无理数的近似值

无理数2的近似值

薛金声

虽然发现“2是无理数”应该归功于“万物皆数”的毕达哥拉斯（Pythagoras 约580-500 BC ）及其学派成员，但是关于2的近似值，历史上不同时期有不同的计算方法。

1古巴比伦人的贡献 1.1 计数的进位制

公元前二千多年的古巴比伦王国时代，人们计数采用的是60进制。而当时的美索不达米亚人就有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值，对于其他的方根，相应的60进制数值只是近似的。

1.2 使用的公式

古巴比伦人在计算高为h 宽为w 的矩形对角线d 时出现了平方根。他们使用的公式是

h

w h d 22

+≈。曾有一个问题是求给定宽和高的一扇门的对角线，他们当时给出的解答并未说明

公式的来历，只是使用了这个近似公式。这个公式在h ＞w 时是求d 的很好的近似值。

1.3

2的近似值

耶鲁大学收藏了一块当时的古巴比伦人的泥板，上面是标有数字的正方形，其中数30表示正方形的边长，而对角线上的两个数字分别表示对角线长和2的近似值，在这里2是准确到60进制的三位小数，即414213.160

10

605160241232≈+++

≈，这是有关2的最早的结果。 另外，大约在公元前六世纪，印度的婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与

测量部分《绳经法》（sulvasutrus ）中关于正方形祭坛的对角线计算公式中取

414215686.1)

34)(4)(3(1)4)(3(13112=-++=，这里所有的分数都是单位分数。

2 渐近分数法——欧几里得《原本》中的发现

柏拉图(Plato 400 BC)指出，在毕达哥拉斯学派成员之前就有对正方形边和对角线方面的研究，但是作为理论最早出现在欧几里得《原本》中。

在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上截取与边长相等的线段CE ，然后以AE 为边长做正方形AEFG ，再在AF 的延长线上截取FH=AE ，再以AH 为边做正方形AHIJ ……如此下去我们得到如下的费波那契数列，并令111D S ==

(1)k k k D S S +=+1

(2)k k k k k D S S S D +=+=++211

由表格中得知：

k k

S D 的值好像被人为地分为两个部分：当k

为奇数时数值比2的实际值小,

当k 为偶数时数值比2值大,但均集中于2两侧，并且随k 值增大而越来越接近2的真实

I

值.

由（1）、（2）两式我们得出122

121±=++K K D S ，再把此式变形并求平方根得：

21111

2+++±=K K K S S D ，因此2)(lim 1

11=++∞→+K K S S D K 。此处使用的是极限的思想。

3连分式法

Rafael Bombelli 在1572年给出

++

+

+

=+a b

a a b

a b a 2222

，当我们令a=b=1时，

它就是

++

+

+

=+=21212111122

。

如果现在我们来计算上面表格中连续小数的收敛性就会发现，分开的两组小数部分均可以用下面的连续分数式表示，而且它已经得到了人们的认可。

++

+

+

=+++=++=++

=+

=+=+=+=+==22121

1212111211211111114

33

22

111S S S AE

AH S S AE AD AD

AE AD AE AD AD AE EC AD AC S D 对于“无理数的发现史及古希腊数学家的科学精神”的介绍，树立“崇尚科学、追求真理的信念，增强理性思考的意识”是上海市中小学数学课程标准（初中阶段）拓展Ⅰ的内容，也是全日制普通高中数学课程选修3-1数学史选讲的一部分。从上面的讨论可以看出，该部分知识内容十分丰富，学生从中不仅能了解古希腊的数学知识，而且还能学会如何从“图形”中探求“数”的规律（数形结合思想）,并体会其中的丰富思想内涵。

随着数学学科本身的发展，“2是无理数”还可能会产生更多更新的证明和计算方法，但是以上所有的发现、证明、计算均向人们展示了数学的无穷魅力，相信所有学生在老师的引导下，通过自己的不断探索与追求，一定会对“无理数”有进一步的认识，对数学自身的魅力、数的美以及丰富的数学思想方法会有更深刻的体会。

参考文献：

[1] von Frits, K. The Discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum. Annals of Mathematics, 1945, 46 (2): 242-264

[2] Jones, P. Irrationals or incommensurables (I-V). Mathematics Teacher, 1956, 69: 123-127; 187-191; 282-285; 469-471; 541-543

[3] 梁宗巨著。《世界数学通史》。辽宁：辽宁教育出版社。1995

[4] 欧几里得. 几何原本（兰纪正、朱恩宽译）. 西安: 陕西科学技术出版社, 1990

[5] 伊夫斯（Eves，H）著；欧阳绛等译。《数学史上的里程碑》。北京：北京科学技术出版社。1990

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

用反证法证明是无理数

据说最初发现 p q ，这里p和q是无公约数的正整数 传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。 我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。 p q =，p，q是无公约数的整数。 (1)毕达哥拉斯方法： p q =两边平方得22 2 p q =，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k ＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。 由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p， q (2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。 最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。 因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。 因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。 由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。而且由P2=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。 可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。 (3)利用素因子的性质： p q =得22 2 p q =，这里q要大于1，如果是等于1 ＝p，这是个整数，明显是不合理的。现在我们可以得到2 2 p q p ?? =? ? ?? ，我们知道： （一）任何整数不是素数就是合数。

pi为无理数的简洁证法

π为无理数的比较简洁的证法 用反证法。 如果π为有理数，令πb a /=，其中均是整数且。对于任意自然数，构造 多项式b a ,0>b n ！ n bx a x x f n n )()(?=，先回忆一下一个多项式的系数与其各阶导数的关系。假设 0111)(a x a x a x a x g n n n n ++=??＋＋L 是任意一个次多项式，则常数项n )0(0g a =。对求导后，可以知道一次项的系数。一般的，不难归纳出的次项系数，其中表示表示的k 阶导数。 )(x g )0(1g a ′=)(x g k !/)0()(k g a k k =)()(x g k )()(x g k )(x g 现在令 n n bx a x x f n x g )()(!)(?==， 则显然是一个次的整系数多项式，最低次项为。根据上述多项式的求导规律，当时有，即；而当时为整数。注意到，这说明)(x g n 2n n x a n k <0!/)0()(==k k a k g 0)0()(=k g n k ≥k k a k g =!/)0()()(!)()()(x f n x g k k =n k <时，而当时为 整数，此时本身必为整数。总之，对于任意的，证明了都是整数。 0!/)0()(=k f k n k ≥!/)0(!)(k f n k )0()(k f k )0()(k f 因为已经假设了b a /=π，不难看出)()(x f x f ?=π，根据求导的简单性质可知 ， )()())1)(()(k k k x f x f ??=π从而 )()())1)(0()(k k k f f ?=π， 所以也总是整数。 )()πk f 从出发，再构造一个多项式 )(x f )()1()()()()()2()4()2(x f x f x f x f X F n n ?+?+?=L ， 不难看出 )()()(x f x F x F =+′′。

证明：无理数比有理数多。

证明：无理数比有理数多 证明之前需要清楚以下几个概念和定义。 1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于0 2、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。 3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。 例如偶数2 4 6 8 10…… 自然数1 2 3 4 5 6 7 8…… 任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。 所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。 --------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。 设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合 也就是 A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ... 分别与自然数相对应 1 2 3 ... 1 2 3 ... 则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 1 2 3 4 5 6 ... 所以两个可数集的合集是可数集。 下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。

有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b) 因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。 设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...} 因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。 设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...} 同上，Cb也是可数集合。 根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。 然后证明，实数集是不可数的。 设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。 假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,... 则H=0.42347635... 假设0和1间的所有实数是可数的。 设它的集合X={x1,x2,x3,...} x1 x2 x3 x4 x5 .... 1 2 3 4 5 .... 设a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同 c和x3的小数点第一位不同

经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b

根号2是无理数的8种证明

1 2是无理数的8种证明 南京师大附中江宁分校 叶军 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.“危机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面悬挂着许多有趣的方法，从中可以窥见数学的趣味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，以体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a

有关有理数与无理数的证明

狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)

(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明 是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ， 存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n

π是无理数的证明

π是无理数的证明 大家都知道是π无理数，但是它是如何证明的呢？我们下面就给出一个证明。首先给出π一个定义。 定义 }0cos ,0min{2=>=ααπ，即π是使0cos =α的最小正数的两倍。 按这个定义，利用定积分容易得到半径为r 的圆的面积为2r π，因此这样的定义是合理的。下面证明π是无理数。 利用反证法。设π是有理数，则2π也是有理数，于是存在正整数p ，q ，使得q p =2π。由于0!→n p n （∞→n ），因此存在正整数N ，使得1!

无理数的存在性证明及应用(本科)大学论文

本科毕业论文无理数e的存在性证明及应用

目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1 国内外研究状况现状 (1) 2.2 国内研究状况现状评价 (1) 3 e的发现及定义 (1) 3.1 e的发现及符号表示 (1) 3.2 e的定义 (5) 3.2.1收敛级数定义 (5) 3.2.2极限定义 (6) 3.3 e的意义 (7) 4 e的存在性与无理性证明 (8) 4.1 e的存在性证明 (8) 4.2 e的无理性证明 (11) 5 e的应用 (11) 5.1 e在求极限中的应用 (11) 5.2 正态分布——概率论中的e (13) 5.3 生活实际问题 (13) 5.4 银行复利率问题 (14) 6 结论 (16) 6.1 主要发现 (16) 6.2 启示 (16) 6.3 局限性 (16) 6.4 努力方向 (16) 参考文献 (17)

1 引言 一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的常数，如π，i ，ω，e ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而e 似乎是一个习以为常的数,不被人们所重视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及. 目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于e 通常作如下定义：“在科学技术中常常使用无理数e ，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 记为N ln ，以e 为底的指数函数x e 和自然对数函数 x ln 在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数e 到底是一个怎样的一个数呢？其值是如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？ 2 文献综述 2.1 国内外研究状况现状 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，文献[1]论述了对数与e 的起源之间的关系、表示形式、无理性与超越性；文献[2]论述了无理数e 的极限表示形式；文献[3]简单介绍了数e 的近似计算及超越性证明；文献[4-7]介绍了数e 的对数表的编制及发展过程；文献[8]论述了无理数e 在科学技术中占有重要地位及其应用并给出了e 的无理性简洁证明；文献[9-15]介绍了e 的发现历史过程和性质. 2.2 国内研究状况现状评价 在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，大多是针对e 的无理性证明进行研究，研究比较分散，没有系统地归纳和研究，对e 的产生背景及应用的研究不多. 3 e 的发现及定义 3.1 e 的发现及符号表示 早在15,16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛兴起，解决天文计算的困难成

无理数证明

Pi为无理数证明 这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）： f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! F(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 这里f^(2j)是f的2j次导数. 于是f和F有如下性质（都很容易验证）: 1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。 2)f(x) = f(Pi - x) 3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0， x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n! 4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。 5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。 6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。 7)F + F'' = f 8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）。 这样，对f·sin从0到pi进行定积分，就是 (F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0)) =F(pi)+F(0) 由6)可知这是个整数。 问题在于如果把n取得很大，由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1。矛盾，证毕。 e是无理数的证明 证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+... 假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数). 由e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...得e的展开式的前m+2项为 e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/m!很明显此m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项为 1/(m+1)!+1/(m+2)!+...=1/m!(1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)+...)<1/m!(1/(m+1)+1/(m+1 )^2+...)=1/m!m<1/m!. 由m+2项可表示为k/m!,(k为整数),而后的无穷项<1/m!得e不可表示为j/m!(j为整数).这与假设矛盾. 故e为无理数. 是无理数的证明 证明:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+... 假设e=p/m,(p,m为整数)显然e可表示为j/m!(j为整数).

用无理数证明万物皆数

‘无理数’证明‘万物皆数’ 这好像是一个天方夜谭的理论命题证明，‘万物皆数’是早期数学家们对数学严密性的自豪和无比信赖的表述，‘无理数’的出现产生了第一次数学危机，“第一次数学危机告诉我们，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的”[1]。‘无理数’对‘万物皆数’好似是给予了致命一击，实质，‘无理数’的出现恰恰是可给予‘万物皆数’更加明确的证明，这个证明将凸显数学是自然绝对公理的体现，是‘数’来自自然要回归自然必要性的体现。 根据‘数’的出生史和宏观物质体的单元性、可分切性进行理论分析。按人的宏观物体分切意识去均匀切分一个物体D，如数学‘穷竭法’之理论意识，对于大自然大宇宙整体来说，最全面、最科学、最简洁、最直接、最一般的表述应该为： { D/(2n) } = {δi〔i=1、2、3...(2n)〕} (1) 式(1)的这种表述是物质不灭公理的绝对表述形式，式(1)等号(=)左侧意味着是人类宏观物质体可变化的形式表述；等号右侧是人类微观物质单元实体必须存在的形式表述。δ表示宏观物体D被切分后的单元体，i表示物体D被切分成各个单元客体的脚标，即：‘记号’，这样，‘自然数’就会与大自然物质各个单元客体壹壹对应产生有机结合；这样凸显了‘自然数’的‘顺序位置’功能和‘数集’功能，也是‘万物皆数’这个还没被数学证明的数学家自豪感的基本形式表述；这样可以把人类宏观一些事物对比计量标识表述统一到‘大自然最终事实存在标识’表述，就会知道数学为什么有“‘无限小量’、‘最终比’、‘最终也变为相等’、‘最终比是等量比’、‘永远不会超过它’” [2]等等数学极限理论说道和证明成就。 在此，我们都必须要特意自问思考一下：没有一点人为意识行为影响存在、贯穿大自然大宇宙的‘光’，为什么其速度是绝对最快的？有限的？没有加速和减速过程凸显不变速性质？只要我们把经过物理各种实验证实的‘光’的各种天性行为性质特点列为是已知条件，作为分析问题过程中的理论界桩，这些具有天性的理论界桩能毫不留情的控制住人类任何人对此问题的理论逻辑结论的自由度

无理数 的存在性证明及应用毕业论文

无理数e的存在性证明及应用毕业论文 目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1 国外研究状况现状 (1) 2.2 国研究状况现状评价 (1) 3 e的发现及定义 (1) 3.1 e的发现及符号表示 (1) 3.2 e的定义 (5) 3.2.1收敛级数定义 (5) 3.2.2极限定义 (6) 3.3 e的意义 (7) 4 e的存在性与无理性证明 (8) 4.1 e的存在性证明 (8) 4.2 e的无理性证明 (11) 5 e的应用 (11) 5.1 e在求极限中的应用 (11) 5.2 正态分布——概率论中的e (13) 5.3 生活实际问题 (13) 5.4 银行复利率问题 (14)

6 结论 (16) 6.1 主要发现 (16) 6.2 启示 (16) 6.3 局限性 (16) 6.4 努力方向 (16) 参考文献 (17) 1 引言 一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别 的事物的关系都不能为人所清楚了解”. 确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数 的研究与实践. 甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的 常数，如π，i ，ω，e ，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳 皮尔常数. 关于前三者的论述文章非常多，而e 似乎是一个习以为常的数,不被人们所重 视. 它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中 对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及. 目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于e 通常作如下定义：“在科学技术中 常常使用无理数e ，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对 数，为了简便，N 的自然对数N e log 记为N ln ，以e 为底的指数函数x e 和自然对数函数 x ln 在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数e 到底是一个怎样的一个数呢？其值是 如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用 对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？

经典证明——几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

经典证明：几乎所有有理数都是无理数 的无理数次方 一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α和β都是代数数，如果α不等于 0 和 1 ，并且β不是有理数，那么α的β次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。 注意到当 x 大于 1 时，函数 f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 a a= r 。不妨假设 a 是一个有理数，它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明， m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n· b m = m n· c m 注意到， m n是 n n· b m的约数。然而， m 和 n 是互质的， m n与 n n没有公共因子，因而 m n一定是 b m的约数。同理， b m是 m n· c m的约数，但由

证明根号2是无理数的八种方法

令狐采学 的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从 . 证法1：尾数证明法. 其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则 0、1、4、5、6、9中的 0、2、8中的一个. 00或5，因此a 与b有公因数5，与(a,b)=1. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数. 可知a是偶数，设a=2c, 可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此

. 达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上， 易见b>1，否则b=1， 是一个整数,这是不行的 因为b>1，因此 b有素因子p，因此p a，总之，p整除a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾. 证法4：仿上，得到 ，等式变形为 b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p 是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 2在等式左边是偶数次幂， . 证法6即在所有等于 a ab

右边的分子2b-a