Black-Scholes公式的推导 - 对冲方法

B-S 模型假设：

1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r ；

2、市场上没有交易费用；

3、市场的交易可以连续进行；

4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）；

5、证券在期权存续期内无红利发放；

6、资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+

其中，W 是标准布朗运动，μ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。

对冲方法：构造一个由一个期权和数量为t -?的标的资产（股票）组成的无风险投资组合，下面将由此组合的无风险性推出t ?的值。

设这个投资组合在t 时刻的价值为(,)t t t t C t S S ∏=-??，其中，(,)t C t S 是一份欧式期权的价值，它是t 和t S 的函数。当时间变化一个dt 时间单位时，该投资

组合价值的变化为

(,)t t t t d d C t S d

S ∏=-?? 由B-S 模型的假设资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+ （*）

由?Ito

引理，有 2222(,)(,)(,)(,)1(,)2t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S dC t S S dW S S dt S S S t σμσ??????=+++ ???????

（**） 将（*）和（**）代入(,)t t t t d dC t S dS ∏=-??整理后得：

整理后得：

2222(,)(,)(,)(,)12t t t t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S d S dW S S S dt S S S t σμσμ????????∏=-?+++-? ? ?????????

由于该组合是无风险的，故其收益率为r ，有t t

d rdt ∏=∏，即t t d r dt ∏=∏，又由于(,)t t t t C t S S ∏=-??，故((,))t t t t d r C t S S dt ∏=-??，即有：

2222(,)(,)(,)(,)12((,))t t t t t t t t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S d S dW S S S dt S S S t d r C t S S dt σμσμ?????????∏=-?+++-?? ? ???????????∏=-???得2222(,)(,)(,)1(,)2

t t t t t t t t t t C t S S C t S C t S S r S rC t S S t σ???=???????++?=???? 得到(,)C t S 满足的偏微分方程：

221(,)(,)(,)(,)02

t ss s C t S S C t S rSC t S rC t S σ++-= 这被称为Black-Scholes 偏微分方程。

注：?Ito

引理是随机分析中的链法则。 ?Ito

过程是有如下形式的过程： 00()(0)()()t t

u X t S u dW u du =+?+Θ??. 或者可以写成微分形式：t dW t dt t t dX )()()(?+Θ=.

令t X 为?Ito

过程， (,)f t x 为实值函数且偏导数(,)t f t x ，(,)x f t x 及(,)xx f t x 均有定义且连续， 则1(,)(,)(,)(,)2t t t x t t xx t t t df t X f t X dt f t X dX f t X dX dX =++

.

简单公式规律推导(打印版)

⒈过两点),(11y x 与),(22y x 的直线为b kx y +=，带入得b kx y +=11，b kx y +=22解得 1 22 1121211211121112121111212,t a n x x y x y x x x y x y x x y x y x x x y y y kx y b x x y y k --= -+--=---=-==--= θ，k 称为斜率，b 为y 轴上的截距. 应用最小二乘法,线性拟合直线, 2 2 x x y x xy k --= ,x k y b -=.平均速度1 21 2t t x x t t x x t x v --= --=??= 初末初末，v 为t x -的斜率.当t ?越小，v 越接近瞬时速度瞬v ，瞬时速度等于位移对时间的变化率,因为速度变化越小，对应割线(及其斜率)越接近切线，当两点越接近时，直至无限逼近即极限0→?t 时,瞬v v =. 同理加速度等于速度对时间的变化率,1 21 2t t v v t t v v t v a --= --=??= 初末初末, a 为t v -的斜率.0 →?t 时,瞬a a =0 --=??=t v v t v a ， v 是 t 的函数，也可记作 t v ，变形后得，at v v +=0，(v 是 t 的一次函数，表现为一条直线),a v v t 0-= (求时间).例如, t v 26-=,表示s m v /60=, 2 /2s m a -=;t v +=4,表示s m v /40=, 2/1s m a =; ⒉t v v s x 2 0+= =梯,这是t v x 、、三者之间的关系, v 和t 均是变量,化为t 的函数,由at v v +=0替换,得 20021 22at t v t at v x +=+=(x 是 t 的二次函数，表现为一条抛物线);由at v v -=0替换,得22 1 22at vt t at v x -=-= (此式应用于刹车问题). 例如, 2 20t t x -=,表示s m v /200=,2 /2s m a -=. 24t t x +=,表示s m v /40=,2/2s m a =. ⒊当00=v 时，vt s x 21= =?，由at v =，得22 1 at x =，与上式结果相同. ⒋质点做匀速直线运动,则t v s x 0==矩,(x 是 t 的一次函数，表现为一条直线) 例如, t x 10=,表示s m v /100=;t x 36-=,表示初位置m x 60=，s m v /30-=. 5t s t x v 梯==t t v v 2 0+=20v v +=,t x v ==t at t v 2 21+22210000v v at v v at v +=++=+=,其中at v 210+记作2 t v ,

高中物理公式推导(完全弹性碰撞后速度公式的推导)

高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前1m 、2m 的速度，'1v 、' 2v 为碰撞后 1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1 122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'112222112 2 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令 12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 ' ' 1 212kv v kv v +=+ （3） 2 '2 '1 2 2212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得

( ) 2 ' '1 1--2v v k v v = （5） ()()()( ) 2 ' 2' '1 1 '1 1 22 -v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2' ' 1 12v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、 ' 2v 移到方程的左侧，则有 21' '1 2kv v kv v +=+ （8） 21' '1 --2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 ()()21' 1-212 v k v v k +=+ 21' 11-122v k k v k v +++= 21212112' 1/1 -/1/22v m m m m v m m v +++= 2121 21121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2 12 1211' -22m m v m m v m v ++= （10）

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法 湖南省 黄爱民 赵长春 已知点00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线l 的距离是点P 到直线l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为'l ，垂足为Q ，由'l l ⊥可知'l 的斜率为 B A 'l ∴的方程：00()B y y x x A -= -与l 联立方程组 解得交点2200002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 二、 函数法 证：点P 到直线l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点(,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是002 2 d A B = + 三、不等式法 证：点P 到直线l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是002 2 d A B =+ 四、转化法 证：设直线l 的倾斜角为α过点P 作PM ∥y 轴交l 于M 11(,)x y 显然10 x x =所以0 1Ax C y b +=-0000||||||Ax C Ax By C PM y B B +++∴=+ = 易得∠MPQ ＝α（图2）或∠MPQ ＝0180α-（图3） 在 两 种 情 况 下 都 有 2 2 2 2 tan tan A MPQ B α∠==所以 2 2 2 cos 1tan MPQ A B α ∠= = ++ 五、三角形法 证：P 作PM ∥y 轴交l 于M ，过点P 作PN ∥x 轴交l 于N （图4） 由解法三知00||| |Ax By C PM B ++=；同理得00||||Ax By C PN A ++= 在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高 六、参数方程法 证：过点00(,)P x y 作直线0'0cos :sin x x t l y y t θ θ =+?? =+?交直线l 于点Q 。(如图1) 2图y x P Q l M y P Q l M 4 图y P Q l M y x P Q l 1 图' l

三角形面积公式5种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。 关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。 前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

物理常见公式的推导

高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围：? F1－F2 ?≤ F≤ F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体， 所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= μ F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O≤ f静≤ f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= ρgV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π

物理常见公式的推导

（x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗 细和材料有关 ） （g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地 面上物体受到的地球引力 ） 3、 求F 1 > F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：（1）力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 （2）两个力的合力范围： F i — F 2 F F I + F 2 （3） 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、 两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体, 所受合外力为 零。 F 合 =0 或 ：F x 合=0 F y 合=0 推论：［1］非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 ［2］三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 （2 ）有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零. （只要求了解） 力矩：M=FL （L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力：f= F N 说明：①F N 为接触面间的弹力，可以大于 G;也可以等于G;也可以小于G ② 为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢 以及正压力 N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关， 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解， 不与正压力成正比 大小范围：O f 静f m （f m 为最大静摩擦力，与正压力有关 ） 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b 、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c 、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d 、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、 浮力： F= gV （注意单位） 7、 万有引力： F=G 口呼 2 r （1） 适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体） 。 （2） G 为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 （3） 在天体上的应用：（M--天体质量，n —卫星质量，R--天体半径，g--天体表面重力加 速度，h —卫星到天体表 面的高度） 高中物理公式 、力胡克定律： F = kx 1、 重力： G = mg

圆的面积计算公式的推导(吴琼)

九年义务教育第十一册第94页 圆的面积计算公式的推导 江油市世纪奥桥小学吴琼 设计意图： 拓展学生的思路，培养学生的创新能力，多角度来推导圆的面积计算公式。教学目标： （一）知识与技能 1．知道圆面积的含义。 2．理解和掌握圆面积的计算公式。 （二）过程与方法 1. 通过公式推导培养操作、观察、比较、分析、判断、推理、归纳概括能力，发展空间观念。 2．培养学生迁移类推能力。 （三）情感态度价值观 1.通过对圆面积公式的推导，认识到事物在一定条件下可以互相转化，渗透转化和极限的思想和方法。 2.运用转化思考方法解决实际问题， 探究过程： 1．回忆学过的图形面积公式的推导过程。 2．推导圆面积的计算公式。 （1）教师指导转化。

将已分成16等份的圆用剪刀把每一份剪开，用这些近似等腰三角形的小纸片依次横着拼起来，并用固体胶粘在纸上，看能拼成什么图形？ （2）学生动手操作。 按照老师的示范，请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。（学生动手操作。） 谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了一个什么图形？（生答：拼成了一个近似的平行四边形。请把你拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。） （3）课件演示过程。 把圆分成16等份，这些小纸片可以拼成一个近似的平行四边形；把圆分成32等份，可以拼成一个近似的长方形；如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。） （4）推导面积公式。 拼成的长方形与圆有什么联系？同位讨论。 学生汇报讨论结果。生答师继续演示课件。 生：拼成的长方形的面积与圆的面积相等。 师：这个长方形的长和宽与圆的周长和半径有什么关系？ 生：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。 因为长方形的面积＝长×宽 所以圆的面积＝周长的一半×半径 S＝πr×r S＝πr2 [设计意图：动手操作是学生学习数学的重要方式，让学生经历公式的推导过程，

Ito's lemma and Black-Scholes model(伊藤定理的简单推导与BS模型的推理)

Ito’s lemma and Black-Scholes model Zhiming Liao (chiminhlyao@https://www.wendangku.net/doc/2115200317.html,) Ito’s lemma and Black-Scholes model are indispensable tools in financial applications. Ito lemma, named after its discoverer, Kishi Ito, is of great importance in finding the differential of a function of a particular type of stochastic process. When Fischer Black and Myron Scholes published their work-the pricing of options and corporate liabilities in the Journal of Political Economy in the 1970s, their prominent work immediately drew the interest of the Chicago option market, in 1997, they were awarded Nobel Prize in economics for this significant contribution to financial theory. Since then, Black-Scholes model has been playing a vital role in calculating options. This short paper will address Ito’s lemma and Black-Scholes model and their proofs. Ito’s lemma Suppose y(t) follows a diffusive stochastic process, that is to say dy t=u y dt+σy dz t Here, u y is the instantaneous expected rate of change in the y and σy is its instantaneous standard deviation. And f y,t is a function differentiable twice in the first argument and once in the second. Then f also follows a diffusive process d f y,t=ef + ef u y+ 1e2f 2 σy2dt+ ef σy z t Proof (informal derivation using Taylor series expansion formula) Taylor series expansion in two variables f(x.y)=f(x0.y0)+x?x0 1! f x x0.y0+ y?y0 1! f y x0.y0+ x?x02 2! f xx x0.y0 +x?x0y?y0 f xy x0.y0+ y?y02 f yy x0.y0+ x?x03 f xxx x0.y0 +x?x02 2! y?y0 1! f xxy x0.y0+ x?x0 1! y?y02 2! f xyy x0.y0 +y?y03 f yyy x0.y0+? Assume that we are initially at some α,t and that a short interval of time ?t passes. During this ephemeral period there will be some associated?z. Using the Taylor expansion above, f α+u y?t+σy?z,t+?t =fα,t+ u y?t+σy?z f y+?tf t+1 u y?t+σy?z 2f yy+ u y?t2+σy?z?t f yt +1 ?t2f tt+t ird and ig er order terms Therefore,

关于公式的推导 证明

A C D E αα+β B F G βx y O 关于三角函数两角和正余弦公式的推导 课本中的推导方法如右图所示，其中有旋转的思想在内，且使用了两点间距离公式（为使用此公式，课本在此节还特地介绍了本属于解析几何内容的两点间距离公式），为了由C （α+β）公式得到其它公式，还推导并使用了Cos （π/2－α）＝Sin α公式。上网查看两角和与差 三角函数公式的不同证明方法，有向量法、面积法、 弦长公式法等，其方法虽简单且精巧，但不是一般 人尤其学生所能想到的，因而也不利于进行探究式 的教学。 下面依三角函数的特征，给出一个新的证明： 如图，在单位圆中，设α，β都是锐角： 根据则 A （1，0）；B （cos α，sin α）； C(cos （α+β），sin （α+β）)。 做CD ⊥OA 于D ，CF ⊥OB 于F ， 做FE ⊥OA 于E ，FG ⊥CD 于G ， ∵ OA ⊥CD ，OB ⊥CF ， ∴ ∠FCD=α。 ∴OF ＝cos β，CF ＝sin β ∴OE ＝OF ·cos α＝cos β·cos α＝cos αcos β， ∴FE ＝OF ·sin α＝cos β·sin α ＝sin αcos β， DE ＝GF ＝CF ·sin α＝sin β·sin α＝sin αsin β， CG ＝CF ·cos α = sin β·cos α＝cos αsin β， ∴OD= cos （α+β） = OE - DE = cos αcos β- sin αsin β； ∴CD= sin （α+β） = CG + GD = CG + FE = cos αsin β+ sin αcos β； 即 cos （α+β） = cos αcos β- sin αsin β； sin （α+β） = sin αcos β+ cos αsin β； 当α、β不是锐角时，根据诱导公式，可化cos （α+β）、sin （α+β）为cos （α’+β’）、sin （α’+β’）,其中α’、β’皆为锐角，公式依然成立。 （2）正弦定理的证明

三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积公式的五种 推导方法 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

三角形面积公式的五种推导方法 摘自：《小学数学网》六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下： 第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

物理常见公式的推导

物理常见公式的推导 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-

高中物理公式 一、力胡克定律： F = kx (x为伸长量或压缩量；k为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 1、重力： G = mg (g随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1 、F2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。 注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： F1－F2 F F1 + F2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件： （1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物 体，所受合外力为零。 F合=0 或： F x合=0 F y合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2 )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解） 力矩：M=FL (L为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力： 滑动摩擦力： f= F N 说明：① F N为接触面间的弹力，可以大于G；也可以等于G;也可以小于G ②为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O f静 f m (f m为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明： a 、摩擦力可以与运动方向相同，也可以与运动方向相反。 b、摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 c、摩擦力的方向与物体间相对运动的方向或相对运动趋势的方向相反。 d、静止的物体可以受滑动摩擦力的作用，运动的物体可以受静摩擦力的作用。 6、浮力： F= gV (注意单位) 7、万有引力： F=G m m r 12 2 (1)适用条件：两质点间的引力（或可以看作质点，如两个均匀球体）。 (2) G为万有引力恒量，由卡文迪许用扭秤装置首先测量出。 (3)在天体上的应用：（M--天体质量，m—卫星质量， R--天体半径，g--天体表面重力加速度，h—卫星到天体表 面的高度） a 、万有引力=向心力 G Mm R h m () + = 2 V R h m R h m T R h 2 2 2 2 2 4 () ()() + =+=+ ω π

高中物理主要公式

高中物理主要公式整理 匀变速直线运动： 1.速度公式：Vt=Vo+at 2.位移公式：s =Vo t+1/2at 2 3.推导公式：V 2t －V 2o=2as ，注意这个公式中不含时间t 4.平均速度求位移：s=（Vo+Vt ）/2=— V t ，注意该公式不含加速度a 5.推导公式：Δs=aT 2，相邻时间段内的位移差相等 6.2t V =（Vo+Vt ）/2（中间时刻的速度），2s V =2V V 2t 20+（中间位移的速度） 7.通过纸带用逐差法求加速度：a= 2321654T 3S S S S S S ）（）（）（++-++ 求瞬时速度用平均速度公式：Vn= T 2S S 1n n ++ 牛顿运动定律 1.合F =ma ，Fx=m x a ，Fy=m y a 超重与失重 若加速度a 向上，则超重；若加速度a 向下，则失重，即通过加速度的方向判断超重或失重 力的平衡 1.相似三角形法：即力的三角形与几何三角形相似，F1/a=F2/b=F3/c 2.拉密定理： SinC F SinB F SinA F 321==，其中的角度为力对应的角 平抛运动 x=V o t ，y=1/2gt 2，v y =gt ，v=2y 20V V +，α=arctan 0V gt

匀速圆周运动 1.V=ωR ，ω=φ/t=2π/T ，V =2πR/T 2.T=1/f ，ω=2πf=2πn 3.向F =mv 2/R=m ω2R=m （2π/T ）2R 4.绳拉球，汽车过桥等得临界速度为V=gR ，即此时只有重力提供向心力 万有引力定律 1.引F =2R GMm ，G=×10-11Nm2/kg2 2.开普勒第三定律k T R 23=，k 为常数，置于中心天体的质量有关 3.万能公式：g=2 R GM ，g 为地球表面处的重力加速度 4.双星问题：周期Ｔ，角速度ω相同；向心力相同，都为万有引力；且两颗行星始终都在同一直线上 5.宇宙速度：Ｖ1=s ，V2=s ，V3=s 机械能 1.恒力做功：W=FScos α 2.均匀变化的力做功：W=F S ，变力做功：能量守恒或动能定理，若功率恒定W=Pt 3.功率P=W/t=FV ，汽车启动分为恒定加速度启动或恒定功率启动 4.动能Ek=1/2mv 2 5.动能定理：W=k 1k 2E E - 6.重力势能Ep=mgh

Black-Scholes公式的推导 - 对冲方法

B-S 模型假设： 1、交易市场没有无风险套利机会，就是说无风险资产或资产组合必须有相同的回报，均为无风险利率r ； 2、市场上没有交易费用； 3、市场的交易可以连续进行； 4、市场允许卖空而且资产是无限可分的，就是说我们可以买卖任意数量的证券，而且可以卖出我们并不持有的资产（当然以后要偿还）； 5、证券在期权存续期内无红利发放； 6、资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+ 其中，W 是标准布朗运动，μ是证券的期望增长率，σ是证券的波动率。 对冲方法：构造一个由一个期权和数量为t -?的标的资产（股票）组成的无风险投资组合，下面将由此组合的无风险性推出t ?的值。 设这个投资组合在t 时刻的价值为(,)t t t t C t S S ∏=-??，其中，(,)t C t S 是一份欧式期权的价值，它是t 和t S 的函数。当时间变化一个dt 时间单位时，该投资 组合价值的变化为 (,)t t t t d d C t S d S ∏=-?? 由B-S 模型的假设资产价格服从几何布朗运动模型：t t t t dS S dt S dW μσ=+ （*） 由?Ito 引理，有 2222(,)(,)(,)(,)1(,)2t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S dC t S S dW S S dt S S S t σμσ??????=+++ ??????? （**） 将（*）和（**）代入(,)t t t t d dC t S dS ∏=-??整理后得： 整理后得： 2222(,)(,)(,)(,)12t t t t t t t t t t t t t t t C t S C t S C t S C t S d S dW S S S dt S S S t σμσμ????????∏=-?+++-? ? ?????????

基于Black-Scholes期权定价公式的增发新股定价模型

基于Black-Scholes期权定价公式的增发新股定价模型 发表时间：2010-08-11T11:19:34.793Z 来源：《西部科教论坛》2010年第4期供稿作者：何莉1 ，涂海燕2 [导读] 通过实证研究，股票的内在价值可以由一年中股价的最小值近似代替，最终计算值接近于实际价格。何莉1 ，涂海燕2 （1.军事经济学院军队财务系湖北武汉 430035；2. 军事经济学院国防经济系湖北武汉 430035）摘要：借助于实物期权的思想和方法，建立基于BS期权定价公式的增发新股定价模型，对增发的新股进行定价，并用实例进行分析，利用此定价方法计算得出的价格与实际增发价格进行比较，探讨了增发新股价格的合理性。 关键词：增发新股 BS定价模型期权 增发新股(SEO)定价比同于首次发行(IPO)定价之处在于，它不仅要满足发行公司的集资要求，而且要保证增发公司的股本结构、财务结构稳健，并尽可能减少对二级市场股价的影响。下面用Black-Scholes方程构造的增发新股定价模型就是基于二级市场股价走势的一个定价模型。 1. 增发新股的BS定价模型 假设A公司在时刻增发新股，增发价为。若投资者预期上市后时刻股价会上涨，则购买增发的新股，这样投资者就拥有了未来股价上涨获利的机会。一旦股价上涨，投资者卖出股票获利。一旦股价下跌，投资者持股不动。因此，投资者购买新股可看作是购入了一个看涨期权。增发新股的价值也就包括两部分：一部分是股票的内在价值，另一部分是拥有的股票上涨获利的机会的价值。对获利机会的定价也就是对一个看涨期权的定 = + （1）增发新股获利机会的定价。投资者在增发日（时刻）购买新股，该项投资到时刻的期望价值为，其中：为无风险利率。 若时刻股票市价，则投资者获利为。若，则投资者持股不动，这一获利机会的价值为0。 这就是对股票上涨获利机会的定价。其中时间取决于投资者的预期，可能是1个月、2个月、3个月、半年或一年。本文涉及时间是以年为单位，且所有时间均是按交易天数计，即一年为252个交易日，半年为126个交易日。 （2）增发新股内在价值的定价。对股票内在价值的定价，理论值为 其中：为年红利；为每年红利增长率；为无风险利率。 由于我国多数投资者购买股票不是为了股息而是为了获取更多价差，且许多上市公司是采用送红股的方式代替现金红利，给股东回报，且每年支付红利无规律可循，所以不易计算该理论值。理论值对增长率非常敏感，对估计值的很小变化就会引起的很大变化，计算出来的误差较大。通过实证研究，股票的内在价值可以由一年中股价的最小值近似代替，最终计算值接近于实际价格。 （3）增发新股的定价模型 为均值为0，标准差为1的标准正态分布变量的累计概率分布函数；为增发前20日均价；为增发前1年中股价最小值；为以历史数据估计出的股价波动率。 2. 应用实例 下面我们以06年5只实施增发的股票为样本，利用BS定价模型计算增发价格，并与实际增发价格比较。 随着预期期权有效期的拉长,未来股价上涨的机会价值增大,上涨机会价值相应增加,一年期的增长价值大约是半年期增长价值的2倍左右.通过以上几种股票的研究证明半年期的B-S定价最接近于实际情况。B-S增发新股定价模型以二级市场股价为基础，定价更加体现了市场化原则。 参考文献 ［1］Black Fisher & Scholes Myron,The Pricing of Options and Corporate Liabilities［J］,Journal of Political Economy,1973(81). ［2］Merton Robert C,The Theory of Rational Option Pricing［J］,Bell Journal of Economics and Management Science ,1973(4) ［3］叶凌云.美国公司估价思想与方法最新发展评价［J］，外国经济与管理，1999（2）［4］廖理、汪毅慧.实物期权理论与企业价值评估［J］，数量经济技术经济研究2001（3）

三角函数公式的推导及公式大全

诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值，

弹簧串并联原理及公式推导

假设两根弹簧1、2，劲度系数为K1，K2； 1、串联时：假设弹簧受拉力F，则，1伸长L1=F/K1，2伸长L2=F/K2，则总伸长L=(F/K1+F/K2),新的劲度系数为K=F/L=1/(1/K1+1/K2); 2、并联时：假设两根弹簧都伸长L，则，受力F=K1*L+K2*L，新的劲度系数K=F/L=K1+K2. 对于多跟弹簧，最后也类似，就和电阻的串并联正好相反。 对弹簧，串联的劲度系数的倒数等于个跟弹簧劲度系数的倒数和； 并联的劲度系数等于个跟弹簧劲度系数的和。 应当说，对于材料相同、尺寸（不包括长度，只是指弹簧丝直径、弹簧截面半径、弹簧螺距等参量）相同的弹簧，劲度系数与长度成反比。 参加物理竞赛的话你会学到弹簧串，并联的等效劲度系数的公式，设2弹簧 弹性系数分别为k1和k2 当他们串联时，等效弹性系数为k1*k2/k1+k2； 当他们并联时，等效弹性系数为k1+k2。 你可以发现，这个公式正好与等效电阻的串并联关系相反。 推导过程仍然是按照定义，找出等效弹簧组的k，也就是N=k△x中的k。

先来推导串联的，串联时，设2个弹簧的弹性系数分别为k1，k2，他们的伸长量分别是△x1和△x2，那么有关系：△x=△x1+△x2，而同一根绳子上的张力相等，也就是说2个弹簧中的张力相等，即有：T=k1*△x1=k2*△x2。联立3式，可解出T=（k1*k2/k1+k2）△x，括号里就是等效的k。 并联的很简单，略。。 再次补充并联！ 仍然设2个弹簧的弹性系数分别为k1，k2，但并联时2弹簧伸长量相同而各自张力不同，并联弹簧组两边的总拉力为2弹簧拉力之和，根据这个关系可得：T=（k1+k2）*△x，所以等效弹性系数k就是k1+k2了

圆的面积公式推导教案

圆的面积公式推导教案 教学目标; 1、通过操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆的面积的方法并能正确计算。 2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。 3、渗透转化的数学思想和极限思想 教学重点： 1、理解圆的面积公式的推导过程。 2、掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积。 教学难点：理解圆的面积公式的推导过程。 教具准备：多媒体课件，圆片，剪刀。学具准备：分成十六等分的圆硬片，剪教学过程： 一、故事导入 【设计意图】引起学生学习兴趣，同时也让学生明白这个故事与所要学习的内容有联系。【出示课件1、2】 二、出示学习目标【出示课件3】 【设计意图】让学生清楚学习的重点，难点是什么？也提醒老师要有的放矢。 三、学习新知 （一）、定义： 1、摸一摸哪里是圆的面积？圆所占平面的大小就是圆的面积。【出示课件4】（二）、小组交流【出示课件5】 圆与以前我们研究的平面图形有什么不同？ 不同之处：圆是由一条封闭曲线围成的平面图形，而以前学过的平面图形都是由几条线段围成的封闭图形。 如何化曲为直呢，推导出它的面积公式呢？ （三）复习旧知，渗透极限思想【出示课件6】

1、还记得这些平面图形的面积计算公式吗？ 2、平行四边形的面积公式推导过程还记得吗？（我们是通过剪拼的方法把它转化成长方形的。）【出示课件7、8】 小结：把圆转化成哪一个我们学过的平面图形，从而得到它的面积公式。（四）小组合作学习【出示课件9、10、11、12、13、14】 （1)老师引导学生将圆化曲为直，先将圆沿直径剪开，然后沿半径再把圆平均分成偶等份。然后把剪成多份并用拼的方法将其转化成学过的规则图形。 (2)请学生观察四组图。随着份数的不断增加，有何发现？【出示课件15】 （3）转化后的图形面积与圆的面积有什么关系？【出示课件16】 （4）长方形各部分相当于圆的什么？【出示课件17】 (5）试着推导出圆的面积公式。【出示课件18】 （五）风采展示 1、学生汇报推导过程。 2、学生齐读圆面积公式。并说一说圆的面积大小与什么有关系？ 【设计意图】这两个环节是在教师的引导和启发中，每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。 （六）当堂测试与应用 1、做课件图示，求半径为2分米的圆的面积【出示课件19】 2、做课前出示的圆形花坛的面积。【出示课件20】 3、根据下面所给的条件，求圆的面积。【出示课件21】 （1）、半径2分米 （2）、直径10厘米 4、一个雷达屏幕的直径是40厘米，它的面积是多少平方厘米？ 5、判断对错： （1）圆的半径越大，圆所占的面积也越大。（） （2）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6倍。（） 【设计意图】在当堂测试与应用中设计了基本练习与综合练习。基本练习主要是加强学生对圆面积的认识，并能计算圆的面积。综合练习是培养学生的综合应用