x a y b ≤≤≤≤,则D
dxdy =??【 】
A. ab
B. 2ab
C. ()k a b +
D. kab
参考答案:D
对单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知:0,0x a y b ≤≤≤≤,则:()()00D
dxdy a b ab =--=??
5.设D 是方形域:01,01x y ≤≤≤≤,D
xyd σ=??【 】
A. 1
B. 12
C. 13
D. 14
参考答案:D
()()
1,11
1
2200
0,011
44D
xyd dx xydy x y σ===????
6.微分方程'x
y y
=-
的通解是【 】 A. 22x y c += B. 22x y c -= C. 221x y += D. xy c =
参考答案:A
2211'22
x dy x y ydy xdx y x C y dx y =-
?=-?-=?-=+ 即:22x y c +=
7.微分方程3dy
x
y x dx
=+的通解是【 】 A. 34x c x + B. 32x cx + C. 32x c + D. 3
4x cx
+
参考答案:B
32dy y
x
y x y x dx x
'=+?-= 令()1
p x x
=-
,()2q x x = 由一阶线性非齐次微分方程的公式有:
()()()()23
12p x dx p x dx p x dx
y Ce e q x e dx
Cx x x dx
x
x Cx ---???=+?=+?=+?
?
8.2sin ,:||,01D
I y xdxdy D x y π=≤≤≤??,则I =【 】
A. 23
π B. 23π- C. 0 D.
23
参考答案:C
化二重积分为二次积分:
1
220
1sin sin sin 03D
I y xdxdy dx y xdy xdx ππ
π
π--===
=?????
9.如果(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则在该域上【 】 A.只能取得一个最大值 B.只能取得一个最小值
C.至少存在一个最大值和最小值
D.至多存在一个最大值和一个最小值
参考答案:C
由定理知道函数在有界闭区域上连续,则必然存在极值。
10.微分方程2''4'4x y y y e -+=的一个特解形式为【 】
A. 2x y ae =
B. 2x y axe =
C. 2x y ae bx =+
D. 22x y ax e =
参考答案:D
微分方程的特征函数:()2
2442λλλ-+=-, 所以有一个重特征根:2λ=。
据此,微分方程的特解形式为:22x y ax e =。
11.通过点(1,2,3)且平行于直线
231
213
x y y ---==的直线方程为【 】 A .231123x y z ---== B .123
123x y z ---== C .123
213x y z ---==--- D .2(1)(2)3(3)0x y z -+-+-=
参考答案:C
12.垂直于两直线5112x y z +==-和842
321
x y z -+-==-的直线和方向数 为【 】
A .1,-1,2
B .3,-2,1
C .4,-3,3
D .3,5,1
参考答案:D
13.两平面20x y z +-=,32x y z -+=的相互位置为【 】
A .互相垂直
B .互相平行
C .不平行也不垂直
D .互相重合
参考答案:C
14.设直线34
x y y
k ==与平面293100x y z -+-=平行,则k 等于【 】
A .2
B .6
C .8
D .10
参考答案:A
15.两平行平面10x y z +-+=,2223x y z +-=的间距距离为【 】
A .
3
2
参考答案:D
16.函数z = 】
A .222x y +<
B .224x y +≤
C .222x y +≤
D .224x y +<
参考答案:B 17.2
1
2z x y
=
+,则函数在()1,0点的值是【 】 A .
12 B .1 C .1y
D .21
2x
参考答案:A
18.函数ln z = 】
A .221x y -≥
B .220x y -≥
C .221x y ->
D .220x y ->
参考答案:D
19.设(),,2f x y z x =,则()1,0,1f -=【 】
A 2
B 2
C .2
参考答案:C
20.二元函数22
2x
u x y =
-的所有间断点是【 】
A .点()0,0
B .折线y x =
C .y x =
D .y x =与y x =-
参考答案:D
21.31z x y =++,则
z
x
?=?【 】 A .3 B .3y + C .31y ++ D .3x
参考答案:A
22.函数()23,5f x y x y =,则()0,0x f '=【 】
A .0
B .5
C .1
D .10
参考答案:A
23.设y z x =,则
()
,1e z
x ?=?【 】 A .e B .1e - C .1 D .0
参考答案:C
24.若()2,2f x y x y =+,则()1,0x f '=【 】 A .4 B .0 C .2 D .-1
参考答案:A
25.设xy z xe =,则z
x
?=?【 】
A .xy xye
B .2xy x e
C .xy e
D .()1xy xy e +
参考答案:D
26.若2z x y =+,则dz =【 】
A .dx dy +
B .2y dx xdy +
C .2dx ydy +
D .222y dx ydx ydy ++
参考答案:C
27.若(),f x y 在点()00,x y 之某邻域上确定且()()
()00,,lim
,x y x y f x y →存在,
则(),f x y 在点()00,x y 处【 】
A .连续
B .可微
C .间断
D .不一定连续
参考答案:A
28.(),x f x y '和(),y f x y '在点()00,x y 连续,是(),f x y 在点()00,x y 处可微 的【 】
A .充分条件
B .必要条件
C .充要条件
D .无关条件
参考答案:A
29.设ln 1x z y ??
=+ ???,则()1,1dz =【 】
A .
11x y y -+ B .11dx dy x y y
-+ C .0 D .()1
2dx dy -
参考答案:D
30.(),f x y 在点()00,x y 可微是(),f x y 在点()00,x y 的两个偏导数()00,x f x y ' 和()00,y f x y '存在的【 】
A .充分条件
B .必要条件
C .充要条件
D .无关条件
参考答案:A
31.()00,x y 是二元函数(),z f x y =的驻点,则函数在该处【 】 A.一定有极大值 B.一定有极小值 C.有极大值或极小值 D.不一定有极值
参考答案:D
32.设222z x x y =--,则它在点()1,0处【 】
A.取得最大值
B.无极值
C.取得极小值
D.无法判断是否有极值
参考答案:B
33.若()00,x y 为(),f x y 之极值点,且f 在()00,x y 处可导,则()00,x y 为f 的【 】
A .最值点
B .驻点
C .连续点
D .零点
参考答案:B
34.设()()0000,,0x y f x y f x y ''==,则()00,x y 是(),f x y 的【 】 A .零点 B .极值点 C .驻点 D .最大值点
参考答案:C
35.函数223z x y =-在()0,0点为【 】
A .驻点
B .极大值点
C .极小值点
D .间断点
参考答案:A
36.设V 是一个正方体:01x ≤≤,01y ≤≤,01z ≤≤,而1
3
v
x y z
d v I ++=???
,
()
2
23
v
x y z dv I ++=???
,则【 】
A .12I I >
B .21I I >
C .12I I ≤
D .12I I ≥
参考答案:A
37.若D 是由1x =,1x =-,1y =,1y =-围城的矩形区域,
则D
dxdy =??【 】 A .0 B .1 C .4 D .2
参考答案:C
38.设D 是矩形域:a x b ≤≤,c y d ≤≤,则D
d σ=??【 】
A .a b c d +++
B .abcd
C .()()a b d c --
D .()()b a d c --
参考答案:D
39.设D 是矩形域:0x a ≤≤,0y b ≤≤,则D
dxdy =??【 】
A .ab
B .2ab
C .()k a b +
D .kab
参考答案:D
40.设D 由y x =,2y x =,1y =围成,D
dxdy =??【 】
A .
12 B .14 C .1 D .32
参考答案:B
41.设D 是环形区域:2214x y ≤+≤,则D
d σ=??【 】
A .π
B .4π
C .2π
D .3π
参考答案:D
42.2
2
x
y D
l e dxdy +=??,22:4D x y +≤,则l =【 】
A .
()4
12
e π
- B .()421e π- C .()41e π- D .4e π
参考答案:C
43.设D 是圆域:221x y +≤,则D
xd σ=??【 】
A .130
sin d r d πθθθ?? B .21
20
cos d r dr πθθ??
C .120
cos d r d πθθθ?? D .1
200
sin d r dr πθθ??
参考答案:B
44.设区域D 由曲线x =0y =所围成,则区域D 的面积为【 】 A .1
00
d dx πθ?? B .12
02
d rdr π
πθ-
?? C .2100d rdr πθ?? D .21
00
d dr πθ??
参考答案:B
45.()
22ln ,D
I x y dxdy =??,221
:
14
D x y ≤+≤,则I 的值为【 】 A .负 B .零 C .正 D .以上三种都不是
参考答案:A
46.微分方程33dy
xy x y dx
+=是【 】
A .六阶的
B .三阶的
C .一阶的
D .二阶的
参考答案:C
47.微分方程2
x y e -
'=的通解是【 】 A .2
x y e
c -=+ B .2
x y e c =+ C .2
2x y e c -
=-+ D .2
x y ce -
=
参考答案:C
48.微分方程x
y y
'=-
的通解是【 】 A .22x y c += B .22x y c -= C .221x y += D .xy c =
参考答案:A
49.微分方程2y x '=的通解是【 】
A .2y x c =+
B .y x =
C .2y x =
D .2y cx =
参考答案:A
50.微分方程()3
40xyy x y y y ''''+-=的阶数是【 】 A .3 B .4 C .5 D .2
参考答案:D
51.微分方程2x y y e '+=是【 】
A .二阶微分方程
B .齐次微分方程
C .一阶线性微分方程
D .可分离变量的微分方程
参考答案:C
52.微分方程()2
21yy y '+=满足()01y =的解是【 】
A .()2211x y -+=
B .221x y +=
C .()2211x y ++=
D .()2
211x y +-=
参考答案:B
53.微分方程220xy y x y '''''++=是【 】
A .二阶的
B .一阶的
C .四阶的
D .三阶的
参考答案:D
54.微分方程2xy y '=有一个解是【 】
A .25y x =
B .35y x =
C .2y x =
D .32y x =
参考答案:A
55.微分方程20y xy '-=的通解是【 】
A .y x =
B .y cx =
C .2y cx =
D .2
x y ce =
参考答案:D
56.微分方程0xy y '''-=的通解是【 】
A .112x
y c c e =+ B .2
12y c x c =+ C .112x
y c c e -
=+ D .12x y c x c e =+
参考答案:B
57.微分方程90y y ''-=的通解是【 】 A .()312x y c c x e =+ B .()312x y x c c x e =+ C .3312x x y c e c e -=+ D .12cos3sin3y c x c x =+
参考答案:C
58.微分方程0y y ''+=有一个解是【 】
A .ln y x =
B .2y x =
C .sin y x =
D .x y e =
参考答案:C
59.微分方程90y y ''+=的通解是【 】 A .()312x y c c x e =+ B .()312x y x c c x e =+
C .3312x x y c e c e -=+
D .12cos3sin3y c x c x =+
参考答案:D
60.微分方程y y '=满足初始条件02x y ==的特解是【 】 A .1x y e =+ B .2x y e = C .22x y e = D .2x y e =
参考答案:B
二、填空题
1.与两直线1
12x y t z t
=??
=-+??=+?
及121121x y z ++-==都平行,且过原点的平面方程为__________
参考答案:0x y z -+=
有两直线方程知其方向向量分别为:(0,1,1)和(1,2,1)。 设平面方程为:0Ax By Cz D +++=,法向量为(A ,B ,C )。 直线与平面平行,则法向量与方向向量内积为0,平面又过原点。
所以,0000
0+1101210A B C D A B C A B C ?+?+?+=??
??+?=???+?+?=?
,求得A=1,B=-1,C=1,D=0 。
综上,所求平面的方程为:0x y z -+= 。
2.sin()cos z xy x y =-,z
x
?=?__________
参考答案:cos()cos z
y xy y x
?=+?
()()()sin cos cos cos xy x y z y xy y x x ?-?==+??
3.二元函数2xy z yx e =+,则(1,2)
z y
?=?__________
参考答案:
2
(1,2)
1z
e y
?=+?
()()
()
222(1,2)
1,21,21xy xy
yx e z x xe e y
y
?+?=
=+=+??
4.函数223()z x y =++的最小值点是__________
参考答案:00(,)(0,0)x y =
因为原式中20x ≥,当且仅当x=0时,取到极小值0 ; 同样,20y ≥,当且仅当y=0时,取到极小值0 。 所以,函数的极小值点位于(0,0)
5.设D 域为221x y +≤,则D
d σ=??__________
参考答案:π
因为积分区域为221x y +≤,一个半径为1的圆。 所以D
d σ??是求圆的面积:π
6.设D 是曲线21y x =-与0y =所围成,则D
xd σ=??__________
参考答案:0
2
1
1
1241
1
11
024x D
xd xdx dy x x σ---==-=???
?
7.设积分区域D 是2214x y ≤+≤,则D
dxdy =??__________
参考答案:π3
2214x y ≤+≤是一个外环半径为2,内环半径为1的圆环,积分式D
dxdy ??是
在圆环上单位1的二重积分,所以求的是圆环的面积。 原式=22413πππ?-?=
8.设arctan()z xy =,其中x y e =,求dz
dx
=__________
参考答案:21()x
dz y xe dx xy +=+
直接求微计算:
()()()()()()
22
2
arctan 1
1111x x
d xy dz dxy dx dxy dx dy y x dx xy y x
e xy y xe xy =???=?+ ??
?+=?+++=+
9.微分方程'x y y e +=的通解为y =__________
参考答案:
12x
x y e ce -=
+
'x y y e +=对应的线性一阶齐次方程是: 0x dy dy y dx y Ce dx y
-+=?=-?= 结合原方程,等式右边项含x ,所以通项公式为:
()x y C x e -=
将通项公式带入原式,得到:
()()x x dy
C x e C x e dx
--'=- 代入
x dy
y e dx
+=,得到: ()()()()()21
2
x x x x x
x x x C x e C x e y e C x e e C x e e dx C C x e C
---'-+='?=?=?+?=+?
最后得到:21122x x x x y e C e e Ce --??
=+=+ ???
10.微分方程''2sin y y x +=的一个特解应具有形式是__________
参考答案:()sin ()cos y ax b x cx d x =+++
原微分方程的特征函数是:210λ+=,1w =。 得到两个无理根:i λ=±。
即iw ±是特征根。
因此,特解的形式为:*()sin ()cos y ax b x cx d x =+++
11.设3a =v ,5b =v ,4c =v ,且满足0a b c ++=v v
v v ,则a b b c c a ?+?+?=v v v v v v ___
参考答案:36
12.设{}2,1,2a =v ,{}4,1,10b =-v ,c b a λ=-v v v
,且a c ⊥v v ,则λ=__________
参考答案:23
13.设不全为0的实数1λ,2λ,3λ使1230a b c λλλ++=v v
v v ,则三个向量,,a b c v v v 具有__________
参考答案:共面
14.设32a i j k =--v v v v ,2b i j k =+-v v
v v ,则()23a b -?=v v __________
参考答案:18
15.点()1,2,3到平面2z =的距离为__________
参考答案:1
16.函数
z =的间断点是__________
参考答案:221x y +=
17.函数ln ln z x y =+的定义域是__________
参考答案:(){},|0,0x y x y >>
18.函数1
z x y
=-在__________间断。
参考答案:0x y -=
19.函数32z x y =+的定义域是__________
参考答案:定义域是整个平面
20.设(),ln 2x f x y y y ??
=+ ???,则()2,1f =__________
参考答案:ln 2
21.设()ln z x x y =+,则2z x y
?=??__________
参考答案:()
2
x
x y -+
22.()3
z x xy =+,z
y
?=? __________
参考答案:()2
3x x xy +
23.ln 2y z x x ?
?=+ ??
?,则z x ?=?__________
参考答案:241
2x x y x
++
24.设xy z xe =,则z
x
?=?__________
参考答案:()1xy xy e +
25.33z x y xy =-,则z
x
?=?__________
参考答案:233x y y -
26.设()2
2
2
20x y z z ++=>,则22
1
x z
y
=?=?__________
参考答案:1-
27.设2x y z e -=,其中sin x t =,3y t =,求dz
dt
=__________
参考答案:()22cos 6x y t t e --
28.设()arctan z xy =,其中x y e =,求dz
dt
=__________
参考答案:()
2
1x y xe xy ++
29.设()2
1
ax e y z u a -=+,其中sin y a x =,cos z x =,求du
dx =__________
参考答案:()
2cos sin 1
ax e ay az a x x a -+++
30.设22z u v =+,其中u x y =+,v x y =-,求z
x
?=?__________
参考答案:22u v +,22u v -
31.二元函数222z x y =--的极大值点是__________
参考答案:()0,0
32.二元函数()223z x y =++的最小值点是__________
参考答案:()0,0
33.二元函数32242z x x xy y =-+-的两个驻点是__________
参考答案:()0,0,()1,1
34.二元函数()()2264z x x y y =--的极大值点是__________
参考答案:极大值()3,236f =
35.二元函数()222x z e x y y =++的极小值点是__________
参考答案:极小值1,122e f ??
-=- ???
36.设D 是矩形区域(){},|01,03x y x y ≤≤≤≤,则D
dxdy =??__________
参考答案:3
37.设D 域为221x y +≤,则D
d σ=??__________
参考答案:π
38.若积分区域D 是2214x y ≤+≤,则D
dxdy =??__________
参考答案:3π
39.设D 为()0,0O ,()1,0A 与()0,1B 为顶点三角形区域,(),D
f x y dxdy =??___
参考答案:()1
,x
dx f x y dy ??
40.设D 是曲线21y x =-与0y =所围成,则D
xd σ=??__________
参考答案:0
41.设Ω表示域:2221x y z ++≤,则zdv Ω
=???__________
参考答案:0
42.设D 是由x 轴、y 轴及直线1x y +=所围城的区域,则D 的面积为_______
参考答案:1
100
x dx dy -??
43.2sin D
I y xdxdy =??,:D x π≤,01y ≤≤,则I =__________
参考答案:0
44.设V 由x y z k ++≤,01x ≤≤,01y ≤≤,
0z ≥所确定,且7
4v xdxdydz =???, 则k =__________
参考答案:14
3
45.设V 由01x ≤≤,01y ≤≤,01z ≤≤所确定,则v
dv =???__________
参考答案:1
46.由2222x y z z ++≤及22x y z +≥所确定的立体的体积V =__________
参考答案:
2
2
1
11x y dx -+??
47.设区域:04
D π
θ≤≤,01r ≤≤,则在极坐标系下(),D
f x y d σ=??_________
参考答案:()1
4
cos ,sin dt f r t r t rdr π
??
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式: 二 基本积分表: 三 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方: 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
导数公式: (tgx) sec 2 x (ctgx) csc 2 x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x ln a (log a x) 1 x ln a 基本积分表: 高等数学复习公式 高等数学公式 1 (arcsin x) x 2 1 (arccos x) 1 1 x 2 1 ( arctgx ) 2 1 x ( arcctgx ) 1 x 2 1 tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2 2 a x x 2 a 2 dx 2 2 a x a 2 x 2 ln cosx C ln sin x C ln secx tgx C ln cscx ctgx C 1 arctg x C a a 1 ln x a C 2a x a 1 ln a x C 2a a x x C arcsin a dx sec 2 xdx tgx C cos 2 x dx csc 2 xdx ctgx C sin 2 x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x 2 a 2 ) C x 2 a 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分: sin x 2u , cos x 1 u 2 , u tg x , dx 2du 1 u 2 1 u 2 1 u 2
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
238 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式手册 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ·和差角公式: ·和差化积公式: 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-= =+= -= ----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
·倍角公式: ·半角公式: αα αααααααααααα α ααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 2 cos 12cos 2cos 12 sin -= +=-+±=+=-=+-± =+±=-±=ctg tg ·正弦定理:R C c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理: C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -= -=2 arccos 2 arcsin π π α ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --= -=-=α α αααααααααα αα22222212221 2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -= -= -=-=-==
高等数学微分和积分数学公式(集锦) (精心总结) 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =+++?∞>??? (系数不为0的情况) 二、重要公式(1)0sin lim 1x x x →= (2)()1 0lim 1x x x e →+= (3 ))1n a o >= (4 )1n = (5)lim arctan 2x x π→∞= (6)lim tan 2 x arc x π →-∞=- (7)lim arc cot 0x x →∞ = (8)lim arc cot x x π→-∞ = (9)lim 0x x e →-∞ = (10)lim x x e →+∞ =∞ (11)0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系(0x →) sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=
高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
【关键字】大全 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ·和差角公式: ·和差化积公式: ·倍角公式: ·半角公式: ·正弦定理: ·余弦定理: ·反三角函数性质: 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式: 中值定理与导数应用: 曲率: 定积分的近似计算: 定积分应用相关公式: 空间解析几何和向量代数: 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
方向导数与梯度: 多元函数的极值及其求法: 重积分及其应用: 柱面坐标和球面坐标: 曲线积分: 曲面积分: 高斯公式: 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: 常数项级数: 级数审敛法: 绝对收敛与条件收敛: 幂级数: 函数展开成幂级数: 一些函数展开成幂级数: 欧拉公式: 三角级数: 傅立叶级数: 周期为的周期函数的傅立叶级数: 微分方程的相关概念: 一阶线性微分方程: 全微分方程: 二阶微分方程: 求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限 【说明】表明无限接近,但,所以这一零因子可以约去。 【解】=4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限 【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?= 11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d () x x ax b +?=211ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分 10 .x C 11 .x ? =22(3215ax b C a -+ 12 .x x ? = 22232(15128105a x abx b C a -++ 13 .x =22(23ax b C a -+ 14 .2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0)(0)C b C b ?+>+< 16 . 2a b 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分
19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0)(0)x C b C b ?+>???+< 23.2d x x ax b +?=21ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 21ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +?=21d a x bx b ax b --+? 27.32d ()x x ax b +?=2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+
高等数学必背公式 说明:这里有你想要的东西,高等数学必备公式一应俱全。 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式: sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式: sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式: 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式: 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式:22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式:
精心整理 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数:两个重要极限: 三角函数公式: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='=' 22 1 11 )(arccos 11 )(arcsin x x x x -- ='-= '? ?+±+=±+=C a x x a x dx C shx chxdx )ln(222 2C a x arctg a x a dx ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=++-=++=+=+-=?????1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππ
βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin(
·半角公式: ·正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理: C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质:arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式: 中值定理与导数应用: 曲率: 定积分的近似计算: 定积分应用相关公式: 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向 曲线积分: 曲面积分: 高斯公式:
高数公式大全 1.基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=, , , 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:2) 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高 等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一阶初等函数:两个重要极限: 三角函数公式: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
高等数学公式大全 1、导数公式: 2、基本积分表: 3、三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
常用高数公式 ?1、乘法与因式分解公式 ?2、三角不等式 ?3、一元二次方程的解 ?4、某些数列的前n项和 ?5、二项式展开公式 ?6、基本求导公式 ?7、基本积分公式 ?8、一些初等函数两个重要极限 ?9、三角函数公式正余弦定理 ?10、莱布尼兹公式 ?11、中值定理 ?12、空间解析几何和向量代数 ?13、多元函数微分法及应用 ?14、多元函数的极值 ?15、级数 ?16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2 1.4 123221 ()() n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ L(n为奇数) 2、三角不等式2.1 2.2 2.3 2.4 2.6
3、一元二次方程的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系: 4、某些数列的前n项和 4.2 4.3 4.7 5、二项式展开公式
6、基本求导公式: 7、基本积分公式: 8、一些初等函数:两个重要极限: 9、三角函数公式: x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数)为常数)αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???????+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1 )1(101 αααα x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-= =+= -= ----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1 sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
大学高等数学公式汇总大全(珍藏版) 常用导数公式: 常用基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式 高等数学公式 导数公式: (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 (ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (csc x) csc x ctgx ( arctgx ) 1 (a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 ( arcctgx ) 1 2 1 x x ln a 基本积分表: 三角函数的有理式积分: tgxdx ln cos x C dx 2 tgx C cos 2 x sec xdx ctgxdx ln sin x C dx csc 2 xdx ctgx C secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ln csc x ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x cscx ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a C x 2 a 2 ln 2a x a shxdx chx C dx 1 ln a x C chxdx shx C a 2 x 2 2a a x dx arcsin x C dx a 2 ln( x x 2 a 2 ) C a 2 x 2 a x 2 2 2 n 1 I n I n sin n xdx cos n xdx 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a sinx 2u ,cosx 1 u 2 u x 2du u 2 1 2 , tg , dx 1 2 1 u 2 u