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高考数学所有公式及知识点总结

高考前数学知识点总结

一. 备考内容：知识点总结

二. 复习过程：

高考临近，对以下问题你是否有清楚的认识？

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质：

{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；

1212a a a n n

（）若，；2A B A B A A B B ??==

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧

“非”().?

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

若为真，当且仅当、至少有一个为真

p q p q ∨

若为真，当且仅当为假

?p p

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定

f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0

义域是_____________。

[]

（答：，）

a a -

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a

[][]

∴====---f f a f b a f f b f a b

111()()()()，

14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

[]

（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()??

[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()() ()

如：求的单调区间

y x x =-+log 1222

（设，由则u x x u x =-+><<2

2002

()且，，如图：

log 12

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓

(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑

[)log 1212

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大

a f x x ax a >=-+∞013()

值是（） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

（令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ?

??≥33330

则或x a

x a ≤-

≥3

由已知在，上为增函数，则

，即f x a

a ()[)1313+∞≤≤

∴a 的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-??

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0=

17. 你熟悉周期函数的定义吗？ ()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()

函数，T 是一个周期。）

()如：若，则

x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 ()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==?

即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=- 则是周期函数，为一个周期f x a b ()2-

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f x f x y ()()与的图象关于轴对称

- f x f x x ()()与的图象关于轴对称

- f x f x ()()与的图象关于原点对称

f x f x y x ()()与的图象关于直线对称

-=1

f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称

2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称

--20

将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→

????????>=+=-()()()()

()00

上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b

()()()()>?→

????????>=++=+-00

注意如下“翻折”变换：

f x f x f x f x ()()

()(||)?→??→?

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k

x a k O a b =≠=+-≠'()

的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线

302442

2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?? ???+-

顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-

b a a

c b a x b

a 24422

开口方向：，向上，函数a y ac b a

-0442min

a y ac

b a

-0442

，向下，max

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴?

的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()

②求闭区间［m ，n ］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

()

（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()

（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质！（注意底数的限定！）

a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k

x k =+

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：，a a a a a p p 0101

0=≠=

≠-(())

a a

a a m

n m n

=≥=

((01

0))

，

()

对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00

log log log log log a

a a a n a M N M N M n M =-=，1

对数恒等式：a x a x

log =

对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n

m b

m =?=

21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()()

（先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=

()[]

（）证明单调性：……

32212f x f x x x ()=-+=

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：

（）123134y x x =-+-

（）2243y x x =

（），33232

x y x x >=

[](

)（）设，，449302y x x x =++-=∈cos θθπ

（），，549

01y x x x =+

∈(]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？

（·，··）扇l l ==

=ααR S R R 121

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin cos tan ααα===MP OM AT ，，

A x

α B S

O M P

如：若，则，，的大小顺序是-

<<π

θθθθ8

0sin cos tan

又如：求函数的定义域和值域。

y x =--?? ?

?122cos π

（∵）122120

--?? ?

??=-≥cos sin πx x

∴，如图：sin x ≤

()∴，25424

012k x k k Z y ππππ

≤≤+∈≤≤+

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sin cos x x ≤≤11，

-π2 π2

π y tgx =

对称点为，，k k Z

π20?? ?

??∈

()

y x k k k Z =-+?

?????∈sin 的增区间为，2222ππππ

()

减区间为，22232k k k Z ππππ++?

?????∈

()()

图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ

02=+∈

[]()y x k k k

Z =+∈cos 的增区间为，22πππ

[]()

减区间为，222k k k Z ππππ++∈

()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+?? ?

??=∈2

y x k k k Z =-+

? ?

??∈tan 的增区间为，ππππ2

()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos

（）振幅，周期12||||A T =

ω ()若，则为对称轴。f x A x x 00=±=

()()若，则，为对称点，反之也对。

f x x 0000=

（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点

202322ω?πππ

πx x y + （x ，y ）作图象。

（）根据图象求解析式。（求、、值）3A ω?

如图列出ω?ω?π

()()x x 120

2+=+=???

? 解条件组求、值ω?

()?正切型函数，y A x T =+=

tan ||ω?πω

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：，，，求值。

cos x x x +?? ???=-∈?

?????πππ62232

（∵，∴，∴，∴）

ππππππππ<<<+<+==x x x x 327665365413

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数的值域是

y x x =+sin sin||

[][]（时，，，时，，∴，）

x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y sin

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）平移公式：

（）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=?→?????=+=+??

?()

'''''

（）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→

如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的

y x y x =-?

? ???-=2241sin sin π 图象？

（横坐标伸长到原来的倍

y x y x =-?? ???-?→?????????=?? ???-?????

?-2241221241

2sin sin ππ

=-?? ???-?→??????=-?→??????=24142121sin sin sin x y x y x ππ

左平移个单位

上平移个单位

纵坐标缩短到原来的倍

）1

2?→?????????

=y x sin

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：··142222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tan

ααααααααπ

===sin

cos π

20……称为的代换。1 “·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

k π

αα2±

“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。

()如：cos

tan sin 94

7621πππ+-?? ?

??+=

又如：函数，则的值为

y y =++sin tan cos cot αα

αα

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

()()（，∵）

y =+

=++>≠sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin αα

ααααααααα221100

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：

()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβ

ααα±=±=?→???=令22

()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ

ααα±==?→???=- 令222

()tan tan tan tan tan αβαβαβ

±=

±1 · =-=-?211222

cos sin αα

tan tan tan 2212αα

cos cos sin cos 22

122

αα

αα=

()a b a b b

a sin cos sin tan ααα??+=++=22，

sin cos sin αααπ+=+?

? ???

sin cos sin αααπ+=+?

? ??

323

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：

()（）角的变换：如，

……1222βαβααβαβαβ=+-+=-?? ???--?? ?

（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

()()如：已知

，，求的值。

sin cos cos tan tan ααααββα1212

32-=-=--

（由已知得：，∴sin cos sin cos sin tan ααα

ααα2211

22===

()又tan βα-=

()()[]

()()∴··）

tan tan tan tan tan tan βαβααβααβαα-=--=--+-=-+=212312123121

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

余弦定理：a b c bc A A b c a bc

222

22=+-?=

+-cos cos

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

正弦定理：a A b B c C R a R A

b R B

c R C

sin sin sin sin sin sin ===?===???

??2222

S a b C

?=1

2·sin

∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ

()∴，sin sin sin cos

A B C A B C

+=+=22

如中，?ABC A B

C 2221

2sin cos ++=

（）求角；1C

（）若，求的值。

22222

a b c A B =+-cos cos

()（（）由已知式得：112112

-++-=cos cos A B C

又，∴A B C C C +=-+-=π2102cos cos

∴或（舍）

cos cos C C ==-1

又，∴03<<=

C C ππ

（）由正弦定理及得：

2222a b c =+ 2233

42222sin sin sin sin A B C -===

12123

4--+=

cos cos A B ∴）

cos cos 223

4A B -=-

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

[]

反正弦：，，，arcsin x x ∈-??????∈-π

π2211

[][]

反余弦：，，，arccosx x ∈∈-011π

()反正切：，，arctan x x R ∈-?? ???∈π

π22

34. 不等式的性质有哪些？

（），

100a b c ac bc c ac bc >>?>

（），2a b c d a c b d >>?+>+ （），300a b c d ac bd >>>>?>

（），4011011

a b a b a b a b >>?<<

（），50a b a b a b n n n n >>?>>

()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<->

35. 利用均值不等式：

()

a b ab a b R a b ab ab a b 222

222+≥∈+≥≤+?? ?

??+，；；求最值时，你是否注

意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定a b R ab a b ∈++()()

值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：

()

a b a b ab ab

a b a b R 22222+≥+≥≥+∈+

，

当且仅当时等号成立。a b =

()

a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈，

当且仅当时取等号。a b c == a b m n >>>>000，，，则 b a b m a m a n b n a b <++<<++<1

如：若，的最大值为

x x x >--0234

（设y x x =-+?

? ???≤-=-2342212243

当且仅当，又，∴时，）34023

3243x x x x y =

>==-max

又如：，则的最小值为

x y x y

+=+2124

（∵，∴最小值为）22222222221x y x y +≥=+

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。

如：证明…1121312222+

+++

()（…………112131111212311222++++<+?+?++

-n n n

=+-+-++--=-

<11121213111

2……）n n

()370.()

()解分式不等式

的一般步骤是什么？f x g x a a >≠

（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

()()()如：x x x +--<112023

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分或讨论a a ><<101

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式||x x --+<311

（解集为）

x x |>?

???12 41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题a b a b a b -≤±≤+

如：设，实数满足f x x x a x a ()||=-+-<2131 求证：f x f a a ()()(||)-<+21

证明：

|()()||()()|f x f a x x a a -=-+--+22

1313

=-+--<=-+-<+-≤++|()()|(||)||||||||||x a x a x a x a x a x a x a 11111 又，∴||||||||||x a x a x a -≤-<<+11 ()∴f x f a a a ()()||||-<+=+2221

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 a f x a f x >?>()()能成立的最小值

例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是

x x x a a -++>32

（设，它表示数轴上到两定点和距离之和u x x =-++-3223

()u a a min =--=><32555，∴，即

()()或者：，∴）

x x x x a -++≥--+=<323255

43. 等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111()

等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na

n n d

n n =

+=+

-112

{}性质：是等差数列a n （）若，则；

1m n p q a a a a m n p q +=++=+

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+

S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+

（）若，是等差数列，为前项和，则；

42121

a b S T n a b S

T n n n n m m m m =--

{}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+

0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 11000

0><≥≤???+

当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 11000

0<>≤≥???+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===

--1831123

（由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

()又·，∴S a a a a 3132223311

3=+===

()()∴·S a a n a a n n

n n n =+=+=+?? ???=-12122131218

∴=n 27） 44. 等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

110

等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2 ()

前项和：（要注意）

n S na q a q q q n n ==--≠???

111111()()!

{}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q

+=+=

（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 45.由求时应注意什么？S a n n

（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法

{}如：满足……a a a a n n n n 12121

225

1122+++=+<>

解：n a a ==?+=11

221514

11时，，∴ n a a a n n n ≥+++=-+<>

--212121

215

212211时，……

<>-<>=121

得：n n a

∴a n n =+21

∴a n n n n ==≥???+1412

()

() ［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n

+==++1115

（注意到代入得：a S S S

S n n n n n

+++=-=1114

{}又，∴是等比数列，S S S n n n 144==

n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·

（2）叠乘法

{}例如：数列中，，，求a a a a n

n a n n n n 1131==++

解：a a a a a

a n n a a n n n n 21

321

1122311

·……·……，∴-=-=

又，∴a a n n 133==

（3）等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

???-22321321时，…………两边相加，得：

()()() a a f f f n n -=+++123()()()……

∴……a a f f f n n =++++023()()()

［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--

()

（）a n n

-1231

（4）等比型递推公式

(

)a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，，

()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1

()?=+--a ca c x n n 11

令，∴()c x d x d

c -==

-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-?

?????+-111

∴·a d c a d c c

n n +-=+-?? ???-1111

∴a a d c c d c n n =+-?

? ???

---1111 （5）倒数法

例如：，，求a a a a a n n

n n

11122==

++ 由已知得：1

221211a a a a n n n n +=+=+

∴11121a a n n +-= ∴??????=111121a a n 为等差数列，，公差为

()()∴=+-=+11112121a n n n ·

∴a n n =

47. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

{}如：是公差为的等差数列，求a d a a n k k k n

1+=∑

解：

()()由

·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?

??≠

∴11111111a a d a a k k k n

k k n +=+=∑∑=-?? ?

=-?? ???+-?? ???++-?? ???????

??=

-?? ?

?++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……

（2）错位相减法：

{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n

{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -

如：……S x x x nx n n =+++++<>-12341231

()x S x x x x n x nx n n n

·……=+++++-+<>-234122341

()<>-<>-=++++--121121：……x S x x x nx n n n

()()x S x x nx x

≠=---

-11112

时，

()x S n n n n ==++++=

+112312

时，……

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???

??--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-…………

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为：

()()()()S p r p r p nr p n n n r n =++++++=++??????112112…………等差问题

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足

()

()p r x r x r x r x n n n ()11111

+=+++++++--……

()()()=-+-+????????=+-x r r x

r r n n

111111

()()∴x pr r r n

n =

++-111

p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（）分类计数原理：……112N m m m n =+++ （为各类办法中的方法数）m i 分步计数原理：·……N m m m n =12

（为各步骤中的方法数）m i

（2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n m .

()()()()()A n n n n m n n m m n n

m =---+=-≤121……!

规定：0!1=

（3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不

同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为m C n m .

()()()C A A n n n m m n m n m n

n m m

m ==--+=

-11……!!

规定：C n

（）组合数性质：4

C C C C C C C C n m n n m n m n m n m n n n n n

=+=+++=--+，， (11012)

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

{}

x i x x x x i ∈=<≤<899091929312341234，，，，，，，，且满足，

()

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：

（）中间两个分数不相等，1

有（种）C 5

（2）中间两个分数相等

x x x x 1234<=<

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n

+=++++++---011222……

二项展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101()

C n r 为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

(

)（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r

==-

（）系数和：…2C C C n n n n n 012+++= C C C C C C n n n n n n n 13502412+++=+++=-……

（3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n C n n n

2112

+?? ???+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()

系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+1212

()如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为

（用数字

x -111

表示）

（∵＝n 11

∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第

或第项1212

267=

由，∴取即第项系数为负值为最小：C x r r r r

1111156--=() -=-=-C C 116115426

()

()又如：……，则122004

012220042004-=++++∈x a a x a x a x x R

()()()()a a a a a a a a 010********++++++++=

……（用数字作答）

（令，得：x a ==010

令，得：……x a a a =+++=11022004

()

∴原式……）

=++++=?+=200320031120040012004a a a a

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（）必然事件，，不可能事件，110ΩΩP P (==)()φφ

（）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。2A B A B B A ?

A B

（）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3A B A B A B A B +

的和（并）。

（）事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积。4A B A B A B A B

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。

A B ·=φ

（6）对立事件（互逆事件）：

“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，A A A A A A A ==Ω，φ

（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A B A B A B A B 与独立，与，与，与也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P A A m

n ()=

包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数

()（）若、互斥，则2A B P A B P A P B +=+()() ()

()()（）若、相互独立，则··3A B P A B P A P B =

（）41P A P A ()()=-

（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生

()

k 次的概率：P k C p p n n k k

n k

()=--1

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；

P C C 142102215==??

（2）从中任取5件恰有2件次品；

P C C C 2426

31051021==?? ???

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n ＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴·m C =+32213

464

∴··P C 33223

4641044

125=+=

（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴，n A m C A A ==105425263

∴P C A A A 442526

1021== 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： ()（）算数据极差；1x x max min -

（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×

频率组距==

()

样本平均值：……x n x x x n =

+++1

12 ()()()

[]

样本方差：……S n

x x x x x x n 212222

1=-+-++-

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

（）

C C C 1045

215

56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。

初中数学重要公式总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，

sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0