高中物理竞赛(能量)

能 量

一、功和功率

1.功:(1)恒力的功W =Fs cos α. (2)变力的功：

①用F -s 图象的面积求： 如弹簧弹力的做功，W =

2

1kx 2,根据功能原理，弹簧的弹性势能E P =

2

1kx 2。（当力随位移线性变化

时，可用平均值）

说出下面各图象的意义：v -t 图象;F -t 图象;P -t 图象;I -t 图象;U -q 图象. ②用功能原理求.

例1：如把长为L 的均匀细杆竖起，至少要做多少功（W =

2

1mgL ）.

例2：如图所示，原来弹簧处于原长，在水平外力作用使m 2缓慢向右移动s ，求拉力的功。（W =μ2m 2gs +μ1m 1g (s +x )+

2

1kx 2,其中k

g

m x 22μ=

）.

③其它方法（如微元法）。

1. 跳水运动员从高于水面H =10m 的跳台自由落下,假设运动员的质

量m =60Kg,其体形可等效为一长度L =1.0m 、直径d =0.30m 的圆柱体,略去空气阻力.运动员入水后,水的等效阻力F 作用于圆柱体的下端面,F 的量值随入水深度Y 变化的函数曲线如图所示,该曲线可近似看作椭圆的一部分,该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY 和OF

重合.椭圆与Y 轴相交于Y =h 处,与F 轴相交于5mg /2处,为了确保运动员的安全,试计算水池中水的深度h 至少等于多少?(水的密度ρ=1.0×103Kg/m 3)（答案4.9m ） 解:运动员的初末速度都为零,则W G +W f +W F =0,重力做功W G =mg (H +h )

浮力做功W F =).()2

(

2

)2(

2

2

L h g d L L g

d L ---πρπρ

阻力做的功相当于曲线与坐标围成的面积4

2

5h mg E f

??

-

=π

得:9.44

18

58

12

2

2=-+

+

=

m

Ld

m d

L mH h

πρππρm.

2. 足够深的容器内竖直插入两端开口的薄壁管子，容器截面积是管子的

5倍，管子的截面积S =100cm 2

，管子足够长。管内有一活塞，与管内壁之间无摩擦，不漏气。开始时，活塞恰好在水面上。现用外力F 把活塞向上移动H 。

取大气压强P 0=105Pa ，重力加速度g =10m/s 2，水的密度ρ=103kg/m 3。 （1）H =8m ，求外力F 的功。（2）H =10m 时，求外力F 的功。 [答案: （1）400J; (2) 600J]

解（1）活塞向上移动h ，水面下降h /4，内外液面差5h /4。

所需要的外力F =?PS =ρgSh ，与h 成正比，则W =F 平H =85

ρgSH 2

=400J 。

或根据水的重力势能变化，对

4

5ρSH 的水，重心升高?H =5H /8-H /8=H /2.

W =?E P =mg ?H =8

5

ρgSH 2=400J 。

(2)当液面内外差g

P h

ρ0

=

=10m 时，活塞上升H '=4h /5=8m ，管内的液面不再上升，管内

出现真空，F =P 0S 保持不变，但F 仍要克服大气压强做功，W '=（H -H '）P 0S =200J 。 F 共做功W 总=W +W '=600J 。

3. 一只宽度b =1cm,直径d =10cm 的橡皮圈(厚度可略去),它的倔强系数

K =100N/m.现将它套进直径为D =12cm 、长为40cm 的圆柱体的正当中位置上.已知橡皮圈与圆柱体表面间的滑动摩擦系数μ=0.5,并假设橡皮圈套进圆柱体上后橡皮圈的宽度仍为1cm.求

(1)橡皮圈套在圆柱体上时对圆柱体表面产生的压强.

(2)将橡皮圈从圆柱体的一端用平行于圆柱面的力平移到圆柱体的正

当中位置时,外力克服摩擦力要做多少功.[答案：(1) 1.05?104

Pa ；(2)3.95J]

解(1)取长为?X 的微元：N =2F sin

2

α

?=F ?α,

又因F =?LK =(πD -πd )K .所以N =(πD -πd )K ?α, 因D x ?α

?2=

,所以N 与?x 的关系为：N =π(D -d )k D

x ?2?

,

压强bD

d D k x

b D

x k

d D S

N

P

)

(22)(-=

-=

=

π??π?=1.05?104

Pa.

(2)摩擦力：f =P πDb μ, 功2

2

)22(

)2

2

(

L

Db P b Db P b L Db P b f b L f W

μπμπμπ=

+

-=+-=平=3.95J.

问题：什么情况下可取平均？如功的平均力和冲量中的平均力区别？ 2.功率：P =Fv cos α.

如相同质量、相同高度、同时作自由落体运动和平抛运动的物体在任一时刻的重力的瞬时功率相同。

4. 进行灌溉可以使用“水枪”.一块半径为12m 的农田,每分钟消耗灌溉用水80L,水枪安装在地

面上,所用的水是从4m 深的井里抽取出来的.设水皆以相同的速率离开喷嘴,为抽水和喷水,水泵的电动机功率至少为多大?(由于喷嘴形状适宜,水能均匀撒在整个面积上) （答案：131W ）

解:抽水时所需要的功率P 1=mgh /t =80?9.8?4/60=52.3W.

最节能的喷水仰角为450,射程最大,即初速度最小,有X =v 02sin2α/g =v 02/g ,得v 02=117.6.

喷水时所需要的功率P 2=

t

mv /212

0=(80?117.6/2)/60=78.4W.

水泵的功率P =52.3+78.4=131W. 二、动能定理： 1.动能定理：2

2

2

22

121mv mv E W

k -

=

=∑?

2.非惯性系中的动能定理2

2

2

22

121)(mv mv E W W

k -

=

=+∑?惯

5. 如图所示,在密度为ρ1的液体上方悬挂一根长度为L 、密度为ρ2(ρ2<ρ1)

的均匀木棒,棒的下端刚与液面接触,若剪断挂绳,使棒保持竖直开始下沉,试求(1)棒下落的最大速度.(2)棒下端能达到的最大深度.

[答案：(1)Lg

v m

1

2ρρ=

；(2)2

122ρρρ-=

L

x

]

解(1)当mg =F (浮力)时,下沉h =ρ2L /ρ1时速度最大,

Lg

v mv mgh mgh m m 1

22

,2

12

ρρ=

=-

(2)下沉x

x =0,下沉的最大深度为1

22ρρL

x

=

.

下沉x >L ,则Ls ρ2gx =Ls ρ1g

2

L +Ls ρ1g (x -L ), 下沉的最大深度为2

122ρρρ-=

L

x

。

6. 如图所示,轻质长绳水平地跨在相距为2L 的两个小定滑轮A 、B 上,

质量为m 的物体悬挂在绳上O 点,O 点与A 、B 两滑轮的距离相等,在轻绳两端C 、D 都施加一个竖直向下的恒力F ,且F =mg ,先托住物体,使绳处于水平拉直状态,由静止释放物体.求物体在下落过程中的最

大速度和下落的最大距离. （答案：gL 2)32(-；4L /3）

解:∠AOB =1200,加速度a =0,速度最大,物体下落H =L cot600=3L /3,

C 和

D 上升h =

L

L L H

)13

32(

2

2

-=-+,有动能定理mgH -2Fh =

2

1mv 2,得v m =

gL

2)32(-.

当v =0时,H 最大,有动能定理：mgH -2Fh =0----①,

有几何关系得：L L H h -+=22---② 则①和②式得：H =4L /3(H =0舍去).

7. 如图所示,一个小滑块放在半径为R 的光滑半球面顶部。

（1）当半球面固定时，由于轻微的扰动,小滑块开始向左由静止下滑.求它离开球面时,离半球底面的高度. （2）若从地上抛出一物体，要使物体恰好能停在固定的半球面顶上，则物体应从什么地方抛出？抛出时的速度大小和方向怎样？

（3）若半球面以g /4的加速度匀加速向右运动，小物块开始向左由静止下滑. 求它离开球面时,离半球底面的高度.

[答案：（1）2R /3；(2)离半球面圆心距离为2.55R ，速度大小为gR

2，方向与水平面成

67?21'；（3）0.81R ]

解（1）当小物体离开斜面时的支持力N =0，

有牛顿定律：mg cos=R

v

m

2

---(1)

根据动能定理：mgR (1-cos θ)=2

1mv 2---(2)

有(1)和(2)得：cos θ=2/3,

小物体离开球面时,离半球底面的高度h =R cos θ=2R /3.

(2)直接求解比较难，只要求出（1）问中物体的落地点位置、速度大小和方向，（1）的逆过程就是（2）的解。 因cos θ-=2/3,则9

5sin =

θ

，

物体刚离开斜面时的速度大小Rg

v 320

=

，方向与水平面成θ角。

则运动学知识得

2

02

1sin 3

2gt t v R +=θ，得运动的时间g

Rg Rg t

/)27

10346(

-

=。

落地时的速度：Rg

gt v v Rg v v y x

27

46sin ,27

8

cos 00=

+==

=θθ。

落地时速度方向与水平面的夹角12672

23tan

tan

1

1

'===--x

y v v α。

落地时速度的大小gR v v v y x 22

2=+=（也可用机械能守恒定律求解）

落地点离圆心的距离R R t v x 55.2sin cos 0=+=θθ。 抛出点离半球面圆心距离为2.55R ，速度大小为

gR

2，方向与水平面成67?21'。

（3）当半球面以g /4的加速度匀加速向右运动时,以半球面作为参照系时,要加一个方向向左,大小为mg /4的惯性力,如图所示. 当小物体离开斜面时的支持力N =0， 有牛顿定律：mg cos θ-(mg /4)sin θ=R

v

m 2

---(3)

根据动能定理：mgR (1-cos θ)+(

4

1mg )R sin θ=2

1mv 2---(4)（在非惯性系中的动能定理F 和s

都是对非惯性系的）

有(3)和(4)得,θ=cos -1

0.81,h =R cos θ=0.81R . 三、机械能定恒定律

8. 半径为R 、质量为M 、表面光滑的半球放在光滑的水平面上静止.半球顶

上有一质量为m 的小滑块从静止下滑,如图所示.在α(cos α=0.7)角位置脱离半球,求M /m 的值. （答案：2.43）

解:设小滑块脱离半球时相对半球的速度为v '(方向一定是沿半球面

的切线方向),此时半球相对地的速度为v .由于小滑块刚脱离半球面时对半球的压力为零.

半球为惯性系.对m ,有牛顿定律:mg cos α=R

v m

2

'

---(1)

系统水平方向动量守恒:m (v 'cos α-v )-Mv =0---(2) 系统机械能守恒 mgR (1-cos α)=2

1m [(v 'cos α-v )2+(v 'sin α)2]+2

1

Mv 2---(3)

有以上三式得

2

cos 32cos 3cos

,

3

-+-=αααm M =2.43.

9. 一半径为R 的半圆形竖直圆柱面，用轻绳连接的A 、B 两球，悬挂在圆柱面

边缘两则，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆柱面内边缘由静止释放，若不计一切摩擦，求A 球沿圆柱面滑至最低点时速度的大小? （答案：0.69Rg ）

解:设B 的质量为m B ，A 的质量为m A 。 A 、B 运动过程中，系统机械能守恒,A 有静止滑至圆柱最低点时.

有： m A gR -m B gh =

2

1m A V A 2+2

1

m B V B 2----①

其中，m A =2m B ---②

物体的高度变化不一样：h =2R ----③

A 滑至最低点时，速度v A 水平向左，此时

B 的速度（速度不一样）V B ＝V A cos45°--④

将②③④代入① 解得v A ＝0.69

Rg

10. 质量为m 的小球被两个劲度系数皆为k 的相同轻弹簧固定在一质量为M 的

盒中,如图所示.盒从盒底离桌面高为h 处由静止开始下落,盒在下落过程中,两弹簧均未发生形变,小球相对盒子处于静止.问下落的高度h 为多少

时,盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能跳起来?（答案：)

21(2m

M k

Mg h +

>）

解:盒与桌面发生碰撞时小球的动能为

2

1mv 2=mgh ---(1)

在碰撞后小球先是压缩下面弹簧,拉上面弹簧,接着又向上运动,经平衡位置后拉下面的弹簧,压缩上面的弹簧,在平衡位置上方x 处速度变为零,根据机械能守恒定律有:

2

1mv 2=mgx +2?(2

1

kx 2)---(2)

为了使盒子能跳起:2kx >Mg ---(3) 有(1)、(2)、(3)式得)21(2m

M k

Mg h

+

>

.

11. 一条长度为L 的细绳,一端连着一个小球,另一端固定于O 点,如图所示.

细绳能承受的最大拉力为小球重量的9倍,在悬点正下方L /2处划一条水平线AA ',且水平线上某位置钉一颗钉子,若把小球悬线拉到水平且使细线绷紧,然后释放小球，小球可以绕过钉子在竖直平面内作圆周

运动,讨论钉子钉在什么位置可满足上述要求. （答案：3

26

7L L -

-）

解:有mg (R +

2

1L )=

2

1mv 2

,所以T =mg +R

v

m

2

=3mg +mgL /R ,R 增大,T 减小。

R 最大能通过最高点(AP 最小)时：

物体能通过最高点的条件Rg

v =

1 有机械能守恒

2

1

2

12

1mv mgR mhL =

-

有几何关系22)()2/(AP L L R +-=，得6

7L AP

=

R 最小时，小球在最低点绳子不断 (AP 最大)

绳子不断的条件：T -mg =R

v m 2

2

有机械能守恒定律：mgR +2

1mgL =2

1mv 22,得3

2l AP

=

。

所以AP 的范围为

3

26

7L L -

-。

12. 图中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截

面的边长都是 l 。一根长为 2l 的柔软的轻细绳，一端固定在 A 点，另一端系一质量为 m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过 B 点使小球处于 C 点。现给小球一竖直向下的初速度 v 0，使小球与 CB

边无接触地向下运动，当2

0v 分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？(设绳的伸长量可不计而且是非弹性的)

（1）2

01)v gl +=。（2）2

011)v gl =.

[答案：（1）与D 点的距离0.35L ；（2）打到梁上的 C ]

解：绳刚被拉直,此时绳与竖直方向的夹角为 α＝30? 。在这过程中，小球下落的距

离2cos (1s l l l α=+=+

绳刚拉直时小球的速度v 满足：22

102v gs v +=

在细绳拉紧的瞬间，小球沿细绳方向的分速度为零，与绳垂直的

分速度保持不变，M 点开始以初速度1

111sin 2v v v α'==

在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为 2l ，圆心位于A 点，如

图1

所示。得212

011(14

2

v v gl '+=

+

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时，其速度为 v ，细绳与水平方向的夹角为 θ ，

由能量关系有

2

12

112sin )22

m v m v m g l θ'=

++

用 F T 表示绳对小球的拉力，有2

T sin 2v

F m g m l

θ+=

（1

）2

01)v gl =

设在 1θθ= 时（见图2），绳开始松弛，F T ＝0，小球的速度 1v u =。

得221

1

122sin )v u g l θ'=++，2

1

1sin 2u g l

θ=，145θ=?

，1u =

即在 θ1＝45? 时，绳开始松弛，作斜抛运动。

小球在时

刻

t 的

坐

标

分别

为

11cos 452

x u t t

=?=

和

2

2

1111sin 452

22

y u t gt t gt =?-

=-

可得小球的轨道方程：2

2

21

x

x

y x g

x u =-=-

，AD

面的横坐标为2cos 45x l =?=，

可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标y ＝0，由此可见小球将在 D 点上方越过，然后打到 DC 边上，DC

边的纵坐标为(2sin 45)1)y l l l =-?-=--，得小球与 DC 边撞击点的横坐标x ＝1.75 l

撞击点与D 点的距离为2cos 450.35l x l l ?=-?= （2

）2

011)v gl =

设在 2θθ= 时，绳松弛，F T ＝0，小球的速度 2v u =，以此代替

θ1、u 1，得

221

2

22sin )2v l u g θ'+=+和2

2

2sin 2u mg m

l

θ=

以

2

11)v gl += 代入290θ=?

，2u =

这表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉

图

图

力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以 D 点为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。

13. 如图所示,一列长为L 的游览车可看成是由许多节长度很短的相同车厢连接而成的,从高处

的平台上沿斜面由静止开始滑下,全部进入水平轨道后,又遇到一个半径为R (L >2πR )的竖直圆形轨道.欲使游览车能安全驶过竖直圆形轨道,平台距水平轨道的高度h 至少多高?(游

览车无动力,不计各处的阻力)[答案：R

L

R )232(

+π]

解：列车运动到水平地面上时的速度gh

v 20

=，

设览车的质量为M ，单位长度质量λ,取水平地面为重力势能参考面。 当整个圆轨道上都分布有列车车厢时，列车的速度达到最小值。 这部分车厢的重力势能为gR R λπ2

有机械能守恒定律得g

R Lv

Lv λπλλ2

2

2

22

12

1

+=

列车的安全行驶应不脱离竖直轨道（其速度大小不是Rg

v ≥

）

设列车在最高点的相互拉力为T ，在移动?x （?x →0）的过程中，对后部分列车研究，列车的动能不变，其势能增加了R xg 2??λ， 有功能原理R

xg x

T 2?=?λ?，得Rg

T

λ2=

现再对最高点的这一节车厢研究，其长度为?L ，质量为?m =?L λ， 两边列车对它拉力的合力α

α

T T T =='2

sin

2

因R

L

?α

=

，所以Lg T T ?λα2=='

对最高点这一节车厢，有牛顿定律（临界状态）R

v

m

mg T 2

??=+',得Rg

v

3=。

把Rg

v

3=

代入机械能守恒方程中得R

L R h

)2

32(+

=π

即平台距水平轨道的高度应不小于R

L

R

)232(

+

π

四．功能原理和能量守恒定律

1.做功过程是能量转化过程，功是能量转化的量度

2.滑动摩擦力的功

如质量为M 的木块放在光滑的水平地面上,质量为m 的子弹以速度为v 0沿水平方向射入木块,并最后留在木块中,与木块一起运动的速度为v .子弹射入木块的过程中木块的位移为L ,子弹进入木块的深度为s ,木块对子弹的阻力大小恒为f 。 对木块动能定理：2

21Mv

fL =

，

对子弹动能定理：

2

2

02

12

1)(mv

mv s L f -

=+ ，

对系统，能量守恒：

2

2

0)(2

12

1v

m M mv fs +-

=

（或二式相加）.

3.功能原理：非保守力做功等于物体的机械能增量。

14. 直升机顶部螺旋浆向下推空气而获得向上的升力,若直升机的质量为M ,单位时间内被推的

空气质量为m ,被推空气获得向下的速度大小为v ,直升机恰好静止在空中,则直升机发动机的功率为( ) （答案：D ）

A.mgv

B.mv 2/4

C.Mgv

D.Mgv /2

15. 一质量为m 的物体,在距地面h 高处以g /3的加速度由静止开始竖直下落到地面,则物体在下

落过程中,下列说法哪些是正确的( )

A.物体的重力势能减少了mgh /3

B.物体的机械能减少了mgh /3

C.物体的动能增力了2mgh /3

D.重力做功为mgh （答案：D ）

16. 装煤机以每秒10吨的煤装入以5m/s 在水平面上匀速前进的车厢内,装入车厢前的煤速度可

看作为零.要使车厢保持原来速度匀速前进,则需要增加的功率为 5 W,每秒钟转化成煤的动能为 J. （答案：2.5×10；1.25×105）

解:在?t 时间内有m =104t 的煤速度有0增加到5m/s,所需要的力F =m ?v /?t =mv 2=5?104

N,所以功率P =Fv =2.5?105W(注意:1s 内煤增加的动能与功率不相等,因部分要转化内能).每秒钟

转化成煤的动能E =

2

1mv 2=1.25×105

17. 一辆质量为M 的汽车,汽车上载有质量为m 的木箱,汽车和木箱一起以速度v 沿平直公路匀速

行驶,汽车发现前方有故障而紧急刹车(车轮不转动),汽车往前滑行距离X (未知)后停下,木箱在车上相对车滑行距离L 停下.已知木箱与车地板间的滑动摩擦系数为μ1,车轮与地面间

滑动摩擦系数为μ2.求X . [答案：L

m M m g

v

)

(22122

+-

μμμ]

解:L

m M m g

v

x v m M gx m M mgL )

(2,)(2

1)(2122

2

21+-

=

+=

++μμμμμ得

18. 如图的示,小球沿倾角θ=300的粗糙斜面的顶端B 由静止开始滑下,与

置于斜面底端A 处的木板碰撞后反向弹回,碰撞过程无机械能损失.已知第一次与木板碰撞后能弹回的距离为s 1=4m,s AB =6m.则小球所能通过的总路程为多少? （答案：30m ） 解:从开始到第一次弹回的过程中,

根据能量守恒定律得mg (s AB -s 1)sin300=μmg (s AB +s 1)cos300---(1) 在整个过程中,根据能量守恒定律得mgs AB sin300=μmgs 总cos300---(2)

有(1)/(2)得AB

AB AB s s s s s s 1

1-+=

总

=30m.

五.人造卫星、天体的运动 1.引力势：

质量为m 的物体离地心的距离为r ，设地球的质量为M ，则物体的引力势能（严格上是地球和物体共有的，且取无限远引力势能为零）r

m m G

E p

2

1-=

证：把物体移到无限远，引力做功等于引力势能的减小量，只要求出引力的功，可求出引力势能。把物体移动过程分为无限段过程，每一过程?r 都为无限小. 在r 1到r 2的过程中引力做功)

11(

)(2

1

122

121

1

r r GMm r r r r Mm G

r r Mm

G

W -

-=--=-=?

同理在r 2到r 3的过程中引力做功)11(3

2

2

r r GMm W -

-=

在r n -1到r n 的过程中引力做功)

11(

1

2

n

n r r GMm W -

-=-

所以在r 1到r n 的过程中引力做功)

11(

1

21n

r r GMm W W W --=++-=

无限远r n →∞（引力势能为零），r

m m G W E p 2

1-==，适用于均匀球体或质点间。

注意：上述方法也是求)

11(

12

1

2

r r k r r

k -=∑?的常用方法（积分）。

2.宇宙速度：

第一宇宙速度（环绕速度），r

v

m

r

Mm G

2

2

=，得卫星的速度r

GM v

=

，

当r =R 时，卫星绕地球表面作圆周运动的速度Rg

R

GM v =

=

1

=7.9?103m/s.

第二宇宙速度（脱离速度），由机械能守恒：r

Mm G

mv

R

Mm G

mv -=-2

2

2212

1，

卫星脱离地球的条件是当r →∞时，v ≥0, 得v 2至少为，Rg

R

GM v 222

=

=

=11.2?103m/s.

第三宇宙速度（逃逸速度），已知M 日=2?1030kg,r 日地=1.5?1011m.

飞船脱离太阳条件（太阳和飞船组成的系统)：0

2

12

1

2

23

≥-=

-'r

m M G

mv

r m M G v m 日日地

日，

即脱离地球后相对太阳的速度至少日地

日r GM v 23

=

'=42.2?103

m/s.

注意：发射卫星时发射的方向、地点和时间的选择？

地球绕太阳公转的线速度v '=2πr 日地/T =29.8?103m/s.

脱离地球时，相对地球的速度v 3''=v 3'-v '=12.4?103

m/s.

即在地球上发射的速度v 3=?时，才能使脱离地球时相对地球的速度v 3''=12.4?103m/s 。

由机械能守恒定律（地球和飞船组成的系统)：0

2

12

1

2

2

3+''=

-v m R m

M

G

mv 地

地

，

因2

2

2

1mv R m

M

G

=

地

地

，所以=?+=''+=32223

223104.122.11v v v 16.7?103

m/s 3.天体运动的轨道与能量

从理论上可以证明行星的运动（或卫星绕地球的运动）轨道为三种圆锥曲线，即椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线。它们的运动轨道跟哪些因素有关呢？ （1）.椭圆轨道

椭圆方程为

1

2

22

2=+

b

y a

x ，长半轴为a 、短半轴为b ，半焦距

2

2

b

a

c -=

，质量为M 的太阳在其焦点S （c ，0）处，如图所示。

质量为m 的行星绕太阳做椭圆轨道运动时，行星和太阳构成的引力

势能和动能之和（以下简称能量）为：r

Mm G

mv

E

-=

2

2

1。

设行星在椭圆轨道顶点时的速率分别为v 1和v 2，行星绕太阳运动时机械能守恒，即

c

a Mm G

mv r

Mm G

mv

E --=

-=

2

12

2

12

1，要求出行星的能量，必须先求出行星在椭圆轨道的顶点1

处的速率v 1（即v 1用M 、G 、a 、c 来表示）。v 1可用二种方法求解，一种是根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求得，另一种是根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求得。 我们先根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求解。 根据机械能守恒定律：

c

a Mm G

mv c

a Mm G

mv +-=

--2

22

12

12

1。

根据开普勒第二定律：)()(21c a v c a v +=-。 由上述二式解得：a

GM

c

a

c a v 2

2

1

-+=

，a

GM

c

a

c a v 2

2

2

--=

。

则行星做椭圆轨道运动时具有的能量： 0

221212

2

2

2

1

<-=--?

??

?

?

?-+=--=a

Mm G

c

a Mm G

a GM c a

c a m c a Mm G mv E

。

我们再根据机械能守恒定律和曲线运动向心力公式求解。 根据机械能守恒定律：

c

a Mm G

mv c

a Mm G

mv +-=

--2

22

12

12

1。

设椭圆顶点1和2的曲率半径分别为ρ1和ρ2。则ρ1=ρ2。 在顶点1，由曲线运动向心力公式：1

2

1

2

)(ρv m

c a Mm G =-。 在顶点2，由曲线运动向心力公式：2

2

2

2)

(ρv m

c a Mm G =+。 由上述四式解得：a

GM

c

a

c a v 2

2

1

-+=

，a

GM

c

a

c a v 2

2

2

--=

。

（根据椭圆的半焦距c 、长半轴a 、短半轴b 的关系：222b a c -=，可得椭圆顶点1和2的曲率半径a

b a v n

2

12

121==

=ρρ，顶点3和4的曲率半径b a

a v n

2

32

3

43=

=

=ρρ，证略） 则行星做椭圆轨道运动时具有的能量：0

22

12

1<-=--=a

Mm G

c

a Mm G

mv E

。

即行星的能量小于零时，行星做椭圆轨道运动。

（2）抛物线轨道

抛物线的方程为2ax y =，质量为M 的太阳在其焦点S （a

41,

0）处，

如图所示。设行星在抛物线轨道顶点时的速率为v 0,质量为m 的行星绕太阳做抛物线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在抛物线轨道顶点时的能量，其能量为：aGMm

mv a

Mm G

mv E

42

14/12

12

02

0-=

-=。

根据机械能守恒定律和开普勒第二定律求行星在抛物线轨道顶点时

的速率v 0比较复杂。下面我们根据等效类比法先求抛物线顶点的曲率半径，再根据曲线运动向心力公式求出行星在抛物线轨道顶点时的速率v 0。

因平抛运动的轨迹为抛物线，如图所示。设平抛运动的初速度为v 0'

，则平抛运动的水平位

移为t v x 0'=,竖直高度为2

2

1gt

y =

，平抛运动的轨迹为2

2

2x

v g y

'=

。比较2

2

2x

v g y

'=

和2ax y =，

当2

2v g a

'=

，或30

2v a g '=时平抛运动的轨迹与抛物线2ax y =的轨迹相同。

根据机械能守恒定律，物体在任一点（点P ）时的速度大小：

gy v v 22

+'=

。

把2ax y =和302v a g '=代入上式得22041x a v v +'=

在P 点物体的法向加速度：v

v a v

v g

a n

3

02'=

'=。

所以抛物线2

ax y =曲率半径与x 关系：a

x a v a v

a v

n 2)

41(22

/3223

32

+=

'=

=

ρ

。

抛物线2ax y =顶点（x =0）的曲率半径：a

21

=ρ。

也可直接求顶点的曲率半径：a

g

v 212

=

'=

ρ。

根据曲线运动向心力公式，行星在抛物线2ax y =轨道顶点时的速率由：

ρ

2

2

)

4/1(v m

a Mm G

=，得到aGM

v 80

=。

行星做抛物线轨道运动时具有的能量：0

4)8(2

142

12

2

0=-=

-=

aGMm aGM m aGMm mv E

。

即行星的能量等于零时，行星做抛物线轨道运动。 （3）.双曲线轨道

双曲线的方程为12

22

2=-

b

y a

x ，实半轴为a 、虚半轴为b ，半焦距2

2

b

a

c

+=，渐近线方程

为x

a b y

=，质量为M 的太阳在其焦点S （c ，0）处，如图所示。设行星在双曲线轨道顶点时的

速率为v 0,质量为m 的行星绕太阳做双曲线轨道运动时机械能守恒定律，行星的能量等于在双曲线轨道顶点时的能量，其能量为：

a

c Mm G

mv E --=

2

02

1。

设行星远离太阳时的速率为v ∞，因SG r =αsin ，又因?OED 与?OSG 全等，故b DE SG r ===αsin 。

根据开普勒第二定律：)(sin 0a c v b v r v -==∞∞α。 根据机械能守恒定律：

2

2

02

12

1∞

=

--mv a

c Mm G

mv 。

双曲线的半焦距c 、实半轴a 、虚半轴b 的关系：222b a c +=。 由上述三式解得行星在双曲线轨道顶点时的速率：)

(0a c a a c GM

v -+=

。

得行星做双曲线轨道运动时具有的能量：

02)(21

2

12

2

>=--???

? ?

?-+=--=

a Mm

G a c Mm G a c a a

c GM

m a c Mm

G mv E 。

即行星的能量大于零时，行星做双曲线轨道运动。 19. 以R

GM v v

?=

=

23231的速度沿地面发射一颗人造卫星，不计空气阻力，求卫星的周期。

（已知地球的半径R =6.4?106m ）（答案：1.42?104s ）

解：卫星绕地球运动一般是随圆运动，有时把它看作是圆周运动。 有机械能守恒：

r

Mm G

v m R

Mm G

mv

-'=

-2

2

2

121----①

有开普勒定律:vR =v 'r ----②(不是近点和远点不成立) 解得：r 1=R (近地点)；r 2=3R (远地点)。 有3

3

2

12

8)

2

(

kR r r k T =+=, 问题k =?,

解法1：有2

22

3

22

2

44,)2(

gR

GM

r

T k r T

m r

Mm G ππ

π=

=

=

=得，

卫星的周期g

R kR

T

23

328π=

=

=1.42?104s.

解法2：利用卫星沿地球表面作圆周运动的周期T '=2πR /v 1=5.0?103s, 有T '2

/T 2

=R 3

/8R 3

,得卫星的周期T T '=22= 1.42?104

s.

20. 宇宙飞船绕地球中心作圆周运动,飞船质量为m ,轨道半径为2R (R 为地

球的半径,已知地球的质量为M ),现将飞船转移到另一半径为4R 新的圆轨道上,如图所示.

求(1)转移时所需要的能量.

(2)如果转移是沿半椭圆双切线轨道进行的(如图中ACB ),则飞船在两条轨道交接处A 和B 的速度变化?v A 、?v B 各是多大?

[答案：(1)

.8R

GMm ；(2) .

64,232R

GM R

GM v R

GM R

GM v B A -

=

-

=

??]

解:在原圆轨道上R

GM v A

2=

，在r =4R 的圆轨道上R

GM v B

4=

A '到

B '的随圆轨道运动时,有开普勒定律v 'A 2R =v 'B 4R ,

有机械能守恒定律: R

GMm v m R

GMm v m B A 42

122

12

2

-

'=

-'

解得R

GM v R

GM v B A

6,32=

'=

'（如图所示）。

注意：在轨道的改变时需要能量（或需要力作用），机械能和角动量都不守恒。

(1)有能量守恒，转移时所需要的能量：

.8)2221(

)4421(

R

GMm R

GMm R

GM m R

GMm R

GM m E E E E E A B Bk Ak =

---=-=+=??

(2)因A 点和B 点的速度改变是瞬时的,所以v A 和v A '同方向,v B 和v B '同方向,所以:

.64,232R

GM R

GM v v v R

GM R

GM v v v B B B A A A -

=

'-=-

=

-'=??

21. 已知飞船的质量m =1.2?104

kg,离月球表面高度h =105

m 绕月球作匀速

圆周运动,为使飞船降落到月球上.用二种方法:第一种向飞船运动的方向喷气;第二种向背

离圆心方向喷气.喷出气体相对于飞船的速度v '=104

m/s,月球表面上的重力加速度为g 月=1.7m/s 2,月球的半径R =1.7?106m.计算上述二种情况下需要的燃烧质量. （答案：28.8kg ；115kg ） 解:飞船作圆周运动时: 1652

,)

(2

2

2

=+=

+=

+=+h

R R

g h

R GM v h R Mm G

h

R v

m

月得m/s

第一种情况,当飞船向运动方向喷气时,喷气后飞船的速度为v 1,使飞船在新的椭圆轨道上运动(刚喷气时的位置是新椭圆的远点),落到月球上时的速度为v 2(落到月球时的飞船的运动方向必须与月球表面相切,降落点是新椭圆的近点). 有开普勒定律:v 2R =v 1(R +h )---------① 有机械能守恒:R

GmM mv h

R GmM mv -

=

+-

2

22

12

12

1-----②和MG =R 2

g 月-----③

得:s

m h R h R R

g v /1628)

2)((23

1

=++=

月

则飞船的速度减小了?v =v -v 1=24m/s,设喷射气体质量为?m ,取飞船原来运动作为参照物, 有动量守恒:?m (v '-?v )-(m -?m )?v =0,得?m =m ?v /v '=28.8kg.

第二种情况,当飞船向背离圆心方向喷气时,喷气后飞船的速度为v 1,使飞船在新的椭圆轨道上运动(刚喷气时的位置不是新椭圆的远点,如图所示),落到月球上时的速度为v 2(,降落点是新椭圆的近点). 有开普勒定律:v 2R =v 1cos α(R +h )=v (R +h ),v 2=(R +h )v /R -------(1) 有机械能守恒:

2

2

21

22

)(2

121v

R

h m

h

R gR

R

h m

R

r R GmMh h R GmM R

GmM mv mv

?=+?

=+=

+-=

-

或写成：)3(),2(22

2

2

12

2

12

2---+=---=-v

v

v v

R

h v v ?

有上述三式得:?v =hv /R =97m/s,设喷射气体质量为?m ,取飞船原来运动作为参照物. 有动量守恒(沿半径方向):?m (v '-?v )-(m -?m )?v =0,同理得?m =m ?v /v '=115kg.

22. 从地球表面与竖直方向成α角发射一质量为m 的导弹，初速度R GM v /0=，M 为地球的质

量，R 为地球的半径，忽略空气的阻力和地球自转的影响，求导弹上升的最大高度。 （答案：R cos α）

解：因导弹的发射速度较大,它的运动不是普通的斜抛运动,导弹的运动可等效于椭圆轨道的运动.

取在发射点和离地球最远点两点，有开普勒定律：v 0R sin α=vr ----①

有机械能守恒：

r

Mm G

mv

R

Mm G

mv -=

-2

2

02

12

1------②

有①②二式解得r 1=R (1+cos α); r 2=R (1-cos α).

r 1是对应椭圆的远地点，r 2是对应椭圆的近地点，故r =R (1+cos α)。 导弹上升的最大高度h =r -R =R cos α. 23. （1）用第一宇宙速度从地面垂直向上发射一枚导弹,并在离发射点不远处返回地面,试求该

导弹在空中运行的时间.已知地面上的重力加速度取g =10m/s 2,地球的半径R =6400km.

（2）两个质点质量分别为m 1和m 2，相距为d ，开始时两质点处于相对静止，m 2固定，如果它们之间只有万有引力作用，无初速释放m 1，问经多少时间它们相碰？

[答案：（1）4112s ；（2）222Gm d d

t π=

] 解:面积速度为a

GM b v )c a (2

2

11=

-，

周期2

3

2a

GM

a a

a

GM b

ab

T

∝==ππ

短半轴两边运动的时间之比

c

a c a cb

ab cb ab S S t t 222

1

)

21

(

2

12

1-+=

-+=

=

ππππ。

（1）因导弹的发射速度较大,它的运动不是匀变速度运动,导弹的运动可等效于椭圆轨道的运动.由

R

GM v R

v m

R

GMm =

=12

1

2

,得导弹的发射速度

---①.

导弹运动的轨迹如图,由机械能守恒

r

GMm R

GMm mv -

=-

02

12

1---②

由①、②得远点r =2R ,

因在远点卫星的速率接近零v =0，由vr =r 'v '，所以近点r '=0。 即a =R ,根据对称性，所以椭圆轨道焦点(地心)与椭圆顶点重合, 导弹运动的面积速度为21v 1r sin α=2

1

bv 1,

所以导弹运行的周期g

R R

GM a bv ab

T

π

ππ22211

==

=

----③

导弹由A 至B ,矢量r 扫过的面积ab

ab S 2

122

1?

+=

π---④

导弹由A 至B 运行的时间（不是

2

1T ）t =

g

R T ab

S

)

2(+=?ππ,代入数据得t =4112s.

（2）提示：长轴为d 的椭圆运动的周期于直径为d 的圆周运动的周期相等。 请同学们自己求解（答案2

22

Gm d d

t

π=

）

24. 在发射导弹时要考虑g 的变化。要使导弹从A 地发射到B 地，AB 两地的直线距离为x 。已知地

球的半径为R ，质量为M ，引力常量为G 。求导弹的最小发射速度。（答案：)

221(

2x

R R

GM +-

）

解：在地面附近抛一物体，要使它的水平位移为x ，初速度v 0到少多大？

g

v t v x α

α2sin 2cos 2

00=

?=，当α=45?时，v 0最小，gx

v =0

。

导弹在地球引力范围内运动，它的能量小于零，它的运动轨道

为椭圆，椭圆的一个焦点在地心，根据对称性，椭圆的长轴与如图所示的AB 垂直，由能量：a

Mm G

E

2-=可知，要发射的速度最小，即要求椭圆的半长轴a

最

短，由椭圆知识可知，椭圆的两个焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a ，因OB =R 是一定的，当椭圆另一个焦点在如图的P 点时a 最小， 由几何关系可知：2

2x R a

+

=

根据机械能守恒定律得：

a mM G R Mm G

mv 22

12

-=- 得发射导弹的最小速度为：)

22

1(

2x

R R

GM v

+-

=。

六.综合题例

25. 如图所示,有一个质量为M 的光滑大环,用轻绳悬挂在O 点,有两个质量均为

m 的小环同时从大环的顶点向两侧由静止开始下滑(1)当两小环同时到达最低点时(设两小环正好没有接触)OA 绳子的张力.(2)当m 至少多大时,使OA 细线在某时刻的拉力能等于零.[答案：(1) (M +10m )g ；(2) 3M /2] 解:(1)(M +10m )g .

(2)

2

1mv 2

=mg (R -R sin α)和N +mg sin α=R

v

m

2

,得N =2mg -3mg sin α,

水平方向环平衡,竖直方向F y =2N sin α=4mg sin α-6mg sin 2α, 当sin α=3

12=

-

a

b 时F y 最大,且大于Mg ,得m >=3M /2.

26. 如图所示,光滑圆柱被固定在水平平台上,质量为m

1=0.2Kg 的小球用轻

绳跨过圆柱与小球m 2相连.开始时让m 1放在平台上,两边绳竖直,两球从静止开始运动,m 1上升、m 2下降,当m 1上升到圆柱的最高点时,m 1对圆柱顶的压力恰好为零.求: (1)m 2的质量.

(2)当m 1上升到圆柱的最高点时m 1加速度的大小. [答案：（1）0.24kg ；(2)1.14g ]

解（1）m 1上升2R 时，m 2下降（R +πR /2），

有机械能守恒：

R

g m R

R g m v m v m 2)2

(2

121122

22

1?-+=+

π-----①

m 1上升到圆柱的最高点时,Rg

v

=

-----②

解得：24

.01512

=+=

m m π

Kg 。

(2)m 1在竖直方向的加速度a 1=g , 在水平方向的加速度，有牛顿定律g

m m g m a 55.02

122

+=

。

最高点时m 1加速度的大小g g a a a 14.13.12

2

21==+=. 27. 长为2b 的轻绳,两端各系一质量为m 的小球,中央系一质量为M 的

小球,三个小球均静止于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态.今给小球M 以一冲击,使它获得水平速度v ,v 的方向与绳垂直(如图所示).求在两端的小球发生互碰前的瞬间绳子的张力.

（答案：b

m M mv

M

T

2

22

)2(+=

）

解:对M ：2T =Ma M ----①

对m : )(

2

M x a b

v m T

-=----②（或以M 为参照物b

v m

ma T

x M 2

=+）

有①②关系得b

v m

m

M M T x 2

2+=

---③

有能量守恒

)

(22

1

21

21

2

2

22

x y y

v v m Mv Mv ++

=

----④

有动量守恒y v m M Mv )2(+=+----⑤

有④⑤得m

M Mv

v x

22

+=

，代入③b

m M mv

M

T

2

22

)2(+=

28. 玩具火箭在发射的时候利用火箭内的火药爆炸射出箭身,而使火箭

头向前飞行.假设火箭放在地面上,在竖直向上发射的时候,箭头能上升的高度h =16m.现改为另一种方式发射:首先让火箭沿半径为R =5m 的半圆形轨道滑行,如图所示,在到达轨道的最低点A 时,再开动发动机发射火箭.试问,按这种方式发射的火箭能上升多高?已知箭

身的质量为9m ,火箭头的质量为m ,不计摩擦和空气阻力.（答案：34.2m ）

解:当火箭竖直向上发射时,火药爆炸时放出的能量都转化成火箭头的动能,所以火药爆炸时放出的能量E =mgh ,火箭到达轨道的最低点A 时的速度为v =gR 2=10m/s,设火箭在A

点发射后,火箭头的速度为v 1,箭身的速度为v 2,有动量守恒:9mv 2+mv 1=10mv ----(1) 有能量守恒

mgh

mgR mv mv +=?+

?102

192

12

12

2----(2)

把数据代入(1)、(2)得90v 22

-1800v 2+8680=0,得v 2=8m/s,v 1=28m/s, v '2=12m/s,v '1=-8m/s,不合题意,舍去. 得箭头能离A 点能上升的高度g

v H 22

1

=

=39.2m,箭头能上升的高度h '=H -h =34.2m.

问题:爆炸后箭头的机械能大于火药爆炸时放出的能量E =mgh ,为这能量哪来的? 29. 一长为L 的细轻杆的上端固定一个小球.杆立在很不光滑的水平硬地

面上,处于不稳定平衡状态,杆经轻碰后开始下倒.求小球与地面碰撞时,其速度的竖直和水平分量的大小.

（答案：gL

v x

323

2=,gL

v y

27

46=

）

解:在水平地面的反作用力不为零时,小球沿圆周运动.对地面的反作用力变为零的瞬间,如图所示。

有牛顿第二定律可得:mg cos α=L

v

m 2

,

再有机械能守恒

2

1mv 02=mgL (1-cos α),得cos α=2/3,v 02=2gL /3,

此后小球沿抛物线运动,速度的水平分量大小不变。 速度的水平分量大小为:gL

v v x

3

23

2cos 0=

=α.

当小球着地的瞬间有:v 2

=v x 2

+v y 2

=2gL , 得着地时小球的速度的竖直分量大小为gL

gL gL v gL v x y

27

463

29

4222

=

?

-

=

-=

.

30. 如图所示,一个金属螺母处在一个光滑易碎（即螺母在拱面上只能

滑动，不能碰撞）、半径为R 的半球形圆拱上.圆拱顶部有个不大的孔,螺母可以进入其中.已知此螺母所处位置的半径和竖直方向夹角为α,问为了使螺母掉到孔里,需要给螺母的最小切向速度是多少? （答案：α

αcos 2

cos

gR v

=）

解:设螺母一直沿拱面滑动的最小初速度为v ，则2

1mv 2=mgR (1-cos α)----①

mg cos α=R

v

m

2

-----②，得螺母的初始位置cos α=2/3,

当cos α≥2/3,螺母沿着拱面滑动掉到孔里,需要给螺母的最小切向速度是)c o s 1(2α-=gR v . 当cos α<2/3,螺母不可能沿着拱面滑动掉到孔里,但能沿着抛物线轨道飞入,有水平方向:v cos α?t =R sin α,竖直方向:v sin α?t -2

1gt 2=R (1-cos α).得需要给螺母的最小切向速度是

α

αcos 2

cos

gR v =.

31. 用一根很长的线把质量为m 1=0.1kg 的球悬挂在天花板上,线的重量可忽略不计.另用一根长为L =0.2m 的细线将质量为m 2=0.05kg 的球固定在球m 1上.使下面的球以水平速度v 0运动.问：当v 0为何值时两球将能达同一高度? （答案：v 0≥2.42m/s ）

解:因为球m 1悬线很长,又m 1>m 2,两球达到同一高度时,m 1的高长变化不大,可以认为球m 1仍处于原来的高度,且它的速度为水平方向.设两球刚好能达同一高度,这时两球的速度都为v ,且都为水平.以两球组成的系统为研究对象,在水平方向合外力趋于零,水平方向动量守恒,有动量守恒得:m 2v min =(m 1+m 2)v ----(1)

有机械能守恒有:)

2()(2

1212

2122

min 2---++=v m m gL m v m

有(1)、(2)得42

.2)

(21

21min

=+=

m m m gL v m/s.

即当v 0≥2.42m/s 时,两球将能达同一高度.

32. 从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N ，要求发射

所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R ＝6400 km 。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能

量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为2M m E G

a

=-.式中 M 为地球质量，G 为

引力常量。

(1)假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。

(2)若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？ (3)试导出 2M m E G

a

=- 。

[答案：(1)7.2 km/s ，与 OC 的夹角67.5?; (2) 7.4 km/s; (3)略]

解：（1）物体和地球构成的系统的能量2G M m E a

=-

要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a ，现 C

点到一个焦点 O 的距离是定值，等于地球的半径是 R ，只要位于长轴上的另一焦点到 C 的

距离最小，该椭圆的半长轴就最小由几何关系可知22

a R R =+

设发射时导弹的速度为 v ，则有2

12

M m E m v G

R

=-

式得v =

，因2

M m G

m g R

=

，得v =

代入有关数据得v ＝7.2 km/s

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切，速度方向与 OC 的夹角1904567.52

θ=?-

??=?

（2）由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为2C R v T

π=

式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T ＝24×3600 s ＝86400 s ，故0.46k m/s

C v =

C

点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。导弹的速度的大小为v '=

代入有关数据得v '＝7.4 km/s 。

(3). 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式

2

2

121

2

1122

G M m G M m m v m v r r =

-

-

和

1122112

2

r v r v =

式中 v 1、v 2 分别为物体在远地点和近地点的速度，r 1、r 2 为远地点和近地点到地心的距离。

经整理得22222121121

1()2r G M m m v r r r r r ??-=- ? ???

，注意到r 1＋r 2＝2a ，得2

122122r G M m m v a r =

因2

22

12

G M m E m v r =

-

，得2G M m E a

=-

七.伯努利方程（不要求）

研究流体中的压强与流速的关系。

①理想流体：不可压缩（密度不变或体积不变）

②定常流动：流速不随时间变化（各点的流速可以不同） ③伯努利方程：研究对象是理想流体做定常流动。 如图所示，取管内的a 1处和a 2处之间的一段流体作为研究对象，经很短的时间间隔?t ，这段液体流到管内的b 1处和b 2处之间,设222111,L b a L b a ??==。

对理想流体不可压缩，所以V L S L S V V ?????====221121

两端压力对这段液体做的功分别为V P L S P L F W ???1111111===，同理V P W ?22-= 外力对这段液体做的总功为V P P W W W ?)(2121-=+= 这段液体所增加的机械能相当于质量为V

m ?ρ=由a 1b 1运动a 2b 2所增加的机械能,

所以这段液体所增加的机械能)()(2

1122

12

2h h Vg v v V E -+-=?ρ?ρ?

根据功能原理)()(2

1)(122

12

221

h h Vg v v V V P P -+-=

-?ρ?ρ?

整理后得到伯努利方程22

2212

112

12

1gh v P gh v P ρρρρ++

=++

或写成=++

gh v P ρρ2

2

1常量，流体在水平流动时=

+

2

2

1v

P ρ常量。

如①用伯努利方程解释：香蕉球，喷雾器，飞机。

②大容器水面下h 处器墙上有一小孔，求水流出时的速度大小。

大容器可认为表面下降的速度v 1=0，P 1=P 0，h 1=h ；小孔处，P 2=P 0（不是P 0+ρgh ）h 2=0. 由伯努利方程22

2212

11

2

12

1gh v P gh v P ρρρρ++

=++，得gh

v 22=

。

也可用动能定理，对小孔处一小段液体?m =ρS ?L 研究：2

221

2

1)(Lv S L ghS L S P P ?ρ?ρ?=

=-。

33. 匀均地将水注入一容器中，注入的流量为Q ，器底有一面积为S 的小孔，使水不断流出，求

稳定（水面高度不再变化）时容器中水的深度。（答案：2

22gS

Q

h

=

）

解：稳定时液面v 1=0，P 1=P 0，h 1=h ；小孔处，P 2=P 0（不是P 0+ρgh ）h 2=0 由伯努利方程22

2212

11

2

12

1gh v P gh v P ρρρρ++

=++，得gh

v 22=

由流量关系Q =Sv 2，得容器中水的深度2

22gS

Q

h =

34. 如图是流量计的示意图，使用时，把它水平地接到自来水管

（或输油管）上，已知水平管粗细不同的两段的横截面积各为S 1和S 2，稳定后读得二铅直压强计管中水面高度差为?h ，试求管中截面S 2处的速度及管中水的流量。

（答案：2

1

2

22

12S S h g S S Q

-=?）

解：水平流动，h 1=h 2， 对S 1处和S 2处之间，伯努利方程2

222

112

12

1v P v P ρρ+

=+

稳定流动时流量一定：S 1v 1=S 2v 2 由题意得P 2-P 1=ρh ?h

由上述三式得管中截面S 2处的速度2

1

2

21

2

2S S h g S v -=?，流量2

1

2

22

1222S S h g S S v S Q

-==?

35. 如图所示为一量气体的流速或飞机对空气的航速的空速管。

同心细管迎着气流方向，沿流线安置，侧孔M 开在欲测流速处，与管端A 同高。内外二管与一U 字形压强计相通连，设压强计中液体的密度为ρ1，欲测气体的密度为ρ2。若量得压强计二支液面的高度差为h ，在2ρ<<1ρ的条件下，试求流速。

（答案：gh

v M

22

1?=

ρρ）

解：两管口在同一水平面上，h 1=h 2， 由伯努利方程2

22

22

12

1M M A A

v P v P ρρ+

=+

因2ρ<<1ρ，所以两管口的压强差为gh P P M A 1ρ=-

A 点的侧向流速v A =0，解得流速gh

v M

22

1?=

ρρ

问题：①若A 口是封闭的，则A 管中的压强不是大气压，P A =P 0，gh P P M A 1ρ≠-。 ②若垂直管方向有风速v ',则v A =v ',P A 压强不是大气压。

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法

例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于

高中物理弹簧专题总结

高中物理弹簧专题总结弹簧涉及的力学问题通常是动态的，常与能量、电场、简谐振动相结合，综合性强、能力要求高，且与日常生活联系密切，近几年来成为高考的热点。下面从几个角度分析弹簧的考查。 一弹簧中牛顿定律的考查与弹簧相连的物体运动时通常会引起弹力及合力发生变化，给物体的受力分析带来一定难度，这类问题关键是挖掘隐含条件，结合牛顿第二定律的瞬时性来分析。 例1 如图1 所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M 、N 固定于杆上，小球处于静止状态。设拔去销钉M 瞬间，小球加速度的大小为12m/s2，若不拔去销钉M 而拔去销钉N 瞬间，小球的加速度可能是（g 取10m/s2）（BC ）A、22 m/s2，竖直向上B、22 m/s2，竖直向下 C、2 m/s2，竖直向上 D、2 m/s2，竖直向下 解析：开始小球处于平衡状态所受的合力为零，拔去销钉M 瞬间小球受的合力与上面弹簧弹力大小相等方向相反。若此时加速度方向向上，则上面弹簧弹力F= m × 12, 方向向下。若拔去销钉N 瞬间则小球受到本身的重力和F，故加速度a=22m/s2，方向竖直向下; 反之则为C。 图2 图1 练习1如图 2 所示，质量为m 的物体A，放置在质量为连，它们一起在光滑的水平面上做简谐运动，振动过程中的物体 B 上，B与轻质弹簧相 A、B 之间无相对运动，设弹簧的劲 度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B 间的摩擦力的大小等于（ mm kx D 、kx M M m A 、0 B、kx C、D、 练习2如图3所示，托盘 A 托着质量为m的重物B， 弹簧的上端悬于O 点，开始时弹簧竖直且为原长。今让托盘 速直线运动，其加速度为a（a

学而思60课时学完高中物理

讲述高端的，真正的物理学 1 高一·30次课学完高中物理·第11-17讲·教师版 一、电荷、电荷守恒定律 1．电荷 自然界存在两种电荷：正电荷、负电荷 2．元电荷：191.610C e -=?，任何带电体的电荷量都为元电荷的整数倍． 3．电荷守恒定律 （1）物体有三种起电方式，分别是①摩擦起电；②接触起电；③感应起电． （2）电荷守恒定律 ①内容：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷总量不变． ②意义：电荷守恒定律是自然界的普遍定律，既适用于宏观系统，也适用于微观系统． 4．点电荷 （1）点电荷是一种理想化的模型．若带电体之间的距离比它们自身的尺寸大得多，以致带电体的大 小和形状对它们相互作用力的影响可以忽略不计，这样的带电体可以看成点电荷． （2）点电荷只具有相对意义，能看做点电荷的物体不一定很小，另外，对点电荷的带电量不作限制． 5．正确区分几种电荷的概念 （1）正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷是正电荷． （2）负电荷：用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷是负电荷． （3）元电荷：电荷量为191.610C -?的电荷叫做元电荷．质子和电子均带元电荷电量，但其内部的夸 克带电量可以比元电荷小． （4）场源电荷：电场是由电荷产生的，我们把产生电场的电荷叫做场源电荷． （5）试探电荷（检验电荷）：研究电场的一个基本方法之一就是放入一个带电量很小的点电荷，考 查其受力情况和能量情况，这样的电荷叫做试探电荷或检验电荷． 二、库伦定律 1．内容：在真空中的两个点电荷之间的作用力跟它们两电荷量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上． 2．公式：122Q Q F k r =，F 叫库伦力或静电力，也叫电场力．F 可以是引力，也可以是斥力，k 是静电 力恒量，其数值与单位的选取有关，公式中各量都取国际单位制单位时，922910N m /C k =??． 3．适用条件：①真空；②点电荷． 4．理解和应用库伦定律时应注意的问题： （1）库伦力具有力的一切性质，相互作用的两个点电荷之间的作用力满足牛顿第三定律． （2）在使用公式122Q Q F k r =时，12Q Q 、可只代入绝对值计算库伦力的大小，相互作用力的方向根据 第11讲 电场力 知识点睛

高中物理竞赛流程详细解析

高中物理竞赛流程详细解析 高中物理竞赛国内竞赛主要分为：物理竞赛预赛、物理竞赛复赛、物理竞赛决赛三个流程，国际性赛事分为国际物理奥林匹克竞赛和亚洲物理奥林匹克竞赛。 一、全国中学生物理竞赛预赛（CPhO） 1、高中物理竞赛入门级赛事，每年9月上旬举办（也就是秋学期开学），由全国竞赛委员会统一命题，各省市、学校自行组织，所有中学生均可报名； 2、考试形式：笔试，共3小时，5道选择题、每题6分，5道填空题、每题10分，6道大题、每题20分，共计200分； 3、考试主要考力学、热学、电磁学、光学、近代物理等相关内容（回台回复“物竞考纲”查看明细）； 4、比赛分别设置了一等奖、二等奖和三等奖，因为预赛主要是各省市为了选拔复赛选手而筹备的，所以一般一等奖可以参加复赛。 5、一般来说，考完试后2~3天即可在考点查询成绩。 二、全国中学生物理竞赛复赛（CPhO） 1、高中阶段最重要的赛事，其成绩对于自主招生及参加清北学科营等有直接影响，每年9月下旬举办（也就是预赛结束后）。 2、复赛分为笔试+实验： 笔试，共3小时，8道大题，每题40分，共计320分； 实验，共90分钟，2道实验，每道40分，共计80分； 总分400分。 3、笔试由全国竞赛委员会统一命题，各省市自行组织、规定考点，大多数省份只有预赛一等奖的同学可以参加； 实验由各省市自行命题，根据笔试成绩组织前几十名左右考生参加（也就是说实验不是所有人都考，只有角逐一等奖的同学才参加），最终根据实验和笔试的总成绩评定出一等奖、二等奖、三等。 4、各省市的实验时间稍有不同，具体可参考当地往年的考试时间。 5、考试内容在预赛的基础上稍有增加，具体考纲后台回复“物竞考纲”查看。 6、比赛设置了一等奖、二等奖、三等奖，也就是我们常说的省一、省二、省三，其中各省省一前几名入选该省省队，可参加决赛。 7、成绩有什么用？ 省一等奖可基本满足除清华、北大、复旦以外其他985/211高校的自主招生条件； 省二等奖可满足部分985/211高校的自主招生条件； 省三等奖可满足大部分211学校的自主招生条件。 8、各省省队成员可参加清北金秋营、冬令营，并根据成绩获得降分优惠。

高中物理复习专题 动量与能量(精选.)

专题三动量与能量 思想方法提炼 牛顿运动定律与动量观点和能量观点通常称作解决问题的三把金钥匙.其实它们是从三个不同的角度来研究力与运动的关系.解决力学问题时，选用不同的方法，处理问题的难易、繁简程度可能有很大差别，但在很多情况下，要三把钥匙结合起来使用，就能快速有效地解决问题. 一、能量 1.概述 能量是状态量，不同的状态有不同的数值的能量，能量的变化是通过做功或热传递两种方式来实现的，力学中功是能量转化的量度，热学中功和热量是内能变化的量度. 高中物理在力学、热学、电磁学、光学和原子物理等各分支学科中涉及到许多形式的能，如动能、势能、电能、内能、核能，这些形式的能可以相互转化，并且遵循能量转化和守恒定律，能量是贯穿于中学物理教材的一条主线，是分析和解决物理问题的主要依据。在每年的高考物理试卷中都会出现考查能量的问题。并时常发现“压轴题”就是能量试题。 2.能的转化和守恒定律在各分支学科中表达式 (1)W合=△E k包括重力、弹簧弹力、电场力等各种力在内的所有外力对物体做的总功，等于物体动能的变化。(动能定理) (2)W F=△E除重力以外有其它外力对物体做功等于物体机械能的变化。(功能原理) 注：(1)物体的内能(所有分子热运动动能和分子势能的总和)、电势能不属于机械能 (2)W F=0时，机械能守恒，通过重力做功实现动能和重力势能的相互转化。 (3)W G=-△E P重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。重力势能 变化只与重力做功有关，与其他做功情况无关。 (4)W电=-△E P 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。在只有重力、电场力做功的系统内，系统的动能、重力势能、电势能间发生相互转化，但总和保持不变。 注：在电磁感应现象中，克服安培力做功等于回路中产生的电能，电能再通过电路转化为其他形式的能。 (5)W+Q=△E物体内能的变化等于物体与外界之间功和热传递的和(热力学第一定律)。 (6)mv02/2=hν-W 光电子的最大初动能等于入射光子的能量和该金属的逸出功之 差。 (7)△E=△mc2在核反应中，发生质量亏损，即有能量释放出来。(可以以粒子的动

高中物理竞赛知识系统整理

物理知识整理 知识点睛 一．惯性力 先思考一个问题:设有一质量为m 的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何运动呢？ 地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律； 车上的观察者觉得：小球以－a s 相对于小车作加速运动； 我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有 -a s 的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为 - ma s ；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用, 物理上把这个力命名为惯性力。 惯性力的理解 ： (1) 惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。 (2)惯性力的大小等于研究对象的质量m 与非惯性系的加速度a s 的乘积，而方向与 a s 相反，即 s a m f -=* （3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为a s ，物体受相对此参考系 加速度为a',牛顿定律可以写成：a m f F '=+* 其中F 为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。 （4）如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处， 说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为现有的迷惑都被1.0版本解决了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。 极其不建议想不明白这问题的同学Baidu 这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很容易对不懂的人产生误导。 二．惯性力的具体表现（选讲） 1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力 这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为： s a m f -=* 2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力 这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力： 1）离心力为背向圆心的一个力： r m f 2ω=*

镜像法-高中物理竞赛讲义

镜像法 思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 平面镜像1 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷q （b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷 图4.4.1 点电荷的平面镜像 在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。 用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。 去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。

电位： (4.4.2.1 ) 电场强度： (4.4.2.2) 其中， 感应电荷：=> (4.4.2.3) 电场力： (4.4.2.4) 图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像 无限长单导线对平面的镜像 与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。

用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。 将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为） 电位： (4.4.2.5) 对地电容 ： (4.4.2.6 平面镜像2 无限长均匀双线传输线对平面的镜 像 与地面平行的均匀双线传输线， 半径为a，离地高度为h，导线间距离为d， 导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。 用位于地面下方h处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维 持不变。 将地面取消而代之以镜像双导线。 图 4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像 求解电位： (4.4.2.8) (4.4.2.9)

最详细的高中物理知识点总结(最全版)

高中物理知识点总结（经典版）

第一章、力 一、力F：物体对物体的作用。 1、单位：牛（N） 2、力的三要素：大小、方向、作用点。 3、物体间力的作用是相互的。即作用力与反作用力，但它们不在同一物体上，不是平衡力。作用力与 反作用力是同性质的力，有同时性。 二、力的分类： 1、按按性质分：重力G、弹力N、摩擦力f 按效果分：压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力。 按研究对象分：外力、内力。 2、重力G：由于受地球吸引而产生，竖直向下。G=mg 重心的位置与物体的质量分布与形状有关。质量均匀、形状规则的物体重心在几何中心上，不一定在物体上。 弹力：由于接触形变而产生，与形变方向相反或垂直接触面。F=k×Δx 摩擦力f：阻碍相对运动的力，方向与相对运动方向相反。 滑动摩擦力：f=μN（N不是G，μ表示接触面的粗糙程度，只与材料有关，与重力、压力无关。） 相同条件下，滚动摩擦<滑动摩擦。 静摩擦力：用二力平衡来计算。 用一水平力推一静止的物体并使它匀速直线运动，推力F与摩擦力f的关系如图所示。 力的合成与分解：遵循平行四边形定则。以分力F1、F2为邻边作平行四边形，合力F的大小和方向可用这两个邻边之间的对角线表示。 |F1-F2|≤F合≤F1+F2 F合2=F12+F22+ 2F1F2cosQ 平动平衡：共点力使物体保持匀速直线运动状态或静止状态。 解题方法：先受力分析，然后根据题意建立坐标 系，将不在坐标系上的力分解。如受力在三个以 内，可用力的合成。 利用平衡力来解题。 F x合力=0 F y合力=0 注：已知一个合力的大小与方向，当一个分力的 方向确定，另一个分力与这个分力垂直是最小 值。 转动平衡：物体保持静止或匀速转动状态。 解题方法：先受力分析，然后作出对应力的力臂（最长力臂是指转轴到力的作用点的直线距离）。分析正、负力矩。 利用力矩来解题：M合力矩=FL合力矩=0 或M正力矩= M负力矩 第二章、直线运动

2010年“学而思杯”初二物理竞赛试卷

2010年“学而思杯中学生理科能力展示大赛” 初 二 物 理 学校 姓名 准考证号________ 成绩 一、填空题（本大题共15个小题，共42分．） 1． （2分）小红在漆黑的鬼屋里带上耳机听鬼故事，听到有人在给自己剪发，剪刀的声音从左到后 再到右，她迅速回过头，却没有人，请问这是什么物理原理？ . 2． （2分）以下图象可能表达什么物态变化的过程？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（写出两种） 3． （2分）小明身高1.6m ，他想照镜子看自己的全身，镜子至少＿＿＿＿＿m 高． 4． （4分）入射光线不变，平面镜绕O 轴旋转一个较小的α角后，反射光线朝＿＿＿＿方向（填“顺 时针”或“逆时针”）转＿＿＿＿＿角． 5． （2分）枝头上的苹果，如果所受外力完全消失，苹果将＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 6． （3分）地面上放有一物体重100N ，若一人用20N F =的力竖直向上提（如图甲），则物体所受 合力为 ；若人改用水平向右20N F =的力拉物体加速运动（如图乙），则物体对人的拉力 （大于，等于，小于）20N ，此时物体所受阻力 （大于，等于，小于）20N . 7． （4分）将如图所示杯子装入适量水（未满），倒置后.问（填变大，变小或不 变）： （1）水对容器底压强 （2）水对容器底压力 （3）杯对桌面压强 （4）杯对桌面压力

8． （2分）甲乙两个同种材料制成的立方体，单独放在桌面上时（如图1），对桌面压强分别为12P P 、， 若将乙放在甲上（如图2），甲对地的压强为 9． （4分）一列火车以速度1v 向站台匀速行驶，鸣笛时间为t ，站在站台上的人听到的笛声持续时 间为 （已知声音在空气中传播速度为v 声） 10． （2分）现有质量均为m 的甲、乙两种金属，密度分别为12ρρ、（12ρρ＞），按一定比例混合后， 平均密度为12 2 ρρ+，求混合后的最大质量为 （不考虑混合后的体积变化） 11． （2分）现有3块相同的砖，每块砖重为10N ，一人用竖直的两板将三块砖如图所示夹起，试求 “2号”砖左侧和右侧各自所受摩擦力大小和方向（画示意图并指明大小）． 12． （2分）粗测一高度为L 的酒瓶的容积，办法是先测出瓶的直径D ，再倒入部分的水（大半瓶水， 正立时近弯处），如图所示，测出水面高度1L ，然后堵住瓶口，将瓶倒置，测出水面高度2L ，则瓶的容积为＿＿＿＿＿． 13． （2分）甲地到乙地相距2km ，中途发生短路故障（有短路电阻）如图．现做实验检测故障处， 在甲处加电压90V ，在乙处用电压表测定，电压表显示72V ；若在乙处加电压100V ，甲处测电压为50V ，求故障处距甲处＿＿＿＿＿km ． 14． （6分）物理学家阿基米德指出：浸在液体中的物体所受到的向上的浮力大小等于它排开液体的 重力.（已知：330.610kg/m ρ=?木，330.810kg/m ρ=?酒精，337.910kg/m ρ=?铁， 3313.610kg/m ρ=?水银） ①将一木块投入到一装满水的容器中，溢出10g 水；若将此木块投入到装满酒精的容器中，溢出 g 酒精. ②将一铁块投入到一装满水的容器中，溢出10g 水；若将此铁块投入到装满酒精的容器中，溢出 g 酒精. ③将一铁块投入到一装满水的容器中，溢出10g 水；若将此铁块投入到装满水银的容器中，溢出 g 水银.

新版高一物理竞赛讲义

高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若

以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ

高中物理竞赛(解题方法：整体法)

高中奥林匹克物理竞赛解题方法 、整体法 方法简介 整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具 有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合 作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多 种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物理研究与学习中善于运用整体研究 分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。灵活运 用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力， 把物理问题变繁为简、变难为易。 赛题精讲 例1如图1—1所示，人和车的质量分别为m和M，人用水 平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩 擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为 ________________________________________________ . 解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实 上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用 牛顿第二定律求解即可 将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力 向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F,所以有： 2F=(M+m)a，解得： 2F a M m 例2用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图 1 —2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右 偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是 ?在竖直方解析

学而思高一物理讲义

第一讲直线运动4级公式法运动学计算 循序渐进：阶梯成长体系 本讲难度：★★★★☆ 高考难度：★★★☆☆ 直击高考：高考考点分值 高考比重平均0~6分 高考初级考点（概念层面）物理抽象概念应用 高考中级考点（间接考察）运动学基本公式 高考高级考点（综合考察）运动状态分析 高考考题20062007200820092010 例题18 画龙点睛：重点中学试题 1．（09北京四中期中） 下列关于加速度的说法，正确的是（） A．物体的速度越大，加速度越大 B．物体的速度变化量越大，加速度越大 C．物体的速度变化越快，加速度越大 D．物体的速度恒定，加速度为零 【答案】C D

知识点睛 一、知识网络图 二、 例题精讲 概念纠错题 机械运动 【例1】下列运动中不属于机械运动的有（） A．人体心脏的跳动B．地球绕太阳公转 C．小提琴琴弦的颤动D．电视信号的发送【答案】D 质点 【例2】在下列各运动的物体中，可视为质点的有（）A．汽车的后轮，研究汽车牵引力的来源 B．沿斜槽下滑的小钢球，研究它沿斜槽下滑的速度

C．人造卫星，研究它绕地球的转动 D．海平面上的木箱，研究它在水平力作用下是先滑动还是先滚动 【解析】A与汽车的结构形状有关不能看成质点，D与木箱的结构有关，因为判断滚动要考虑杠杆因素【答案】B C 匀速与匀变速 【例3】下列运动中，最接近匀速直线运动的是（） A．匀速转动的旋转餐厅 B．公共汽车在两个车站间的直线运动 C．国庆阅兵时军人正步走过主席台 D．跳伞运动员从静止在空中的直升飞机上跳下后的落体运动 【答案】C 【例4】速度及加速度的定义是运用了（） A．控制变量法B．建立物理模型法C．等效替代法D．比值法 【答案】D 【例5】在匀变速直线运动中，下列说法中正确的是（） A．相同时间内位移的变化相同B．相同时间内速度的变化相同 C．相同位移内速度的变化相同D．相同路程内速度的变化相同 【答案】B 【例6】关于加速度和速度关系，以下说法中正确的是（） A．加速度越来越大，则速度越来越大 B．运动的物体加速度大，表示了速度变化快 C．加速度的正负表示了物体运动的方向 D．物体运动加速度的方向与初速度方向相同，物体的运动速度将增大 【解析】加速度是表征物体速度变化快慢的物理量，B对，加速度越来越大时，速度的变化越来越快，但速度不一定越来越大，A错；速度的正负表示物体运动的方向，加速度的正负表示加速度与速度是否同向，若同向则物体做加速运动，D对． 【答案】B D 概念应用题 参考系 【例7】在无云的夜晚，看到月亮停在天空不动；而在有浮云的夜晚，却感到月亮在很快移动这是因为此时我们选择了为参考系的缘故，而此时必须是有风的夜晚，相对于地面是运动的．【答案】浮云、浮云

高中物理竞赛辅导讲义 第 篇 运动学

高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任

高中物理竞赛方法集锦 等效法

四、等效法方法简介 在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法. 等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解. 赛题精讲 例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑 墙壁A 和B ，相距为d ，一个小球以初速度v 0从两墙 之间的O 点斜向上抛出，与A 和B 各发生一次弹性 碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ. 解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为 一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的 方法求解. 由题意得：g v v t v d θ θθsin 2cos cos 2000? =?= 可解得抛射角 20 2arcsin 21v gd = θ 例2：质点由A 向B 做直线运动，A 、B 间的距离为L ，已知质点在A 点的速度为v 0，加速度为a ，如果将L 分成相等的n 段，质点每通过L/n 的距离加速度均增加a /n ，求质点到达B 时的速度. 解析 从A 到B 的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线 运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为 n a n n a an n a n a a a a a 2)13(232)1(2 -= -=-++= += 末 初平 由匀变速运动的导出公式得2 22v v L a B -=平 解得 n aL n v v B )13(2 0-+ = 例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成

关于高中物理知识点总结之能量守恒定律与能源知识点

关于高中物理知识点总结之能量守恒定 律与能源知识点 能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量不变。这就是能量守恒定律，如今被人们普遍认同。 1.化学能：由于化学反应，物质的分子结构变化而产生的能量。 2.核能：由于核反应，物质的原子结构发生变化而产生的能量。 3.能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而能的总量保持不变。 ●内容：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 即 E机械能1+E其它1=E机械能2+E其它2 ●能量耗散：无法将释放能量收集起来重新利用的现象叫能量耗散，它反映了自然界中能量转化具有方向性。 1.可再生能源：可以长期提供或可以再生的能源。 2.不可再生能源：一旦消耗就很难再生的能源。

3.能源与环境：合理利用能源，减少环境污染，要节约能源、开发新能源。 1.太阳能 2.核能 3.核能发电 4、其它新能源：地热能、潮汐能、风能。 能源品种繁多，按其来源可以分为三大类：一是来自地球以外的太阳能，除太阳的辐射能之外，煤炭、石油、天然气、水能、风能等都间接来自太阳能;第二类来自地球本身，如地热能，原子核能(核燃料铀、钍等存在于地球自然界);第三类则是由月球、太阳等天体对地球的引力而产生的能量，如潮汐能。 【一次能源】指在自然界现成存在，可以直接取得且不必改变其基本形态的能源，如煤炭、天然气、地热、水能等。由一次能源经过加工或转换成另一种形态的能源产品，如电力、焦炭、汽油、柴油、煤气等属于二次能源。 【常规能源】也叫传统能源，就是指已经大规模生产和广泛利用的能源。表2-1所统计的几种能源中如煤炭、石油、天然气、核能等都属一次性非再生的常规能源。而水电则属于再生能源，如葛洲坝水电站和未来的三峡水电站，只要长江水不干涸，发电也就不会停止。煤和石油天然气则不然，它们在地壳中是经千百万年形成的(按现在的采用速率，石

胥晓宇-数学物理竞赛心得体会

序言 物理集训队最后一天，宋老师说，“人过留名，雁过留声”，我学了这么多年的竞赛，在心态，学习，考试等方面都有一些心得，要是消逝在记忆之中，未免有些遗憾。所以愿意整理出这样一份心得体会，全都是肺腑之言，希望能对广大竞赛同胞们有所帮助。 那些对竞赛有成见的人就不要喷了。认为我讲的不对的（尤其是各位学长），欢迎在“评论”里面留下自己的看法，给大家更多的帮助。可能有一些措辞失当，还请见谅。 下面讲的会比较多，而且会比较散，有些部分大家可以自行跳过。 〇学习成就大事记（还是简单说一下吧，大家给点面子不要喷） 小学五年级仁华一班一号进入一流奥数圈子 初一数学初联一等 初三数学高联一等 高二数学进北京队，CMO满分金牌，集训队前十 高二物理高联一等 高三数学物理联赛均以第一名进队，随后CMO金牌，CPhO银牌（涉险过关，太幸运了）高三物理进入IPhO国家队 出国方面TOEFL110+，SAT2300+ 课内成绩高中不出年级前十，高二CMO前不出前三 一明心见性，直指本心 是亦不可以已乎？此之谓失其本心。 ——《孟子·告子上》 细细数来，初步接触竞赛，数学是小学三年级进入华校，物理是初二；而进入MO和PhO，那都是高中的事了。 很多人都会有疑问：学这么多年的竞赛，到底是为什么？ 实话实说，小学的时候学习数学竞赛，说的好听点，是出于好胜心和自尊心；说的实在点，就是好面子，听见别人夸奖心里高兴，自得。当然也有“兴趣”。注意，兴趣和自得之心是完全可以一致的。 但是到了中学，尤其是进入高中以后，上述心态固然存在（所谓本性难移是也），但更多的则是真正有求知欲，并且能在数竞中发现乐趣。我记的特别清楚的一次是去年的暑假，在上海旁听国家队培训的时候，有一个数论题。有两个参数m和k，让你证一个结论。我用了一个小时，一直对着m“使劲”，毫无斩获；后来灵机一动，对着k“使劲”，豁然而解。（好吧，没有原题就跟看笑话似的）当时就特别特别高兴，就有一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉。我觉得这就是数学竞赛中的乐趣。 当然了，我学物理竞赛也经历了这样的过程，到了高二的暑假，才渐渐体会到物理的乐趣。

高中物理竞赛方法集锦

例11：如图13—11所示，用12根阻值均为r的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求AG两点间的等效电阻。 解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁”，使其变成平面电路，如图13—11—甲所示。 考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为

r r r r R 6 5363=++= 例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木 制圆制，其质量m=0.2kg ，半径为r ，长度L=0.1m ，圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面 平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B=0.5T ，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？ 解析：要准确地表达各物理量之间的关系， 最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如 图13—12—甲所示，磁场力F m 对线圈的力矩 为M B =NBIL ·2r ·sin θ，重力对D 点的力矩为： M G =mgsin θ，平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13 所示，每段电阻丝的电阻均为r ，试求A 、B 间的等效 电阻R AB 。 解析：设想电流A 点流入，从B 点流出，由对称 性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电 势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。

（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值， 所以 r r r r r 3 232=?=' 横线每根电阻仍为r ，此时将立体网络变成平面网络。 （2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB 为轴对折，此时网络变为如图13—13—乙所示的网络。 其中横线每根电阻为21r r = 竖线每根电阻为32r r r ='= '' AB 对应那根的电阻为r r 32 =' 此时由左右无限大变为右边无限 大。 （3）设第二个网络的结点为CD ，此后均有相同的网络，去掉AB 时电路为图13—13—丙所示。再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻） 则N B A R R ='，网络如图13—13—丁所示。

学而思高中完整讲义集合.板块三.集合的运算.学生版

题型一 集合的基本运算 【例1】若{}|1,I x x x =-∈Z ≥，则I N e= ． 【例2】已知全集{(,)|R ,R}I x y x y =∈∈，{(1,1)}P =，表示I P e． 【例3】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 【例4】若{}{}{},,|,A a b B x x A M A ==?=，求B M e． 【例5】已知2 {|43,} A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,} B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于 （ ） A ．? B ．{1,3}- C ．R D ．[1,3]- 【例6】若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = ． 典例分析 板块三.集合的运算

【例7】若集合{}{} 22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x y =+==+=∈∈R R ，则有（ ） A ．M N M = B ．M N N = C ．M N M = D ．M N =? 【例8】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值． 【例9】设集合{|(3)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ． 【例10】设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =（ ） A ．0 B ．{}0 C ．? D ．{}1,0,1- 【例11】已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求R ()A B e，R ()A B e 【例12】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根， {}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求() U M N e．