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【典型题】高一数学下期中第一次模拟试题带答案

一、选择题

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为

30，则该长方体的体积为（）

A ．8

B ．62

C ．82

D ．83

2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ

D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥

3．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）

A ．2

B ．217

C ．2

D ．8

4．下列命题正确的是（） A ．经过三点确定一个平面

B ．经过一条直线和一个点确定一个平面

C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D ．四边形确定一个平面

5．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆2

0x y kx ++=上两个不同点，P 是圆2

0x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则

PAB ?面积的最大值是（）

A ．32-

B ．4

C ．6

D ．32+

6．已知圆截直线

所得线段的长度是

，则圆与

圆的位置关系是（） A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

7．已知圆()()2

:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=?，则m 的最大值为（） A ．2B ．32C 322

D ．228．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1

B ．1-

C ．2-或1

D ．2或1

9．已知圆O ：2

24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和

BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（）

A ．42

B ．24

C ．

212

D ．6

10．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=?，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形

ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A ．

π B ．

π C ．

π D ．2π

11．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（） A ．

||αγαββγ⊥?

??⊥?

B ．

||m l l m ββ?

?⊥?⊥? C ．||||||m m n n γγ?

???

D ．

||m m n n γγ⊥?

??⊥?

12．已知AB 是圆22

620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（）

A ．3

B ．22

C ．23

D ．25

二、填空题

13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：

①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．

14．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.

15．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .

16．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 17．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为

1803，则圆台的侧面积为_____．

18．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当

AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________

19．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆

O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．

20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆

22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，

则实数k 的值为__________．

三、解答题

21．已知点()1,0P ，圆2

:6440C x y x y +-++=.

（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；

（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.

22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面

ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=?.

（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记

λ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，

1AB AC ==，12AA =．

（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．

24．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=?，2DC AC AB AE ===．

（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．

25．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，

AB AD ⊥，AB PA ⊥，且2AD PA ==，22PD =，1

PE PB =

（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；

26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；

（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】

首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】

在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，

根据线面角的定义可知130AC B ∠=，

因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =??= C. 【点睛】

该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得

尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.

2．B

解析：B 【解析】

A 中，,αβ也可能相交；

B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；

C 中，,αβ也可能相交；

D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系

3．B

解析：B 【解析】【分析】

依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】

依题意，因为111A B C △的面积为

所以11111sin 452AC B C ?=

??=11122B C ??，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，

由勾股定理得：AB ====

故选B ．【点睛】

本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '

轴平行且长度减半.

4．C

解析：C 【解析】【分析】

根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】

A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；

B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；

C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】

本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.

5．D

解析：D 【解析】【分析】

根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ?面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为

+，PAB S ?最大值为32+. 【详解】

由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2

，0）在直线x-y-1=0上， ∴-

-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），

∴直线AB 的方程为2x -

=1，即x-y+2=0 ∴圆心到直线AB 的距离为

. ∴△PAB 面积的最大值是1321322||(1)222222

AB ++=??=3+2 故选D ．【点睛】

主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.

6．B

解析：B 【解析】化简圆

到直线

的距离

，

又

两圆相交. 选B

7．B

解析：B 【解析】【分析】

根据使得90APB ∠=?的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.

【详解】

由题, 使得90APB ∠=?的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.

.故P 的轨迹方程为222

2x y m +=.

又由题意知,当圆()()22

:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值

. 22341

,故m =

故选：B 【点睛】

本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=?求出点P 的轨迹.属于中等题型.

8．D

解析：D 【解析】【分析】

根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应

a 的值，即可得到答案．

【详解】

由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；

当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为1

22x y a a a

+=--，

由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a

2a a

-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】

本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

9．B

解析：B 【解析】【分析】

设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222

128d d MO +

，

2S AC BD =

?=，利用均值不等式得到最值. 【详解】

2224110x y x y ++--=，即()()2

1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.

()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.

222222121211

222161622

S AC BD r d r d d d =

?=?-?-=-?- 2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.

故选：B . 【点睛】

本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.

10．C

解析：C 【解析】【分析】【详解】

由题意可知旋转后的几何体如图:

直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2

215

121133

V V V πππ=-=??-???=圆柱圆锥故选C.

考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.

11．D

解析：D 【解析】

试题分析：A.

}r r

ααββ⊥?⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m β

β?⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m r

m n n r

?不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

12．D

解析：D 【解析】

【分析】

求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可．【详解】

圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为

过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，

则|AB |==，故选D ．【点睛】

本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．

二、填空题

13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直

解析：③④ 【解析】【分析】【详解】

试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与

1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．

考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．

14．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90 解析：22(2)(1)2x y -+-=

【解析】【分析】【详解】

试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．

，

∴a=1或9，

a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，

a=9时，r=52，∠MCN ＜90°，∠MFN ＜

45°，则所求圆的方程为2

(2)(1)2x y -+-= 考点：圆的标准方程

15．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因解析：

【解析】

ABC ?中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，

所以30BAD BCA ∠==.

由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-?

2222222cos12012=+-??=，

所以23AC =.

设AD x =，则023t <<，23DC x =-.

在ABD ?中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-?

22222cos30x x =+-?2234x x =-+.

故2234BD x x =

-+.

在PBD ?中，PD AD x ==，2PB BA ==.

由余弦定理可得2222222(234)3

cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===

?，所以30BPD ∠=.

过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11

sin 22

PBD S BD d PD PB BPD ?=?=?∠， 211

2342sin 3022

x x d x -+=?，解得2

234

d x x =

-+.

而BCD ?的面积111

sin (23)2sin 30(23)222

S CD BC BCD x x =

?∠=?=.

设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD

的体积

11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ???=?=≤?=?

设t =

0x ≤≤12t ≤≤.

则x -=

（1

）当0x ≤≤

时，有x x ==

故x =

此时，16V t =

21414

()66t t t t

-=?=-. 214

()(1)6V t t

=--'，因为12t ≤≤，

所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612

V t V ≤=

-=. （2

x <≤

x x =-=

故x =

此时，V =

21414

()66t t t t

-=?=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141

()(1)(1)612

V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为

. 16．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故解析：()4,2-

【解析】【分析】

先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得

()4,2-的对称点，由此得出结论.

【详解】

已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则81

6102

AB k =

=---.

∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-，化为20x y -=.

设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，

则2214422022b

a b -??=-??--?-++??-=??

，解得42a b =??

=-?. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】

本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.

17．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半解析：360π

【解析】【分析】

首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】

圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3

所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，

由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k

由于轴截面的面积为，所以

(

)462

k k +=6k =.

所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+?=. 故答案为：360π 【点睛】

本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.

18．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正

解析：1

【解析】【分析】

将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC ，即可求出结论. 【详解】

将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，

在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=，

AM MC ==

P ABCD -

中，AC =在ACM 中，2

332

144cos 32324

AM CM AC AMC AM CM +-+-∠=

==-??. 故答案为:1

【点睛】

本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.

19．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为

圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答

解析：

. 【解析】

分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，母线长为5r ，由圆锥侧面积为π，可得25

r =

，结合2a r =，利用三角形面积公式可得结果. 详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =，母线长为5r ，因为圆锥侧面积为π，

5r r ππ∴??=，255

r =

，设正方形边长为a ，则2224,2a r a r ==

，

正四棱锥的斜高为()22

242

a h r +=，

∴正四棱锥的侧面积为2136542622a r r ???==，

故答案为

. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.

20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的

解析：【解析】

分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC

PACB S S =四边形，然后可将问题转化为

切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理．

详解：根据题意画出图形如下图所示．

由题意得圆2

:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，

由圆的性质可得2PBC

PACB S S =四边形，四边形PACB 的最小面积是2，

∴PBC S

的最小值1

S rd ==

（d 是切线长）， ∴2d =最小值，

∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，

又0k >， ∴2k =．

点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．

三、解答题

21．（1）1x =或0y =；（2）()()2

134x y -++=. 【解析】【分析】

（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；

（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】

（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()2

329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径

3r =，

①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l

的距离为2d =

=，0k ∴=.

∴直线l 的方程为0y =；

②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；

（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m

的距离d =

2320

k k

∴+-=，解得

k=或2

k=-，

又0

k<，2

∴=-，∴直线m的方程为210

x y

---=即210

x y

++=，

设点()

A x y、()

B x y，联立直线m与圆C的方程得

()()

210

329

x y

++=

-++=

，

消去y得2

51010

x x

-+=，122

x x

∴+=，

则线段AB的中点的横坐标为121

x x

=，把1

x=代入直线m中得3

y=-，

所以，线段AB的中点的坐标为()

1,3

-，

由题意知，所求圆的半径为：

AB=，

∴以线段AB为直径的圆的方程为：()()

134

x y

-++=.

【点睛】

本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.

22．（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）证明AD BD

⊥，利用平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，可得AD⊥平面PBD，从而AD PB

⊥；

（2）作//

EF BC，交PB于点F，连接AF，连接DF，PBD

?中，由余弦定理求得

cos

BPD

∠=，即可得出结论．

【详解】

（1）证明：在ABD

△中，2

AD=，4

AB=，60

BAD

∠=?，

∴由余弦定理可得23

BD=，222

AD BD AB

∴+=，AD BD

∴⊥.

∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，

∴⊥平面PBD，又PB?平面PBD

AD PB

∴⊥.

（2）解：作//EF BC ，交PB 于点F ，连接AF ，由////EF BC AD 可知A ，D ，E ，F 四点共面，

连接DF ，所以由（1）的结论可知，PB ⊥平面ADE ，当且仅当PB DF ⊥. 在PBD △中，由4PB =

，BD =

PD =

余弦定理求得cos BPD ∠=

，∴在Rt PDF 中，cos 3PF PD BPD =∠=，

因此3

PE PF PC PB λ=

== 【点睛】

本题考查立体几何有关知识，考查线面、面面垂直，考查运算能力，属于中档题． 23．

（Ⅰ）10

；（Ⅱ）23.

【解析】【分析】

（Ⅰ）由题意结合线面垂直的判定可得AD ⊥平面11BCC B ，则1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B

所成的角，求得2

AD =

，1AC =后即可得解；（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE

，由题意可得5

BE =，由余弦定理可得2

CE =

，进而可得90BEC ∠=，则AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，再由余弦定理即可得解. 【详解】

（Ⅰ）

三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，

∴1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AD ⊥，

AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，

又1

BB BC B =，∴AD ⊥平面11BCC B ，

∴1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角，

1AB AC ==，12AA =，

∴AD =

，1AC =

∴

11sin AD AC D AC ∠===

， ∴直线1AC 与平面11BCC B

所成角的正弦值为10

（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，

AB AC

==，112

AA A C

==，∴

A B AC

==，2

BC=，

由

ABE A BA

∽可得5

BE=，

AE=

在1A BC中，

222

cos

2210

A B BC AC

A BC

A B BC

∠===

，

∴在EBC中，222

2cos

CE BE BC BE BC EBC

=+-??∠=即35

CE=，

∴222

CE BE BC

+=即90

BEC

∠=，

∴AEC

∠即为二面角1

A A

B C

--的平面角，

在AEC中，

222

cos

2535

AE CE AC

AEC

AE CE

∠===

∴二面角

A A

B C

--的余弦值为

【点睛】

本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）连接PF，由题意可得//

PE AF，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC⊥平面ABC，AF BC

⊥，进而可得AF⊥平面BCD即PE⊥平面BCD，由面面垂直的判定即可得证；

（Ⅱ）由（1）知PE⊥平面BDF，计算出2

PE BF

==2

BDF

三棱锥体积公式即可得解.

【详解】

（Ⅰ）证明：连接PF ，

F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12

PF CD =，

//AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =，

∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，

平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC 平面ABC AC =，90ACD ∠=?，

∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，

又AC AB =，∴AF BC ⊥，

DC C =，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ，

又PE ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .

（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，

22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=?

∴221122222

PE AF BF BC ====+= ∴1

BDF

BF DC =

?=， ∴1

223

BDF

E BD

F S

PE V -?===. 【点睛】

本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 25．（1）见解析；（2413

【解析】【分析】

（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；

（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离. 【详解】

下学期期中考试高一数学试卷

2010-2011学年度下学期期中考试高一数学试卷答卷时间120分钟满分100分预祝同学们取得满意成绩！一、选择题（每题3分满分36分） 1、各项均不为零．．．的等差数列}{n a 中，52a -2 9a +132a =0，则9a 的值为（） A 、0 B 、4 C 、04或 D 、2 2、以)1,5(),3,1(-B A 为端点的线段的垂直平分线方程是（） A 、083=--y x B 、043=++y x C 、063=+-y x D 、023=++y x 3、设一元二次不等式012 ≥++bx ax 的解集为? ?? ???≤≤-311x x ，则ab 的值是（） A 、6- B 、5- C 、6 D 、5 4、在ABC ?中A a cos =B b cos ,则ABC ?是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰或直角三角形 5、若0a b a >>>-，0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( ) ()1ad bc >；() 20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->- A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、在ABC ?中，A =0 45，a =2，b =2，则B =（） A 、300 B 、300或1500 C 、600 D 、600或1200 7、在ABC ?中，B =135?，C =15?，a =5，则此三角形的最大边长为 A 、35 B 、34 C 、 D 、24 8、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（） A 、（1，2） B 、（2，+∞） C 、[3，+∞) D 、（3，+∞） 9、已知直线06=++my x 和023)2(=++-m y x m 互相平行，则实数m 的值为（） A 、—1或3 B 、—1 C 、—3 D 、1或—3 10、已知数列{}n a 的通项为?? ? ???-=--1)74() 7 4 (11 n n n a 下列表述正确的是（）

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高一数学单元测试题一、选择题 1．已知{}2),(=+=y x y x M ，{} 4),(=-=y x y x N ，则N M ?=（） A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 2．已知全集U =N ，集合P ={ }，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则() P C Q =U I ( ) A ．{ }3,2,1 B ．{}9,5 C ．{}6,4 D {}6,4,3,2,1 3．若集合{} 21|21|3,0,3x A x x B x x ?+? =-<=

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A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能 8. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若sin 3sin cos A C B =，且2c =，则ABC ?的面积最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。请将答案填写在答题卡指定位置．．．．．．．处. 9. 已知R m ∈，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=，若12//l l ，则实数m 的值为． 10. 在△ABC 中，已知BC=2，AC=7，,3 2π =B ，那么△ABC 的面积是． 11．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ， 90=∠ABC ， 1===BC AB PA ，则PC 与平面PAB 所成角的正切值．．．为． 12．如果平面直角坐标系中的两点A )1,1(+-a a ，B ),(a a 关于直线L 对称，那么直线L 的方程为． 13. 若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有三个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R 的值为___________. 14．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且 A c C a B b cos cos cos 2+=,则角B 的值． 15．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进10 3 米后到点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_____米． P A B C （第11题） C D E A B θ 2θ 4θ

高一数学上学期期中试题人教版新版

2019学年度第一学期中段考试题高一数学一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则A C U ＝( ) A 、{1,3} B 、{3,7,9} C 、{3,5,9} D 、{3,9} 2．函数1()f x x x = -的图象关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．原点对称 D ．直线x y =对称 3．若函数y f x =()是函数2x y =的反函数，则2f ()的值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 4．下列函数中，既是奇函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（） A ．2log y x = B ．1-=x y C ． x y 2= D ． 3x y = 5．函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则P 点坐标是（） A ．(15)， B ．(14)， C ．(14)-， D ．(04)， 6．函数?? ?<+≥=0)3(02)(x x f x x x f ,则=-)8(f （） A ．4 B ．2 C ．8 D ．6 7. 在下列区间中，函数f (x )=3x –2的零点所在的区间为 ( )

A. (–1, 0) B. (0, 1) C. (1, 2) D. (2, 3) 8．已知函数3 ()3f x ax bx =--，若(1)7f -=，则(1)f =( ) A.7- B.7 C.13- D.13 9、固定电话市话收费规定：前三分钟0.22元（不满三分钟按三分钟计算），以后每分钟0.11元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话550秒，应该收费（） A ．1.10元 B ．0.99元 C ． 1.21元 D ． 0.88元 10、定义在R 上的偶函数()f x ，在(0,)+∞上是增函数，则（） A (3)(4)()f f f π<-<- B ()(4)(3)f f f π-<-< C (4)()(3)f f f π-<-< D (3)()(4)f f f π<-<- 11．若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D.b c a >> 12．已知1()x f x a =，22()f x x =，3()log a f x x =（其中0a >，且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题(每小题5分，共20分,把答案填在答题纸的横线上）

高一数学期中考试试题(有答案)

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高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学满分150分姓名一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。