2019北京高考真题数学(理)
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理)（北京卷）
本试卷共5页，150分钟。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题40分）
一、选择题共8题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项 （1）已知复数z=i+2，则z ·?
z =
(A) √3
(B) √5
(C) 3
(D) 5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
(A) 1
(B) 2 (C) 3
(D) 4
（3）已知直线方程的参数方程为{x =1+3t
y =2+4t
（t 为参数），则点（1,0）到直线
l 的距离是
(A) 1
5
(B) 2
5
(C) 45
(D) 6
5
（4）已知椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1（a>b>0）的离心率为1
2，则
(A) a 2
=2b 2
(B) 3a 2=4b
2
(C) a=2b
(D) 3a=4b
（5）若x,y 满足｜x ｜≤1-y ，且y ≥-1,则3x+y 的最大值为
(A) -7 (B) 1 (C) 5
(D) 7
(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52
lg E 1E 2
，其中星等为m 1的星的亮度为E 1(k=1，2)。已知太阳的星等是-26.7，天复星的星等是-1.45，则太阳与天袋星的亮度的比值为
(A) 10
10.1
(B) 10.1 (C) lg10.1 (D) 10
-10.1
(7)设点A,B,C 不共线，则“AB ????与AC ????的夹角为锐角”是“｜AB ????+AC ????｜>｜BC
????｜"的 (A)充分不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2
+y 2
=1+｜x ｜y 就是其中之一(如图),给出下列三个结论:
①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点) ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3 其中，所有正确结论的序号是 (A)①
(B)②
(C)①②
(D)①②③
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 (9) 函数()x x f 2sin 2=的最小正周期是 。
(10) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若32-=a ，105-=S ，则=5a 。n S 的最小值为 。 (11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。
如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 。 (12) 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：
①m l ⊥；②α//m ；③α⊥l 。
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。
(13) 设函数f （x ）=e x +a e ?x (a 为常数)。若()x f 为奇函数，则
=a ；若()x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围
是 。
(14) 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价格依次为60元/盒、
65元/盒，80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。 ① 当10=x 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
在ABC ?中，3=a ，2=-c b ，2
1cos -
=B 。
（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求()C B -sin 的值.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 平面⊥,CD AD ⊥,//BC AD ,2===CD AD PA ,3=BC 。E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
3
1
=PC PF （Ⅰ）求证：PAD CD 平面⊥； （Ⅱ）求二面角P AE F --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且3
2
=PB PG ．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.
（17）（本小题13分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付己成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付方式
支付金额（元）
](1000,0
](2000,1000
大于2000 仅使用A
18人 9人 3人 仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元。根据抽査结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。
（18）（本小题14分）
已知抛物线py x C 2:2
-=经过点)(1,2-
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1-=y 分别交直线OM ，ON 于点A 和点B 。求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点。
（19）（本小题13分）
已知函数()x x x x f +-=
2
34
1。 （Ⅰ）求曲线()x f y =的斜率为l 的切线方程； （Ⅱ）当][4,2-∈x 时，求证：()x x f x ≤≤-6；
（Ⅲ）设()())()(R a a x x f x F ∈+-=，()x F 在区间][4,2-上的最大值为()a M 。当()a M 最小时，求a 的值。
（20）（本小题13分）
已知数列}{n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、…第m i 项)＜...＜＜(21m i i i ，若m i i i a a a ＜...＜＜21，则称新数列
1i a ，2i a ，...，m i a 为}{n a 的长度为m 的递增子列。规定：数列}{n a 的任意一项都是}{n a 的长度为1的
递增子列。
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列}{n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
0n a 。若q p ＜，求证：0m a ＜0n a ；
（Ⅲ）设无穷数列}{n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若}{n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为12-s ，且长度为s 末项为12-s 的递增子列恰有1
2-s 个,...)2,1(=s ，求数列}{n a 的通项公式。
2019北京高考数学参考答案一、选择题
二、填空题
（9）π
2
；
（10）0；-10；
（11）40
（12）若l⊥m, l⊥α，则l⊥α（答案不唯一）
（13）-1；a≤0；
（14）①130；②15；
三、解答题
（15）①cosB=a 2+c2?b2
2ac
=?1
2
则9+c 2?(c+2)2
6c
=?1
2
解得b=7,c=5
②∵cosB=?1
2
∴sinB=√3
2
又∵cosC=a 2+b2?c2
2ab
=11
14
∴sinC=5√3
14
∴sin(B?C)=sinBcosC?cosBsinC=4√3
7（16）①∵PA⊥面ABCD，且CD?面ABCD
∴PA⊥CD
又∵CD⊥AD，且PA∩AD=A
∴CD⊥面PAD
②如图建立平面直角坐标系
P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，1），C（2，2，0），F（2
3，2
3
，4
3
）
故AE
????? =(0，1，1)，AF ????? =（23
，23
，4
3
） 由图可知取面PAE 法向量n 1???? =(1,0,0) 设n 2???? =（x,y,z ）是面AEF 的法向量
∴{n 2???? ·AE ????? =0n 2???? ·AF ????? =0，即{0+y +z =023x +23y +43z =0，取{x =1y =1z =?1
∴n 2???? =（1，1，?1）
Cos
????
|n 1
???? |?|n 2
???? |
=√3
3
经检验，二面角F-AE-P 的余弦值是√3
3
③B （2，-1，0），P （0，0，2），G （4
3
，?2
3
，2
3
）
∴AG
????? =（43
，?23
，2
3
） 由②知n 2???? =（1，1，?1） ∴AG ????? ·n 2???? =0，即AG ????? ⊥n 2???? 又∵A ?面AEF ∴AG ?面AEF
（17）①0.4
②P （X=0）=0.24 P （X=1）=0.52 P （X=2）=0.24
故随机变量X 的分布列为：
③不能
样本数量过小，不具有代表性
（18）①将（2，-1）代入抛物线方程，可得：4=2P ，∴P=2，
∴抛物线C 的方程为：x 2=?4y ,准线方程为：y=1.
②证明：∵抛物线的焦点为（0，-1），∴设过焦点的直线l:y=kx-1,（k ≠0） 联立{y =kx ?1x 2=?4y ，得到x 2+4kx ?4=0
设直线l 与抛物线的交点为M (x M ，?x M 24
)，N （x N ，?
x N 24
）
则x M +x N =?4k, x M x N =?4 ∵直线OM 的方程为：y =?
x M 4
x ，直线ON 的方程为：y =?
x N 4
x
∴A （4
x M
，?1），B （4
x N
，?1）
∵12(4x M
+4
x
N
)=2(x M +x N ) x M x N
=2k
∴A 、B 中点O ’为（2k,-1）
AB =|
4x M ?4x N
|=4|x M ?x N |
| x M x N |
=√(x M ?x N )2=√(x M +x N )2?4 x M x N =√16k 2+16=4√k 2+1 ∴半径r =2√k 2+1
∴以AB 为直径的圆的方程为：（x ?2k ）2
+(y +1)2=4k 2+4 当x=0时，4k 2+(y +1)2=4k 2+4，∴y 1=1,y 2=?3, ∴圆与y 轴交点为（0，1）与（0，-3），即过y 轴上两个定点
（19）①f ′(x )=3
4x 2?2x +1,由题意f ′(x )=1，
∴3
4
x 2?2x +1=1，解得：x 1=0,x 2=8
3
∵f(0)=0,f(83)= 827，∴对应的切点为（0，0）或（83，8
27）， ∴切线方程为：y=x 或y=x-64
27
②证明：设g(x)=f(x)-x ，则g （x ）=1
4x 3-x 2， ∵g ’(x)= 3
4x 2?2x ，
∴当x ∈[-2,0)时g ’(x)>0, g(x)单调递增； 当x ∈（0，83)时g ’(x)<0, g(x)单调递减；
当x ∈（8
3
,4]时，g ’(x)>0, g(x)单调递增
∵g(-2)=-6,g(0)=0,g(83
)=- 64
27
，g(4)=0
∴X ∈[-2,4]时，g(x) ∈[-6,0], 即-6≤f(x)-x ≤0，∴x-6≤f(x)≤x ③F (x )=|g (x )?a |,∵g (x )∈[?6,0] ∴取F （0）=|?a |, F （-2）=|?6?a |,
∴F （0）+F （-2）≥|?a ?(?6?a)|即F （0）+F （-2）≥6，当?a ?(?6?a )≤0时取等， ∴2M （a ）≥F （0）+ F （-2）≥6，∴M （a ）≥3,当M （a ）= F （0）= F （-2）时取等， ∴-a=6+a,∴a=-3，此时符合题意
（20）
（I ）解：例如数列：1，3，5，6（答案不唯一）。
（II ）解：考虑长度q 的递增子列前P 项可以组成长度为P 的递增子列， ∴a n 0>该数列第P 项≥a m 0， ∴a m 0
（III ）解：考虑2s-1与2s 这一组数对在数列中的位置，
若{a n }中有2s ，若2s 在2s-1之后，则必然存在长度为s+1,且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s+1的递增子列的最小值为2s+1矛盾， ∴2s 必在2s-1前，
继续考虑末项为2s+1的长度为s+1的递增子列， ∵对于数2n-1,2n,由于2n 在2n-1前， ∴研究递增子列时，不可同时取2n 与2n-1，
∵对于1至2s 的所有整数，研究 长度s+1的递增子列时，第1项是1与2二选一，第2项是3与4二选
一，···，第s 项是2s-1与2s 二选一，故递增子列最多为2s 个，
∴由题意，这s 组数对全部存在于原数列中，并且全在2s+1之前。 ∴2，1，4，3，6，5，···是唯一构造， 即{a 2k =2k ?1a 2k?1=2k
，k ∈N +