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类比法

类比法

(一)什么叫类比法

类比法是一种从个别到个别(或从特殊到特殊)的推理方法.它是在甲、乙两个(或两类)事物之间进行对比,从它们的某些类似或相同(相异)的属性出发,根据甲具有某一种属性,推出乙可能也有与之类似或相同(相异)的另一属性.

在数学中,类比法推理的基本公式是:

因为,对象A有属性a、b、c,对象B有属性a′、b′(a′,b′分别与a、b相同或类似),所以,对象B也可能有属性 c ′(c ′与c相同或类似).

由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移(推广)到对乙类事物的认识,扩大了认识领域,所以,类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法,是启发人们联想的思维工具,是创造性思维的一种形式.

(二)类比法在立体几何中的应用

类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用:

1.学习新知识

学习立体几何教材,最基本的方法之一是与平面几何类比.

学习立体几何时,对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比,大胆猜想,可以发现新知识,从而达到温故而知新.

首先要选好类比对象.例如,选三角形与三棱锥.这是因为,在平面上,用直线围成的封闭图形中,三角形所用的直线条数最少;在空间中,用平面围成的封闭图形中,四面体所用的平面个数最少,所以,三棱锥与三角形可以类比.

例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式.

【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行:

(1)类比发现三棱锥的体积公式

类比法

如图1-17,因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ,三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ,三角形的面积公式A=

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(2)类比发现三棱锥体积公式的证法

证明三角形的面积公式是用割补法,即把三角形补成一个平行四边形,易得三角形的面积是平行四边形的面积之半.类似地,证明三棱锥的体积公式,应先把它补成一个三棱柱,然后再分割成三个等积的三棱锥(参看高中课本《立体几何》).

2.发现新定理和编制新命题

科学家开普勒(Kepler )说:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的.”

在立体几何中,类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具.

例2 把直三面角(即三个面角都是直角)与直角三角形类比,对直角三角形的勾股定理,你能发现直三面角有什么新定理?

【解】如图1-18,在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中,Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ,Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ,因此,与

直角三角形的

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