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任意角三角函数定义导学案

任意角三角函数定义导学案
任意角三角函数定义导学案

1.2.1 任意角的三角函数的定义

(一)知识回顾

1、初中利用直角三角形定义了锐角三角函数.

2、锐角三角函数的特殊角三角函数值

(二)讲授新知

1、任意角的三角函数的定义

α是一个任意角,(,)P x y 为终边上的一点,

______0OP r ==>.

______α=;tan ____α=.cot ____α= 2、符号问题:

3、例题讲解

例1:已知角α的终边过点(4,3)P -,求角α的正弦、余弦和正切值. 例2:求

3

的正弦、余弦和正切值.

例3:求终边落在直线Y=2/3X 上的角的三角函数

A B

b C

a

c

sin _______,cos _______,tan ________,cot ________A A A A ====正弦:余弦:正切:余切:。

1.2.2单位圆与三角函数线导学案

一、自主学习:

1。单位圆:半径为 的圆叫单位圆。

2。正射影:如图示:单位圆的圆心在坐标原点O ,设角α的顶点在圆心O ,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单

位圆相交于点P (x,y )过点P 作P M⊥x 轴于点M,作PN ⊥y 轴于点N ,则点M、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的 (简称 )

即P 点的坐标为( , ),其中OM=

;ON= 。

由此可得:角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 坐标和 坐标。 3。三角函数线:

在上面图2中,向量 、 、 分别叫做角α的余弦线、正弦线和正切线。 思考:当α=x(rad)且0

π

, 则α、sin α、tan α的大小关系是 。 三、典型例题:

1。例1:分别作出32π和4

3π-的正弦线,余弦线和正切线。

2。在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥

2

3 ;(2)cos α≤21-.

3、求下列函数的定义域 (1)1cos 2-=y (2)()x y 2sin 43lg -=

α) A α) (1) (2)

§1.2.2 同角三角函数的基本关系导学案

自主学习:

同角三角函数的基本关系

平方关系 ; 商数关系 。 例题:

A 、已知角的正弦、余弦、正切中的一个值,求出其余两个值(知一求二)。

1、已知cos α=-3

5,并且它是第三象限的角,求sin α,tan α的值。

变式:已知cos α=-3

5,求sin α,tan α的值。

B 、化简三角函数式

2、化简tan ,且α在第二象限。

C 、证明简单的三角恒等式 例3:求证:α

α

ααsin cos 1cos 1sin -=

+

三、巩固练习 1、已知sin α=

5

13

,求cos α,tan α的值。 2、已知tan α=3,求sin α,cos α的值。

3、化简:(1 (2。

4、证明下列恒等式:1cos sin cos 2442+=+θθθ

四、达标检测 1、),0(,5

4

cos παα∈=

,则tan α的值等于( )A .

34 B .43 C .34± D . 4

2、若tan α3

22

παπ<<,则sin α=( ) A. 12- B. C. 123、若

2cos sin 2cos sin =-+α

αα

α,则=αtan (

)A .1 B . - 1 C .

4

3

D .3

4-

4、化简:tan αcos α= 。

5、已知tan α=2,求下列各式的值: (1)

sin cos sin cos αα

αα

+-; (2)sin cos αα; (3)223sin 4sin cos cos αααα-+。

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数(A 层学案) 学习目标:1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义; 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点:任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点:任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1.任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的________,记作______,即sin α=y ; ②x 叫做α的________,记作______,即cos α=x ; ③ y x 叫做α的________,记作______,即tan α=y x (x ≠0). (2)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P (x ,y ),它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为: sin α= cos α= tan α= 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀: 。 3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k ·2π)=________,cos(α+k ·2π)=________, tan(α+k ·2π)=________,其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α

二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1:已知角α的终边经过点P(-4,3),求sin α、cos α、tan α的值.变式训练1: (1)已知角α的终边过点 0(3,4) P--,求角α的正弦、余弦和正切值. (2)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα、cosα、tanα的值. 知识点二:三角函数值的符号问题 例2. (1)α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α (2)若sin θ·tan θ>0,cos θ·tan θ<0,则sin θ·cos θ______0 (填“>”“<”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2:判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》

高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》 高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径,大家一定要在平时的练习中不断积累,小编为大家整理了高三数学说课稿之《任意角的三角函数的定义》,希望同学们牢牢掌握,不断取得进步! 一、教材结构与内容简析 本节内容在全书及章节的地位:三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型,有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的角的概念的推广的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念,对三角内容的整体学习至关重要,是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉,可以自然地导出本章的具体内容:三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用,一方面,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念,另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。 三角函数定义必然是学好全章内容的关键,如果学生掌握不好,将直接影响到后续内容的学习,由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。 数学思想方法分析:作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识,因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。 二、教学重点、难点、关键 教学重点:任意角的三角函数的定义,三角函数的符号规律。 教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。 教学关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( 确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着的变化而变化)。 三、学情分析

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数 任意点到原点的距离公式:d = x 2+y 2 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐 标为(,)x y ,它与原点的距离为(0)r r ==>,那么 sin y r α= ;cos x r α=;tan y x α=; 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。 求解三角函数值 一般角:利用三角函数的定义 特殊角:先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -,求α的三角函数值。 练:已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠,求α的四个三角函数值。 例2.求下列三角函数的值: (1)9cos 4π (2)11tan()6 π - ,

练: .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3.确定下列三角函数值的符号: (1)cos 250 ; (2)sin()4π-; (3)tan(672)- ; (4)11tan 3 π . 练: 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角,则( ) A.sin 2 θ >0 B.cos 2 θ <0 C.tan 2 θ >0 D.cot 2 θ<0 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交 与点P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

教材:任意角的三角函数(定义) 目的:要求学生掌握任意角的三角函数的定义,继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程:一、提出课题:讲解定义: 1.设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y ) 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r (图示见P13略) 2.比值 r y 叫做的正弦 记作: r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作: r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作: x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作: y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作: x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作: y r =αcsc 注意突出几个问题: ①角是“任意角”,当=2k+(kZ)时,与的同名 三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。(下面有例 子说明) ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ,而x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号 应由象限确定(今后将专题研究) ⑤定义域: αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3),求的六个三角函数值 解:13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解:⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解: 定义域:cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上

《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数(第一课时)》教学设计

任意角的三角函数(1) 一、教学内容分析: 高一年《普通高中课程标准教科书·数学(必修4)》(人教版A版) 1.2.1任意角的三角函数第一课时。 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 二、学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法,忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练,无形增加了学生的负担,泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式,但仍太多旧时的痕迹,若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影,失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中,教师应该关注以下两点: 第一、根据学生的生活经验,创设丰富的情境,例如单调弹簧振子,圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象),解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。 根据《课程标准》的指导思想,任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题: 其一:能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型; 其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

2020年普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第22讲任意角的三角函数及诱导公式 一?课标要求: 1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切)。 二.命题走向 从近几年的新课程高考考卷来看,试题内容主要考察三角函数的图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式,在处理一些复杂的三角问题时,同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测2020年高考对本讲的考察是: 1.题型是1道选择题和解答题中小过程; 2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这也是新课标教材的热点内容。 三.要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射 线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角,它们彼此相差2k n (k € Z),即 { 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。 6666 3 .弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作 1 rad , 或1弧度,或1(单位 可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-n, -2n等等,一般地,正角 的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋 转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是:丄,其中,|是圆心角所对的弧长,r是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。 180

高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板_0185

2020 高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板 _0185

EDUCATION WORD 高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板_0185 前言语料:温馨提醒,教育,就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的,就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华,以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式,传递给当下的无数个人,让个人从中获益,丰富自己的人生体验,也支撑整个社会的运作和发展。 本文内容如下:【下载该文档后使用Word打开】 各位同仁,各位专家: 我说课的课题是<<任意角的三角函数>>,内容取自苏教版高中实验教科书《数学》第四册第1.2节 先对教材进行分析 教学内容:任意角三角函数的定义、定义域,三角函数值的符号. 地位和作用:任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习,又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材,精心设计过程.

教学重点:任意角三角函数的定义 教学难点:正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解; 学情分析: 学生已经掌握的内容,学生学习能力 1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义,掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。 2.我们南山区经过多年的初中课改,学生已经具备较强的自学能力,多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。 3.在探究问题的能力,合作交流的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行 针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下 知识目标: (1)任意角三角函数的定义;三角函数的定义域;三角函数值的符号, 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号的推导,提高学生分析探究解决问题的能力. 德育目标:

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学:1.2.1《任意角的三角函数(一)》教案(苏教版必修4) 第 3 课时:§1.2.1 任意角的三角函数(一) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 二、过程与方法 1.通过网络载体,利用几何画板的直观演示,培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神; 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式; 2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,体会数形结合思想。 【教学重点与难点】: 重点:任意角三角函数的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)。 难点:任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】: 1. 学法: 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式:启发、诱导发现教学. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点,那么,这两种表示有什么内在的联系?确切地说, ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系? 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在平面直角坐标系中,设的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是。当为锐角时,过作轴,垂足为,在中,,,

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x . 思考2 对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变? 答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中,当取|OP |=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示? 答案 sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的正弦,记作sin α, 即sin α=y ; ②x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x (x ≠0). 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角. ①正角:按__逆时针__方向旋转形成的角. ②负角:按__顺时针__方向旋转形成的角. ③零角:如果一条射线__没有作任何旋转__,我们称它形成了一个零角. (2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为:{β|β=α+2kπ,k∈Z},或{β|β=α+k·360°,k∈Z}. (3)象限角:角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2.弧度制 (1)1度的角:__把圆周分成360份,每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角:__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算: 360°=__2π__rad,1°=__π 180__rad,1rad=(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,则此扇形的弧长l=__|α|·r__, 面积S=__1 2|α|r 2__=__1 2lr__.

3.任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角,α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x,y),它与 原点的距离为r,则sinα=__y r__,cosα=__ x r__,tanα=__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是: (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线. 4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=__sinα__, cos(α+k·2π)=__cosα__, tan(α+k·2π)=__tanα__(其中k∈Z), 即终边相同的角的同一三角函数的值相等.

任意角三角函数的概念教学设计

“任意角三角函数的概念”教学设计 陶维林 (江苏南京师范大学附属中学,210003) 一.内容和内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型.它的基础主要是几何中的相似形和圆,研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形,三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来.它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用,它是解决实际问题的重要工具,它是学习数学中其他学科的基础. 角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角,再扩充到任意角,相应地,锐角三角函数概念也必须有所扩充.任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果.比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念,共同点是,它们都是“比值”,不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”,而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值,或者是坐标的比值”.正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点,因此,可以用角的终边与单位圆的交点的坐标(或坐标的比值)来表示任意角的三角函数,这是概念的核心.这样定义,不仅简化了任意角三角函数的表示,也为后续研究它的性质带来了方便. 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程,产生了“符号问题”.因此,学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比,借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念. 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义.它们是本节,乃至本章的基本概念,是学习其他与三角函数有关内容的基础,具有根本的重要的作用.解决这一重点的关键,是学会用直角坐标系中,角的终边上的点的坐标来表示三角函数.因为正切函数并不独立,最主要的是正弦函数与余弦函数. 任意角三角函数自然具有函数的一切特征,有它的定义域,对应法则以及值域.任意角三角函数的定义域是实数集(或它的子集),这是因为,在建立弧度制以后,角的集合与 实数集合间建立了一一对应关系,从这个意义上说,“角是实数”,三角函数是定义在实数集上的函数.各种不同的三角函数定义了不同的对应法则,因而可能有不同的定义域与值域.任意角三角函数概念是核心概念,它是解决一切三角函数问题的基点.无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值,还是同角三角函数间的关系,以及三角函数的性质,等等,都具有基本的重要的意义. 在建立任意角三角函数这个定义的过程中,学生可以感受到数与形结合,以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法.

数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案

2.2.2任意角的三角函数(1) 【学习目标】 1.掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知,导入新课 在初中,我们已经学过锐角三角函数: 角的范围已经推广,那么对任意角是否也能定义其三角函数呢? 二、建构数学 1.在平面直角坐标系中,设点是角终边上任意一点,坐标为,它与原点的距离,一般地,我们规定: ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________; ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________; ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中,和的定义域分别是________________;

任意角的三角函数说课稿

任意角的三角函数说课稿 各位老师你们好!今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。 一、说教材 1、地位和作用: 本节课是人教版数学(必修)4第一章三角函数的第一节任意角的三角函数第一课时。它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键,对三角内容的整体学习至关重要,同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,也是今后高考的必考内容之一。 根据本教材的结构和内容分析,结合学生的认知特点和心理特征,我制定了如下的教学目标: 2、教学目标: 知识与技能方面: 掌握任意角的三角函数的定义,会求角α的各三角函数值;理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式,最后要理解三角函数的两域。 方法与过程上: 体验三角函数概念的产生、发展过程,通过对三角函数值的符号,诱导公式(一)的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力;领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的思想. 情感态度与价值观方面: 培养学生通过现象看本质的唯物主义观,培养学生实事求是的科学态度. 本着高一新课程标准,在吃透教材基础上,我确定了以下教学重难点: 3、重点、难点: 重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法,终边相同角的诱导公式(一) 难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数,以及单位圆的应用。 为了讲清教材的重难点,使学生能够达到既定的教学目标,在重点上有所掌握,难点上有所突破,我再从教法和学法上谈谈: 二、说教、学方法 一方面,我们都知道数学是集抽象与实践为一体的重要学科,因此在教学过程中,不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状,我主要采取“温故知新,逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学,在学习中,得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题:如何修正三角函数的定义进一步扩展所学内容,发展新知识,从而激起学生探求新知的欲望,调动学生参与学习的积极性。 教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性,并注意用新课程理念处理传统教材,使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流,教师发挥引导者、合作者的作用,引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。 根据本节课内容以及学生认知特点和我自己的教学风格,主要以“教师主导、学生主体”的原则,采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学. 另一方面,人们常说:“现代的文盲不是不懂字的人,而是没有掌握学习方法的人”,因而,我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变,从“学会”向“会学”转变,成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法:分析归纳

3知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3.会应用三角函数的定义解决相关问题。 【要点梳理】 要点一:三角函数定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=; (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=; (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α= ≠. 要点诠释: 三角函数的值与点P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=。 要点二:三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号: 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时,有以下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦。 要点诠释: 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正;在第二象限正弦值为正,在第三象限正切值为正,在第四象限余弦值为正。 要点三:诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin(2)sin k απα+?=,其中k Z ∈ cos(2)cos k απα+?=,其中k Z ∈ tan(2)tan k απα+?=,其中k Z ∈ 要点诠释: 该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中,角和三角函

数值的对应关系是多值对应关系,即给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况);反之,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应. 要点四:单位圆中的三角函数线 圆心在原点,半径等于1的圆为单位圆.设角α的顶点在圆心O ,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于P ,过P 作PM 垂直x 轴于M ,作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向,与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T '),则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线,统称为三角函数线.有向线段:既有大小又有方向的线段. 要点诠释: 三条有向线段的位置: 正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段; 余弦线在x 轴上; 正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上; 三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外. 【典型例题】 类型一:三角函数的定义 例1.已知角α的终边经过点P (-4a ,3a )(a ≠0),求sin α,cos α,tan α的值。 【思路点拨】先根据点P (-4a ,3a )求出OP 的长;再分a >0,a <0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35,45-,34-或35-,45,34 - 【解析】 5||r a ==。 若a >0,则r=5a ,α是第二象限角,则 33sin 55 y a r a α= ==, 44cos 55 x a r a α-===-, 33tan 44 y a x a α===--, 若a <0,则r=-5a ,α是第四象限角,则 3sin 5α=-,4cos 5α=,3tan 4α=-。 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关,只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。 举一反三: 【变式1】已知角α的终边在直线y =上,求sin α,cos α,tan α的值。 【答案】1221,22 --

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案 一、角的概念的推广 1.与角α终边相同的角的集合为 . 2.与角α终边互为反向延长线的角的集合为 . 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在x 轴上的角的集合为 ,终边在y 轴上的角的集合为 ,终边在坐标轴上的角的集合为 . 4.象限角是指: . 5.区间角是指: . 6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角,它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180o= 弧度,1o= 弧度,1弧度= ≈ o. 8.弧长公式:l = ; 扇形面积公式:S = . 二、任意角的三角函数 9.定义:设P(x, y)是角α终边上任意一点,且 |PO| =r ,则sin α= ; cos α= ;tan α= ; 10.三角函数的符号与角所在象限的关系: 12解析式 y =sinx y =cosx y =tanx 定义 域 值 域 13.三角函数线:在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线. - + - + cos x , + + - - sin x , - + + - tan x , x y O x y O x y O αx y O

例1. 若α是第二象限的角,试分别确定2α,2α ,3α 的终边所在位置. 解: ∵α是第二象限的角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z ). (1)∵2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°(k∈Z ), ∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y 轴的非正半轴上. (2)∵k·180°+45°<2α <k·180°+90°(k∈Z ), 当k=2n (n∈Z )时, n·360°+45°<2α <n·360°+90°; 当k=2n+1(n∈Z )时, n·360°+225°<2α <n·360°+270°. ∴2α 是第一或第三象限的角. (3)∵k·120°+30°<3α <k·120°+60°(k∈Z ), 当k=3n (n∈Z )时, n·360°+30°<3α <n·360°+60°; 当k=3n+1(n∈Z )时, n·360°+150°<3α <n·360°+180°; 当k=3n+2(n∈Z )时, n·360°+270°<3α <n·360°+300°. ∴3α 是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1:已知α是第三象限角,问3α 是哪个象限的角? 解: ∵α是第三象限角,∴180°+k·360°<α<270°+k·360°(k∈Z ), 60°+k·120°<3α <90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z )时,可得 典型例题

任意角的三角函数公开课说课稿

《1.2.1任意角的三角函数》 尊敬的各位评委、各位老师, 大家好! 今天我说课的容是《1.2.1任意角的三角函数》 下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计这几个方面来进行我的说课。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是人教版高中数学必修4中第一章第二节《1.2.1任意角的三角函数》。 在学习本课之前,学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识,而三角函数也是基本初等函数之一,它是描述周期现象的重要数学模型,从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的扩展,是本章教学容的基本概念,是这一章最重要的一节课。 本节课以函数思想为指导,以坐标系和单位圆为定义工具,以初中学过的锐角三角函数为认知的起点,来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质,使得三角函数反应的数形关系更加的直接,数形结合更加紧密。 它是本章的基础,对三角函数的整体学习至关重要;同时它又是以后学习平面向量、解析几何等容的必要准备,通过这部分容的学习可以进一步的帮助学生理解函数这一基本概念。 2、学情分析 ①、我们的学生在初中学习的时候,是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数,并没有从函数角度去认识锐角三角函数。

学生习惯了用直角三角形的比值去定义三角函数,对于用角终边上点的坐标来定义三角函数在认识上就存在着一定的障碍。 ②、我校的学生数学基础相对较差,多数同学对数学的学习没有兴趣和积极性。 ③、学生的学习能力、理解能力较差,学习习惯不好,所以必须在老师的指导下才能进行。 二、教学目标 根据新课标对本节课的教学要求,结合学生已有的认知能力和以上教材分析,我从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能 掌握任意角的三角函数的定义;会求角α的各三角函数值;理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式。 2、过程与方法 体验三角函数概念的产生、发展过程,通过对三角函数值的符号,诱导公式(一)的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力;领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的思想。 3、情感态度与价值观 通过概念生成的过程,让学生去感受数学的自然美与简洁美 培养学生通过现象看本质的唯物主义观,培养学生实事的科学态度。 三、教学重、难点 Ⅰ、教学重点:①、正确理解三角函数的定义;②、任意角三角函数在各个象限的符号;③、终边相同角的诱导公式(一) Ⅱ、教学难点:

人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)

一、复习:锐角三角函数的定义: 如图:设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点,P M⊥x 轴,∣OP∣=r , 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= . P αr y x y x O M 二、自主学习:自学14P -16P 完成下面的填空: 1。三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点,∣OP∣=r ,(r= 22y x +,r >0) 则:sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考:三角函数是函数吗? 2. 三角函数的定义域:完成下表 三角函数 定 义 域 sin α cos α tan α 3。三角函数符号: sin α= r y :若y >0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上;若y <0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。 cos α= r x :若x >0,则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上; 若x<0,则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限

或在 上.若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。 tan α= x y ,若x 、y 号,则tan α>0,此时α的终边在第 象限或第 象限 若x 、y 号,则tan α<0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。 若x=0, 则tan α不存在,此时α的终边在 轴上。 记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦” 四、小结: 五、作业: 1.已知α的终边过点P (4,-3),则下面各式中正确的是( ) A.sin α= 5 3 B.cos α=- 5 4 C.tan α=- 4 3 D.cot α=- 4 3 2.若角α的终边上有一点P (k k 54 ,53-)(0?k ),则sin α·tan α的值是( ) A. 15 16 B.-1516 C.1615 D.-16 15 3.已知角α的终边经过点P (a ,b ),其中a <0,b <0,在α的六个三角函数中,符号为正的是( ) A.sin α与csc α B.cos α与sec α C.tan α与cot α D.sec α与csc α 4.若角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且 10=OP ,则m -n =( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.已知点P (3,y )在角α的终边上,且满足y <0,cos α=5 3 ,则tan α的值为( ) A.4 3 - B. 3 4 C. 4 3 D.-3 4 6若sin θcos θ>0,则θ在第 象限。

高三数学复习说课比赛三角函数说课

每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一 三角函数 一.考试说明对本专题的要求: 全国卷在要求上四提高、三降低:在三角恒等变换、解三角形及简单应用两个知识点上 要求会用;对诱导公式、两角和与差的三角函数公式,不仅会用还要会利用三角函数线、 向量进行推导;正、余弦函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+?)的要求低于湖北卷,正 切函数在区间-22 ππ(,)内只需理解单调性;其他无变化.

每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一16小题 三角函数的化简与求值 命题规律:本专题是高考的必考内容,纵观近三年全国高考数学卷Ⅰ,有 如下特点:(1)命题热点为图象和性质、三角函数的化简与求值、以及解三角形; (2)题型为3小题或1大题1小题;(3)分值为15分或17分. 三.专题知识体系构建的方法与总体构想: 三角函数的知识是学生刚进高中时学习的,时间间隔较长,在学习其它模块 时又不常用到三角函数的相关知识,学生遗忘程度较深.针对学生的学情和考纲 的分析,我将本单元的复习计划确定为: 1.任意角、弧度制及任意角的三角函数;(3课时) 2.同角三角函数的基本关系式与诱导公式;(5课时) 3.三角函数的图象与性质;(8课时) 4.两角和与差的三角函数及简单的三角恒等变换;(6课时) 5.正、余弦定理及解三角形.(5课时) 四.重点知识强化、难点突破策略包括常见题型和解题方法: 1.题型一:三角函数的基础知识题. A. sin α>0 B . cos α>0 C. sin2α>0 D. cos2α>0 例2:(2014课标全国Ⅰ,文7)在函数①y=cos 丨2x 丨,②y=丨cosx 丨,③y=cos (2x+)④y=tan (2x ﹣)中,最小正周期为π的所有函数为( ) A . ①②③ B . ①③④ C . ②④ D . ①③ 方法点拨:利用求函数周期的方法:①根据定义;②利用公式. 2.题型二:三角函数的化简与求值 例3.(2014年江苏高考)已知),2( ππα∈,55sin =α. (1)求sin()4 απ +的值; (2)求cos()26 5απ-的值. 方法点拨:根据题目所给的条件,用同角三角函数的关系,及两角和与差的三角函数 公式. 例4.(2014年江西高考)已知函数)2cos()cos 2()(2θ++=x x a x f 为奇函数, 且0)4 (=π f ,其中).,0(,πθ∈∈R a 强化策略:引导学生回归教材,唤醒学生对基础知识的回忆,通过学生归纳总结、合作交流 加深对基础知识的记忆.

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习: 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解: 任意点到原点的距离公式: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y , 它与原点的距离为(0)r r == >,那么 (1)比值y r 叫做α的正弦,记作sin α,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦,记作cos α,即cos x r α=; (3)比值y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan y x α=; (4)比值x y 叫做α的余切,记作cot α,即cot x y α=; 说明:①α的始边与x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; ③当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,终边上任意一点的横坐标x 都等 于0,所以tan y x α= 无意义;同理当()k k Z απ=∈时,y x =αcot 无意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出: 当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==,于是有 sin 1y y y MP r α====, cos 1x x x OM r α====,tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 (Ⅳ) (Ⅲ)

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