文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 2004年考研数学(一)试题及答案解析

2004年考研数学(一)试题及答案解析

2004年考研数学(一)试题及答案解析
2004年考研数学(一)试题及答案解析

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

(1)曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .

【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由11

)(ln ==

'='x

x y ,得x=1, 可见切点为)0,1(,于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y , 即 1-=x y .

【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ,曲线y=lnx 过此切点的导数为11

==

'=x y x x ,得10=x ,由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y , 即 1-=x y .

本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到. (2)已知x x xe e f -=')(,且f(1)=0, 则f(x)=

2)(ln 2

1

x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式,再积分即可。

【详解】 令t e x

=,则t x ln =,于是有

t t t f ln )(=

', 即 .ln )(x

x

x f =

' 积分得 C x dx x x x f +==?2)(ln 2

1ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= 2

)(ln 21x .

【评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.

(3)设L 为正向圆周22

2

=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分

?

-L

ydx xdy 2的值为

π2

3 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周22

2

=+y x 在第一象限中的部分,可表示为 .

2

0:,

sin 2,cos 2π

θθθ→

??

?==y x

于是

θθθθθπd y d x x d y L

]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220

?+?=-??

=.2

3sin 220

2πθθππ

=

+

?

d 【评注】 本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

(4)欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx y d x 的通解为 221x c x c y +=.

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换t

e x =化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令t

e x =,则

dt

dy

x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==?=-, ][1112222

2222dt dy

dt

y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=, 代入原方程,整理得

0232

2=++y dt dy

dt

y d , 解此方程,得通解为 .2

2

1221x c x c e c e

c y t t

+=

+=-- 【评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令t

e x =,则欧拉方程

)(2

22

x f cy dx dy

bx dx

y d ax =++, 可化为 ).(][22t e f cy dt dy

b dt dy dt

y d a =++- 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.,《考研数

学大串讲》P75例12.

(5)设矩阵????

??????=100021012A ,矩阵B 满足E BA ABA +=**2,其中*

A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,

则=B

9

1

. 【分析】 可先用公式E A A A =*

进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ,得

A A BA A ABA +=**2, 而3=A ,于是有 A

B AB +=63, 即 A B E A =-)63(,

再两边取行列式,有

363==-A B E A ,

而 2763=-E A ,故所求行列式为.9

1=

B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵*

A ,一般均应先利用公式

E A AA A A ==**进行化简。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9 (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >

=

e

1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设,知2

1

λ

=DX ,于是

}{DX X P >

=dx e X P x ?+∞

-=>

λ

λλλ

1}1

{

=.11

e

e x

=-∞+-λ

λ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

???

===0

30

2

sin ,tan ,cos 2

γβα,使排在后面的是前一个

的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较,再排出次序即可.

【详解】 0c o s 2t a n lim cos tan lim

lim 2

20

02=?==+

+

+

→→→?

?

x x

x dt

t dt t x x

x x x αβ

,可排除(C),(D)选项,

又 x

x x x dt

t dt

t x x

x

x x tan 221

sin lim tan sin lim

lim 2

3

03

02

?==+

+

+

→→→?

?

βγ

=

∞=+→20lim 41x

x x ,可见γ是比β低阶的无穷小量,故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题,也可先将γβα,,分别与n

x 进行比较,再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.

(8)设函数f(x)连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得

(A) f(x)在(0,)δ内单调增加. (B )f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C) 对任意的),0(δ∈x 有

f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有

f(x)>f(0) .

[ C ]

【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零,一般不能推导出单调性,因此可排除(A),(B)选项,再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。

【详解】 由导数的定义,知

0)

0()(l i m

)0(0

>-='→x

f x f f x ,

根据保号性,知存在0>δ,当),0()0,(δδ -∈x 时,有

0)

0()(>-x

f x f

即当)0,(δ-∈x 时,f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导,一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题. (9)设

∑∞

=1n n

a

为正项级数,下列结论中正确的是

(A) 若n n na ∞

→lim =0,则级数

∑∞

=1

n n

a

收敛.

(B ) 若存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim ,则级数

∑∞

=1

n n

a

发散.

(C) 若级数

∑∞

=1n n

a

收敛,则0lim 2

=∞

→n n a n .

(D) 若级数

∑∞

=1

n n

a

发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞

→n n na lim . [ B ]

【分析】 对于敛散性的判定问题,若不便直接推证,往往可用反例通过排除法找到正确选项.

【详解】 取n n a n ln 1=,则n n na ∞→lim =0,但∑∑∞

=∞==1

1ln 1

n n n n n a 发散,排除(A),(D);

又取n

n a n 1=

,则级数

∑∞

=1

n n

a

收敛,但∞=∞

→n n a n 2

lim ,排除(C), 故应选(B).

【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,

01l i m l i m ≠==∞→∞→λn

a na n n n n ,而级数∑∞=11

n n 发散,因此级数∑∞

=1

n n a 也发散,故应选(B).

完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.

(10)设f(x)为连续函数,??

=

t t

y

dx x f dy t F 1

)()(,则)2(F '等于

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]

【分析】 先求导,再代入t=2求)2(F '即可。关键是求导前应先交换积分次序,使得被积函数中不含有变量t.

【详解】 交换积分次序,得

??

=

t t

y

dx x f dy t F 1

)()(=???-=t x t

dx x x f dx dy x f 1

1

1

)1)((])([

于是,)1)(()(-='t t f t F ,从而有 )2()2(f F =',故应选(B).

【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时,应注意被积函数中不能含有变量x: ?

'-'=')

()

()()]([)()]([])([

x b x a x a x a f x b x b f dt t f

否则,应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12,先交换积分次序再求导.

(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为

(A) ??????????101001010. (B) ?????

?????100101010. (C) ?????

?????110001010. (D) ????

?

?????100001110. [ D ]

【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质,对A 作两次初等列变换,相当于右乘两个相应的初等矩阵,而Q 即为此两个初等矩阵的乘积。

【详解】由题设,有

B A =??????????100001010,

C B =??????????100110001, 于是, .100001110100110001100001010C A A =????

?

?????=????

????????????????

可见,应选(D).

【评注】 涉及到初等变换的问题,应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2

(12)设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.

(D) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. [ A ]

【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关,可从A,B 是否行(或列)满秩或Ax=0(Bx=0)是否有非零解进行分析讨论.

【详解1】 设A 为n m ?矩阵,B 为s n ?矩阵,则由AB=O 知,

n B r A r <+)()(.

又A,B 为非零矩阵,必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)

【详解2】 由AB=O 知,B 的每一列均为Ax=0的解,而B 为非零矩阵,即Ax=0存在非零解,可见A 的列向量组线性相关。

同理,由AB=O 知,O A B T

T

=,于是有T

B 的列向量组,从而B 的行向量组线性相关,故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式,一般来说,与此相关的两个结论是应记住的: 1) AB=O ?n B r A r <+)()(;

2) AB=O ?B 的每列均为Ax=0的解。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11,《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173例8, P184例27。

(13)设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若

α=<}{x X P ,则x 等于

(A) 2

αu . (B) 2

-

u

. (C) 2

1α-u . (D) α-1u . [ C ]

【分析】 此类问题的求解,可通过αu 的定义进行分析,也可通过画出草图,直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知,αα=-<}{u X P ,于是

}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α

即有 21}{α

-=

≥x X P ,可见根据定义有2

1α-=u x ,故应选(C). 【评注】 本题αu 相当于分位数,直观地有

α α 2/)1(α-

o αu 2

1α-u 此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过.

(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02

>σ 令∑==n

i i X n Y 1

1,则

(A) Cov(.),2

1n

Y X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .

(C) 212)(σn n Y X D +=

+. (D) 2

11)(σn

n Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意利用独立性有:

.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==

【详解】 Cov(∑∑==+==n

i i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2

111111),(1),(1)1,(),

=

.1

121σn

DX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到:如

2

222

22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =

222

233σσn n n n n +=+, 2

222

22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =

.22222

2σσn n n n n -=- 完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题(本题是第23题的特殊情况).

(15)(本题满分12分)

设2

e b a e <<<, 证明)(4

ln ln 2

2

2

a b e a b ->

-. 【分析】 根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数x 2

ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,得 .),(ln 2ln ln 2

2

b a a b a b <<-=

-ξξ

ξ

设t t t ln )(=

?,则2

ln 1)(t t

t -='?, 当t>e 时, ,0)(<'t ? 所以)(t ?单调减少,从而)()(2

e ?ξ?>,即

2222

ln ln e

e e =>ξξ

故 )(4

ln ln 22

2

a b e

a b ->

-.

【证法2】 设x e

x x 22

4

ln )(-

=?,则 24

ln 2

)(e x x x -='?, 2

ln 12)(x

x

x -=''?, 所以当x>e 时,,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少,从而当2

e x e <<时, 044)()(2

22

=-=

'>'e e e x ??, 即当2

e x e <<时,)(x ?单调增加.

因此当2

e x e <<时,)()(a b ??>,

即 a e a b e b 2

2

22

4ln 4ln ->-

, 故 )(4ln ln 22

2a b e

a b ->-.

【评注】 本题也可设辅助函数为2

22

2),(4ln ln )(e x a e a x e

a x x <<<--

-=?或 2

222),(4ln ln )(e b x e x b e

x b x <<<--

-=?,再用单调性进行证明即可。 完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13.

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h. 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66

?=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注kg 表示千克,km/h 表示千米/小时.

【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用,列出关系式后再解微分方程即可。

【详解1】 由题设,飞机的质量m=9000kg ,着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).

根据牛顿第二定律,得

kv dt dv

m -=. 又

dx

dv v dt dx dx dv dt dv =?=, 由以上两式得 dv k

m

dx -=, 积分得 .)(C v k m t x +-

= 由于0)0(,)0(0==x v v ,故得0v k

m

C =,从而

)).(()(0t v v k

m

t x -=

当0)(→t v 时, ).(05.1100.6700

9000)(6

0km k mv t x =??=→

所以,飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律,得 kv dt

dv

m -=, 所以

.dt m

k v dv -= 两端积分得通解t m

k

Ce

v -=,代入初始条件00

v v

t ==解得0v C =,

故 .)(0t m

k e

v t v -=

飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0

00

km k

mv e k

mv dt t v x t

m

k

==

-==

∞+-∞

+?

或由t m k

e v dt dx -=0,知)1()(000--==--?t m k

t t m

k

e m

kv dt e v t x ,故最长距离为当∞→t 时,

).(05.1)(0

km m

kv t x =→

【详解3】 根据牛顿第二定律,得 dt dx

k dt x d m -=22,

02

2=+dt dx

m k dt

x d , 其特征方程为 02

=+λλm k ,解之得m

k

-==21,0λλ, 故 .21t m

k e

C C x -+=

由 00

2000,0v e m

kC dt

dx

v x t t m k

t t t =-==

==-===,

得 ,021k m v C C =-= 于是 ).1()(0

t m k

e k

mv t x --= 当+∞→t 时,).(05.1)(0

km k

m v t x =→

所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】 本题求飞机滑行的最长距离,可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值,这种条件应引起注意.

完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分 ,)1(3222

33dxdy z

dzdx y dydz x I ??∑

-++=

其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.

【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面,应用高斯公式求解,而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.

【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧,记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域,则

dxdy z

dzdx y dydz x I ??∑+∑-++=

1

)1(3222

33

.)1(3221

233dxdy z dzdx y dydz x ??∑-++-

由高斯公式知

d x d y d z

z y x d x d y z d z d x y d y d z

x ?????Ω

∑+∑++=-++)(6)1(3222223

31

=rdz r z dr d r )(6

20

1

10

22

?

??

-+π

θ

=.2)]1()1(2

1[122

3221

0ππ=-+-?dr r r r r 而

????≤+∑=--

=-++1

2

33

221

33)1(322y x dxdy dxdy z

dzdx y dydz x π,

故 .32πππ-=-=I

【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧(或内侧),再就是在1∑上直接投影积分时,应注意符号(1∑取下侧,与z 轴正向相反,所以取负号).

完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21,《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17(2), 《数

学一临考演习》P38第19题.

(18)(本题满分11分)

设有方程01=-+nx x n

,其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1>α时,级数

∑∞

=1

n n x α收敛.

【分析】 利用介值定理证明存在性,利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。 【证】 记

.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ,0)1(>=n f n ,及连续函数的介值定理知,方程

01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x

当x>0时,0)(1>+='-n nx x f n n ,可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n

存在惟一正

实数根.n x

由01=-+nx x n

与0>n x 知

n

n x x n

n n 110<-=

<,故当1>α时,αα

)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞

=11n n α收敛,所以当1>α时,级数∑∞

=1

n n x α

收敛.

【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性,题型设计比较新颖,但难度并不大,只要基本

概念清楚,应该可以轻松求证。

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P91例6.15(有关根的存在性与惟一性证明), 收敛性证明用比较法很简单.

(19)(本题满分12分)

设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值.

【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ,所以 02262=??-??--x

z z x z y

y x , 0222206=??-??--+-y

z

z y z y

z y x . 令 ???

????=??=??0,0y z x

z

?

?

?

=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ??

?==.

,

3y z y x

将上式代入01821062

2

2

=+--+-z yz y xy x ,可得

???

??===3,3,9z y x 或 ??

?

??-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=??-??-??-x

z

z x z x z y ,

,02222622=???-?????-???-??--y

x z

z x z y z y x z y x z

02)(22222022222=??-??-??-??-??-y

z

z y z y z y y z y z ,

所以 61)3,3,9(2

2=??=

x z

A ,21)3,3,9(2-=???=y x z

B ,3

5

)

3,3,9(2

2=

??=y

z

C , 故03612

>=

-B AC ,又06

1

>=A ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3. 类似地,由

61)3,3,9(2

2-=??=

---x z

A ,21)3,3,9(2=???=---y x z

B ,3

5

)3,3,9(2

2-=??=---y

z

C ,

可知03612

>=

-B AC ,又06

1

<-=A ,从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点,极大值为 z(-9, -3)= -3.

【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程。 完全类似的例题见《数学复习指南》P277例10.31.

(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组

)

2(,

0)(,02)2(2,0)1(212121≥??

????

?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n

试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组,可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形,再讨论其秩是否小于n ,进而判断是否有非零解;或直接计算系数矩阵的行列式,根据题设行列式的值必为零,由此对参数a 的可能取值进行讨论即可。

【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换,有

.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =?????

?

??????--+→????????????+++= 当a=0时, r(A)=1

,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η

于是方程组的通解为

,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.

当0≠a 时,对矩阵B 作初等行变换,有

.10000120002)1(10000121111??????

????????--++→????

????????--+→ n n n a n a B 可知2

)

1(+-

=n n a 时,n n A r <-=1)(,故方程组也有非零解,其同解方程组为 ???????=+-=+-=+-,

0,03,0213

121n x nx x x x x

由此得基础解系为

T n ),,2,1( =η, 于是方程组的通解为

ηk x =,其中k 为任意常数.

【详解2】 方程组的系数行列式为

1

)2)1((22221

111-++=+++=n a n n a a

n n n n a a A .

当0=A ,即a=0或2

)

1(+-

=n n a 时,方程组有非零解. 当a=0时,对系数矩阵A 作初等行变换,有

????

?

???????→?????????

???=000000000111122221111 n n n n A , 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为

,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η

于是方程组的通解为

,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.

当2

)

1(+-

=n n a 时,对系数矩阵A 作初等行变换,有

??????

??????--+→????????????+++=a na a a a a n n n n a a A 00002111122221111 ????

?

???????--→?????????

???--+→1000012000010000121111 n n a , 故方程组的同解方程组为

???????=+-=+-=+-,

0,03,0213

121n x nx x x x x

由此得基础解系为

T n ),,2,1( =η, 于是方程组的通解为

ηk x =,其中k 为任意常数.

【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算:

?

?

???

????

???+++=a n n n n a a A 22221111=aE +????????????n n n n 22221111,矩阵?

?

???

?

??????n n n n

222211

11的特征值为2)1(,0,,0+n n ,从而A 的特征值为a,a,2

)

1(,++n n a , 故行列式.)2

)1((1

-++

=n a n n a A 类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P228例4.4和P234例4.12.

(21)(本题满分9分)

设矩阵????

??????---=51341321a A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】 先求出A 的特征值,再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量,确定A 是否可相似对

角化即可.

【详解】 A 的特征多项式为

5

1

3

4

10)2(251

3

4

1321

-------=------=

-λλλλλλλλa

a

A E

=).3188)(2(5

13

4

1

011

)2(2a a

++--=------λλλλλλ

当2=λ是特征方程的二重根,则有,03181622=++-a 解得a= -2.

当a= -2时,A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=????

??????----321321321的秩为1,故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个,从而A 可相似对角化。

若2=λ不是特征方程的二重根,则a 31882

++-λλ为完全平方,从而18+3a=16,解得 .3

2-=a

当32

-=a 时,A 的特征值为2,4,4,矩阵4E-A=?

????

???????---132

1301323秩为2,故4=λ对应的线性无关的特

征向量只有一个,从而A 不可相似对角化。

【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是:对于A 的任意i k 重特征根i λ,恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量。

原题见《考研数学大串讲》P224例20.,完全类似的例题还可参见《数学复习指南》P462例5.12及[解题提示].

(22)(本题满分9分)

设A,B 为随机事件,且2

1

)(,31)(,41)(===

B A P A B P A P ,令 ;,,0,1不发生发生A A X ??

?= .,,0,1不发生

发生B B Y ???= 求:(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布; (II )X 和Y 的相关系数.XY ρ

【分析】 先确定(X,Y)的可能取值,再求在每一个可能取值点上的概率,而这可利用随机事件的运算性质

得到,即得二维随机变量(X,Y)的概率分布;利用联合概率分布可求出边缘概率分布,进而可计算出相关系数。

【详解】 (I ) 由于12

1

)()()(=

=A B P A P AB P , ,6

1

)()()(==

B A P AB P B P

所以, 12

1)(}1,1{=

===AB P Y X P ,

61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P , ,12

1)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====

=3

2)()()(1=

+--AB P B P A P (或3

2121611211}0,0{=---===Y X P ), 故(X,Y)的概率分布为 Y

X 0 1

0 32

121 1 6

1

12

1 (II) X, Y 的概率分布分别为

X 0 1 Y 0 1

P 43 41 P 65 6

1 则61,41==EY EX ,163=DX ,DY=365, E(XY)=12

1

,

故 24

1

)(),(=?-=EY EX XY E Y X Cov ,从而

.15

15),(=

?=

DY

DX Y X Cov XY ρ 【评注】 本题尽管难度不大,但考察的知识点很多,综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件,可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来,这种命题方式值得注意。

原题见《考研数学大串讲》P274例3.

(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为

,1,

1,

0,11),(≤>?????

-=x x x

x F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:

(I ) β的矩估计量; (II ) β的最大似然估计量.

【分析】 先由分布函数求出概率密度,再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。

【详解】 X 的概率密度为

.1,1,

0,

),(1≤>?????=+x x x x f βββ

(I ) 由于 1

);(1

1

-=?

==

??

+∞

++∞

-βββ

ββdx x

x dx x xf EX ,

X =-1

ββ,解得 1

-=

X X

β,所以参数β的矩估计量为 .1

?-=X X

β

(II )似然函数为

??

?

??=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n

n

n

i i ββββ

当),,2,1(1n i x i =>时,0)(>βL ,取对数得

∑=+-=n

i i x n L 1

ln )1(ln )(ln βββ,

两边对β求导,得

∑=-=n

i i x n d L d 1

ln )(ln βββ,

0)

(ln =β

βd L d ,可得 ∑==n

i i

x

n

1

ln β,

故β的最大似然估计量为

.ln ?1

∑==n

i i

X

n

β

【评注】 本题是基础题型,难度不大,但计算量比较大,实际做题时应特别注意计算的准确性。 完全类似的例题见《数学复习指南》P596例6.9, 《数学题型集粹与练习题集》P364第十三题,《数学一临考演习》P26第23题.

相关文档