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平均变化率问题

平均变化率问题
平均变化率问题

知识点1:平均变化率问题

若设每次的平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的数量为a,

则第一次增长(或降低)后的数量为___________,

第二次增长(或降低)后的数量为_____________,

即______________.

1.某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为( )

A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144 C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144 2.经过两年的连续治理,某城市的大气环境有了明显改善,其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨,则平均每年下降的百分率是( ) A.10%B.15%C.20%D.25%3.

3.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为__ __.4.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )

A.50(1+x2)=196 B.50+50(1+x2)=196 C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196

D.50+50(1+x)+50(1+2x)=196

5.某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求这个增长率.

解:设这个增长率为x,

根据题意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8,

解得x1=0.2=20%,x2=-1.2(不合题意,舍去),则所求增长率为20%

6.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.

(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为____________万元;

(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.

解:根据题意得4+2.6(1+x)2=7.146,

解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去),

∴可变成本平均每年增长的百分率是10%

知识点2:市场经济问题

1.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元,若该商品两次调价的降价率相同,则这个降价率为_______;经调查,该商品每降价0.2元,即可多销售10件,若该商品原来每月销售500件,那么两次调价后,每月可销售商品_________件.2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是( )

A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 3.某商店准备进一批季节性小家电,单价40元,经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?

解:设每个商品的定价是x元,

由题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,

整理得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.

当x=50时,进货180-10(x-52)=200,不舍题意,舍去;

当x=60时,进货180-10(x-52)=100,符合题意,则该商品应进货100个,定价为60元

4.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?解:设购买了x件这种服装,’

根据题意得[80-2(x-10)]x=1200,

解得x1=20,x2=30.

当x=30时,80-2(30-10)=40<50,不符合题意,舍去,∴x=20,则她购买了20件这种服装5.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x 元.

如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?

解:依据题意,得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9000,整理得x2-20x +100=0,解得x1=x2=10,当x=10时,80-x=70>50,则第二个月的单价应是70元

6.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.

(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为________万元;

(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)

解:设需要售出x部汽车,由题意可知,每部汽车的销售利润为28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(万元).当0<x≤10,根据题意,得x(0.1x+0.9)+0.5x=12,整理得x2+14x-120=0,解得x1=-20(不合题意,舍去),x2=6;当x>10时,根据题意,得x(0.1x+0.9)+x=12,整理得x2+19x-120=0,解得x1=-24(不合题意,舍去),x2=5,因为5<10,所以x2=5舍去,则需要售出6部汽车

营销问题及平均变化率问题与一元二次方程【公开课教案】

第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程 1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题;(重点、难点) 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识. 一、情景导入 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元? 二、合作探究 探究点一:利用一元二次方程解决营销问题 某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时,能卖500件.已知该商品每涨价1元,销售量就会减少10件,为获得8000元的利润,且尽量减少库存,售价应为多少? 解析:销售利润=(每件售价-每件进价)×销售件数,若设每件涨价x元,则售价为(50+x)元,销售量为(500-10x)件,根据等量关系列方程即可. 解:设每件商品涨价x元,根据题意,得 (50+x-40)(500-10x)=8000,即x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30. 经检验,x1=10,x2=30都是原方程的解. 当x=10时,售价为10+50=60(元),销售量为500-10×10=400(件). 当x=30时,售价为30+50=80(元),销售量为500-10×30=200(件). ∵要尽量减少库存,∴售价应为60元. 方法总结:理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键,另外,“尽量减少库存”不能忽视,它是取舍答案的一个重要依据. 探究点二:利用一元二次方程解决平均变化率问题 某商场今年1月份的销售额为60万元,2月份的销售额下降10%,改进经营管理后月销售额大幅度上升,到4月份销售额已达到121.5万元,求3,4月份销售额的月平均增长率. 解析:设3,4月份销售额的月平均增长率为x,那么2月份的销售额为60(1-10%)万元,3月份的销售额为60(1-10%)(1+x)万元,4月份的销售额为60(1-10%)(1+x)2万元. 解:设3,4月份销售额的月平均增长率为x. 根据题意,得60(1-10%)(1+x)2=121.5,则(1+x)2=2.25, 解得x1=0.5,x2=-2.5(不合题意,舍去). 所以,3,4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结:解决平均增长率(或降低率)问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a,变化后的量为b,平均每年的增长率(或降低率)为x,则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2=b,求出所需要的量. 三、板书设计 营销问题及平均变化率

《函数的变化率》教案(新人教A版1)

课题:3.1 函数的变化率 教学目标: 1、知识目标:通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念; 掌握求简单函数平均变化率的方法,会求函数的平均变化率; 理解函数的平均变化率的含义,引出函数的瞬时变化率概念,简单应用 为下一节导数概念的学习打好基础。 2、能力目标:使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径:背景——数学表示——应用, 培养学生独立思考,解决问题的能力和在生活中建立数学模型,用数学理 论解释生活问题、应用数学的能力。 3、情感目标:使学生通过学习,了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法, 鼓励学生主动探究、不惧困难,勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究 ——总结型的学习习惯。 教学重点:函数自变量的增量、函数值的增量的理解 函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。 教学难点:函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。 教学方法:例举分析——归纳总结——实际应用 教学过程: 一、引入: 1、情境设置:(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题:当陡峭程度不同时,登山队员的感受是不一样的,如何用数学来反映山势的 陡峭程度,给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢? 3、引入:让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。 二、例举分析: (一)登山问题 例:如图,是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 才

问题:当自变量x 表示登山者的水平位置,函数值y 表示登山者所在高度时,陡峭程度应怎 样表示? 分析:1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A 自变量x 的改变量: 1x x =? 函数值y 的改变量:1y y =? 直线AB 的斜率: x y x x y y k ??=--=0101 说明:当登山者移动的水平距离变化量一定(x ?为定值)时, 垂直距离变化量(y ?)越大,则这段山路越陡峭; 2、选取弯曲山路CD 放大研究 方法:可将其分成若干小段进行分析:如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。(图略) 结论:函数值变化量(y ?)与自变量变化量)(x ?的比值 x y ??反映了山坡的陡峭程度。 各段的 x y ??不同反映了山坡的陡峭程度不同,也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当x y ??越大,说明山坡高度的平均变化量越大,所以山坡就越陡;当 x y ??越小,说明山坡高度的平均变化量小,所以山坡就越缓。 所以, k k k k x x x f x f x y --=??++11)()(——高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量,叫做函数f(x)的平均变化率。 三、 函数的平均变化率与应用。 (一) 定义:已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义, 令0x x x -=?; )()()()(0000x f x x f x f x f y y y -?+=-=-=?。 则当0≠?x 时,比值 x y x x f x x f ??=?-?+)()(00 叫做函数)(x f y =在0x 到x x ?+0之间的平均变化率。

平均变化率教案

高中数学选修2—2 平均变化率(教案)

高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率(教学设计) 一、教学目标 知识与技能: 1、理解平均变化率的概念; 2、通过具体事例,感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学 描述刻画现实世界的过程。 过程与方法: 1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力; 2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感、态度与价值观: 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 二、教学重点、难点 重点:平均变化率的概念的归纳得出;求函数在某个区间的平均变化率。 难点:从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。 三、教学方法 引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念;引导学生通过积极探究、讨论,逐步理解如何求函数的平均变化率。 四、教学基本流程 创设情境,引导探索分析归纳,建立概念 例题讲解,尝试应用回顾反思,感悟升华

五、教学过程(具体如下表) 教 学 环 节 教学内容师生互动设计意图备注 创设情景、 引入新课问题一:速率问题 汽车在启动后的0--10秒内,行驶了 200米,那么它行驶的平均速率是多少 问题二:高台跳水 播放郭晶晶跳水视频,让学生看高台 跳水情形,然后提出问题: 在高台跳水运动中,给出运动员相对于水 面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单 位:s)存在函数关系h(t)= ++10.思考, 我们可以用什么物理量来描述运动员在某 段时间内的运动快慢情况(平均速度),然 后给出平均速度的实质: 平均速度实质就是 运动员在某段时间内的 位移对于时间的平均变 化率,在物理上叫平均 速度,又把这个问题引 导平均变化率上。使平 均变化率再次体现变化 的快慢. 让学生操作验证: 计算:5.0 0≤ ≤t和2 1≤ ≤t的平均速度v 在5.0 0≤ ≤t这段时间里, ) / ( 05 .4 5.0 )0( )5.0( s m h h v= - - =; 在2 1≤ ≤t这段时间里, ) / (2.8 1 2 )1( )2( s m h h v- = - - = 然后比较快慢,体现可以用平均速度描述 运动的快慢。 给出问题激发学生的求知 欲,组织学生讨论、交流, 引导学生得到结果。 给学生提出问题,引导学 生通过所学的物理知识回 答问题,最终引导学生意 识到平均速度就是平均变 化率,所描述的运动的快 慢就是变化的快慢。 利用学生很熟悉 的物理问题并从 简单的背景出发, 有利于学生利用 原有的知识解决 我们所设置的问 题,符合学生的认 知规律。,让学生 意识到可以用变 化率体现事物变 化的快慢情况。 平均速度的 变化学生们 能感同身 受,对这个 问题的研究 能使他们有 很好的接受 感,从而进 一步激发他 们强烈的求 知欲。 h t o

1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.0) 1()2(L dm r r ≈-

平均变化率

江苏省盱眙中学高二数学组张勇 平均变化率 【创设情境】 1.同学们,相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,这种现象我们如何去解释 呢! 2.请观察教材中图,随着时间的推移,气温的变化趋势;从图中我们可以看出:在整个区间[1,32]这个31天内,气温仅仅上升了15.1;0问题1:平均每小时上升了多少度?而在区间[32,34]这两天内,气温就上升了14.80, 问题2:平均每小时上升了多少度? 我们把这个比值叫做在给定的区间上的平均变化率; 虽然A,B之间的温差与点B,C之间的温差几乎不同,但它们的平均变化率却相差很大;因此我们可以利用平均变化率的大小来刻画变量平均变化的趋势,快慢程度; 问题3:观察这个比值与这两点连线斜率之间有什么关系? 【探索研究】 1、平均变化率: f(x)?f(x)12上的平均变化率为[x一般地,函数f(x)在区间,x]21x?x12点拨:?xxx??○x?,1本质:如果函数的自变量的“增量”为相应的函数值的“增量”为,且12f(x)?f(x)y?21?)f(x)f?y?(x?xx?xx?x)(fxy?到,则函数, 从的平均变化率为122121. 江苏省盱眙中学高二数学组张勇

○;连线的斜率(割线的斜率)2几何意义:两点)) )),(x,f(x(x,f(x1122○,或说在某个区平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)3间上曲线陡峭的程度; 课件展示平均变化率; 【例题评析】 2+2x,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率1:已知函数f(x)=x; 例1.[1,2] 2. [3,4] 3. [-1,1] ?y; ,求2+△y))及邻近一点B(1+△x,的图象上取一点变题1:在曲线y=x2+1A(1,2 ?x f(x)=2x+1, :已知函变题2 的平均变化率;-1],[0,5]上函数f(x)1.分别计算在区间[-3,上的平均变化率的特点;探求一次函数y=kx+b在区间[m,n]2.1x?)f(x?y内的平均变化率在区间[1,1+]变式3: 求函数x反思:曲线上两点的连线(割线)的斜率即为函数f(x)在区间[x,x]上的BA f(x)?f(x)AB平 均变化率;x?x AB12:自由落体运动的物体的位移s(单位:s)与时间t(单位:sgt(g是例3)之间的关系是:s(t)=2重力加速度),求该物体在时间段[t,t]内的平均速度;21 【反馈练习】 ???????1.0,,上的平均变化率,并比较大小;在区间y=sinx 和试比较正弦函数???? 362????23ax)?f(x f(x)在区间[-2,-1]则在区间[1,2]上的平均变化率为上的平均变化2.练习: 已知函数,率为( ) ?23? D.-3 C.-2 B. A. 江苏省盱眙中学高二数学组张勇 3.在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度与起跳的时间t的函数关系为 2(a?0,b??c?bt?at0)h(t),则( ) bbbbbb)?h(0)h()?h()h()?h(0)h()?h()h(aa2a2a2a2a??A. B. bbbbbb???0?0 aaa22aa2a2b(0)?hh()b a?t0?0?这段时间内处于静止状态 D.C. 运动员在b a0?a4.A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A 船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t,t]上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______ 21【课堂小结】 1、平均变化率的概念;

函数的平均变化率教案

§1.1 导 数 1.1.1 函数的平均变化率 【学习要求】 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率,也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.函数的平均变化率:已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx = x 1-x 0 ,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0) ,则当Δx ≠0时,商 f x 0+Δx -f x 0Δx =_Δy Δx ___叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的 平均变化率 . 2.函数y =f (x )的平均变化率的几何意义:Δy Δx =_____f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1_____ 表示函数y =f (x )图象上过两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 答 如图,表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度,可以近似地用直 线的斜率来量化. 如用比值y C -y B x C -x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度,并称该比值是曲线在[x B ,x C ]上的平均变化率. 问题2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 答 如果问题中的函数关系用y =f (x )表示,那么问题中的变化率可用式子f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 表示,我们把这个式子称为函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率,平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢. 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 解 从出生到第3个月,婴儿体重平均变化率为 6.5-3.53-0 =1(千克/月). 从第6个月到第12个月,婴儿体重平均变化率为 11-8.612-6 =2.46=0.4(千克/月). 问题3 平均变化率有什么几何意义? 答 设A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是曲线 y =f (x )上任意不同的两点,函数y =f (x ) 的平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 =f (x 1+Δx )-f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率. x 1,x 2是定义域内不同的两点,因此Δx ≠0,但Δx 可正也可负;Δy =f (x 2)-f (x 1)是相应Δx =x 2-x 1的改变量,Δy 的值可正可负,也可为零.因此,平均变化率可正可负,也可为零. 跟踪训练1 如图是函数y =f (x )的图象,则: (1)函数f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________.

变化率问题

1.1第一课时 变化率问题 一、课前准备 1.课时目标 (1) 认识平均变化率,掌握平均变化率的基本概念和基本公式; (2)掌握求函数平均变化率的步骤; (3)理解函数平均变化率的几何意义. 2.基础预探 (1)对于函数()x f y =,当自变量x 从1x 变为2x 时,函数值从()1x f 变为()2x f ,则它的平均变化率为 . (2) 习惯上常常把自变量的变化12x x -称作自变量的增量,记作x ?,函数值的变化()2x f ()1x f -称做函数值的增量,记为y ?,所以当x ?0≠时,函数的平均变化率表示为 . (3) 函数2x y =在0x x =附近的平均变化率为 . 二、学习引领 1. 平均变化率的含义 一般地,对于函数在区间[]21,x x 上的变化率()()1 212x x x f x f --称为平均变化率,注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”. 2.函数平均变化率的理解 ①在式子 =??x y ()()1 212x x x f x f --=()()x x f x x f ?-?+11,x ?、y ?的值可正、可负,但x ?的值不能为0, y ?的值可为0.若函数()x f 为常数函数时,y ?0=.当1x 取定值,x ?取不同的数值时,函数的平均变化率不同;当x ?取定值,1x 取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样. ②x ?趋于0,是指自变量的改变量越来越小,但始终不能为0,x ?、y ?在变化中都趋于0,但它们的比 值却趋于一个确定的常数. 3. 求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量:12x x x -=?; ②求函数值的增量:()()12x f x f y -=?; ③求函数的平均变化率: =??x y ()()1 212x x x f x f --. 三、典例导析 题型一:函数平均变化率 例1:已知函数()13+=x x f ,计算它在区间[]9.0,1--上的平均变化率. 思路导析:应用()x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率公式. 解:函数()13+=x x f 在区间[]9.0,1--上的平均变化率为 ()()3) 1(9.019.0=------f f . 规律总结:本题是用斜率来量化直线的倾斜程度,所以已知函数()x f y =,若0x 、1x 是定义域内不同的

函数的平均变化率与导数

导数的概念及运算 知识梳理 1. 平均变化率与瞬时变化率 (1)函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y ??= . (2)函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念 (1)函数()f x 在x x =o 处的导数:()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =o 处的瞬时变化率即()0'x f = (2)函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数,称()x f '为()f x 的导函数(简称导数)即()x f '= 3. 导数的几何意义与物理意义 (1)几何意义 切线方程为: (2)物理意义 4.基本初等函数的导数 ①;C '= ②();n x '= ③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '= ⑦()l g a o x '= ; ⑧()ln x '=. 5.导数的运算法则 _______ ______ ______ [](4)()'C f x ?=_______ ___________ 6.复合函数的导数 【题型分析】 一.导数的概念及其几何意义 例1:(1)若0'()2f x =,则当k 无限趋近于0时 00()()2f x k f x k --=________ (2)如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ,, 的坐标分别为(04)(20)(64),,,,,,则((0))f f = ; 0(1)(1)lim x f x f x ?→+?-=? .(用数字作答) 二.导数的计算 例2:求下列函数的导数 (1)2()(2)()f x x a x a =+- (2)22()cos sin cos f x x x x =?+ ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()()'3f x g x ??=????

平均变化率习题及答案(苏教版)

平均变化率习题及答案(苏教版) 一、填空题。 1.函数关系h (t )=-4.9t 2+6.5t +10,从t =0到t =0.5变化过程中,自变量增量是________。 2.在x =1附近,取Δx =0.3,在四个函数①y =x ;②y =x 2;③y =x 3;④y =1x 中,平均变化率最大的是________(填序号)。 3.已知曲线y =14x 2和这条曲线上的一点P (1,14 ),Q 是曲线上点P 附近的一点,则点Q 的坐标为________。 4.函数y =f (x )的平均变化率的几何意义是指函数y =f (x )图象上两点,P 1(x 1,f (x 1)),P 2(x 2,f (x 2))连线的________。 5.已知函数y =2x 3+1,当x =2时,Δy Δx =________。 6.已知函数f (x )=2x 2 -4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx ,-2+Δy ),则Δy Δx 等于________。 7.已知f (x )=x 2+2,则f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率为________。 8.一棵树2009年1月1日高度为4.5米,2010年1月1日高度为4.98米,则这棵树2009年高度的月平均变化率是________。 9.函数y =x 3在x 0=1,Δx =12 时平均变化率的值是________。 二、解答题。 10.求y =x 2-2x +1在x =-2附近的平均变化率。 11.一条水管中流过的水量y (单位:m 3)是时间x (单位:s)的函数y =f (x )=3x ,计算x ∈[2,2+Δx ]内y 的平均变化率。 12.已知自由下落物体的运动的方程为S =12 gt 2(S 单位:m ,t 单位:s)。求: (1)自由下落物体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度v ; (2)自由下落物体在t =10 s 到t =10.1 s 这段时间内的平均速度。 答案: 1 解析:自变量增量是0.5-0=0.5。 答案:0.5 2 解析:先求出各个函数在Δx =0.3时的平均变化率,再比较大小。

平均变化率

选修2-2 导数及其应用 1.1.1 平 均 变 化 率 (总第47导学案) 一、【教学目标】 1.感受平均变化率广泛存在于日常生活中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。 2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 二、【教学重点、难点】 重点:平均变化率的数学意义 难点:平均变化率的实际意义和数学意义 三、【教学过程】 (一)生活实例: 现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载. 观察:“3月18日到4月18日”与“4月18日到4月20日”的温度变化发现:后者短短两 天时间温度相差C 0 8.14,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了﹗”,前者温差C 01.15,甚至超过了C 08.14,而人们却不会发出上述感叹。这是为什么呢? 因为前者变化缓慢,后者变化太快。那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢? 这就是本课学习的“平均变化率”。 (二)数学模型:以3月18日作为第一天,用曲线图表示为: 1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”,由此联想如何量化直线的倾斜程度?。 2、由点B 上升到C 点,考察y C —y B 的大小为 ;同时考察x C —x B 的大小 为 。平均变化率为 。 3、气温在区间[1,32]上的平均变化率 , 与气温[32,34]上的平均变化率比较,A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同,但平均变化率相差很大,即平均变化率越大,曲线越陡峭。 4、一般地,函数f(x)在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为 。 (d) 20

(三)典题探讨: 例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时 间挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果? 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s 后容器 甲中水的体积0.1()52t V t -=?(单位:3 cm ), 计算第一个10s 内V 的平均变化率。 乙 注意:负号表示容器甲中的水在减少。 例3、已知函数2()f x x =,分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]。 作出图形,借助图像感知割线斜率k 的变化,发现割线→切线,斜率k →切线的斜率。 例4、如图,路灯高地面8m ,一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。 (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系; (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率。 (四)课堂小结: 1、一般地,求函数()f x 在区间[x 1,x 2]上的平均变化率的步骤: ① 求自变量的增量12x x x -=?;② 求函数的增量)()(12x f x f y -=?; ③ 求平均变化率=??x y 2121()()f x f x x x --。 2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”。 3、对于函数)(x f y =,当自变量x 在0x 处有改变量x ?时,函数值y 相应地有改变量y ?, 则)(x f 从0x 到x x ?+0的平均变化率有更一般的形式x x f x x f x y ?-?+=??)()(00

函数的平均变化率及瞬时变化率和导数

精心整理 同步分层能力测试题(一) (函数的平均变化率及瞬时变化率和导数) A 组(时间:60分钟满分:86分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.1+ Δ2.,则() 0)不存在3.t →?lim A C 4.(4,f (4))处的切线的倾斜角为 A.2π B.0 C.锐角 D.钝角 5.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+--的值 为()

A .' ()f x B .' 02()f x C .'02()f x -D .0 6.曲线2 21y x =+在点()1,3P -处切线方程为() A.41y x =-- B.47y x =-- C.41y x =- D.47y x =- 二、填空题(本大题共2小题,每小题4分,共8分) 7.已知()2 1f x x x =++,则(1)(1) lim f x f +?-=. 1+垂直,9.y =f ((时, t →?lim (却和加热,如果第xh 时,原油的温度为()()2 71508f x x x x =-+≤≤,试分别计算 第2h 和6h 时,原油温度的瞬时变化率. 12.在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度(弧度)由函数 =)(t ?4t -0.3t 2 给出,求: (1)t=2(秒)时,飞轮转过的角度;

(2)飞轮停止旋转的时刻. B 组(时间:60分钟满分:64分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.物体在地球上作自由落体运动时,下落距离2 12 S gt =其中t 为经历 的时间,2 9.8/g m s =,若(1)(1)lim S t S V +?-=9.8/m s =,则下列说法正确的是 A.0 C.时段 2.A. 3.A . 4.)(x 上点1(,1(f 5.若曲线()y f x =在点()(),P a f a 处切线的方程为210x y ++=,则() A .()0f a '= B.()0f a '> C.()0f a '< D.不确定. 6.已知曲线()2 2f x ax =-在横坐标为 1的点P 处切线的倾斜角为4 π,则a= ()

平均变化率

平均变化率 一、教学目标 知识目标:通过实例直观感知、构建平均变化率的概念,并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义. 能力目标:由平均变化率的实际意义到数学意义,体现实际问题数学化的过程,并渗透“以直代曲”、“数形结合”的思想方法,培养学生分析问题、解决问题的能力. 情感目标:经历运用数学模型刻画客观世界的“数学化”过程,感受数学产生和发展的规律,培养学生勇于探索、创新的个性品质. 二、教学重点、难点 重点:平均变化率概念的建构和平均变化率的实际意义. 难点:平均变化率的实际意义和数学意义的互相转化. 三、教学方法 启发式和互动式教学方法以及多媒体辅助教学. 四、教学过程 Ⅰ.创设情境,引出问题 让学生观看过山车录像并提出问题:注意观察过山车在运行过程中有哪些量在发生变化.从而通过过山车在运行过程中位移的变化、速度的变化、曲线的上升下降等具体可视现象概括为在运动过程中变量的变化情况,就是新的一章《导数及其应用》将要研究的问题,从而引出本章课题,并用恩格斯的话强调微分学在自然科学中的重要意义,再设计了两个贴近生活的实例: 实例1.气温随时间变化的快慢情况; 实例2.婴儿的体重随时间变化的快慢情况. 用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题,将教学内容自然呈现在学生面前,用问题抓住学生,激发其探究欲望.这两个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题,从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢,引出课题《平均变化率》.让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”. Ⅱ.案例分析,建构概念 通过案例分析构建数学理论,如何从数学角度描述这些现象. 对实例1中气温随时间变化的快慢情况的刻画经历如下几个过程: 1.由表格中的数据和天气逐渐变热的图片让学生初步从直觉上感受天气在逐渐变热,而且4月18日到4月20这两天的气温陡增.

函数的平均变化率教案

§ 导 数 函数的平均变化率 【学习要求】 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率,也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.函数的平均变化率:已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx = x 1-x 0 ,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0) ,则当Δx ≠0时,商 f x 0+Δx -f x 0Δx =_Δy Δx ___叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间的 平均变化率 . 2.函数y =f (x )的平均变化率的几何意义:Δy Δx =_____f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1_____ 表示函数y =f (x )图象上过两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))的割线的 斜率 . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 答 如图,表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度,可以近似地用直 线的斜率来量化. 如用比值y C -y B x C -x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度,并称该比值是曲线在[x B ,x C ]上的平均变化率. 问题2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 答 如果问题中的函数关系用y =f (x )表示,那么问题中的变化率可用式子f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 表示,我们把这个式子称为函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率,平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢. 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 解 从出生到第3个月,婴儿体重平均变化率为 错误!=1(千克/月). 从第6个月到第12个月,婴儿体重平均变化率为 11-12-6 =错误!=(千克/月). 问题3 平均变化率有什么几何意义? 答 设A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是曲线 y =f (x )上任意不同的两点,函数y =f (x ) 的平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1 =f (x 1+Δx )-f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率. x 1,x 2是定义域内不同的两点,因此Δx ≠0,但Δx 可正也可负;Δy =f (x 2)-f (x 1)是相应Δx =x 2-x 1的改变量,Δy 的值可正可负,也可为零.因此,平均变化率可正可负,也可为零. 跟踪训练1 如图是函数y =f (x )的图象,则: (1)函数f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________.

1.1.1变化率问题 学案

1. 1.1变化率问题 课前预习学案 预习目标:“变化率问题”,课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。 预习内容: 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3 3 4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 在吹气球问题中,当空气容量V 从0增加到1L 时,气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时,气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里,v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里,v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ,则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -,即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”,可用+1x x ?代替2x ,类似有=?)(x f __________________,于是,平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. h t o

初中数学例题:平均变化率问题

初中数学例题:平均变化率问题 2. (2016?巴中)随着国家“惠民政策”的陆续出台,为了切实让老百姓得到实惠,国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为,某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,求该种药品平均每场降价的百分率. 【思路点拨】 设该种药品平均每场降价的百分率是x ,则两个次降价以后的价格是200(1﹣x )2,据此列出方程求解即可. 【答案与解析】 解:设该种药品平均每场降价的百分率是x , 由题意得:200(1﹣x )2=98 解得:x 1=1.7(不合题意舍去),x 2=0.3=30%. 答:该种药品平均每场降价的百分率是30%. 【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解. 举一反三: 【变式】某产品原来每件是600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两次降价的百分数相同, 求平均每次降价率. 【答案】设平均每次降价率为, 则第一次降价为,降价后价格为:, x 600x 600600600(1)x x -=-

第二次降价为:,降价后价格为: . 根据题意列方程,得: ∴, 不合题意,舍去(注意根的实际意义的检验) ∴ 答:平均每次下降率为. 600(1)x x -?600(1)x --600(1)x x -?2600(1)x =-2600(1)384x -=216(1)25 x -=415 x -=±115 x =29 5x =295 x =0011205 x ==0020

人教版初三数学上册第2课时平均变化率问题(利润问题)(20201017182848)

第2课时平均变化率问题(利润问题) 教学目标 1. 会利用一元二次方程解决增长问题. 2. 培养分析问题解决问题的能力,发展应用意识? 教学重点和难点 重点:利用一元二次方程解决增长问题? 难点:根据增长问题列方程? 教学过程 一、教师导学 填空: ⑴小王家2013年收入是5万元,以后每年增长10%,则小王家2014年的收入是_____________ 万元,2015年的收入是 ________ 万元; (2)小王家2013年收入是5万元,以后每年的增长率为X,则小王家2014年的收入是 _ 万元,2015年的收入是 ________ 万元. (⑴题答案为5.5、6.05,(2)题答案为5(1+x),5(x+1) 2,先让学生自己做,然后老师进行讲解,并写出过程) 二、合作与探究 上节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题,什么是传播问题?就是像“一传十,十传百”这样的问题.与传播问题类似的还有一种问题,叫增长问题.下面我们就来看一个增长问题. 【例】小王家2013年的收入是5万元,2015年的收入是6.05万元,求小王家收入的年平均增长率. 分析:2013年的收入是5万元,设平均增长率为X,则2014年的年收入为5+5x,2015年的年收入为5+5x+(5+5x)x,根据题意可得出等量关系. 解:设小王家年收入年平均增长率为x,根据题意得 5(1+x) 2=6.05, 解得:X1=0.1,X 2=-2.2(舍去) 即小王家年收入增长率为10%. 三、巩固练习 (1) 某种商品原价50元,受金融危机影响,1月份降价10%,从2月份开始涨价,3月份的售价为64.8元,求2、3月份价格的平均增长率. 解:设平均增长率为x.根据题意得 50(1-10%)(1+x) 2=64.8 解得X1=0.2=20%,X2=-2.2(舍去) 答:2、3月份价格的平均增长率20%. (2) 新华商场销售的冰箱每台进货价为 2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时, 平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5 000元,那么冰箱的定价应是多少? 解:设降价x元/台,则

平均变化率的概念及几何意义

一对一辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 授课教师 上课时间 年 月 日 第( )次课 共( )次课 课时: 课时 教学课题 平均变化率的概念及几何意义; 教学目标 1.了解平均变化率的几何意义; 2.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点与难点 平均变化率的概念,导数的几何意义 教学过程 教学过程 一、复习预习 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 二、知识讲解 本节课主要知识点解析,中高考考点、易错点分析 考点1:平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代替x 2,同样 )()(12x f x f y f -=?=?) 3. 则平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+= --)()()()(111212

考点2导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作' 0()f x 或0'|x x y =,即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 说明:(1)导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 (2)0x x x ?=-,当0x ?→时,0x x →,所以000 ()() ()lim x f x f x f x x x ?→-'=- 考点/3导数的几何意义 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? , 得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 三、例题精析 【例题1】已知函数f (x )=x x +-2 的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ?+-?+-,则 =??x y . 【答案】-3x ? 【解析】解:)1()1(22 x x y ?+-+?+--=?+-, ∴x x x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32)1()1(2 【例题2】求2 x y =在0x x =附近的平均变化率 【答案】x x ?+02 【解析】解:2 02 0)(x x x y -?+=?,所以x x x x x y ?-?+=??2 020)( x x x x x x x x ?+=?-?+?+=02 202022

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