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DVD在线租赁

基于数理分析的DVD在线租赁系统

摘要

本文研究了DVD在线租赁的相关问题。

在问题一中，我们建立了线性规划模型。在模型中我们假设每天归还的DVD 数量服从以a为参数的指数分布，通过DVD的愿意观看人数与时间的约束，我们列出了目标函数与约束条件，并给参数a赋值为1.4，再利用LINGO求解。最终我们得到第一问中需要1640张DVD1，而第二问中需要598张DVD1。如果网站可以统计归还的历史数据，以此求得更加准确的归还函数，我们的模型准确度会更加具有客观性。

在问题二中，我们需要得到i个会员对j个DVD的分派方案，即文献一中的指派问题，以此我们建立了0-1整数规划模型。将目标函数和约束条件列出后，我们利用LINGO求解得到前30位会员的DVD分派表（表7）。通过误差分析，每个会员获得每张DVD的平均满意度都在75

.2左右，从平均值来看会员对于自己所获得的3张DVD满意度较高。所以该模型具有较大效益和可操作性的。

问题三实际的问题一与问题二的结合，假设每个会员一种DVD只借一次，对1000个会员分别想要100种不同种类的DVD的人数进行数据处理，类比问题一和问题二的建模方法，建立多目标规划模型，通过LINGO软件把约束条件转换为程序语句，得出了不同种类DVD分别需要进购的数量（表9）以及分派给1000个会员的方案。

在第四问中，我们深度分析了在DVD租赁中会遇到的值得研究的问题，给出了信誉度的定义。在综合考虑满意度，信誉度，及DVD数量后，我们建立多目标规划模型。

关键词：线性规划 0-1规划多目标规划LINGO

摘要里面。不要出现模型和表格，

一、问题的重述

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。我们需要建立数学模型并且考虑下列问题：

1)网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢?

2)表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000

位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度?我们需要具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3)继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果我们是网站经营管理人员，我们该如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大?

4)如果我们是网站经营管理人员，觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究?请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型。

表1 对1000个会员调查的部分结果

DVD名称DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5

愿意观看的比例20% 10% 5% 2.5% 1%

表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001 D002 D003 D004 …

DVD现有数量10 40 15 20 …

会员在线订单C0001 6 0 0 0 …C0002 0 0 0 0 …C0003 0 0 0 3 …C0004 0 0 0 0 …………………

注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。

二、符号的定义

符号说明

D现有的DVD数量

C会员满意度

C系数矩阵

i会员的标号

j DVD的种类

z网站对DVD购买的量

M会员的总数

三、模型的假设

1.假设会员都能严格的做到只有把租赁到DVD还掉，才能继续在网站租赁。

2.假设会员的观看意愿都是真实可靠的。会员的调查结果反映10万会员的

要求和喜好。

3.假设每个会员每月都会提交订单。

4.假设每天的DVD流动情况都较为均衡。

5.假设会员在租赁的过程中DVD没有损坏。

6.假设每张DVD的价格都是一样的。

7.一个月30天

等待的时间不会影响会员的满意度

四、问题分析

问题一中，要求我们根据网站的会员情况以及问卷调查得到的历史数据，计算出对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢?

因此，本问题就简化成了求最小值的最优化问题，即线性规划的问题。我们首先需要确定问题的决策变量，其次建立模型的目标函数和允许取值的范围（约束条件），所以我们需要建立一个线性规划的模型。我们合理的假设会员每天归还DVD的数量服从以参数a为变量的指数分布。再由决策变量，目标函数以及约束条件之间的联系求解模型，我们还可以建立第二种模型，假设60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，且需要租赁2次的会员在本月末之前必须归还，考虑DVD所需要准备购买的数量就是DVD被租借的次数。我们可以分析，对模型的假设会直接影响到模型的合理性和经济性。

问题二中，要求我们根据表2给出的100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使得会员满意度最大。并且具体列出前30位会员（即0030

C）分别能够获得哪些DVD。

0001C

在这个关于DVD分派的问题上，网站为了使得每个会员都最大可能的能看到自己最想看到的3张DVD，希望能把目前DVD的现有张数最合理的分派给每个会员，尽可能满足大部分会员的要求，以发挥DVD最大的利用率。所以，我们在决定决策变量后，需要确定约束条件，再建立目标函数，从而得到系数矩阵（效益C建立一个0-1规划模型。把附件中的表2导入到LINGO软件中，可以

矩阵）

求得会员的最大满意度，最终得出现有的100种DVD派给1000个会员的具体最合理的分派。同理，得出前30个会员分别能够获得的3种DVD。因为我们要使得会员获得最大满意度，所以对结果检验，应该是检验能够满足会员得到自己想要的3张DVD，所以我们所求得结果需要尽可能的让每个会员的满意度最大。

问题三，是问题一和问题二的综合，假设表2中DVD的现有数量全部为0。要求我们为了一个月内95%的会员得到他想看的DVD，决定如何每种DVD的购买量，如何分配，使会员获得最大满意度?

这是一个多目标的问题，我们希望网站会员获得最大满意度，同时也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。首先我们需要对附件中表2进行数据处理，得到问卷调查的1000个会员对100种不同种类的DVD分别想要的人数，再按照会员的偏爱程度，分配3张DVD给一个月内95%的会员。因为60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。我们随机产生600个数，并且重新编号为1到600的会员，并且假设他们每月租赁DVD两次，其余每月只租一次。建立多目标规划模型，通过LINGO软件把约束条件转换为程序语句，求解模型，再检验模型是否能使会员获得较大满意度，购买的DVD数量最少等。

问题四中，如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

在DVD的需求预测、购买和分配中，除了本题所需要考虑的因素外，还有其他的不确定因素会影响DVD的库存和借出，比如会员是否能按时归还DVD。在归还DVD的问题中，由上所建立的模型我们可以看出，归还的时间越短，DVD的利用率就越高，即借出的次数越多，成本就越低。但是有可能发生有人不能按时归还的情况，在这里我们可以根据每个会员不按时归还次数和借出次数的比来定义一个变量，并命名为信誉度。信誉度从一到十取整，且数字越小，信誉度越高。

五、模型的建立与求解

5.1问题一

5.1.1模型的准备

问题一实际就是一个求最小值的最优化问题。保证希望看到该DVD的会员看到该DVD，我们所需要准备的DVD数最少是多少张，以减少成本。对于DVD1来说，需要根据会员对DVD1的偏爱程度比例进行分配。

因此，一个月内至少50%的会员愿意看DVD1的人数为：

100000=

10000

三个月内至少95%的会员愿意看DVD1的人数：

100000=

19000

同理，愿意看其他DVD 的人数如表3：

表3 对1000个会员调查的部分结果

DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 一个月内的人数 10000 5000 2500 1250 1000 三个月内的人数

19000

9500

4750

2375

1900

5.1.2模型一的建立与求解

(1)模型的建立

首先我们需要确定问题的决策变量，其次再建立模型的目标函数和允许取值的范围（约束条件），由于目标函数和约束条件都是线性函数，所以我们建立一个线性规划模型。

根据题意，我们需要最大化DVD 的利用率使得网站利益最大化，即在DVD 归还之后第二天立即租赁出去。由于题目未给出每天会有多少会员归还DVD ，但是我们知道DVD 归还数量是一个递增函数，在这里我们假设每天归还DVD 数量服从以a 为参数的指数分布k a ，A 为总的天数，B 为DVD 所能满足的会员人数，设当m 天时，每天归还的DVD 总数达到DVD 购买的数量。

建立的数学模型有以下三个步骤：

① 根据影响所要达到的因素找到决策变量，

② 根据决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数，

m a Z =min

③ 根据决策变量所受的限制条件确定决策变量的所要满足的约束条件。

Z a k ≤

()B m A a a a a x f m

k k ≥-++++=)(1

()1.2.1

（2）模型的求解

1) 一个月的情况约束条件： Z a k ≤

()10000)130(10≥+-+++=m a a a x f m k k ()2.2.1

根据相关文献，我们取参数4.1=a ，为了满足一个月内50%的会员的租赁问

k s 第k 天的库存数（可租赁量）

k x

第k 天的归还数

题，第m 天时，归还的DVD 总数达到DVD 购买的数量。此时22=m ，说明当这个月的第22天时，DVD 的归还量已经可以满足本月的租赁数量，可以保证每位会员都能收到自己的订单。购买的DVD 数量是根据所能归还的DVD 数量决定的。

因此，DVD1需要购买的张数为：

16404.122==m a

根据表3的调查比例得到：

DVD2需要准备的张数：820%501640=? DVD3需要准备的张数:410%251640=?

同理，得到的结果如下表：

表4 一个月内50%的会员能够看到的DVD 数

DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数

1640

820

410

205

2）三个月的情况约束条件：

Z a k ≤

()19000)190(10≥+-+++=m a a a x f m k k ()3.2.1

为了满足三个月内至少95%会员能够看到DVD1，第m 天时，归还的DVD 总数达到DVD 购买的数量。此时19=m ，所以DVD 的归还量已经可以满足需要准备购买的DVD 数量。

所以，DVD1需要购买的张数为：

5984.119==m a

同理，对于其它4个种类的DVD 同样适用，得到的结果如下表：

表5 三个月内至少95%的会员能够看到的DVD 数

DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数

598

299

150

人是固定的，但是比例不变。（从DVD 的角度来看）不妨假设，每个会员每

月第一天，提交订单。（概率问题）

理论分析，DVD 每月被看次数，服从两点分布，且独立同分布，利用中心极限定理。

5.1.3模型二的建立与求解

(1)一个月的情况

我们假设60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%的会员只租赁一次，且需要租赁两次的会员在本月末之前必须归还，以便再本月进行第二次租赁。考虑DVD 所需要准备购买的数量就是DVD 被租借的次数。

设：

第一次租赁的会员 Y

第二次租赁的人

根据我们假设的情况，每月会租赁DVD 两次的会员所租赁的DVD 归还后，会被二次租赁出去，给其他会员，但每月只租赁DVD 一次的会员的DVD 不会被二次租赁。能被二次租赁的DVD 只能来源于第一次租赁的会员人数的60%，当会租赁DVD 两次的会员全部归还给网站后，DVD 的利用率达到最大。此时有:

X Y 6.0=

总的租赁次数满足：

100006.16.0≥=+=+X X X Y X

那么60%的会员利用了两次DVD ，40%的会员利用了一次DVD ，所以一个月内DVD 被利用次数为1.6，此时X 的取值为DVD 所需要准备购买的数量:

62506

.110000==X

得到结果如表5：

表5 一个月内50%的会员能够看到的DVD 数

DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数

6250

3125

1563

782

625

(2)三个月的情况

我们可以类比一个月的情况，三个月中每个月的情况都是一样的。所以，每个月的总的租赁次数满足：

63343

190006.16.0≈≥=+=+X X X Y X

此时X 的取值为DVD 所需要准备购买的数量:

39596

.16334==X

得到结果如表6：

表6 三个月内至少95%的会员能够看到的DVD 数

DVD 名称

DVD1 DVD2

DVD3 DVD4 DVD5

需要准备的张数 3959 1980 990 495 396

5.1.4模型的结果分析

通过对模型一和模型二的求解，最终得到的需要购买的DVD 数量不同。由于我们对模型的假设不同，所以才会有两个不同的结果。模型一中，归还量确实是一个递增函数，因此对于模型假设是合理的；模型二的假设同样也是在理解范围内。会员的提交订单的情况不会完完全全按照理想分布，所以，模型一和模型二的假设都是近似符合事实。

当然，会员的观看意愿都是真实准确可靠的，但同样具有一定的系统误差，排除在统计1000个会员时的人为误差因素，以及其他不可避免的误差因素的影响，结果的误差是在情况的允许范围内的。如果网站可以根据历史经验，得到更准确的归还函数，我们的模型会更具有可信度，会更具科学性和客观性。

5.2问题二

为了使得每个会员都尽可能的能看到自己最想看到的3张DVD ，就目前100种DVD 的现有张数，发挥最大利用率能够满足当前1000位会员的在线订单，使得会员获得最大满意度。所以我们决定建立一个0-1规划模型。

5.2.1模型的建立--0-1规划模型

设决策变量ij X 表示第i 个会员得到的第j 张DVD ，即：

时，个个会员没得到第

当第时，个个会员得到第

当第DVD j i j i ,,01DVD X ij ???=1000i 1≤≤，

100j 1≤≤

每个会员得到的自己喜欢的3张DVD 的约束为：

??????

?=+++

+=+

+++=++++,

3,3,31000100

10002100012100

222111001211X X X X X X X X X X X X ij ij ij

()1.1.2

每张DVD 都有会员得到的约束为：

??????

?=+++

+=+

+++=++++,

,,10001001000

210001100021002

2212110012111

j ij j ij j ij D X X X X D X X X X D X X X X

()2.1.2

我们记系数矩阵为：

()ij C C =

矩阵内的数值即为附件表2所给偏爱程度数值。

由于附件表2中会员除自己最想要看的DVD 外，其余90张中都是用“0”来表示，在LINGO 软件输入时为了更好的识别，并且考虑到数字1到10的含义，我们用“11”代替“0”来求解会员的满意度。于是得到目标函数为满意度最大，由于附件表2中表示会员满意度的数字越小表示会员的偏爱程度越高，即满意度数值越小会员满意度越高。建立模型得到：

ij 10001i 100

j ij min X C Z ∑∑===

约束条件集合为：

???

====≤==∑∑==，），，，（或，），，（，），，（10002,1j i 1010002,1,10002,1j 1002,1i 3..1000

11001 ij i k ij j ij X k D X X t s ()3.1.2 5.2.2模型的求解

把附件中的表2导入到LINGO 软件中，把约束条件转换为程序语句（见附录1）。用枚举法的方法用for 语句产生迭代求解，计算得出会员的总满意度为8245。从而得到了对现有的DVD 数量的分派方案。同理得出前30位会员分别获得的DVD 种类，如下表：

表7 前30位会员分别获得的DVD 种类

会员 DVD 种类会员 DVD 种类 C0001 D008 D041 D098 C0016 D010 D084 D097 C0002 D006 D044 D062 C0017 D047 D051 D067 C0003 D032 D050 D080 C0018 D041 D060 D078 C0004 D007 D018 D041 C0019 D066 D084 D086 C0005 D011 D066 D068 C0020 D045 D061 D089 C0006 D019 D053 D066 C0021 D045 D050 D053 C0007

D026

D066

D081

C0022

D038

D055

D057

C0008D031D035D071C0023D029D081D095 C0009D053D078D100C0024D037D041D076 C0010D041D055D085C0025D009D069D081 C0011D059D063D066C0026D022D068D095 C0012D002D031D041C0027D050D058D078 C0013D021D078D096C0028D008D034D082 C0014D023D052D089C0029D026D030D055 C0015D013D052D085C0030D037D062D098

5.2.3模型的结果分析

求解结果的可行性是对我们建立的模型最贴切的结果检验。我们可以认为会员获得的满意度，决定着模型结果的可信度。因此，如果会员得到自己想要的DVD的机率减低，说明会员获得的满意度并不是很高，网站的价值也随之降低。所以我们所求得结果尽可能的让每个会员的满意度最大。

通过LINGO软件计算得到的会员的总满意度为8254，那么，每个会员获得每张DVD的平均满意度为：

8254≈

÷()1.3.2

1000

由题意可知，问卷对1000个会员调查100种不同种类的DVD的偏爱程度，分别用数字1到10表示会员对DVD偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0则表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。所以每个会员获得每张DVD的平均满意度都在75

.2左右，从平均值来看会员对于自己所获得的3张DVD满意度较高。会员们得到自己想要看到的DVD的分派方案，满足了会员的需要，在大多数情况下，这些假设总是近似符合事实的（否则模型就会出现不符合实际的错误，而不是误差）。因此，排除客观条件因素外，所建立的模型是合理的，该模型具有较大效益和可操作性的。

5.3问题三

这是一个需要考虑多目标的问题，我们既希望网站会员获得最大满意度，也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。因此，我们可以把问题简化为一个多目标规划的问题，建立一个多目标规划模型。

5.3.1模型的建立--多目标规划模型

由于网站统计的历史数据显示60%的会员每月会租赁DVD 两次，而另外的40%每月只租赁一次。我们在1000个会员中，随机产生600个会员，重新编号为1到600，并且假设他们每月租赁DVD 两次，其余601到1000的会员，每月只租赁一次。换句话说，也就是1000个会员里面有600个会员每月会得到自己想看的DVD 中的6张，其余400个会员每月会获得自己想看的DVD 中的3张。

所以，建立多目标规划模型的思路为：

首先我们假设每个会员一种DVD 只借一次，其次我们需要对1000个会员分别想要100种不同种类的DVD 的人数进行数据统计与处理，得到的结果如表7（见附件2）：

表8 分别想要获得的不同种类DVD 的人数（部分）

DVD 编号先要看的人数

满足95%的人数

D001 84 80 D002 92 88 D003 87 83 D004 99 95 D005 78 75 D006 87 83 D007 87 83 D008 100 95 D009 93 89 D010

（1）第一次分派：

第一次分派时，网站经营管理人员根据最开始的库存量Z ，对1000个会员分别进行分派，已到达每个会员都能获得自己想要观看的DVD ，使每个会员都能获得最大的满意度。此时，我们设决策变量ij X ，ij X 表示第i 个会员得到的第j 张DVD ，即:

时，个个会员没得到第

当第时，个个会员得到第

当第DVD j i j i ,,01DVD X ij ???=1000i 1≤≤，

100j 1≤≤

目标函数为会员的满意度最大，即：

ij 10001i 100

j ij min X C Z ∑∑===

每个会员得到的自己喜欢的3张DVD 的约束条为：

???????=++++=++++=++++,

3,3,31000100

1000210001

2100

2111001211X X X X X X X X X X X X ij ij ij

()1.1.3

要求DVD 都的约束为：

,,min 1000

1001000

1???????=∑∑==j i i i X X Z ()2.1.3

记系数矩阵为：

()ij 1C C =

矩阵内的数值即为附件表7所给想要获得的不同种类DVD 的人数的数值。建立的模型为：

???

=======∑∑==，），，，（或，），，（，），，（10002,1j i 1010002,1,10002,1j 1002,1i 3..1000

11001 ij i k ij j ij X k D X X t s ()3.1.3 （2）第二次分派：

第二次分派时，因为只有60%的会员会归还获得的DVD （即此时的库存量），也只有归还了DVD 的会员才能继续租赁新的DVD ，所以600个会员会重新租赁都能获得自己想要观看的DVD ，使每个会员都有较大的满意度。同理，对于第二次分派，我们设决策变量ij X ，ij X 表示第i 个会员得到的第j 张DVD ，即:

时，个个会员没得到第

当第时，个个会员得到第

当第DVD j i j i ,,01DVD X ij ???=600i 1≤≤，100j 1≤≤

目标函数为会员的满意度最大，即：

ij 6001i 100

j ij min X C Z ∑∑===

每个会员得到的自己喜欢的3张DVD 的约束条为：

,,3

3min 6001

100100

1???????===∑∑==i j j j X X Z

()1.2.3

要求DVD 都的约束为：

,,min 600

100

600

1???????=∑∑==j i i i X X Z ()2.2.3

记系数矩阵为：

()ij 2C C =

建立的模型为：

???

====≤==∑∑==，），，，（或，），，（，），，（10002,1j i 1010002,1,10002,1j 1002,1i 3..60011001 ij i k ij j ij X k D X X t s ()3.3.3

5.3.2模型的求解

用LINGO 软件中，把约束条件转换为程序语句（见附录3）。用for 语句产生迭代求解，每种DVD 的购买量如表9：

表9 不同种类DVD 分别需要进购的数量

DVD 编

号

进购数量

DVD 编号进购数量 DVD 编号进购数量 DVD 编号进购数量

D00121D02631D05140D07624

D00236D02726D05226D07720

D00327D02819D05333D07830

D00438D02925D05426D07931

D00521D03041D05531D08028

D00628D03129D05632D08129

D00730D03235D05731D08218

D00833D03331D05828D08322

D00935D03431D05934D08419

D01025D03539D06036D08533

D01129D03635D06127D08621

D01231D03721D06231D08734

D01328D03830D06332D08824

D01431D03929D06434D08924

D01527D04028D06532D09027

D01638D04153D06631D09139

D01728D04235D06730D09228

D01826D04326D06835D09324

D01931D04435D06933D09423

D02038D04534D07030D09540

D02134D04625D07136D09624

D02229D04732D07234D09736

D02335D04825D07325D09832

D02422D04932D07431D09918

D02529D05034D07528D10035

对于1000个会员的分派问题，我们得到前30个每月租赁两次DVD的会员，如表10（附件4）和前20个每月租赁一次的会员，如表11：

表10 前30个每月租赁两次DVD的会员（部分）

会员编号第一次分配的DVD编号第二次分配的DVD编号

C0001D008D082D098D011D041D049

C0002D006D042D044D038D062D071

C0003D004D050D080D031D032D090

C0004D007D018D041D023D049D068

C0005D011D066D068D012D021D034

C0006D016D019D053D061D066D067

C0007D008D026D081D071D082D045

C0008D015D071D099D008D031D035

C0009D053D078D100D017D021D065

C0010D055D060D085D014D041D067

表11 前20个每月租赁一次的会员

分配的DVD编号

C0601D049D065D094

C0602D033D035D055

C0603D023D033D096

C0604D033D053D083

C0605D025D027D048

C0606D050D078D080

C0607D020D022D088

C0608D047D060D088

C0609D026D027D061

C0610D041D062D077

C0611D023D035D070

C0612D033D043D074

C0613D030D038D074

C0614D026D030D057

C0615D034D067D069

C0616D033D034D065

C0617D054D081D099

C0618D026D043D100

C0619D028D046D085

C0620D025D032D068

5.3.3模型的检验

我们既希望网站会员获得最大满意度，也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。求解结果的可行性是对我们建立的模型最贴切的结果检验。我们可以认为会员获得的满意度，决定着模型结果的可信度。

因此，如果会员得到自己想要的DVD的机率减低，说明会员获得的满意度并不是很高，网站的价值也随之降低。所以我们所求得结果尽可能的让每个会员的满意度最大。计算得到会员的最佳满意度为2.9,每位会员的平均满意度为3.2，由相关资料来看，从平均值来看会员对于自己所获得的3张或6张DVD满意度较高。模型具有一定的可信度。

等权模型，无量纲处理，最大满意度加上最小满意度，

没有考虑第二次分配

方法角度不一样的话，也可以讨论，各种不同解法的比较说明

建模时，可以，建两个模型比较或者模型慢慢改进

5.4问题四

在DVD 的需求预测、购买和分配中，除了本题所需要考虑的因素外，还有其他的不确定因素会影响DVD 的库存和借出，比如会员是否能按时归还DVD 。在归还DVD 的问题中，由上所建立的模型我们可以看出，归还的时间越短，DVD 的利用率就越高，即借出的次数越多，成本就越低。但是有可能发生有人不能按时归还的情况，在这里我们可以根据每个会员不按时归还次数和借出次数的比来定义一个变量，并命名为信誉度。信誉度从一到十取整，且数字越小，信誉度越高。

在已知DVD 数量和各个会员的信誉度及满意度的情况下，我们如何分配DVD ，使得满意度和信誉度达到最大？

i Q

第i 个会员的信誉度 ij

第i 个会员分配到第j 张DVD ij C

第i 个会员对第j 张DVD 的满意度

j D

第j 张DVD 的数量

5.4.1模型的建立

模型Ⅰ：仅仅考虑满意度

目标函数：ij 1i 1

j ij min X C Z

n m

∑∑===

约束条件：??

?????====≤==∑∑==，）（或，）（，）（

n X n k D

X m X t s ij n

i k ij m

j ij ,,2,1j ,i 10,,2,1j ,,2,1i 3..11

模型Ⅱ：仅仅考虑信誉度

ij 1

min X Q Z m

j i ∑==

约束条件：??

?????====≤==∑∑==，）（或，）（，）（

n X n k D

X m X t s ij n

i k ij m

j ij ,,2,1j ,i 10,,2,1j ,,2,1i 3..11

模型Ⅲ：综合考虑满意度和信誉度，我们对满意度和信誉度分别赋予相同的权重。

目标函数：}{

min 1

ij 1i 1

j ij

∑∑∑===+=m

j ij i n m

X Q X C

约束条件：??

?????

====≤==∑∑==，）（或，）（，）（

n X n k D

X m X t s ij n

i k ij m j ij ,,2,1j ,i 10,,2,1j ,,2,1i 3..11

六、模型的评价和推广

问题一中我们合理地考虑了DVD 的归还速率问题，在计算时，能保证DVD 最大限度的流通，从而将DVD 的购买数量降最低限度，节约了成本。但是，由于我们对于DVD 的归还速率并不能真正准确的估计，因而会存在一定的误差。问题二中我们建立的0-1模型，最大限度的满足了题中所给出的约束条件，在使

用Lingo 软件求解时所编写的程序简单易懂，方便运行。但是，我们只给出了一种分配方案，并没有考虑该问题的最优解的数量，因而，可能存在其他的同为最优解的分派方案。问题四中，我们给出了一个新的参数“信誉度”。根据用户的“信誉度”的高低，决定分配DVD 的优先程度。这一举措既能督促用户及时归还DVD ，同时也能在一定程度上解决DVD 分配的优先问题。在实际的租赁过程中有比较好的实际意义和操作价值。因而我们提出的这个问题是有意义的。论文中的模型都建立在大量的假设条件下，与实际的运营中的情况存在差异。

可以在获取网站的历史归还记录，或自行调查归还数据之后，模拟出归还数量与日期的函数关系。将这个函数关系运用到问题一中，我们将能更准确的求出DVD 的最佳进购数量。

七、参考文献

[1]袁新生用LINGO6.0求解大型数学规划工科数学2001年10月05期

[2]李伯德matlab与数学建模科学出版社2014：135

[3]何坚勇最优化方法清华大学出版社2007：417

附录

附录1

MODEL:

SETS:

kc/s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18 s19 s20 s21 s22 s23 s24 s25 s26 s27 s28 s29 s30 s31 s32 s33 s34 s35 s36 s37 s38 s39 s40 s41 s42 s43 s44 s45 s46 s47 s48 s49 s50 s51 s52 s53 s54 s55 s56 s57 s58 s59 s60 s61 s62 s63 s64 s65 s66 s67 s68 s69 s70 s71 s72 s73 s74 s75 s76 s77 s78 s79 s80 s81 s82 s83 s84 s85 s86 s87 s88 s89 s90 s91 s92 s93 s94 s95 s96 s97 s98 s99 s100/:SI;！库存数组

yh/a1,a2,a3,a4,a5...a998 ,a999 ,a1000/:AI;！用户数组

YL(yh,kc):c,x;！建立矩阵c和x，行为用户，列为库存

ENDSETS

DATA:

SI=10,40,15,20,20,...11 11 11 11 11 11 4;！满意度矩阵c

ENDDATA

MIN=@SUM(YL(I,J):c(I,J)*x(I,J));！规划目标

@for(yh(i):

@SUM(kc(j):x(I,J))=3);

@for(kc(j):

@SUM(yh(i):x(I,J))<=SI(j));

@for(YL(I,J):@Bin(x(I,J)));！限制条件

End

附录2

DVD编号D001 D002 D003 D004 D005 D006 D007 D008 D009 D010 人数84 92 87 99 78 87 87 100 93 90

79.8 87.4 82.65 94.05 74.1 82.65 82.65 95 88.35 85.5 能看到95%

80 88 83 95 75 83 83 95 89 86

的人数

DVD编号D011 D012 D013 D014 D015 D016 D017 D018 D019 D020 人数95 97 85 102 84 94 102 91 100 116

90.25 92.15 80.75 96.9 79.8 89.3 96.9 86.45 95 110.2

91 93 81 97 80 90 97 87 95 111 DVD编号D021 D022 D023 D024 D025 D026 D027 D028 D029 D030

愿意观看

96 101 109 93 89 101 87 83 97 97

的人数

2005年DVD在线租赁DVD在线租赁__数学建模

DVD在线租赁一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ 2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。 3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ 4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设 1.一个月的天数按30天计算； 2.1000名会员的样本足以反映10万名会员的特点； 3.严格按照60%的会员每月租赁两次DVD，40%会员每月租赁一次，且对DVD 没有损坏； 4.会员提交的订单的时间是随机的； 5.会员连续两次借的DVD没有重复的； 6.会员每个月必须至少租赁一次； 7.会员对他所偏爱的DVD的偏爱度不会改变。三、符号说明

关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究(家家) 2

关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究年级：2011级学院：计算机信息与工程专业：计算机科学与技术姓名：陈志超（1108114022计科二班）王俊美（1108114014计科二班）焦标标(1108114科一班)

关于DVD 在线租赁问题的数学建模的研究摘要本文考虑的是DVD 在线租赁的问题，我们从历史统计数据出发把会员分为两类，A 类：（占60%）一个月内可以租碟两次，B 类：（占40%）一个月内只可以租碟一次。基本假设出发，第一问我们根据实际情况以及基本假设，A 类：一个月内第一次租碟看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，B 类：租一次就看了一个月这个，我们通过推理的出了满足假设的结果，其结果基本上是合理的，第二问我们可以把它归结为（0，1）整数规划，把会员的满意度作为目标函数进行决策，首先我们把代表会员偏爱程度用层次分析的方法（即通过取倒数的方法）转化为顾客满意程度，由于我们建立的模型是一个（0，1）整数规划的模型，它是一个NP-难的问题，基于问题复杂性，我们只能提供贪婪算法这种启发式算法，通过逐步寻优得出一个近似解后，我们再对解进行改进，使之得到更具实际意义的解，第三问也可以把它归结为（0，1）整数规划，我们首先确定1000个会员中A 类会员与B 类会员，我们的作法是在（1-1000）中随机产生600数我们令会员编号属于这600个数是属于A 类的，其余的属于B 类。然后初步确定每种DVD 数量，我们开始取的DVD 总的数量为应该有的下界（即3*950=2850），则第j 种DVD 的数量为：满意度之和所有客户对所有的满意度之和种所有客户对第DVD DVD j * 2850 然后与第二问类似的算法的出初始解，然后对解进行进一步优化与改进，使满足95%的会员在一个月内能够看到他想看到的DVD 。最后我们提及了模型的改进以及算法的改进建议。关键字整数规划贪婪算法满意度在线租碟一﹑问题的重述及研究背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，教育资源的光盘制品在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。在为顾客提供方便的同时，为了追求利润的最大化，租赁服务将面临以下决策问题： 1．在知道愿意观看的顾客的数量的情况下，如何对准备DVD 的数量，使愿意观看的人数达到某种程度？ 2．在知道每个顾客的定单、偏爱程度以及现有的DVD 的数量的情况下，如何分配才能使会员获得最大的满意度？ 3．在知道顾客的定单、偏爱的程度的情况下，如何决定DVD 的购买量以及分配，使满足一定的顾客得到他想要的情况下使满意度最大 4．如何预测顾客的需求，使准备的DVD 利用率最高以及使顾客的满意度最大。以上问题的解决将使在线租赁服务的决策者对需求、购买量、分配进行决策使顾客的满意度以及服务的利润最大。二﹑问题假设（1）每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD 会员看完3张DVD 之后，需将DVD 寄回，才可以继续下次租赁。

数学建模——DVD在线租赁

DVD在线租赁问题优化方案（田密万国）摘要本文依托现实网站DVD在线租赁预测、购买和分配方式，抽象简化出主要以网站购置量少、分配方式好以及会员满意度高为目标的数学模型，并通过合理简化假设进行需求预测，并建立优化模型。问题一：我们建立DVD利用率数学模型，得到了至少50%在一个月内能够看到各种DVD至少需要的DVD张数分别为6250,3125,1563,782,313，以及三个月内能保证至95%的会员能够看到各种DVD至少需要的每种DVD的张数分别为3959,1980,990,495,198。（具体见表一）问题二：首先通过对数据的分析定义了关系式：满意度=11－偏爱度，建立整数规划模型。用Lingo解得最大满意度为24746,以及前三十名会员的分配方案（见表一），全部会员的分配方式（见附表DVDc.xls）。问题三：要求DVD购置量最小与满意度最高是决策问题的关键，平衡DVD购置量和会员满意度，找到较好的购置方式及分配方案。于是有两个目标：DVD购买总量最少，总满意度最大。采用分层序列法将多目标规划转换为单目标规划，用Lingo编程解得DVD 购买总量2850张, 最大满意度为25650,以及分配方式（见附表DVD3c.xls）。问题四：我们的想法是从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。关键词：整数规划模型，满意度，0-1规划，多目标规划，Lingo

一、问题重述信息时代，网络发挥越来越重要的作用，许多网站利用强大资源和知名度为消费者提供专业便捷的服务。音像制品的在线租赁即为其中一项，充分发挥了网络诸多优势，为顾客提供了周到的服务。考虑在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交订单，网站根据现有的DVD数量和会员的订单进行分发，并基于其偏爱程度排序。每个会员每月租赁次数和张数有限制。会员在看完之后，将DVD寄回网站，就可以进行下次租赁。考虑以下问题： 1、网站预购新DVD，问卷调查得到愿意观看人数记录，并由历史数据得到租赁两次与租赁一次的人数之比。考虑至少应准备多少张，能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD；类似的，考虑在三个月内能保证至95%的会员能够看到该DVD至少需要的DVD张数。 2、根据网站现有DVD张数以及所需处理的会员订单，思考如何分配这些DVD，使会员得到最大满意度，并列出前三十位会员分别获得哪些DVD。 3、考虑表2（假设DVD数量为0），确定DVD的购买量以及分配方式，使一个月内95%的会员得到想看的DVD，并达到最大满意度。 4、针对问题四，我们从网站最大化客户满意度与最大利润双目标的具体实现入手，可以考虑设立不同等级优先度的策略，以及减少DVD人为或运输破损等造成的损失，来共同提高会员整体满意度和实现效益最优。二、模型假设、的比例分配； 1、只存在每月租借一次和每月租借两次两类会员，且符合40%60% 2、会员每月至少租借一次DVD，每次只能租借三张DVD，且三张不同； 3、一个月借两次的人必须在第一次借的DVD归还之后才能再接第二次； 4、每月只借一次的会员在月末才归还所借的DVD，所以这部分DVD不能再借给其他会员； 5、不同DVD的需求与分配独立，之间没有关联性； 6、某张DVD被会员还回后，可在当天配送给其他需要的会员； 7、DVD的分配量决定其购置量； 8、会员满意度与其在一个分配周期内租借到其想看DVD的具体时间无关；三、符号说明 1、为第j(j=1,2…5)种DVD应准备的数量； 2、为希望看到第j种DVD的人数; 3、等于1表示分配给会员i第j种DVD,反之不分配(i=1,2,…,1000，j=1,2,3…100)； 4、表示会员i对第j种DVD的偏爱度(i=1,2,3…1000，j=1,2,…,100)；

数学建模-DVD租赁在线租赁问题

DVD 租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD 租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD 的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD 愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD 的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD 的数量，见表一。问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准最大满意度 ∑∑==?10001100 1 1000 116i j ij ij b x 为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO 编程求解。得到最大满意度%，和前30位会员的分配方案（见表五）。问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD 可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo 求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了%。问题四：我们对新出的DVD 进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD 所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。关键词：二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度

一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢 2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。 3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，

DVD在线租赁(一等奖)

DVD 在线租赁摘要本文以DVD 在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上，根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种DVD 数量使得会员的满意度最大。对于问题一，基于各种DVD 的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该DVD 最多的会员人数，再结合每张DVD 的平均利用率，得出在不同置信水平下，网站应准备的DVD 的张数。在置信水平为50%时，一个月内：15DVD DVD ~的张数为：6260，3133,1568,785,315；三个月：15DVD DVD ~的张数为：3965,1984,993,497,199。对于问题二，建立0-1规划数学模型，将100种DVD 合理地分配给1000位在线订单的会员，以使会员的满意度最大。首先，采用倒数形式将会员对各种DVD 的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数： 1000100 11 max ij ij i j b x ==?∑∑ 及列出其相应的约束条件，运用Lingo 软件求出DVD 的最优分配方案，并列出了其中前30位会员希望看到的DVD 具体分配情况。对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种DVD 的购买数量及对DVD 的分配方案。由于有60%的会员每月会租赁DVD 两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，所以分阶段进行求解。第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741；第二目标DVD 的购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了月中时DVD 归还的情况，得出100种DVD 的购买总数量为3111张，并列出了部分会员的分配情况。对于问题四，在DVD 的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在DVD 的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定DVD 购买及分配方案。关键词满意度 0-1规划多目标规划模型最优分配方案

DVD在线租赁

DVD在线租赁摘要在科学技术高速发展的今天，特别是因特网建立后,网络更是成为我们传播信息的主渠道以及一种莫大的经济资源。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务，如：DVD在线租赁。本文解决的是一个DVD在线租赁问题，模型主要涉及到DVD的数量，一个月中租用的次数以及会员对各DVD的满意度。模型中运用了0-1型整数规划，并采用LINGO数学软件来求解模型。在处理第一问时，对于一个月满足50%的情况，分析完后用了一个简易包络图来描述。并依照分析建立了一个以调查表中各DVD 愿意观看的人数为参数的数学模型。得出对于各种DVD分别需要准备的张数为：6250、3125、1563、782、313；在该模型的基础上，增加了对一个月租两次的会员优先考虑的条件，而建立了一个新的模型，同时解得各种DVD需要分别准备5000张、2500张、1250张、625张、250张。由此比较得出第二个模型更优。对于三个月满足95%的情况，在模型的建立的过程把三个月分成6个阶段，用包络图直观的表述出来，同时根据包络图建立出数学模型。根据模型可解得各种DVD应准备的量，分别为：4260张、2130张、1065张、533张、213张。也在此基础上，给一个月租两次的会员优先权时，又可建立一个模型。模型求解得：各种DVD分别需要准备3800张、1900张、950张、475张、190张。同样也得出了一个更优的方案。在第二问的模型建立的时候，本文是用会员们的在线定单上所显示出来的意愿顺序数的倒数，来表示会员对该DVD的满意度。以满意度最大为目标函数。同时根据题目列出其约束条件，运用LINGO 8.0编程、并计算得出了所有DVD的分配情况（附录一）。在解决问题三的时候，也以满意度最大为目标函数。改变三个约束条件，也同样运用LINGO 8.0编程、并计算得出分配情况（附录二），在本文中运用了表格的形式表述出了各种DVD的购买量。并把所有的会员租得DVD的情况罗列出来，其中100名会员的第68、69、70、71、72五位会员不能租到DVD。本文把问题三所得出的分配情况与表二的各会员的第一、二、三选择相比较得出其相同率超过90%。以此检验出模型的优越性。最后就模型租用周期、租用期间所存在一定的损失率等几个方面进行了改进，并把模型推广到其他的租赁服务业、生产产品费用问题及加工产品方面。关键词：满意度、0—1型整数规划、DVD在线租赁

11560-数学建模-2005年BD题《DVD在线租赁》题目、论文、点评

2005年B\D题《DVD在线租赁》题目、论文、点评 DVD租赁优化方案王颖高德宏... 在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD 的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预测得到观霜DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD的数量。以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案。并计算出前30位会员的分配结果。在问题三中，我们考虑到60％的会员由于两次租赁而导致DVD可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99．38％，本文最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。 DVD租赁优化方案.pdf (388.78 KB) DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬朱小满... 本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题 DVD在线租赁系统的优化设计.pdf (315.72 KB)

DVD在线租赁问题研究

客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过2次。②每次获得3张DVD。③会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。现在需要解决以下几个问题： 1.若网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。另外根据经验有，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。网站现有10万个会员，用表1中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备？

DVD在线租赁

DVD 在线租赁摘要本文主要是为DVD 在线租赁网站解决如何对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配等问题，通过建立数学规划模型并求解，从而实现让会员在获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化。在解决通过问卷调查1000个会员，决定至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，我们首先引入了市场上货币流通模型与之相比较，找出他们之间的共同点----流通量，并建立了新的单位----张次，从而利用对DVD 在一个月内租给会员时流通次数的假设，很容易地计算出每种DVD 需要准备的数量，再按比例推广到有10万个会员的情况。在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值： []100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==?? =-?÷?++???? ∑∑ 然后根据(,)ISGET i j 是个特殊集合（只包括0和1两个元素）的性质，和所要解决的问题的其他内在约束列出所有相关的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。对于第四问，我们在对各个阶段的重要问题进行了合理的分析，然后在前三问基础上，把第四问的各个阶段看为一个整体，进行整体分析，建立了可行赢利最优模型。

DVD在线租赁问题

B题：DVD在线租赁第十三组执笔人：侯慧慧

B 题：DVD 在线租赁摘要在线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。针对问题一，利用需求预测得到观看DVD 的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3)。问题二中，使会员的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为： 1000100 11 1 max ,271000ij ij i j a c === ?∑∑ （其中ij a 表示第i 个会员是否分配到了第j 种DVD ，ij c 表示第i 个会员得到第j 种DVD 的满意度）。建立一个线性规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前 30位会员的分配结果（见文中表4）。而对于问题三，。假设每种DVD 的购买数量和其会员总偏爱程度成正比，于是对于某个需购买DVD 总数，可以按照偏爱程度的比例确定每种DVD 需要购买的数量，目标函数为： 1000100 11 max ij ij i j Z C x ===?∑∑ （其中ij C 表示修正偏爱指数矩阵，ij x 是01-变量，表示是否把第i 种DVD 分配给第j 个会员）。然后按照0—1规划模型进行第一次分配。接着用数值模拟的方法随机取60％的会员一个月租赁两次 DVD ，并把归还后的DVD 用0—1规划模型进行第二次分配，最终计算得到会员相应的满意度，从而给出了网站准备的DVD 总数和会员在一个月的满意度之间的关系，并建议网站准备2300张左右的DVD ，使得会员一个月的满意度达到0.8左右。；问题四是设计出一种DVD 的需求预测、购买和分配的数学模型使得网站能够持续发展，即满意度尽可能大，同时利润也尽可能大，模型如下： ()()()() ()()()11101m n ij ij t t t t i j Max f x p m t a b k λλλ==?? =?+-?-?<< ??? ∑∑ （其中，ij p 表示第i 个会员对j 种DVD 选择与否；ij a 表示会员i 对j 种DVD 的偏爱度；a 表示会员月会费；b 表示每一张DVD 的价格；m 表示会员人数；n 表示DVD 数量）。最后，本文还对模型进行了恰当的评价。关键字：简单随机抽样 0-1规划数值模拟

数学建模—DVD在线租凭的优化设计修订稿

数学建模—D V D在线租凭的优化设计 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

2013年大学生数学建模题目：DVD在线租赁的优化设计学院班级组号姓名姓名姓名姓名姓名 DVD在线租赁的优化设计摘要本文在满足会员DVD租赁需求的约束条件下，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的DVD购买与分配方案。通过查找资料确定每张DVD从网站租出到返回网站的服务周期为15天，从而得到每张DVD在一个月内最多可租赁2次。根据问卷调查结果，运用大数定律，得到10万个会员中想观看每种DVD的人数。会员决定观看DVD的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此DVD的人数，根据需要满足的会员数量得到网站的最小购买量。会员的满意度由会员收到DVD的等待时间以及对该DVD的偏爱程度共同决定。为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。 DVD现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD数量有限等为约束建立0-1整数规划模型。DVD现有数量全部为0时，从网站管理人员的角度，以最小购买量为目标，以95%的会员得到想看的DVD为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行DVD的优化分配。

通过计算，在服务周期为15天，网站有10万个会员的情况下，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到该DVD，应购买的DVD1-5的数量分别为5000,2500,1250,625,250张；为保证在三个月内至少95%的会员能看到该DVD，应准备的数量分别为3167，1584,792,396,158张。运用lingo软件求解，得到DVD现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为24746（理想最大满意度为27000）.当DVD的数量全部为0时，得到最优购买和分配方案，使一个月95%的会员得到想看的DVD，求得最小购买量为1425张，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为19396. 从网站经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，网站根据会员的分布情况，建立一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。关键字DVD 最优方案lingo

DVD在线租赁问题研究

DVD在线租赁问题研究摘要本文解决的是DVD在线租赁网站在DVD的需求预测、购买和分配中的重要问题。首先我们通过随机概率模型分析了要满足会员要求的DVD的最少采购量，其中主要利用了0-1分布和二项分布的理论，即认为会员是否一个月租赁两次是一个随机事件，服从0-1分布，因此分配到自己想要DVD 的会员中租赁两次的人数就服从二项分布，具体计算时(由于是大样本场合)用标准正态分布逼近二项分布得到最后的结果。在解决最大满意度原则下的DVD分配时，我们建立的是以最大期望满意度为目标，含有随机变量的规划模型。出于计算规模和效率方面的考虑，文中采用类似贪婪算法的处理方法，将DVD的分配分成两个阶段来处理，这两个阶段分别的最优解之和作为最终要得到的最优目标。最后我们基于现实基础提出了以最大满意度和最小邮费为目标的规划方程，并对上述几个模型进行了评价和推广价值讨论。关键字最优解0-1规划满意度分配方案一、问题重述（一）提出背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。在线DVD租赁就是这样一种传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉的服务。（二）提出问题客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行

DVD在线租赁问题研究

D V D在线租赁问题研究集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

客户缴纳一定数量的月费成为会员，通过在线提交订单，订购DVD租赁服务，会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。在已知会员订单情况下，如何购买、分配这些DVD，使会员满意度最大且成本最低就成了自然而然的问题。另外，在DVD的需求预测、购买和分配中还存在很多其他问题值得研究。（三）重述问题考虑如下DVD租赁问题：顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。其中网站有如下几个约定：①每个会员每个月租赁次数不得超过2次。②每次获得3张DVD。③会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。现在需要解决以下几个问题： 1.若网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。另外根据经验有，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。网站现有10万个会员，用表1中的数据进行推广，计算出应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD如果要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备

全国数学建模竞赛获奖论文-DVD在线租赁问题的解决

DVD在线租赁摘要本文讨论的是DVD在线租赁问题。首先，运用了获取分布，得到其期望值的方法，对问卷调查结果和会员每月租赁DVD次数不同人数的百分比进行分析并求解，合理地解决了网站既要尽可能满足消费者的意愿，又要尽可能使成本相对低廉的矛盾；在此基础上又运用期望值和层次分析图相结合的方法，对在三个月内每个月可能出现租赁的人数进行分析，最终获得了合理的期望值。其次，运用整数规划（0-1规划），根据100名会员的在线订单和网站手上20种DVD的现有张数，进行了定性地分配，并用分类规划，进行了定量地分配；再用定性反过来约束定量，并进行误差分析；最后，通过会员要求和网站的宏观调控，得出了最优的分配方案。再次，围绕会员满意度最大这一目标，根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，从而决定出每种DVD合理的购买量，并对这些DVD进行合理的分配；再在计算机上用Lingo 软件对模型进行灵敏度检验。最后，通过该模型对网站DVD在线租赁提出几点建议供网站参考。模型的特点： 1、运用期望值和层次分析图相结合的方法，既解决了期望值的不全面性，又解决了层次分析图无法定量化的问题，进而两种方法达到互补。 2、数据的转换，将表2中的值进行变换（10-c），（见附件[1]）更科学地刻画了会员对DVD的偏爱程度。（数字越大越偏爱程度越高）这样就解决了原始数字给计算带来困难的，使运算更明确、更方便。 3、根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，解决了整数规划求解大规模问题困难的问题。【关键词】期望值层次分析图整数规划数据转换动态规划递推关系

数学建模DVD在线租凭的优化设计

数学建模D V D在线租凭的优化设计集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

DVD在线租赁地分配问地的题目

实用标准文案 DVD的在线租赁【摘要】本文研究的是DVD在线租赁，购买和分配问题。通过对问题进行合理的假设，将问题简单化，引入0-1变量，在满足约束条件下建立模型，利用软件求解。Lingo针对问题一，以每种DVD为对象。利用概率统计，求得愿意看五种DVD的人数。对租赁每种DVD的人数进行约束分析，以每种DVD的购买量最小为目标建立线性整数规划模型。求解得出每种DVD的具体购买量。针对问题二，不考虑会员租赁两次的情况，对目前的DVD进行分配。引入两种 0-1变量分别表示会员是否获得DVD和该会员获得哪种DVD。利用已给的偏好程度,取非零数值的倒数和0表示会员对DVD的满意度，以会员对所得DVD的满意度最大为目标，建立最优化模型，求解得知DVD的具体分配情况。针对问题三,假设会员只租赁1次，仍引入两种0-1变量。根据会员的偏爱程度确定每种DVD的购买量范围，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标建立双目标规划模型,并将DVD购买量最小转化成约束条件。求解得知20种DVD的购买量依次是17，10，16，15，11，19，15，16，19，16，16，14，15，11，15，15，14，17，7。关键字：满意度 0-1变量双目标规划

精彩文档．实用标准文案 1问题重述考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ 2）表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。并具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。 3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。 2问题分析根据题目要求,对DVD在一月内所利用的次数进行合理的假设,利用软Lingo件求解。问题一中，利用概率统计，通过对随机选取的1000个人进行问卷调查，得到愿意观看这五种DVD的人数。根据历史数据，得出每种DVD中一月内租赁1次和2次的人数。一个月内租赁1次的会员在该月末归还，租赁2次的会员最后一次也必须在该月末还。分析租赁每种DVD的人数，分别以满足会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD和三个月内至少95%的会员能够看到该DVD为约束条件，以每种DVD购买量最小为目标，求出每种DVD的最小购买量。问题二中，针对当前DVD的分配，不考虑会员租赁2次的情况。考虑到DVD的数目不够，引入2个0-1变量，分别表示会员是否获得DVD和获得哪种DVD。将表示会员对20种DVD偏好程度的数字（除0以外）取倒数，作为会员对各种DVD

影碟租赁系统

11. 影碟租凭系统（1）设计一个的菜单将在实现的功能显示出来，并有选择提示；（2）影碟分为三类：CD、DVD、VCD，能够这三类影碟实现增加、删除、修改功能；（3）影碟出租后动态的修改库存信息，并根据租用影碟的数目和天数计算打印出相关信息；（4）要求有错误提示功能，例如输入日期，输入错误提示重新输入。创新要求：影碟的信息可以通过文件保存，根据出租的情况动态更新。 #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; class video //基类，定义cd,dvd,vcd三种类别的共同属性和输入操作 { protected: char name[40]; //影碟名称 int type; double price, allprice; //影碟租价，总租金 int amount; //库存数量，出租数目 int year, month,day; public: video(void) { num = 0; //影碟编号 name[0] = 0; type = 0; //影碟类别 price = 0; amount = 0; year=0; //本地时间（年） month=0; //本地时间（月） day=0; //本地时间（日） next = 0; } virtual ~video(void){} intnumCheck(char numCheck[]) //该函数用于判断输入的值（用char类型数组接收）是否为整数。如果不是，返回-1；如果是，返回该整数值 { int i;